PAGEPAGE9復變函數與積分變換試題與答案一、填空題（每空1分）12z 的三角表示式，指數表示。12limf(z)表示z方式趨于z0時，f(z)的極限。zzo3．設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，則f(z)= 。積分

dz 。|z|1z25z6f(z)

ln(z1)的奇點，孤立奇點極z點。f 若 ()在z為共形映射表示這個映射在zf o o z的伸縮率。o分式線性映射具性， 性。如果要把帶形域映成角形域，我們經常利函數。9．傅代變換中，F)，f(t)= 。拉代變換中，F(s)，f(t)= 。以T為周期的函數f(t)，即f(t+T)=f(t)(t＞0)，當f(t)在一個周期上是分段連續時，則有L[f(t)] 。二、判斷（每題2分，共20分，請在正確的題打“√，錯誤的題后打1．區域Im(z)＞0是無界的單連通的閉區域（ ）初等函數在其定義域內解析，可導（ ）解析函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的u(x,y)與v(x,y)互為共扼調和函數（ ）如果f(z)在zo解析，那么f(z)在zo連續（ ）如果f(zo)存在，那么f(z)在zo解析（ ）如果z是f(z)的奇點，那么f(z)在z不可導（ ）o o如果u(x,y)，v(x,y)的偏導數存在，那么f(z)=u+iv可導（ ）每一個冪級數在它的收斂圓周上處處收斂（ ）冪級數的和函數在收斂圓內可能有奇點（ ）在z處可導的函數，一定可以在z的鄰域內展開成泰勒級數（ ）o o三、計算（每題26分）3 eiz dz C:|z2i| ，取圓周正向。3z21 2C sinz C(z2)2

C:|z|2，積分沿圓周正向。3．

dz 積分沿圓周正向。|z|2(zi)10(z1)(z3)4．I0

xsinxdx（a＞0）x2a2四、求解（每題6分）u(x，y)=y3－3x2y與它的共扼調和函數v(x，y)構成的解析函數f(z)u(x，y)iv(x，y)求冪級數n0

(z1)2nn!

的和函數，并注明其收斂域。ln（1＋z）z=0處的泰勒展式。求函數 1 在z=2處的羅朗展式，并指明其收斂圓環。(z1)(z2)應用付代變換解微分方程：H(t)H(t)(t) t求F(s) s 這個拉氏變換的逆變換。s21參考答案一、填空題（每空1分）4cos5isin5

4e1． ， 6 ；

任何； 6 6 ux

ivx

，v－iuy

； 4．0； 5．0，－16．Argf(z)，f(z)； 7o o

8．指數；9．f(t)edt，1

f()eitd；10．0

f(t)estdt，1

1iF(s)estds；11ii 1e

Tf(t)estdt0二、判斷題（每題2分，共20分）1．×；7．×；

2．×；8．×；

3．×；9．×；

4．√；10．×。

5．×； 6．×；三、計算（每題6分）1

eiz

zidz（2分

原式2iRes[f(z),i]（3分）c ziieiz

z

z

eiz （3分）e1(1分) 2z

z

(2分)e1（1分）f(n)(z) 2．解：2i n!

（3分） 原式

iRes[f(z),]2icosz

（2分分） icoszz2

（2分）0（1分）z23．解：2i{Res[f(z),3]Res[(z),]}（2分） 12i

0（3分）

（1分） 2(3i)10

(3i)10ea4．解：∵ x eixdxRez eiz,ai](2分)

a(2分)x2a2 z2a2 2∴

xsinx 1ea(2分)x2

a2 2四、求解（每題6分）u1．解：∵

6xyvx yv∴v

6xydy3xy2g(x)

3y2g(x)（2分）x∵vux y3y2g(x)3y23x2 ∴g(x)=x3+c （2分）∴v(x,y)x33xy2cf(z)y33x2yi(x32xy2c)i(z3c)（2分）．解：n0

(z2nn!

e(z1)2

|z|（6分）

11

n0

nzn

|z1z)

dz （1分）n01zn0

(1)nxzndz （3分）0n0

(1)n

zn1n

（2分） |z1f(z)1<|z－2|<+∞內展開為羅朗級數∵1 1 （1分）z1 1z2(分)1 1 （2分）

1 (1)nz21 1z2

n0

(z2)n1原式n0

(1)n

1(z2)n2

（2分）(z2|5．解：∵F[H(t1t)F[d(t)]∴iF[H(t)]+F[H(t)]=1（2分）∴F[H(t)]= 1i1

t0 1∵衰減函數f(t)0

t

F[f(t)]=i

（2分）e

t0∴H(t)=0

（2分）t06．解：f(t)=cost（公式）s21有兩個一級零點s1=i，s2