祖沖之，中國古代有名的數學家和天文學家，于公元429年出生于建康（今江蘇南京），祖沖之從小就對天文、數學知識產生濃重的興趣，“專攻數術，搜煉古今”，他在數學方面的成就，首推圓周率的計算，計算圓周率精準到小數點今后7位，是當時世界上最優秀的成就；在天文學方面，他編寫了新的歷法——大明歷，這是當時最好的一部歷法．2．聚焦絕對值解讀課標絕對值是數學中的一個基本見解，這一見解是學習相反數、有理數運算、算術根的基礎；絕對值又是數學中的一個重要見解，絕對值與其余知識交融形成絕對值方程、絕對值不等式、絕對值函數等，在代數式化簡求值、解方程、解不等式等方面有寬泛的應用．理解、掌握絕對值應注意以下幾個方面：1．脫去絕對值符號是解絕對值問題的切入點脫去絕對值符號常用到有關法例、分類討論、數形聯合等知識方法．2．適合地運用絕對值的幾何意義從數軸上看a表示數a的點到原點的距離；ab表示數a、數b的兩點間的距離．3．靈巧運用絕對值的基天性質①a≥0；②a2a22；③abaa0．aab；④bbb問題解決例1已知yxbx20xb20，此中0b20，b≤x≤20，那么y的最小值為_______．試一試聯合已知條件判斷每一個絕對值符號內式子的正負性，再去掉絕對值符號．例2式子abab）．ab的所有可能的值有（abA．2個B．3個C．4個D．無數個試一試依據a、b的符號所有可能情況，去掉絕對值符號，這是解本例的重點．例3（1）已知ab2a201111，求a1b1a2b2的值．aba2006b2006（2）設a、b、c為整數，且abca1，求caabbc的值．試一試關于（1），由非負數的性質先導出a、b的值；關于（2），1寫成兩個非負整數的和的形式又有幾種可能？這是解（2）的打破口．例4閱讀以下資料并解決有關問題：x0我們知道x0x0，此刻我們能夠用這一結論來化簡含有絕對值的代數式，如化簡代數式xx0x1x2時，可令x10和x20，分別求得x1，x2（稱1，2分別為x1與x2的零點值）．在有理數范圍內，零點值x1和x2可將全體有理數分紅不重復且不遺漏的以下3種情況：（1）x1；（2）1≤x2；（3）x≥2．進而化簡代數式x1x2可分以下3種情況：（1）當x1時，原式x1x22x1；（2）當1≤x2時，原式x1x23；（3）當x≥2時，原式x1x22x1．2x1x1綜上討論，原式31≤x2，2x1x≥2經過以上閱讀，請你解決以下問題：（1）分別求出x2和x4的零點值；（2）化簡代數式x2x4．試一試在閱讀理解的基礎上化簡求值．例5（1）當x取何值時，x3有最小值？這個最小值是多少？（2）當x取何值時，5x2有最大值？這個最大值是多少？（3）求x4x5的最小值．（4）求x7x8x9的最小值．分析關于（3）、（4）可先運用零點分段討論法去掉絕對值符號，再求最小值；也可利用絕對值的幾何意義，即在數軸上找一表示x的點，使之到表示4、5的點（或表示7、8、9的點）的距離和最小．解（1）當x3時，原式有最小值，最小值為0．（2）當x2時，原式有最大值，最大值為5．（3）當4≤x≤5時，原式有最小值，最小值為1．（4）當x8時，原式有最小值，最小值為2．關于（3），給出另一種解法：當x≤4時，原式x4x592x，最小值為1；當4x≤5時，原式x4x51，最小值為1；當x5時，原式x4x52x9，最小值為1．綜上所述，原式有最小值等于1．以退求講例6少年科技組制成一臺單項功能計算器，對任意兩個整數只好完成求差后再取絕對值的運算，其運算過程足：輸入第一個整數x1，只顯示不運算，接著再輸入整數x2后則顯示x1x2的結果，今后每輸入一個整數都是與前一次顯示的結果進行求差取絕對值的運算，現小明將從1到1991這1991個整數任意地一個一個地輸入，所有輸入完成今后顯示的最后結果設為P，試求出P的最大值，并說明原因．分析先考慮輸入個數較少的情況，并聯合奇偶分析調整估值，一步步求出P的最大值．解因為輸入的數都是非負數，當x≥0，x≥0時，x1x2不超出x、x中最大的數，對x≥0，x≥0，x≥0，則x1x2x312121，x2不超出x1、x2、x3中最大的數，設小明輸入這1991個數的序次是x，，312x1991．相當于計算：x1x2x3x1990x1991P，所以P的值≤1991．其余從運算奇偶性分析，x1、x2為整數，x1x2與x1x2奇偶性同樣，所以P與x1x2x1991的奇偶性同樣．但x1x2x1991121991偶數，于是判斷P≤1990．我們證明P能夠取到1990．對1，2，3，4，按以下序次：13420，4k14k34k44k20，關于k0，1，2，均建立．所以，1~1988可按上述方法挨次輸入最后顯示結果為0，今后1989199019911990，故P的最大值為1990．數學沖浪知識技術廣場1．數a在數軸上的地點以以下圖

a01，且a12，則3a7______．2．已知a5，b3，且abba，那么ab_______．111111113．化簡20042003200320022002200120012004________．4．已知有理數a、b、c在數軸上的對應地點以以下圖：c1acab化簡后的結果是________．5．已知整數a，a，a，a4，知足以下條件：a0，a21231挨次類推，則a2012的值為（）．A．1005B．1006C．1007D．20126．已知aa，化簡a1a2所得的結果是（）A．1B．1C2a3D．32a．7．若m是有理數，則mm必定是（）．A．零B．非負數C．正數D．負數

-1c0ab，a11，a3a22，a4a33，，A、B都在原點的右側，8．有理數a、b、c的大小關系如圖：ab0c，則以下式子中必定建立的是（）A．abc0B．abcC．acacD．bcca9．化簡（1）3x；（2）x1x2．10．閱讀下邊資料并回答以下問題．O(A)BOABBAO0b0abba0圖①圖②圖③BOAb0a圖④點A、B在數軸上分別表示實數a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB．當A、B兩點中有一點在原點時，不如設點都不在原點時，（1）如圖②，點（2）如圖③，點A、B都在原點的左邊，（3）如圖④，點A、B在原點的兩邊，

A在原點，如圖①，ABOBbab；當A、B兩點ABOBOAbabaab；ABOBOAbabaab；ABOAOBababab．綜上，數軸上A、B兩點之間的距離ABab．請回答：①數軸上表示2和5的兩點之間的距離是_______，數軸上表示2和5的兩點之間的距離是_______，數軸上表示1和3的兩點之間的距離是________；②數軸上表示x和1的兩點A和B之間的距離是__________，假如AB2，那么x為_________；③今世數式x1x2取最小值時，相應的x的取值范圍是_________．思想方法天地11．已知a1，b2，c3，且abc，那么abc_________．12．在數軸上，點A表示的數是3x，點B表示的數是3x，且A、B兩點的距離為8，則x______．13．已知x5，y1，那么xyxy_________．14．（1）x1x1的最小值為________．（2）x1x12x13的最小值為________．15．有理數a、b在數軸上對應的地點以以下圖：-1a0b1，則代數式a1aba1b）a1aabb的值為（1A．1B．02C．1D．216．若m2n0，則m2n的值為（）1A．4B．1C．0D．417．如圖，已知數軸上點A、B、C所對應的數a、b、c都不為0，且C是AB的中點．ABCabcO的地點在（）

假如aba2cb2cab2c0，那么原點A．線段AC上B．線段CA的延伸線上C．線段BC上D．線段CB的延伸線上18．設mxx1，則m的最小值為（）A．0B．1C．1D．219．已知點A在數軸上對應的數為a，點B對應的數為b，且a4b120，A、B之間的距離記作AB．（1）求線段AB的長AB；（2）設點P在數軸上對應的數為x，當PAPB2時，求x的值；（3）點P在A的左邊，M、N分別是PA、PB的中點，當點P在A的左邊挪動時，式子PNPM的值能否發生改變？若不變，懇求其值；若發生變化，請說明原因．20abcabc、c都不等于0，求x的所有可能值．．已知xbc，且a、baabc應用研究樂園21．絕對值性質（1）設a、b為有理數，比較ab與ab的大小．（2）已知a、b、c、d是有理數，ab≤9，cd≤16，且abcd25，求badc的值．22．已知數軸上兩點A、B對應的數分別為1，3，點P為數軸上一動點，其對應的數為x．（1）若點P到點A、點B的距離相等，求點P對應的數．5？若存在，懇求出x的值；若不存在，（2）數軸上能否存在點P，使點P到點A、點B的距離之和為請說明原因．（3）當點P以每分鐘1個單位長的速度從O點向左運動時，點A以每分鐘5個單位長的速度向左運動，點B以每分鐘20個單位長的速度向左運動，問它們同時出發，幾分鐘后P點到點A、點B的距離相等？2．聚焦絕對值問題解決例l20yxbx20xb20xbx20xb204，0當x20時，y的值最小為20．例2A分a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0四種情況討論．例3（1）由ab20，a20，得a2，b1．原式11111111111112007．22334200720082232007200820082008（2）因a、b、c為整數，且abca1，故ab與ca一個為0，一個為1，進而bcbaac1所以，原式1102．例4（1）分別令x20和x40，分別求得x2和x4，∴x2和x4的零點值分別為x2和x4．（2）當x2時，原式x2x4x2x42x2；當2≤x4時，原式x2x46；當x≥4時，原式x2x42x2．2x2x2,∴綜上討論，原式62≤x4,2x2x≥4.數學沖浪1．22．2或83．04．12cb5．Ba1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8對應的數分別為0，1，1，2，2，3，3，4．6．A7．B8．C9．（1）原式3xx3x3x≥32x3x2（2）原式12≤x12x3x≥110．①3，3；4②x1；1或3③1≤x≤211．2或012．413．2分x，y同號、x，y異號兩種情況討論14．（1）2（2