第十七章勾股定理勾股定理的逆定理第十七章勾股定理勾股定理的逆定理1情境引入按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎？

古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13個等距的結,把一根繩子分成等長的12段,然后以3個結間距，4個結間距，5個結間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角。情境引入按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎？古埃及人曾用2畫一畫：下列各組數中的兩數平方和等于第三數的平方，分別以這些數為邊長畫出三角形(單位：cm).①3，4，5；

②，6，

;探究新知用量角器量一量，它們是什么三角形？直角三角形由前面幾個例子，我們可以作出什么猜想？如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．畫一畫：下列各組數中的兩數平方和等于第三數的平方，分別以這些命題1

如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．命題2

如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．觀察這兩個命題有什么不同？題設結論結論題設探究新知命題1如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，

我們把像這樣，題設和結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.

小結探究新知我們把像這樣，題設和結論正好相反的兩個命題練習說出下列命題的逆命題.這些逆命題成立嗎？（1）兩條直線平行，內錯角相等；（2）如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等；（1）內錯角相等，兩直線平行；成立（2）如果兩個實數的絕對值相等，那么這兩個實數相等；不成立探究新知練習說出下列命題的逆命題.這些逆命題成立嗎？（1）內錯角相等

命題2正確嗎？如何證明呢？思考A'

B'

C'

？三角形全等∠C是直角△ABC是直角三角形

A

B

C

abca探究新知命題2正確嗎？如何證明呢？思考A'B'C'A

B

C

abcA'

B'

C'

a證明:畫一個△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，C'A'=b.∵∠C'=90°，∴A'B'2=a2+b2=c2，∴A'B'=c.∴△ABC

≌△A'B'C'（SSS）.∴∠C=∠C'=90°.BC=a=B'C'，CA=b=C'A'，AB=c=A'B'.在△ABC和△A'B'C'中探究新知已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求證:△ABC是直角三角形ABCabcA'B'C'a證明:畫如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．作用：判定一個三角形是否為為直角三角形．

探究新知符號語言：在△ABC中，∵a2+b2=c2∴

△ABC是直角三角形勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2作用：判定一（2）這個命題的逆命題是“如果兩個角相等，那么它們都是直角”，不成立.（2）a=13，b=14，c=15.如圖，已知點P是等邊△ABC內一點，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數.求證:△ABC是直角三角形證明：設CF=x，則EC=BE=2x，DF=3x，AD=AB=4x.（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15.∴132+142≠152.∴△BPE為等邊三角形，（1）兩條直線平行，內錯角相等；解：∵△ABC為等邊三角形，如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2∴EF2+AE2=25x2=AF2.小明找了一卷米尺，測得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°.∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90°.（1）兩條直線平行，內錯角相等；（4）這個命題的逆命題是“如果兩個實數的平方相等，那么這兩個實數相等”；∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，，試判斷△ABC的形狀.∴這個三角形不是直角三角形．探究新知定理與逆定理我們已經學習了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理,兩直線平行,內錯角相等;內錯角相等,兩直線平行.想一想:互逆命題與互逆定理有何關系?如果一個定理的逆命題經過證明是真命題,那么它是一個定理,這兩個定理稱為互逆定理,其中一個定理稱另一個定理的逆定理.（2）這個命題的逆命題是“如果兩個角相等，那么它們都是直角”10例1判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15.分析：只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方．典型例題（3）a：b：c=3：4：5;（4）a=,b=4,c=5;（5）a=,b=1,c=;例1判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形：分析（5）a=,b=1,c=;∴132+142≠152.（2）a=13，b=14，c=15.（2）這個命題的逆命題是“如果兩個角相等，那么它們都是直角”，不成立.當a2+b2-c2=0時，△ABC為直角三角形.如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2（1）a=15，b=8，c=17；（4）a=,b=4,c=5;將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，連EP求證:△ABC是直角三角形畫一畫：下列各組數中的兩數平方和等于第三數的平方，分別以這些數為邊長畫出三角形(單位：cm).由勾股定理的逆定理知，∠AEF=90°.（1）a=15，b=8，c=17；（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15.（2）a=13，b=14，c=15.如圖，已知點P是等邊△ABC內一點，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數.將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，連EP∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，解：(1)

∵152+82=225+64=289，

172=289，∴152+82=172.∴以15,8,17為邊長的三角形是直角三角形．

像8，15，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數．典型例題（1）a=15，b=8，c=17；（5）a=,b=1,c=;解：(1)∵解：(2)

∵132+142=169+196=365，

152=225，∴132+142≠152.∴這個三角形不是直角三角形．典型例題（2）a=13，b=14，c=15.解：(2)∵132+142=169+196=365，∴例1:判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15.典型例題（3）a：b：c=3：4：5;（4）a=,b=4,c=5;（5）a=,b=1,c=;（3）（4）（5）是例1:判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形：典型例2.如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F是CD上一點，且CF=CD.求證∠AEF=90°.典型例題證明：設CF=x，則EC=BE=2x，DF=3x，AD=AB=4x.由勾股定理得：EF2=EC2+FC2=5x2，AE2=AB2+BE2=20x2，AF2=AD2+DF2=25x2，∴EF2+AE2=25x2=AF2.由勾股定理的逆定理知，∠AEF=90°.例2.如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F是CD上一例3.如圖，已知點P是等邊△ABC內一點，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數.典型例題∴∠APB=90°+60°=150°．解：∵△ABC為等邊三角形，∴BA=BC，將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，連EP∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE為等邊三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，E例3.如圖，已知點P是等邊△ABC內一點，PA=3，PB=416（2）a=13，b=14，c=15.作用：判定一個三角形是否為為直角三角形．我們已經學習了一些互逆的定理,如:這兩個命題有什么不同？證明:畫一個△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，C'A'=b.∴這個三角形不是直角三角形．∴△BPE為等邊三角形，△ABC是直角三角形如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2解：∵△ABC為等邊三角形，證明:畫一個△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，C'A'=b.∴132+142≠152.（3）a：b：c=3：4：5;（2）a=13，b=14，c=15.（2）a=13，b=14，c=15.求證∠AEF=90°.（3）a：b：c=3：4：5;小明找了一卷米尺，測得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°.由勾股定理得：EF2=EC2+FC2=5x2，AE2=AB2+BE2=20x2，這兩個命題有什么不同？如圖，已知點P是等邊△ABC內一點，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數.命題2如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2①3，4，5；已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2（1）同旁內角互補，兩直線平行；∴EF2+AE2=25x2=AF2.∴132+142≠152.，試判斷△ABC的形狀.由前面幾個例子，我們可以作出什么猜想？當a2+b2-c2=0時，△ABC為直角三角形.互逆命題與互逆定理有何關系?AF2=AD2+DF2=25x2，下列各命題都成立，寫出它們的逆命題.（5）a=,b=1,c=;（2）如果兩個實數的絕對值相等，那么這兩個實數相等；按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎？（3）這個命題的逆命題是“對應邊相等的三角形全等”；如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.∴△BPE為等邊三角形，1.下列各命題都成立，寫出它們的逆命題.這些逆命題成立嗎？（1）同旁內角互補，兩直線平行；（2）如果兩個角是直角，那么它們相等；（3）全等三角形的對應邊相等；（4）如果兩個實數相等，那么它們的平方相等.活學活用（2）a=13，b=14，c=15.如圖，已知點P是等邊△A解：（1）這個命題的逆命題是“兩直線平行，同旁內角互補”；成立.（2）這個命題的逆命題是“如果兩個角相等，那么它們都是直角”，不成立.（3）這個命題的逆命題是“對應邊相等的三角形全等”；成立.（4）這個命題的逆命題是“如果兩個實數的平方相等，那么這兩個實數相等”；不成立.活學活用解：（1）這個命題的逆命題是“兩直線平行，同旁內角互補”；成活學活用D活學活用D19解：由題意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0.3.已知a、b、c是△ABC的三邊長，且滿足

，試判斷△ABC的形狀.當a-b=0時，△ABC為等腰三角形;當a2+b2-c2=0時，△ABC為直角三角形.活學活用解：由題意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，活學活用4.

如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算一下土地的面積，以便計算一下產量。小明找了一卷米尺，測得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°.根據小明的測量數據，你能算出這塊菜地的面積嗎？活學活用4.如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了21解：如圖，連接AC.在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=132=AD2.∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90°.解：如圖，連接AC.在Rt△ABC中，在△ACD中，∴△AC拓展延伸分析：拓展延伸分析：23情境引入按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎？

古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13個等距的結,把一根繩子分成等長的12段,然后以3個結間距，4個結間距，5個結間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角。情境引入按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎？古埃及人曾用24第十七章勾股定理勾股定理的逆定理第十七章勾股定理勾股定理的逆定理25情境引入按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎？

古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13個等距的結,把一根繩子分成等長的12段,然后以3個結間距，4個結間距，5個結間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角。情境引入按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎？古埃及人曾用26畫一畫：下列各組數中的兩數平方和等于第三數的平方，分別以這些數為邊長畫出三角形(單位：cm).①3，4，5；

②，6，

;探究新知用量角器量一量，它們是什么三角形？直角三角形由前面幾個例子，我們可以作出什么猜想？如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．畫一畫：下列各組數中的兩數平方和等于第三數的平方，分別以這些命題1

如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．命題2

如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．觀察這兩個命題有什么不同？題設結論結論題設探究新知命題1如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，

我們把像這樣，題設和結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.

小結探究新知我們把像這樣，題設和結論正好相反的兩個命題練習說出下列命題的逆命題.這些逆命題成立嗎？（1）兩條直線平行，內錯角相等；（2）如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等；（1）內錯角相等，兩直線平行；成立（2）如果兩個實數的絕對值相等，那么這兩個實數相等；不成立探究新知練習說出下列命題的逆命題.這些逆命題成立嗎？（1）內錯角相等

命題2正確嗎？如何證明呢？思考A'

B'

C'

？三角形全等∠C是直角△ABC是直角三角形

A

B

C

abca探究新知命題2正確嗎？如何證明呢？思考A'B'C'A

B

C

abcA'

B'

C'

a證明:畫一個△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，C'A'=b.∵∠C'=90°，∴A'B'2=a2+b2=c2，∴A'B'=c.∴△ABC

≌△A'B'C'（SSS）.∴∠C=∠C'=90°.BC=a=B'C'，CA=b=C'A'，AB=c=A'B'.在△ABC和△A'B'C'中探究新知已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求證:△ABC是直角三角形ABCabcA'B'C'a證明:畫如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．作用：判定一個三角形是否為為直角三角形．

探究新知符號語言：在△ABC中，∵a2+b2=c2∴

△ABC是直角三角形勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2作用：判定一（2）這個命題的逆命題是“如果兩個角相等，那么它們都是直角”，不成立.（2）a=13，b=14，c=15.如圖，已知點P是等邊△ABC內一點，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數.求證:△ABC是直角三角形證明：設CF=x，則EC=BE=2x，DF=3x，AD=AB=4x.（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15.∴132+142≠152.∴△BPE為等邊三角形，（1）兩條直線平行，內錯角相等；解：∵△ABC為等邊三角形，如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2∴EF2+AE2=25x2=AF2.小明找了一卷米尺，測得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°.∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90°.（1）兩條直線平行，內錯角相等；（4）這個命題的逆命題是“如果兩個實數的平方相等，那么這兩個實數相等”；∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，，試判斷△ABC的形狀.∴這個三角形不是直角三角形．探究新知定理與逆定理我們已經學習了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理,兩直線平行,內錯角相等;內錯角相等,兩直線平行.想一想:互逆命題與互逆定理有何關系?如果一個定理的逆命題經過證明是真命題,那么它是一個定理,這兩個定理稱為互逆定理,其中一個定理稱另一個定理的逆定理.（2）這個命題的逆命題是“如果兩個角相等，那么它們都是直角”34例1判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15.分析：只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方．典型例題（3）a：b：c=3：4：5;（4）a=,b=4,c=5;（5）a=,b=1,c=;例1判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形：分析（5）a=,b=1,c=;∴132+142≠152.（2）a=13，b=14，c=15.（2）這個命題的逆命題是“如果兩個角相等，那么它們都是直角”，不成立.當a2+b2-c2=0時，△ABC為直角三角形.如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2（1）a=15，b=8，c=17；（4）a=,b=4,c=5;將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，連EP求證:△ABC是直角三角形畫一畫：下列各組數中的兩數平方和等于第三數的平方，分別以這些數為邊長畫出三角形(單位：cm).由勾股定理的逆定理知，∠AEF=90°.（1）a=15，b=8，c=17；（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15.（2）a=13，b=14，c=15.如圖，已知點P是等邊△ABC內一點，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數.將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，連EP∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，解：(1)

∵152+82=225+64=289，

172=289，∴152+82=172.∴以15,8,17為邊長的三角形是直角三角形．

像8，15，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數．典型例題（1）a=15，b=8，c=17；（5）a=,b=1,c=;解：(1)∵解：(2)

∵132+142=169+196=365，

152=225，∴132+142≠152.∴這個三角形不是直角三角形．典型例題（2）a=13，b=14，c=15.解：(2)∵132+142=169+196=365，∴例1:判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15.典型例題（3）a：b：c=3：4：5;（4）a=,b=4,c=5;（5）a=,b=1,c=;（3）（4）（5）是例1:判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形：典型例2.如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F是CD上一點，且CF=CD.求證∠AEF=90°.典型例題證明：設CF=x，則EC=BE=2x，DF=3x，AD=AB=4x.由勾股定理得：EF2=EC2+FC2=5x2，AE2=AB2+BE2=20x2，AF2=AD2+DF2=25x2，∴EF2+AE2=25x2=AF2.由勾股定理的逆定理知，∠AEF=90°.例2.如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F是CD上一例3.如圖，已知點P是等邊△ABC內一點，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數.典型例題∴∠APB=90°+60°=150°．解：∵△ABC為等邊三角形，∴BA=BC，將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，連EP∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE為等邊三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，E例3.如圖，已知點P是等邊△ABC內一點，PA=3，PB=440（2）a=13，b=14，c=15.作用：判定一個三角形是否為為直角三角形．我們已經學習了一些互逆的定理,如:這兩個命題有什么不同？證明:畫一個△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，C'A'=b.∴這個三角形不是直角三角形．∴△BPE為等邊三角形，△ABC是直角三角形如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2解：∵△ABC為等邊三角形，證明:畫一個△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，C'A'=b.∴132+142≠152.（3）a：b：c=3：4：5;（2）a=13，b=14，c=15.（2）a=13，b=14，c=15.求證∠AEF=90°.（3）a：b：c=3：4：5;小明找了一卷米尺，測得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°.由勾股定理得：EF2=EC2+FC2=5x2，AE2=AB2+BE2=20x2，這兩個命題有什么不同？如圖，已知點P是等邊△ABC內一點，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數.命題2如果三角形ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2①3，4，5；已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2（1）同旁內角互補，兩直線平行；∴EF2+AE2=25x2=AF2.∴132+142≠152.，試判斷△ABC的形狀.由前面幾個例子，我們可以作出什么猜想？當a2+b2-c2=0時，△ABC為直角三角形.互逆命題與互逆定理有何關系?AF2=AD2+DF2