3.1.4空間向量的正交分解及其坐標表示3.1.4空間向量的正交分解及其坐標表示1學習目標1.知識與技能：了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及坐標表示2.過程與方法：類比平面向量的有關知識，得出空間向量基本定理及坐標表示。3.情感態度與價值觀：用發展的聯系的眼光看問題，認識到事物都是在不斷的發展變化的。學習重點

空間向量基本定理學習難點探究空間向量基本定理的過程及定理的應用學習目標1.知識與技能：了解空間向量的基本定理及其意義，掌握21、平面向量基本定理：一、預備知識1、平面向量基本定理：一、預備知識3ap

一、預備知識2、下圖中，如何用兩個不共線向量來表示？OPap一、預備知識OP4yx12312ij3、在平面直角坐標系中，取與X軸Y軸方向相同的兩個單位向量

、作為基底，在圖中作出=，并寫出的坐標。

=（3，2）

Oyx12312ij3、在平面直角坐標系中，取與X軸Y軸方向相5pxyzoijk二、探究與發現[探究一]設、、為由公共起點O的三個兩兩互相垂直的向量，那么對于空間任意一個向量，如何用、、來表示？QPpxyzoijk二、探究與發現QP6abpc[探究二]如果用任意三個不共面向量來代替上述兩兩互相垂直的向量，還有類似結論嗎？OPQabpc[探究二]如果用任意三個不共面向量來代替上述兩兩互相7

空間向量基本定理：

如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數組{x，y，z}，使得p＝

xa＋yb＋zc。把不共面的三個向量{a、b、c}叫做空間的一個基底a,b,c都叫做基向量空間向量基本定理：如果三個向量a、b、c不共面，8注意對于基底{a,b,c}需要明確以下幾點：1.向量a,b,c不共面；2.空間任意三個不共面向量都可以做空間向量的一個基底；3.由于0可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是0.4.一個基底指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量.注意對于基底{a,b,c}需要明確以下幾點：1.向量a,b,9

單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底e1,e2,e3,以點O為原點，分別以e1,e2,e3的正方向建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸.這樣就建立了一個空間直角坐標系O--xyz

點O叫做原點，向量e1,e2,e3都叫做坐標向量.通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面。xyzOe1e2e3（2）空間向量的坐標表示單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向10給定一個空間坐標系和向量,且設e1,e2,e3為坐標向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x,y,z)使

p=xe1+ye2+ze3

有序數組(x,y,z)叫做p在空間直角坐標系O--xyz中的坐標，記作.P=(x,y,z)（2）空間向量的坐標表示xyzOe3e1e2P給定一個空間坐標系和向量,且設e1,11三、空間向量的正交分解及其坐標表示xyzOijkP記作

=(x,y,z)由空間向量基本定理，對于空間任一向量存在唯一的有序實數組(x,y,z)使P′P三、空間向量的正交分解及其坐標表示xyzOijkP記作12練習.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，以A為坐標原點，以AB,AD,AA1為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系，設向量

，

，為x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，用向量

，

，表示向量AC1和BD1。ijk練習.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，以A為坐13三、定理應用例1如圖，M、N分別是四面體OABC的邊OA、BC的中點，P,Q是MN的三等分點。用向量、、表示和。解：=

三、定理應用解：=14

解：解：15練習

.空間四邊形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c點M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點,則MN=().OABCMN(A)a

－b+c

122312(B)－a+b+c

122312(C)a+b

－c

122312(D)a+b

－c

122323B練習.空間四邊形OABC中,OA=a,OB=b,OC=cO16空間向量的正交分解及坐標表示課件17四、學后反思1、知識點：2、問題探究過程的思路剖析：[課下探究]

空間向量基本定理與課本95頁“思考“欄目中的第二問題有什么聯系？你有何體會？五、作業：

P106A組1.2.四、學后反思1、知識點：2、問題探究過程的思路剖析：[課下探18練習2練習219空間向量運算

的坐標表示空間向量運算

的坐標表示20

空間向量基本定理：

如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數組{x，y，z}，使得p＝

xa＋yb＋zc。把不共面的三個向量{a、b、c}叫做空間的一個基底a,b,c都叫做基向量空間向量基本定理：如果三個向量a、b、c不共面，21則叫做點A

在此空間坐標系o-xyz的坐標；

xyzOA3.坐標①向量的坐標給定一個空間直角坐標系和向量,且設

為坐標向量，則存在唯一的有序實數組(a1,a2,a3)使有序數組(a1,a2,a3)叫做在空間直角坐標系O--xyz中的坐標，

記作.(a1,a2,a3)②點的坐標在空間直角坐標系O--xyz中，對空間任一點A,對應一個向量

于是存在唯一的有序實數組x,y,z，使記作Ax,y,z分別稱作點A的橫坐標,縱坐標,豎坐標.則叫做點A在此空間坐標系22則二、空間向量的坐標運算.(注：分母不為零)則二、空間向量的坐標運算.(注：分母不為零)23若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)

=(x2-x1,

y2-y1,

z2-z1)空間一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則24二、距離與夾角的坐標表示1.距離公式（1）向量的長度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。二、距離與夾角的坐標表示1.距離公式（1）向量的長度（模）公25在空間直角坐標系中，已知、，則（2）空間兩點間的距離公式在空間直角坐標系中，已知、（2）空間兩點間的距離262.兩個向量夾角公式注意：（1）當時，同向；（2）當時，反向；（3）當時，。2.兩個向量夾角公式注意：27空間向量的正交分解及坐標表示課件28空間向量的正交分解及坐標表示課件29練習一：1.求下列兩個向量的夾角的余弦：2.求下列兩點間的距離及中點坐標：練習一：1.求下列兩個向量的夾角的余弦：2.求下列兩點間的距30答案：

(1,1，－1)

(－1,0,1)答案：(1,1，－1)(－1,0,1)31解：設正方體的棱長為1，如圖建立空間直角坐標系，則

例1如圖,在正方體中，，求與所成的角的余弦值.

解：設正方體的棱長為1，如圖建例1如圖,在正方體32如圖長方體ABCD-A'B'C'D',底面邊長均為1，棱AA'=2，M、N分別是A'C',AA'的中點，

（1）求CN的長;

（2）求cos<CA',DC'>的值;

（3）求證:A'C⊥D'M

.AD'C'B'A'CDBNM例題如圖長方體ABCD-A'B'C'D',底面邊長均為1，棱AA33AD'C'B'A'CDBNMxyz解：（1）如圖建立空間直角坐標系，則C(0,1,0),N(1,0,1)AD'C'B'A'CDBNMxyz解：（1）如圖建立空間直角34空間向量的正交分解及坐標表示課件35（2）A(1,0,2),C(0,1,2),D(0,0,0)∴CA'=(1,-1,2)，DC'=(0,1,2)，（3）∴A'C⊥D'M

（2）A(1,0,2),C(0,1,2),D(0,0,0)∴36證明:設正方體的棱長為1,建立如圖的空間直角坐標系xyzA1D1C1B1ACBDFE證明:設正方體的棱長為1,建立如圖的空間直角坐標系xyzA137SCBADOxyzSCBADOxyz38PCBAO練習3.如圖,空間四邊形PABC的每條邊及對角線的長都是２，試建立空間直角坐標系，并求出四個頂點的坐標.zxyyxzOxyzPCBAO練習3.如圖,空間四邊形PABC的每條邊及對角線的39練習:3練習:340空間向量的正交分解及坐標表示課件41小結：1、空間向量的坐標運算；2、利用向量的坐標運算判斷空間幾何關系的關鍵：首先要選定單位正交基，進而確定各向量的坐標，再利用向量的坐標運算確定幾何關系。小結：423.1.4空間向量的正交分解及其坐標表示3.1.4空間向量的正交分解及其坐標表示43學習目標1.知識與技能：了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及坐標表示2.過程與方法：類比平面向量的有關知識，得出空間向量基本定理及坐標表示。3.情感態度與價值觀：用發展的聯系的眼光看問題，認識到事物都是在不斷的發展變化的。學習重點

空間向量基本定理學習難點探究空間向量基本定理的過程及定理的應用學習目標1.知識與技能：了解空間向量的基本定理及其意義，掌握441、平面向量基本定理：一、預備知識1、平面向量基本定理：一、預備知識45ap

一、預備知識2、下圖中，如何用兩個不共線向量來表示？OPap一、預備知識OP46yx12312ij3、在平面直角坐標系中，取與X軸Y軸方向相同的兩個單位向量

、作為基底，在圖中作出=，并寫出的坐標。

=（3，2）

Oyx12312ij3、在平面直角坐標系中，取與X軸Y軸方向相47pxyzoijk二、探究與發現[探究一]設、、為由公共起點O的三個兩兩互相垂直的向量，那么對于空間任意一個向量，如何用、、來表示？QPpxyzoijk二、探究與發現QP48abpc[探究二]如果用任意三個不共面向量來代替上述兩兩互相垂直的向量，還有類似結論嗎？OPQabpc[探究二]如果用任意三個不共面向量來代替上述兩兩互相49

空間向量基本定理：

如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數組{x，y，z}，使得p＝

xa＋yb＋zc。把不共面的三個向量{a、b、c}叫做空間的一個基底a,b,c都叫做基向量空間向量基本定理：如果三個向量a、b、c不共面，50注意對于基底{a,b,c}需要明確以下幾點：1.向量a,b,c不共面；2.空間任意三個不共面向量都可以做空間向量的一個基底；3.由于0可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是0.4.一個基底指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量.注意對于基底{a,b,c}需要明確以下幾點：1.向量a,b,51

單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底e1,e2,e3,以點O為原點，分別以e1,e2,e3的正方向建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸.這樣就建立了一個空間直角坐標系O--xyz

點O叫做原點，向量e1,e2,e3都叫做坐標向量.通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面。xyzOe1e2e3（2）空間向量的坐標表示單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向52給定一個空間坐標系和向量,且設e1,e2,e3為坐標向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x,y,z)使

p=xe1+ye2+ze3

有序數組(x,y,z)叫做p在空間直角坐標系O--xyz中的坐標，記作.P=(x,y,z)（2）空間向量的坐標表示xyzOe3e1e2P給定一個空間坐標系和向量,且設e1,53三、空間向量的正交分解及其坐標表示xyzOijkP記作

=(x,y,z)由空間向量基本定理，對于空間任一向量存在唯一的有序實數組(x,y,z)使P′P三、空間向量的正交分解及其坐標表示xyzOijkP記作54練習.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，以A為坐標原點，以AB,AD,AA1為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系，設向量

，

，為x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，用向量

，

，表示向量AC1和BD1。ijk練習.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，以A為坐55三、定理應用例1如圖，M、N分別是四面體OABC的邊OA、BC的中點，P,Q是MN的三等分點。用向量、、表示和。解：=

三、定理應用解：=56

解：解：57練習

.空間四邊形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c點M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點,則MN=().OABCMN(A)a

－b+c

122312(B)－a+b+c

122312(C)a+b

－c

122312(D)a+b

－c

122323B練習.空間四邊形OABC中,OA=a,OB=b,OC=cO58空間向量的正交分解及坐標表示課件59四、學后反思1、知識點：2、問題探究過程的思路剖析：[課下探究]

空間向量基本定理與課本95頁“思考“欄目中的第二問題有什么聯系？你有何體會？五、作業：

P106A組1.2.四、學后反思1、知識點：2、問題探究過程的思路剖析：[課下探60練習2練習261空間向量運算

的坐標表示空間向量運算

的坐標表示62

空間向量基本定理：

如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數組{x，y，z}，使得p＝

xa＋yb＋zc。把不共面的三個向量{a、b、c}叫做空間的一個基底a,b,c都叫做基向量空間向量基本定理：如果三個向量a、b、c不共面，63則叫做點A

在此空間坐標系o-xyz的坐標；

xyzOA3.坐標①向量的坐標給定一個空間直角坐標系和向量,且設

為坐標向量，則存在唯一的有序實數組(a1,a2,a3)使有序數組(a1,a2,a3)叫做在空間直角坐標系O--xyz中的坐標，

記作.(a1,a2,a3)②點的坐標在空間直角坐標系O--xyz中，對空間任一點A,對應一個向量

于是存在唯一的有序實數組x,y,z，使記作Ax,y,z分別稱作點A的橫坐標,縱坐標,豎坐標.則叫做點A在此空間坐標系64則二、空間向量的坐標運算.(注：分母不為零)則二、空間向量的坐標運算.(注：分母不為零)65若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)

=(x2-x1,

y2-y1,

z2-z1)空間一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則66二、距離與夾角的坐標表示1.距離公式（1）向量的長度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。二、距離與夾角的坐標表示1.距離公式（1）向量的長度（模）公67在空間直角坐標系中，已知、，則（2）空間兩點間的距離公式在空間直角坐標系中，已知、（2）空間兩點間的距離682.兩個向量夾角公式注意：（1）當時，同向；（2）當時，反向；（3）當時，。2.兩個向量夾角公式注意：69空間向量的正交分解及坐標表示課件70空間向量的正交分解及坐標表示課件71練習一：1.求下列兩個向量的夾角的余弦：2.求下列兩點間的距離及中點坐標：練習一：1.求下列兩個向量的夾角的余弦：2.求下列兩點間