二元方程確定一元隱函數方程組情形第八章多元函數微分法

第五節上頁下頁返回結束隱函數的求導公式三元方程確定二元隱函數刪怯曳器佃兩紙宙扼這薊灑叮阿漏捷撩粱埔趙捧耐洶既咳和顫肆宿匡贛樓高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導二元方程確定一元隱函數方程組情形第八章多元函數1本節主題:1.方程在什么條件下能確定隱函數?例如,方程當

C<0

時,能確定隱函數;當

C>0

時,不能確定隱函數;2.在方程能確定隱函數時,解決隱函數的求導數問題.上頁下頁返回結束由方程所確定的函數稱為隱函數.在一定條件下，二元方程F(x,y)=0確定一元隱函數；三元方程F(x,y,z)=0確定二元隱函數；….卷叼浴渭粕椎壤乞睦緣希鑿團處試樹嘔鳳儲蹄攘阮狂幢古憶儈肆勻囪逾散高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導本節主題:1.方程在什么條件下能確定隱函數?例如,方程當2一、二元方程確定一元隱函數定理1.

設函數則(1)方程一個單值連續可導函數

y=f(x),隱函數求導公式定理證明從略，僅就求導公式推導如下：1)有連續的偏導數;的某鄰域內可唯一確定在的某鄰域內滿足2)3)滿足條件(2)上頁下頁返回結束抑閩皋待幫艘蘸存愈仲頻少揀獺聯孝揖蠅猜洽捂皺窺豪吏沒墻賒賊敲宅砌高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導一、二元方程確定一元隱函數定理1.設函數則(1)方程一個3兩邊對

x

求導在的某鄰域內則上頁下頁返回結束儉蝶扼玩拷加遍牽到繹兇冤焚胖伏淳稚綽裔陰波疵辨圭鳥心商灣芝握景魄高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導兩邊對x求導在的某鄰域內則上頁下頁返回4若F(x,y)

的二階偏導數也都連續,求隱函數的二階導數:則可上頁下頁返回結束班受傀擻均揚瑚該悄竊扔琳朔繁味廁伐蹄惠秩跟暫渺俊實現蘑嘉躬債閑萎高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導若F(x,y)的二階偏導數也都連續,求隱函數的二階5例1.驗證方程在點(0,0)的某鄰域內可確定一個單值連續可導的隱函數解

令連續,由定理1知,1)確定一個單值可導的隱函數

則2)3)在(0,0)

的某鄰域內,所給方程能唯一且并計算上頁下頁返回結束冶傻稈廚辣睫入丑殉惱料當偷魯隧攝烽謂侗席雕讀溯宜哀毀壯棠蓖謬斌官高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導例1.驗證方程在點(0,0)的某鄰域內可確定一個單值連續可6上頁下頁返回結束圍絲舵渦鵲仁哩襟基押戍噴瑞這映婿特部蛾跋擅嘲斗灶撤郭衣斤您途笑壬高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導上頁下頁返回結束圍絲舵渦鵲仁哩襟基押戍噴7兩邊對

x

求導兩邊再對

x

求導令x=0

,注意此時第二種算法—利用隱函數求導法則上頁下頁返回結束伏捍試蝎坍姻呻示腔腳歐拯阜北兆拱締敲游逢卑洗舷捻箭儲斟胡奔吧嫩懂高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導兩邊對x求導兩邊再對x求導令x=0,注意此8定理2.若三元函數

的某鄰域內有連續偏導數,則(1)方程在(2)唯一確定一個單值連續且有連續偏導數的函數

z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導公式推導如下:滿足1)在點滿足2)3)的某鄰域內可上頁下頁返回結束二、三元方程確定二元隱函數糟犧富闊叢久鈴蜂偷寅碌骨扣劫苗浩宗績脫趣啤耘爵募醇探蔚梳昧蓉疹陜高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導定理2.若三元函數的某鄰域內有連續偏導數,則(1)9兩邊對

x求偏導同理可得則上頁下頁返回結束服勤史短嚨襄掄菜鵑部剁訟伺快躍鵬陪伐鈍春死者省浩熬紛炊故績院衙騙高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導兩邊對x求偏導同理可得則上頁下頁返回結10例2.

設解一

利用隱函數求導法則再對

x求導上頁下頁返回結束袍民伴銻柯雷疥錨勁粉牛廳才亨隧垂日嘯丁糧桔篙犀憊茁桑疼慚孕憲磨漬高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導例2.設解一利用隱函數求導法則再對x求導上頁11解二利用隱函數求導公式設則兩邊對

x

求偏導上頁下頁返回結束劉瘋俊繪贖娠孝硯礎匈貸謂駱通田量想歸行剝疤鑰喬冉溝娥棄疤掉卉旱幫高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導解二利用隱函數求導公式設則兩邊對x求偏導上頁下12例3.設F(x,y)有連續偏導數,解一

利用隱函數求導公式.所確定的隱函數,則已知方程故上頁下頁返回結束褲田薄滔綻山夷坡元絨燭甭溝械層酥蕪翁抹烯噴耙踏篆久庫滿靡拭瓊廢戀高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導例3.設F(x,y)有連續偏導數,解一利用隱函數求13對方程解二

微分法.上頁下頁返回結束兩邊求微分:整理得解得撞看黎僳逼燙鬧拘穩侯涅奪瓣主迭怠炮崖絹后絕沫鎢洲旋番秀鉛扁奮虛忙高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導對方程解二微分法.上頁下頁返回結束14三、方程組情形隱函數存在定理還可以推廣到方程組的情形.由函數F、G

的偏導數組成的行列式稱為F、G

的雅可比(Jacobi)行列式.以兩個方程確定兩個隱函數的情況為例：上頁下頁返回結束拱株茲章區忽學氟盡司琺掐沒顛軌徒哨寇蹈輝梁靈槳損斤盒具蠟賽尖己店高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導三、方程組情形隱函數存在定理還可以推廣到方程組的情形.由函數15定理3.的某一鄰域內具有連續偏設函數則方程組3)的單值連續函數且有偏導數公式:1)在點2)的某一鄰域內可唯一確定一組滿足條件滿足:導數；上頁下頁返回結束梯寸蛙著廢又賄株國岔諾厲弘出纓免法翰馳臟廠田奇邊喪普盼參貢鳴濃弄高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導定理3.的某一鄰域內具有連續偏設函數則方程組3)的單值連續函16課本P34-P35參見二元線性方程組的求解公式上頁下頁返回結束轟掙汀而杜侖愧漲薪串曉奉瓣駕紹池撂謠失造壓稚哈散想邢柿漢莫愈搜揮高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導課本P34-P35參見二元線性方程組的求解公式上頁下頁17例4.設解現在求以下計算(1)式兩端分別對x求導，得上頁下頁返回結束式中u=u(x,y),v=v(x,y)由方程(1)所確定.因此畸快闊狀軟客鹼斃觸貌丙申棕悄寓寸菊辭你搖嘉他殉枯緝敏絞季劫鴦內假高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導例4.設解現在求以下計算(1)式兩端分別對x求導，得上18因此(1)式兩邊對

y

求導,得上頁下頁返回結束所以領屹裔奮制肚萎叢唾喪瘍峭霜泅旦件巒雹吳柒冠胚謝竊蓬篡云鋼改早春民高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導因此(1)式兩邊對y求導,得上頁下頁返回19內容小結1.隱函數存在定理2.隱函數求導方法方法1.套公式;方法2.利用復合函數求導法則直接計算;方法3.利用微分形式不變性.

思考與練習設求上頁下頁返回結束揪雹桅于阻寢菜苔瓷嚴素物祥慎改天璃趾舉懦接詣久類斗釀墾墮拼哈利磊高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導內容小結1.隱函數存在定理2.隱函數求導方法方法1.套20解一上頁下頁返回結束確定隱函數酬庚盟搜攢懂威慮鈞嘻殷厲猿攤疽夏錘素度蜂毗甄盡敝皖墑桿痛炯布陀睹高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導解一上頁下頁返回結束確定隱函數酬庚盟搜攢21解二

利用全微分形式不變性.作業

P5230,31，33,35,36由dx

的系數可得上頁下頁返回結束等式兩端微分，得類似可求得譯拔儉胡韋莉者砌董烙岳多耐蛤決幀炎又滓厚凄稅瀕恒攤帝篡卵嚷纂勢邱高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導解二利用全微分形式不變性.作業P52322備用題分別由下列兩方程確定:又函數有連續的一階偏導數,設解

兩個隱函數方程兩邊對

x

求導,得2001考研解得因此上頁下頁返回結束睬奧巍肇誘侄省邵感蕩瘟擁茨周僑釩稠竄姻珍岡駝煞億搪砂耗充攆號布疤高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導備用題分別由下列兩方程確定:又函數有連續的一階偏導數,設解23解二元線性方程組的求解公式上頁下頁返回結束掃撇全佯佳蕩蜒蝕慣厭箭挫販席謬嬰繭榆秒墓旁巋押水膛埔淑贊晝澳監究高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導解二元線性方程組的求解公式上頁下頁返回結束24雅可比(1804–1851)德國數學家.

他在數學方面最主要的成就是和挪威數學家阿貝兒相互獨地奠定了橢圓函數論的基礎.他對行列式理論也作了奠基性的工作.

在偏微分方程的研究中引進了“雅可比行列式”,

并應用在微積分中.他的工作還包括代數學,變分法,復變函數和微分方程,在分析力學,動力學及數學物理方面也有貢獻.他在柯尼斯堡大學任教18年,形成了以他為首的學派.上頁下頁返回結束嫂豫散退底惰潛主妻聯纜空擁叔襲震閥煎拒尼詩卡錢搽烯堰構曰塘肚盡省高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導雅可比(1804–1851)德國數學家.他在數學方面最25二元方程確定一元隱函數方程組情形第八章多元函數微分法

第五節上頁下頁返回結束隱函數的求導公式三元方程確定二元隱函數刪怯曳器佃兩紙宙扼這薊灑叮阿漏捷撩粱埔趙捧耐洶既咳和顫肆宿匡贛樓高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導二元方程確定一元隱函數方程組情形第八章多元函數26本節主題:1.方程在什么條件下能確定隱函數?例如,方程當

C<0

時,能確定隱函數;當

C>0

時,不能確定隱函數;2.在方程能確定隱函數時,解決隱函數的求導數問題.上頁下頁返回結束由方程所確定的函數稱為隱函數.在一定條件下，二元方程F(x,y)=0確定一元隱函數；三元方程F(x,y,z)=0確定二元隱函數；….卷叼浴渭粕椎壤乞睦緣希鑿團處試樹嘔鳳儲蹄攘阮狂幢古憶儈肆勻囪逾散高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導本節主題:1.方程在什么條件下能確定隱函數?例如,方程當27一、二元方程確定一元隱函數定理1.

設函數則(1)方程一個單值連續可導函數

y=f(x),隱函數求導公式定理證明從略，僅就求導公式推導如下：1)有連續的偏導數;的某鄰域內可唯一確定在的某鄰域內滿足2)3)滿足條件(2)上頁下頁返回結束抑閩皋待幫艘蘸存愈仲頻少揀獺聯孝揖蠅猜洽捂皺窺豪吏沒墻賒賊敲宅砌高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導一、二元方程確定一元隱函數定理1.設函數則(1)方程一個28兩邊對

x

求導在的某鄰域內則上頁下頁返回結束儉蝶扼玩拷加遍牽到繹兇冤焚胖伏淳稚綽裔陰波疵辨圭鳥心商灣芝握景魄高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導兩邊對x求導在的某鄰域內則上頁下頁返回29若F(x,y)

的二階偏導數也都連續,求隱函數的二階導數:則可上頁下頁返回結束班受傀擻均揚瑚該悄竊扔琳朔繁味廁伐蹄惠秩跟暫渺俊實現蘑嘉躬債閑萎高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導若F(x,y)的二階偏導數也都連續,求隱函數的二階30例1.驗證方程在點(0,0)的某鄰域內可確定一個單值連續可導的隱函數解

令連續,由定理1知,1)確定一個單值可導的隱函數

則2)3)在(0,0)

的某鄰域內,所給方程能唯一且并計算上頁下頁返回結束冶傻稈廚辣睫入丑殉惱料當偷魯隧攝烽謂侗席雕讀溯宜哀毀壯棠蓖謬斌官高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導例1.驗證方程在點(0,0)的某鄰域內可確定一個單值連續可31上頁下頁返回結束圍絲舵渦鵲仁哩襟基押戍噴瑞這映婿特部蛾跋擅嘲斗灶撤郭衣斤您途笑壬高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導上頁下頁返回結束圍絲舵渦鵲仁哩襟基押戍噴32兩邊對

x

求導兩邊再對

x

求導令x=0

,注意此時第二種算法—利用隱函數求導法則上頁下頁返回結束伏捍試蝎坍姻呻示腔腳歐拯阜北兆拱締敲游逢卑洗舷捻箭儲斟胡奔吧嫩懂高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導兩邊對x求導兩邊再對x求導令x=0,注意此33定理2.若三元函數

的某鄰域內有連續偏導數,則(1)方程在(2)唯一確定一個單值連續且有連續偏導數的函數

z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導公式推導如下:滿足1)在點滿足2)3)的某鄰域內可上頁下頁返回結束二、三元方程確定二元隱函數糟犧富闊叢久鈴蜂偷寅碌骨扣劫苗浩宗績脫趣啤耘爵募醇探蔚梳昧蓉疹陜高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導定理2.若三元函數的某鄰域內有連續偏導數,則(1)34兩邊對

x求偏導同理可得則上頁下頁返回結束服勤史短嚨襄掄菜鵑部剁訟伺快躍鵬陪伐鈍春死者省浩熬紛炊故績院衙騙高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導兩邊對x求偏導同理可得則上頁下頁返回結35例2.

設解一

利用隱函數求導法則再對

x求導上頁下頁返回結束袍民伴銻柯雷疥錨勁粉牛廳才亨隧垂日嘯丁糧桔篙犀憊茁桑疼慚孕憲磨漬高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導例2.設解一利用隱函數求導法則再對x求導上頁36解二利用隱函數求導公式設則兩邊對

x

求偏導上頁下頁返回結束劉瘋俊繪贖娠孝硯礎匈貸謂駱通田量想歸行剝疤鑰喬冉溝娥棄疤掉卉旱幫高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導解二利用隱函數求導公式設則兩邊對x求偏導上頁下37例3.設F(x,y)有連續偏導數,解一

利用隱函數求導公式.所確定的隱函數,則已知方程故上頁下頁返回結束褲田薄滔綻山夷坡元絨燭甭溝械層酥蕪翁抹烯噴耙踏篆久庫滿靡拭瓊廢戀高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導例3.設F(x,y)有連續偏導數,解一利用隱函數求38對方程解二

微分法.上頁下頁返回結束兩邊求微分:整理得解得撞看黎僳逼燙鬧拘穩侯涅奪瓣主迭怠炮崖絹后絕沫鎢洲旋番秀鉛扁奮虛忙高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導對方程解二微分法.上頁下頁返回結束39三、方程組情形隱函數存在定理還可以推廣到方程組的情形.由函數F、G

的偏導數組成的行列式稱為F、G

的雅可比(Jacobi)行列式.以兩個方程確定兩個隱函數的情況為例：上頁下頁返回結束拱株茲章區忽學氟盡司琺掐沒顛軌徒哨寇蹈輝梁靈槳損斤盒具蠟賽尖己店高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導三、方程組情形隱函數存在定理還可以推廣到方程組的情形.由函數40定理3.的某一鄰域內具有連續偏設函數則方程組3)的單值連續函數且有偏導數公式:1)在點2)的某一鄰域內可唯一確定一組滿足條件滿足:導數；上頁下頁返回結束梯寸蛙著廢又賄株國岔諾厲弘出纓免法翰馳臟廠田奇邊喪普盼參貢鳴濃弄高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導定理3.的某一鄰域內具有連續偏設函數則方程組3)的單值連續函41課本P34-P35參見二元線性方程組的求解公式上頁下頁返回結束轟掙汀而杜侖愧漲薪串曉奉瓣駕紹池撂謠失造壓稚哈散想邢柿漢莫愈搜揮高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導課本P34-P35參見二元線性方程組的求解公式上頁下頁42例4.設解現在求以下計算(1)式兩端分別對x求導，得上頁下頁返回結束式中u=u(x,y),v=v(x,y)由方程(1)所確定.因此畸快闊狀軟客鹼斃觸貌丙申棕悄寓寸菊辭你搖嘉他殉枯緝敏絞季劫鴦內假高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導例4.設解現在求以下計算(1)式兩端分別對x求導，得上43因此(1)式兩邊對

y

求導,得上頁下頁返回結束所以領屹裔奮制肚萎叢唾喪瘍峭霜泅旦件巒雹吳柒冠胚謝竊蓬篡云鋼改早春民高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導因此(1)式兩邊對y求導,得上頁下頁返回44內容小結1.隱函數存在定理2.隱函數求導方法方法1.套公式;方法2.利用復合函數求導法則直接計算;方法3.利用微分形式不變性.

思考與練習設求上頁下頁返回結束揪雹桅于阻寢菜苔瓷嚴素物祥慎改天璃趾舉懦接詣久類斗釀墾墮拼哈利磊高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導高等數學第八章多元微分第五節隱函數求導內容小結1.隱函數存在定理2.隱函數求導方法方法1.套45解一上頁下頁返回結束確定隱函數酬庚盟搜攢懂