北京科技大學2019-2020第一學期

線性代數A模擬試卷答案一、選擇題.先把4的第1行加到第3行，再把所得矩陣的第1行與第2行交換得到8,由初等行變換與初等矩陣的關系，得=因此選c。.按第一列展開得：/(①)=-4立-4,/①)的一次項系數與常數項系數相等。因此選Ao.48為m階方陣，當時，由rQ4)&Wn,得：r(AB)^min(r(A),r(B)}^n<m,此時|4B|=0,因此選B。.若4,s,…,小線性相關,則存在不全為零得數的聲2,…,4，使得?ai+a;2a2H Fxnan=0,兩邊同時左乘A,得到：xxAa^+x2Aa2H FxnAan=0,因此？1%,4a2,…,4an線性相關。因此選A。TOC\o"1-5"\h\z/I2 3\初等行變換 ].Q ->001一6卜2=6時，r(Q)=1；%：#6時，r(Q)=2。PQ=0,\00 0)有「(尸)+r(Q)&3。因此：LW6時，IWr(P)03-NQ)=1,「(尸)一定為1；而力=6時，IWr(尸)W3—r(Q)=2,r(P)可能為1或2。因此，選C。.4*彳O,而4*的元素均是4的代數余子式，則說明4至少有一個n—l階余子式不為0,即r(4) —1。因為4r=6有解且不唯一，則r(4) -1。因此，r{A}=n—l,即4r=0的基礎解系僅含一個非零解向量。因此選B。.易知①②是正確的，現考察③④是否正確：Ar=A,Br=B,\XE-AB\=\(<XE-AB)T\=\XE-BTAT\=\XE-BA\,因此48和84有相同的特征值，G)正確；4是可逆矩陣，則有4TQ4B)4=B4,則43?34,則48和84有相同的特征值，④正確。因此，選D。.|四一4|=（a-4）入3=0,則/的特征值為4,0,0,0；4為實對稱陣，故存在正交矩陣尸，使得尸7\4P=p-i4P=B,即4與3合同且相似。因此，選A。.對A選項，力*正定是4正定的必要條件，但不充分，如：A=-E3x3,則4*=|*4T=-（-E）t=E,4*正定，但4不正定。對C選項，正慣性指數不一定為n。對D選項，4正定今存在n階可逆矩陣C,使/ 但D中沒有要求C可逆，因此D錯誤。如：。=（；；），3。=（；o）（i；）=（；；）-A不正定。對于B選項，A正定，且A為實對稱陣，則有力T=Z,且A的特征值入>0,兩邊求逆，得（4?。﹖=4一=（左】）r，因此才】為實對稱陣，且其特征值為t>0,因此4T正定；反之，4T正定，故（左1/=%1,且4T的特征值〃>0。兩邊求逆，得因此A為實對稱陣，且其特征值為L>0,因此A正定。即：代A正定=4一1正定二、填空題1.4B=24+B=>Q4— =2Q4—E）+2E=>（4—E）（3—2E）=2E,因此4—E可逆，且4—E=—B—E=|o101□\100/2.由4）+旬=0得47=-4*,因此，兩邊同時左乘方陣4,并取行列式，得到：\AAT\=\-AA*\=-\\A\E\=-\A\3=\A\2,|川為0或-1。又因為

In,當r(4)=nrQ4)=rQ47)=r(-4*)=r(4)和r(4*)={1,當r(4)=n—1,可得:0,當r(4)Wn—2/（/）為0或3,但4為非零矩陣，即『Q4）不為零，即/（/）=3,因此:|川=T。/I-21>(1-21\3.=2,(。1,。2,。3)=-1110-123a-5—>002q+4,得1。-5-171000)a=-2o.由B47=0,得r(8)+r(AT)=t(B)+r(A)&3。因為8￥O,則r(8)三1,因此『Q4)V3,即|川=0,解得a=-￡。.由題意可知，Ar=b通解結構為：自￡1+居&+勾（&,&為Ar=。的基礎解系，77為4r=b的一個特解）。A（rji—Tj2）=0,4[3（4+?。?2（小+2小）]=0,因此?71一小,3（6+?。?2（小+27/2）為4r=。的解向量。小一小=（-103-4）',351+?。?2（小+2?72）=（-143-12）7',易知小一小，3（小+小）—2（小+2方）線性無關，則&,&可取為小一小,3（5小一小,3（5+7/2）-2（小+2小）o"可取彳（仍+?。?，因此4r=b通解為也(-103-4尸+后(-143-12)T+ 1*-1.矩陣4與8相似,則矩陣4與B特征值相同，即矩陣5的特征值為急，暴,因此8T的特征值為2,3,4,5,斤1一七的特征值為1,2,3,4。

因此，IB1-E|=1X2X3X4=24o7.4相似于對角矩陣，則對角矩陣的對角元素為/的特征值，且應存在3因此，IB1-E|=1X2X3X4=24o7.4相似于對角矩陣，則對角矩陣的對角元素為/的特征值，且應存在3個線性A0無關的特征向量。|AF—川=-xA—1-1 0-1-y=(A-1)2(A+1)=0A故無論工用為何值，均有％=入2=1,入3=-1。對于二重入1=入2=1，應有兩個線性無關的特征向量，即方程組（七一4）2=0應有兩個線性無關的解向量/1 0 -1\ /I 0 -1\E-A=j~x 0 —yI—> j0 0 ~x-yj\-1 0 1/ \0 0 0)當工+沙=0時，r(E—A)=1,（E-A）x=O有兩個線性無關的解向量，此時4相似于對角矩陣8.二次型對應矩陣為4=1t-1\￡12,其各階順序主子式為A=1,-125/=1—i2,zA3=-5f2—4iof正定04正定ol-t2>0T(5￡+4)>0三、（1）按第4列展開，得:-100x-10一1+<11a:-10-100x-10一1+<11a:-1000-1x0-100-10x-10+(a?+X)00-1=兩+aiX+a2x2+a3x3+xl（2）利用加邊法，原行列式變為:

n1+￡X2??(nr*2」G+￡h,c,‘7)010…0n=1+￡①：i=lr001—00 00-11…X1…Xn0Xi+1XiX2???XrXn0X2XiX2+1???x2xn0XnXrXnx2…Xn-FlDn=1陽x2XnXx10…0的01…0*■?，■**???xn00…1四、/llll1a\/I1111a\3211-30初等行變換、012263a01226b00000ft-3a15433-12)[o00002-2a)記其增廣矩陣為(43),則(4。)(1)b—3a—2—2a—0,即a=l,b=3時，r(A)=r(A,/3),方程組有解。11\6311\63初等行變換00 ’0020122(2)a=l,b=3時，(4P)=00003000/I0-1-1-5-2\f)1 9 9 Qoooooo,獲得同解方程組：<000000>{X!=x3+x4+x5—2工2=-2立3—2立4-6禽+3令g,應聲5為自由變量，則有

<-2\(I、X23-2-2-6X3=0+島1+k20+卜30x40()10\x5/\o)\o^\1)五、(1+Q234\/1+a234\(1)缶1,0：2,。3,0:4)=12+Q34初等行變換 k-aa00123+a4一Q0a011234+q,\00a)=1線性相關，極大線性無關組為（。2,&3,04都可以，但一般選取表示其他向量簡單的極大線性無關組）。此時：。2=2。1,。2=3。1,0:4=40:1/a+10000\（2）。于0（。1,。2,出,因）理理招一::心：—1 U1U1-1 001>即a=-10731,012,013,。4）=3%,&2,。3,&4線性相關,極大線性無關組為。2,。3,。4。此時：。1=-0：2—。3—。4/1—a1+a0\(1)二次型的矩陣的秩為2,A=ll+a1—q0,即\0 0 2/=0=>a=0A-1-1=(A-2)2A=0a=0時，|XE-A\=-1A—10 0則A=(A-2)2A=0對于入=%=2,解齊次線性方程組(2E-4)f=0TOC\o"1-5"\h\z/1 -1 0\/I -1 0\2E-A=-1 1 0.0 0 0\0 0 0/\0 0 0/得兩個線性無關的特征向量：6=(110尸,&=(001)'對于入3=0,解齊次線性方程組-Ar=。，解得特征向量為2=(-110)r.易知三者正交，因此將其單位化，得：小=言(11。)7,小=(001)',小=我(-110)T取(?= 小)，則二次型在正交變換下的標準形為/=29/+2g22七、4=E=(4+E)(力—E)=00r(4+E)+r(4-E)&nr{A—E)=r(-A+E)今r(4+E)+r(A—E)=r(A+E)+r(-A+E)今2r(4+E—/+E)=r(2E)=n綜上：r(A+E)+r(A—E)=n.附加題LB為反對稱陣，即87=-8(XE-B2y=XET-(B2)T=XE-(BT)2=XE-(-B)2=AE-B2故AE-82是對稱陣；對任意的n維列向量入芋O,有X1(XE—B2>)x=x，(XE+B'B)x=Xi1x+(Brr)TBx因》>0,zWO,有入一4>0,(8工廠氏1；20,因此對任意cWO,有

x1(XE-B2>)x=AxTx+{Bx)1Bx>0,因此AE—8?為正定矩陣。.實對稱陣一定能對角化成對角陣，即有/-I00\PTAP=010

\0017設屬于特征值入2=%=1的特征向量為（工yz）,，其應與&正交，則y+z=0,解得：因此得兩個線性無關的特征向量&=（ioo）r,e3=（o-i1尸，且正交，令TOC\o"1-5"\h\z/-I 0 0\ /I 0 0\因此，A=pl0 1 0PT= 0 0 -1\0 0 1/ \0 -1 0/.因為0：2,。3,。4線性無關，且。1=2。2—。3，即r(/)=3,因此4r=O的基礎解系只有一個解向量。。1=2°2—。3即％—2012+0:3=。，即-2

41=0\0J因此，4r=0的通解為乂1-210)。/?=6+。2++。4即

/1\；=B3得Ar=0的特解為（1111/。因此4r 的通解為①=七（1-210尸+（1111尸。/I1a1-2-2）初等行變換、.（即。2,。3,用,％33）=1a11aa >\a11a4a//I 1 a 1-2 -2\I0 a-1 1-a 0a+2 a+2）\0 0 2—a—q? o6+3a 4q+2/a=#-2,1「31,。2,。3）=「（仇,仇,。3）=3,此時，向量組等價，可互相表示。a=-2「31,0；2,。3）=2,r（31他，盼=2/I1-21-2-2\0-3300 0兩個向量組的極大線性無關組不能互相表示，則兩\00000-67向量組也無法互相表示。a=lMai,s,%）=1Vr（萬心為禽）=3符合要求注：一般若向量個數等于向量維數，秩相等的時候可以推出等價，其他情況下,不一定。.設存在常數島,后,使得存仇+后偽+…+/亂=0,即（鼠+fci）ai+（"1+自）。2+…+（鼠一1+鼠）&=