24.1.2垂直于弦的直徑R·九年級上冊24.1.2垂直于弦的直徑R·九年級上冊新課導入圓是軸對稱圖形嗎？狀元成才路新課導入圓是軸對稱圖形嗎？狀元成才路(1)能通過折紙探究圓的對稱性，能證明圓是軸對稱圖形.(2)能由圓的軸對稱性推導垂徑定理及其推論.(3)能利用垂徑定理解決相應問題.狀元成才路(1)能通過折紙探究圓的對稱性，能證明圓是軸對稱圖形.狀元成推進新課什么是軸對稱圖形？我們學過哪些軸對稱圖形？回顧知識點1圓的軸對稱性狀元成才路推進新課什么是軸對稱圖形？回顧知識點1圓的軸對稱性狀元成才

如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形．線段角等腰三角形矩形菱形等腰梯形正方形圓狀元成才路如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能用紙剪一個圓，沿著圓的任意一條直徑所在的直線對折，重復做幾次，你發現了什么？由此你能得到什么結論？發現：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．探究狀元成才路用紙剪一個圓，沿著圓的任意一條直徑所在的直線對折，重復做幾圓有無數條對稱軸，每一條對稱軸都是直徑所在的直線.圓有哪些對稱軸？O如何來證明圓是軸對稱圖形呢？狀元成才路圓有無數條對稱軸，每一條對稱軸都是直徑所在的直線.圓有哪些對BOACDE

是軸對稱圖形．大膽猜想已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E．

左圖是軸對稱圖形嗎？滿足什么條件才能證明圓是軸對稱圖形呢？狀元成才路BOACDE是軸對稱圖形．大膽猜想已知：在⊙O中，CD是證明：連結OA、OB.則OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直徑CD所在的直線是AB的垂直平分線.∴對于圓上任意一點，在圓上都有關于直線CD的對稱點，即⊙O關于直線CD對稱.BOACDE圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.狀元成才路證明：連結OA、OB.BOACDE圓是軸對稱知識點2垂徑定理及其推論顯然，由上面的證明可知，如果⊙O的直徑CD垂直于弦AB,垂足為E，那么點A、B是關于CD所在直線的對稱點，則AE=BE.把⊙O沿CD對折時，AD與BD重合，即AD=BD.⌒⌒⌒⌒BOACDE狀元成才路知識點2垂徑定理及其推論顯然，由上面的證明可知垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．知識要點垂徑定理BOACDE狀元成才路垂直于弦的直徑平分弦，并知識要點垂徑定理BOACDE狀元成才下列哪些圖形可以用垂徑定理？你能說明理由嗎？DOCAEBDOCAEB圖1圖2圖3圖4OAEBDOCAEB狀元成才路下列哪些圖形可以用垂徑定理？你能說明理由嗎？DOCAEBAE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB①過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對的優弧⑤平分弦所對的劣弧題設結論DOABEC垂徑定理狀元成才路AE＝BE⌒⌒⌒⌒CD是直徑，AB是弦，①過圓心③平分弦題設推論

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．狀元成才路推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平NOABMCD注意為什么強調這里的弦不是直徑？

一個圓的任意兩條直徑總是互相平分，但它們不一定互相垂直.因此這里的弦如果是直徑，結論不一定成立．狀元成才路NOABMCD注意為什么強調這里的弦不是直徑？一個圓根據垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說.如果具備：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對的優弧（5）平分弦所對的劣弧上述五個條件中的任意

個條件都可以推出其他

個結論.注意兩三狀元成才路根據垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說.如果條件結論命題①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦并且平分弦所對的兩條弧．平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．

弦的垂直平分線經過圓心，并且平分這條弦所對的兩條弧．垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心，并且平分弦和所對的另一條弧．平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心，垂直于弦，并且平分弦所對的另一條弧．平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心，并且垂直平分弦．垂徑定理的推論狀元成才路條件結論命題①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③垂徑定理往往轉化成應用勾股定理解直角三角形d+h=rdhar有哪些等量關系？

在a，d，r，h中，已知其中任意兩個量，可以求出其它兩個量．狀元成才路垂徑定理往往轉化成應用勾股定理解直角三角形d+h=r例2趙州橋是我國隋代建造的石拱橋,距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶．它的主橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑(結果保留小數點后一位).ACBDO377.2318.5RR-7.23狀元成才路例2趙州橋是我國隋代建造的石拱橋,距今約有1400年解：設趙洲橋主橋拱的半徑為R.

則R2=18.52+(R-7.23)2

解得：R≈27.3

因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.ACBDO377.2318.5RR-7.23狀元成才路解：設趙洲橋主橋拱的半徑為R.ACBDO377.2318.5隨堂演練基礎鞏固1.下列說法中正確的是()A.在同一個圓中最長的弦只有一條B.垂直于弦的直徑必平分弦C.平分弦的直徑必垂直于弦D.圓是軸對稱圖形，每條直徑都是它的對稱軸B狀元成才路隨堂演練基礎鞏固1.下列說法中正確的是()B狀2.如圖，⊙O的弦AB垂直于半徑OC，垂足為D，則下列結論中錯誤的是()A.∠AOD=∠BODB.AD=BD

C.OD=DCD.AC=BC3.半徑為5的⊙O內有一點P，且OP=4，則過點P的最長弦的長是

，最短弦的長是

.C106⌒⌒狀元成才路2.如圖，⊙O的弦AB垂直于半徑OC，垂足為D，則下列結論中4.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求證：四邊形ADOE是正方形.證明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC.∴四邊形ADOE是矩形.又∵OD垂直平分AB，OE垂直平分AC,AB＝AC,∴四邊形ADOE是正方形.狀元成才路4.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD5.如圖，在半徑為50mm的⊙O中，弦AB的長為50mm.求：(1)∠AOB的度數；(2)點O到AB的距離.解：(1)∵OA=OB=AB=50mm，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=60°.(2)作OM⊥AB，則∠AOM=∠AOB=30°.∴在Rt△AOM中，AM=AB=25mm.狀元成才路5.如圖，在半徑為50mm的⊙O中，弦AB的長為50mm.求6.如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中點，EM經過圓心O交⊙O于點E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半徑.解：連接OC.∵OM平分CD,∴OM⊥CD且CM=MD=CD=2m.設半徑為r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r=.即⊙O的半徑為m.狀元成才路6.如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部7.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧AB，點O是這段弧的圓心，AB＝300m，C是AB上一點，OC⊥AB，垂足為D，CD＝45m，求這段彎路的半徑.解：設半徑為r.∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB=150m.在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，即(r-45)2+1502=r2,解得r=272.5m.因此，這段彎路的半徑為272.5m.狀元成才路7.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧AB，點O是這段弧的圓心8.如圖，兩個圓都以點O為圓心.求證：AC=BD.證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，連接OA,OC,OD,OB,則AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.狀元成才路8.如圖，兩個圓都以點O為圓心.求證：AC=BD.狀元成才路9.⊙O的半徑為13cm，AB、CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離.綜合應用狀元成才路9.⊙O的半徑為13cm，AB、CD是⊙O的兩條弦，AB∥C解：分兩種情況討論.第一種情況：當AB、CD在圓心O的同側時.如圖(1)，過點O作OM⊥CD，垂足為M，交AB于點E.∵AB∥CD.

∴OE⊥AB.連接OB、OD.∴EM＝OM-OE＝7cm.狀元成才路解：分兩種情況討論.狀元成才路第二種情況：當AB、CD在圓心O的異側時，如圖(2)，同第一種情況可得OE=5cm,OM=12cm，

∴EM=OM+OE=17cm.即AB和CD之間的距離為7cm或17cm.狀元成才路第二種情況：當AB、CD在圓心O的異側時，狀元成才路10.如圖，AB和CD分別是⊙O上的兩條弦，圓心O到它們的垂線段分別是OM和ON，如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么關系？為什么？拓展延伸狀元成才路10.如圖，AB和CD分別是⊙O上的兩條弦，圓心O到它們的解：OM＜ON.理由如下：連接OA、OC.則OA＝OC.∵ON⊥CD, OM⊥AB,又∵AB＞CD,∴CN＜AM,∴CN2＜AM2.在Rt△OCN和Rt△OAM中，OM2＝OA2-AM2,ON2＝OC2-CN2,∴OM2＜ON2.∴OM＜ON.狀元成才路解：OM＜ON.狀元成才路課堂小結垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.方法規律：利用垂徑定理解決問題，通常是根據題意作出輔助線，構造出直角三角形后利用勾股定理解答.狀元成才路課堂小結垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所

上完這節課，你收獲了什么？有什么樣的感悟？與同學相互交流討論。課后研討上完這節課，你收獲了什么？有什么樣的感悟？與同學相互學完這一節課，你有什么感悟和收獲，請你記錄下來吧！我的課堂反思學完這一節課，你有什么感悟和收獲，請你記錄下來吧！我的課堂反課后作業1.從課后習題中選取；2.完成練習冊本課時的習題。課后作業1.從課后習題中選取；虛心使人進步，驕傲使人落后，我們應當永遠記住這個真理。

——毛澤東虛心使人進步，驕傲使人落后，我們應當永遠記住這個真理。謝謝觀賞！祝大家學習進步謝謝觀賞！祝大家學習進步24.1.2垂直于弦的直徑R·九年級上冊24.1.2垂直于弦的直徑R·九年級上冊新課導入圓是軸對稱圖形嗎？狀元成才路新課導入圓是軸對稱圖形嗎？狀元成才路(1)能通過折紙探究圓的對稱性，能證明圓是軸對稱圖形.(2)能由圓的軸對稱性推導垂徑定理及其推論.(3)能利用垂徑定理解決相應問題.狀元成才路(1)能通過折紙探究圓的對稱性，能證明圓是軸對稱圖形.狀元成推進新課什么是軸對稱圖形？我們學過哪些軸對稱圖形？回顧知識點1圓的軸對稱性狀元成才路推進新課什么是軸對稱圖形？回顧知識點1圓的軸對稱性狀元成才

如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形．線段角等腰三角形矩形菱形等腰梯形正方形圓狀元成才路如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能用紙剪一個圓，沿著圓的任意一條直徑所在的直線對折，重復做幾次，你發現了什么？由此你能得到什么結論？發現：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．探究狀元成才路用紙剪一個圓，沿著圓的任意一條直徑所在的直線對折，重復做幾圓有無數條對稱軸，每一條對稱軸都是直徑所在的直線.圓有哪些對稱軸？O如何來證明圓是軸對稱圖形呢？狀元成才路圓有無數條對稱軸，每一條對稱軸都是直徑所在的直線.圓有哪些對BOACDE

是軸對稱圖形．大膽猜想已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E．

左圖是軸對稱圖形嗎？滿足什么條件才能證明圓是軸對稱圖形呢？狀元成才路BOACDE是軸對稱圖形．大膽猜想已知：在⊙O中，CD是證明：連結OA、OB.則OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直徑CD所在的直線是AB的垂直平分線.∴對于圓上任意一點，在圓上都有關于直線CD的對稱點，即⊙O關于直線CD對稱.BOACDE圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.狀元成才路證明：連結OA、OB.BOACDE圓是軸對稱知識點2垂徑定理及其推論顯然，由上面的證明可知，如果⊙O的直徑CD垂直于弦AB,垂足為E，那么點A、B是關于CD所在直線的對稱點，則AE=BE.把⊙O沿CD對折時，AD與BD重合，即AD=BD.⌒⌒⌒⌒BOACDE狀元成才路知識點2垂徑定理及其推論顯然，由上面的證明可知垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．知識要點垂徑定理BOACDE狀元成才路垂直于弦的直徑平分弦，并知識要點垂徑定理BOACDE狀元成才下列哪些圖形可以用垂徑定理？你能說明理由嗎？DOCAEBDOCAEB圖1圖2圖3圖4OAEBDOCAEB狀元成才路下列哪些圖形可以用垂徑定理？你能說明理由嗎？DOCAEBAE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB①過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對的優弧⑤平分弦所對的劣弧題設結論DOABEC垂徑定理狀元成才路AE＝BE⌒⌒⌒⌒CD是直徑，AB是弦，①過圓心③平分弦題設推論

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．狀元成才路推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平NOABMCD注意為什么強調這里的弦不是直徑？

一個圓的任意兩條直徑總是互相平分，但它們不一定互相垂直.因此這里的弦如果是直徑，結論不一定成立．狀元成才路NOABMCD注意為什么強調這里的弦不是直徑？一個圓根據垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說.如果具備：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對的優弧（5）平分弦所對的劣弧上述五個條件中的任意

個條件都可以推出其他

個結論.注意兩三狀元成才路根據垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說.如果條件結論命題①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦并且平分弦所對的兩條弧．平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．

弦的垂直平分線經過圓心，并且平分這條弦所對的兩條弧．垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心，并且平分弦和所對的另一條弧．平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心，垂直于弦，并且平分弦所對的另一條弧．平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心，并且垂直平分弦．垂徑定理的推論狀元成才路條件結論命題①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③垂徑定理往往轉化成應用勾股定理解直角三角形d+h=rdhar有哪些等量關系？

在a，d，r，h中，已知其中任意兩個量，可以求出其它兩個量．狀元成才路垂徑定理往往轉化成應用勾股定理解直角三角形d+h=r例2趙州橋是我國隋代建造的石拱橋,距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶．它的主橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑(結果保留小數點后一位).ACBDO377.2318.5RR-7.23狀元成才路例2趙州橋是我國隋代建造的石拱橋,距今約有1400年解：設趙洲橋主橋拱的半徑為R.

則R2=18.52+(R-7.23)2

解得：R≈27.3

因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.ACBDO377.2318.5RR-7.23狀元成才路解：設趙洲橋主橋拱的半徑為R.ACBDO377.2318.5隨堂演練基礎鞏固1.下列說法中正確的是()A.在同一個圓中最長的弦只有一條B.垂直于弦的直徑必平分弦C.平分弦的直徑必垂直于弦D.圓是軸對稱圖形，每條直徑都是它的對稱軸B狀元成才路隨堂演練基礎鞏固1.下列說法中正確的是()B狀2.如圖，⊙O的弦AB垂直于半徑OC，垂足為D，則下列結論中錯誤的是()A.∠AOD=∠BODB.AD=BD

C.OD=DCD.AC=BC3.半徑為5的⊙O內有一點P，且OP=4，則過點P的最長弦的長是

，最短弦的長是

.C106⌒⌒狀元成才路2.如圖，⊙O的弦AB垂直于半徑OC，垂足為D，則下列結論中4.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求證：四邊形ADOE是正方形.證明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC.∴四邊形ADOE是矩形.又∵OD垂直平分AB，OE垂直平分AC,AB＝AC,∴四邊形ADOE是正方形.狀元成才路4.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD5.如圖，在半徑為50mm的⊙O中，弦AB的長為50mm.求：(1)∠AOB的度數；(2)點O到AB的距離.解：(1)∵OA=OB=AB=50mm，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=60°.(2)作OM⊥AB，則∠AOM=∠AOB=30°.∴在Rt△AOM中，AM=AB=25mm.狀元成才路5.如圖，在半徑為50mm的⊙O中，弦AB的長為50mm.求6.如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中點，EM經過圓心O交⊙O于點E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半徑.解：連接OC.∵OM平分CD,∴OM⊥CD且CM=MD=CD=2m.設半徑為r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r=.即⊙O的半徑為m.狀元成才路6.如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部7.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧AB，點O是這段弧的圓心，AB＝300m，C是AB上一點，OC⊥AB，垂足為D，CD＝45m，求這段彎路的半徑.解：設半徑為r.∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB=150m.在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，即(r-45)2+1502=r2,解得r=272.5m.因此，這段彎路的半徑為272.5m.狀元成才路7.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧AB，點O是這段弧的圓心8.如圖，兩個圓都以點O為圓心.求證：AC=BD.證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，連接OA,OC,OD,OB,則AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.狀元成才路8.如圖，兩個圓都以點O為圓心.求證：AC=BD.狀元成才路9.⊙O的半徑為13cm，AB、CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離.綜合應用狀元成才路9.⊙O的半徑為13cm，AB、CD是