復變函數(shù)教案周次2教學目的

課題4.1傅里葉變換1、理解傅里葉變換的概念2、掌握復數(shù)的代數(shù)運算復數(shù)的代數(shù)運算例證法、啟發(fā)誘導法、講授法

課時 課 型 教 具2 新 授 教 材教 學過 程一、引入傅立葉變換是數(shù)字信號處理領域一種很重要的算法。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅2‘立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的分析的頻域信號（信號的頻譜，可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。二、講授新課1、傅里葉級數(shù)如果我們將基本三角函數(shù)中的函數(shù)，任意取n個組合，則我們可以得到一個較復雜4

11的函數(shù)。例如圖1（a）是兩個函數(shù)的組合

3 5 ；圖1f(x)

4

111（b）是三個函數(shù)的組合

3 5 7 。如果我們?nèi)「嗟暮瘮?shù)組合，甚至全體的組合，將會得到更復雜的函數(shù)或我們期望的函數(shù)。T

f(t)Tf我們能否將它表示成簡單的三角函數(shù)（有限個或無限個）之和呢？即能否將T如下形式：

(t)分解成0f(t)a0T 2其中

tbn 0 n1

sinnwt)0w 20 T2T

f

tn0,12,n TT22T2

Tf

0nn TT T 02如果能實現(xiàn)這種分解，那么對許多復雜的函數(shù)就可以通過簡單的三角函數(shù)來研究其性質(zhì)了。上述問題的回答是肯定的，由于正弦函數(shù)與余弦函數(shù)可以統(tǒng)一地由指數(shù)函數(shù)表示出來，因此我們可以得到另外一種更為簡潔的形式0f(t)=cejnw）0Tnc 1T

nf

0jnwd，n0,1,2,)0①n TT 2①稱為傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式。傅里葉級數(shù)有著非常明確的物理含義。在傅里葉級數(shù)的三角形式中，基頻為

w0，頻率為基頻的倍數(shù)

nw0。n

cn為周期函數(shù)

f(t)T 的離散頻譜，

cn為離散振幅譜，F(xiàn)nw=c

argcn為離散相位譜。為了進一步明確

cn與頻率

nw0的對應關系，常常記 0 n例1求以T為周期的函數(shù)

f

0，-T2t0T 2,0tT2的離散頻譜和它的傅里葉級數(shù)的復指數(shù)形式。解：令w 2,0 T1T當n 時，c F00

2fTT 21T

()

w10 1T2fTT T

(tdT

fT T

2fT0

(td2 21T 1T 1 T2fT0 T

(td

22dt 21T0 T 0當n當n時,c Fnwn 01TT2T2f()Tjnw01T1T2T0f()Tjnw01T1TT2f()jnw0TT20T2f()TjnwT022ejnw000T2ejnwj0ejnwT0210njn為偶數(shù)ejn1jncosnn12jn為奇數(shù)fTf(t)1T21ej2n1w0n2n振幅譜為Fnw0

02,4,2 nw1,3,

0,n0,2,4,,n1,3,5,2n相位譜為2、博氏積分與博氏變換

1,3,5,2通過前面的討論，我們知道了一個周期函數(shù)可以展開為傅里葉級數(shù)，那么，對非周期函數(shù)是否同樣適合？令T 時，由周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)來推倒非周期函數(shù)的傅里葉積分公式。ft limft即 T T

，在按照積分定義，在一定條件下，可整理成1ft f 2

jwd

ejwtdw②則②式為傅里葉積分公式，簡稱博氏積分。從②式出發(fā)，令Fw則有ft 12

fte③Fwejwtdw④Fw ft其中③式為傅里葉變換（簡稱傅氏變換函數(shù) 稱為 的像函數(shù)，記為Fx Ffx；稱④為傅里葉逆函數(shù)（簡稱傅氏逆變換）即傅氏積分，其中，函數(shù)ft F稱為

的像原函數(shù)，記為

fx F1Fx。Fw與傅氏級數(shù)一樣，傅氏變換也有明確的物理含義。 為頻譜密度函數(shù)（簡稱頻Fw譜或者連續(xù)頻譜

w為振幅， 為相位譜。由于傅氏變換這種特殊的物理含義，因而在工程實際中得到廣泛的應用。1,tft 00,t例2求矩陣脈沖函數(shù) 的傅氏變換以及傅氏積分表達式解：Ffx Fw ft

jwtdt1e

1e

ejwjw jw2sinw2sinw振幅譜為

w wFw 2sinw相位譜為

2n 2n10, warFw n0,12,2n,

2n2wf再根據(jù)④可得到傅氏逆變換，即1

的傅氏積分表達式為ft Fw21 sinw= 2 ejwtdw2 wejwt=coswt原式=1

2sin

coswtdw2 w=1 2sin

coswtdw+

2sin

wtdw2 w 2 w1 sin= 2

coswtdw2 w0,w aFx a0,ft a ft例3 已知 的頻譜為 求1解：ftF1Fx Fw21a1ejwtdw2 a1ejwta2 jtaat ate0ft a00,t0例4 求單邊指數(shù)衰減函數(shù) 的傅氏變換。解：Fw Ffx ft

jwtdte0

0

ateajw0eajwt 0 1 1ajw0