有關(guān)三角形五心的經(jīng)典試題三角形的外心、重心、垂心、內(nèi)心及旁心，統(tǒng)稱為三角形的五心.一、外心.三角形外接圓的圓心，簡稱外心.與外心關(guān)系密切的有圓心角定理和圓周角定理.例1．過等腰△ABC底邊BC上一點P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作點P關(guān)于MN的對稱點P′.試證：P′點在△ABC外接圓上.(杭州大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題》)分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP=NC，故點M是△P′BP的外心，點N是△P′PC的外心.有∠BP′P=∠BMP=∠BAC，∠PP′C=∠PNC=∠BAC.∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.從而，P′點與A，B，C共圓、即P′在△ABC外接圓上.由于P′P平分∠BP′C，顯然還有P′B:P′C=BP:PC.例2．在△ABC的邊AB，BC，CA上分別取點P，Q，S.證明以△APS，△BQP，△CSQ的外心為頂點的三角形與△ABC相似.(B·波拉索洛夫《中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克》)分析：設(shè)O1，O2，O3是△APS，△BQP，△CSQ的外心，作出六邊形O1PO2QO3S后再由外心性質(zhì)可知∠PO1S=2∠A，∠QO2P=2∠B，∠SO3Q=2∠C.∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.從而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360°將△O2QO3繞著O3點旋轉(zhuǎn)到△KSO3，易判斷△KSO1≌△O2PO1，同時可得△O1O2O3≌△O1KO3.∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K=(∠O2O1S+∠SO1K)=(∠O2O1S+∠PO1O2)=∠PO1S=∠A；同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.二、重心三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心.掌握重心將每條中線都分成定比2:1及中線長度公式，便于解題.例3．AD，BE，CF是△ABC的三條中線，P是任意一點.證明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一個面積等于另外兩個面積的和.(第26屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：設(shè)G為△ABC重心，直線PG與AB，BC相交.從A，C，D，E，F(xiàn)分別作該直線的垂線，垂足為A′，C′，D′，E′，F(xiàn)′.易證AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，∴EE′=DD′+FF′.有S△PGE=S△PGD+S△PGF.兩邊各擴大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.例4．如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真.分析：將△ABC簡記為△，由三中線AD，BE，CF圍成的三角形簡記為△′.G為重心，連DE到H，使EH=DE，連HC，HF，則△′就是△HCF.(1)a2，b2，c2成等差數(shù)列△∽△′.若△ABC為正三角形，易證△∽△′.不妨設(shè)a≥b≥c，有CF=，BE=，AD=.將a2+c2=2b2，分別代入以上三式，得CF=，BE=，AD=.∴CF:BE:AD=::=a:b:c.故有△∽△′.(2)△∽△′a2，b2，c2成等差數(shù)列.當(dāng)△中a≥b≥c時，△′中CF≥BE≥AD.∵△∽△′，∴＝()2.據(jù)“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的”，有=.∴=3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心三角形三條高的交戰(zhàn)，稱為三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四個等(外接)圓三角形，給我們解題提供了極大的便利.例5．設(shè)A1A2A3A4為⊙O內(nèi)接四邊形，H1，H2，H3，H4依次為△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求證：H1，H2，H3，H4四點共圓，并確定出該圓的圓心位置.(1992，全國高中聯(lián)賽)分析：連接A2H1，A1H2，H1H2，記圓半徑為R.由△A2A3A4知=2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4；由△A1A3A4得A1H2=2Rcos∠A3A1A4.但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.易證A2H1∥A1A2，于是，A2H1A1H2，故得H1H2A2A1.設(shè)H1A1與H2A2的交點為M，故H1H2與A1A2關(guān)于M點成中心對稱.同理，H2H3與A2A3，H3H4與A3A4，H4H1與A4A1都關(guān)于M點成中心對稱.故四邊形H1H2H3H4與四邊形A1A2A3A4關(guān)于M點成中心對稱，兩者是全等四邊形，H1，H2，H3，H4在同一個圓上.后者的圓心設(shè)為Q，Q與O也關(guān)于M成中心對稱.由O，M兩點，Q點就不難確定了.例6．H為△ABC的垂心，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中心.一個以H為圓心的⊙H交直線EF，F(xiàn)D，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)分析：只須證明AA1=BB1=CC1即可.設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，△ABC外接圓半徑為R，⊙H的半徑為r.連HA1，AH交EF于M.A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2)，①又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2=cosA·bc-AH2，②而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4R2sin2A.∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2.③由①、②、③有A=r2+·bc-(4R2-a2)=(a2+b2+c2)-4R2+r2.同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2，=(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.四、內(nèi)心三角形內(nèi)切圓的圓心，簡稱為內(nèi)心.對于內(nèi)心，要掌握張角公式，還要記住下面一個極為有用的等量關(guān)系：設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，射線AI交△ABC外接圓于A′，則有A′I=A′B=A′C.換言之，點A′必是△IBC之外心(內(nèi)心的等量關(guān)系之逆同樣有用).例7．ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，取△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的內(nèi)心O1，O2，O3，O4.求證：O1O2O3O4為矩形.(1986，中國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題)證明見《中等數(shù)學(xué)》1992；4例8．已知⊙O內(nèi)接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F(xiàn)且與⊙O內(nèi)切.試證：EF中點P是△ABC之內(nèi)心.(B·波拉索洛夫《中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克》)分析：在第20屆IMO中，美國提供的一道題實際上是例8的一種特例，但它增加了條件AB=AC.當(dāng)AB≠AC，怎樣證明呢？如圖，顯然EF中點P、圓心Q，BC中點K都在∠BAC平分線上.易知AQ=.∵QK·AQ=MQ·QN，∴QK===.由Rt△EPQ知PQ=.∴PK=PQ+QK=+=.∴PK=BK.利用內(nèi)心等量關(guān)系之逆定理，即知P是△ABC這內(nèi)心.五、旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個內(nèi)角的外角平分線相交于一點，是旁切圓的圓心，稱為旁心.旁心常常與內(nèi)心聯(lián)系在一起，旁心還與三角形的半周長關(guān)系密切.例9．在直角三角形中，求證：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分別表示內(nèi)切圓半徑及與a，b，c相切的旁切圓半徑，p表示半周.(杭州大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題》)分析：設(shè)Rt△ABC中，c為斜邊，先來證明一個特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).∵p(p-c)=(a+b+c)·(a+b-c)=[(a+b)2-c2]=ab；(p-a)(p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c)=[c2-(a-b)2]=ab.∴p(p-c)=(p-a)(p-b).①觀察圖形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.而r=(a+b-c)=p-c.∴r+ra+rb+rc=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p=4p-(a+b+c)=2p.由①及圖形易證.例10．M是△ABC邊AB上的任意一點.r1，r2，r分別是△AMC，△BMC，△ABC內(nèi)切圓的半徑，q1，q2，q分別是上述三角形在∠ACB內(nèi)部的旁切圓半徑.證明：·=.(IMO-12)分析：對任意△A′B′C′，由正弦定理可知OD=OA′·=A′B′··=A′B′·，O′E=A′B′·.∴.亦即有·===.六、眾心共圓這有兩種情況：(1)同一點卻是不同三角形的不同的心；(2)同一圖形出現(xiàn)了同一三角形的幾個心.例11．設(shè)在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.試證：(1)AD，BE，CF三條對角線交于一點；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.(1991，國家教委數(shù)學(xué)試驗班招生試題)分析：連接AC，CE，EA，由已知可證AD，CF，EB是△ACE的三條內(nèi)角平分線，I為△ACE的內(nèi)心.從而有ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC.再由△BDF，易證BP，DQ，F(xiàn)S是它的三條高，I是它的垂心，利用不等式有：BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).不難證明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I就是一點兩心.例12．△ABC的外心為O，AB=AC，D是AB中點，E是△ACD的重心.證明OE丄CD.(加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)分析：設(shè)AM為高亦為中線，取AC中點F，E必在DF上且DE:EF=2:1.設(shè)CD交AM于G，G必為△ABC重心.連GE，MF，MF交DC于K.易證：DG:GK=DC:()DC=2:1.∴DG:GK=DE:EFGE∥MF.∵OD丄AB，MF∥AB，∴OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是△ODE之垂心.易證OE丄CD.例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是內(nèi)心，邊AC上的D點與邊BC上的E點使得AD=BE=AB.求證：OI丄DE，OI=DE.(1988，中國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題)分析：輔助線如圖所示，作∠DAO平分線交BC于K.易證△AID≌△AIB≌△EIB，∠AID=∠AIB=∠EIB.利用內(nèi)心張角公式，有∠AIB=90°+∠C=105°，∴∠DIE=360°-105°×3=45°.∵∠AKB=30°+∠DAO=30°+(∠BAC-∠BAO)=30°+(∠BAC-60°)=∠BAC=∠BAI=∠BEI.∴AK∥IE.由等腰△AOD可知DO丄AK，∴DO丄IE，即DF是△DIE的一條高.同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.例14．銳角△ABC中，O，G，H分別是外心、重心、垂心.設(shè)外心到三邊距離和為d外，重心到三邊距離和為d重，垂心到三邊距離和為d垂.求證：1·d垂+2·d外=3·d重.分析：這里用三角法.設(shè)△ABC外接圓半徑為1，三個內(nèi)角記為A，B，C.易知d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC，∴2d外=2(cosA+cosB+cosC).①∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC，同樣可得BH2·CH3.∴3d重=△ABC三條高的和=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB)②∴=2，∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC.同樣可得HH2，HH3.∴d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)③欲證結(jié)論，觀察①、②、③，須證(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+(cosA+cosB+co