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幫你歸納總結(jié)五導(dǎo)數(shù)中
常見的分類討論TPMKstandardizationoffice【TPMK5AB-TPMK08-TPMK2C-TPMK18]
幫你歸納總結(jié)(五):導(dǎo)數(shù)中的分類討論問題分類討論思想就是根據(jù)所研究對象的性質(zhì)差異,分各種不同的情況予以分析解決.分類討論題覆蓋知識點(diǎn)較多,利于考查學(xué)生的知識面、分類思想和技巧;同時(shí)方式多樣,具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性,樹立分類討論思想,應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到“確定對象的全體,明確分類的標(biāo)準(zhǔn),分層別類不重復(fù)、不遺漏的分析討論.”一、參數(shù)引起的分類討論例:已知函數(shù)f(x)=plnx+(p-1)x2+1,當(dāng)p>0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性。解:f(x)的定義域?yàn)?0,+8),fG)=p+2(p-1)x=2P-1)xx當(dāng)p>1時(shí),f'(x)〉0,故f(x)在(0,+8)單調(diào)遞增;當(dāng)0Vp〈1時(shí),令廣(x)=0,解得x=:-J.V2也-1)則當(dāng)xg"")]時(shí),則當(dāng)xg"")]時(shí),f'(x)〉0;故f(x)在]”.單調(diào)遞增,時(shí),f'(x)〈°.單調(diào)遞減.求函數(shù)f(X)的單調(diào)區(qū)間;例:已知函數(shù)f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1,解:(1)f(x)=—-k,(x>求函數(shù)f(X)的單調(diào)區(qū)間;當(dāng)k<0時(shí),f'(X)<0;當(dāng)k>0時(shí),由f'(x)>0得:x<1+-,所以,k當(dāng)k<0時(shí)f(x)在(1,+3)上為增函數(shù);(1(1上為減函數(shù);當(dāng)k>0時(shí)f(x)在1,1+-上為增函數(shù);在1+-\k)二、判別式引起的分類討論上為減函數(shù);例:已知函數(shù)f(x)=x2-x+alnx,(agR),討論f(x)在定義域上的單調(diào)性。解:由已知得f(x)=2x-1+a=2x2-x+a,(x>0),xx(1)當(dāng)A=1-8a<0,a>1時(shí),f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+3)上為增函數(shù).8(2)當(dāng)A=1-8a>0,a<1時(shí),81)0VaV1時(shí),1+、'1-8。>i''1-8。>0,f(x)在[1-、1-%,1+國-%]82222上為減函數(shù),f(x)在(0,—;—8a],[1+、;—%,+3)上為增函數(shù),2)當(dāng)aV0時(shí),"商v0,故f(x)在[0,土空]上為減函數(shù),上為減函數(shù),22f(x)在[1+偵;-8a,+8)上為增函數(shù).綜上,當(dāng)a>1時(shí),f(x)在(0,+3)上為增函數(shù);8當(dāng))0<a<1時(shí),f(x)在[三上四,1+,1-8a]上為減函數(shù),822f(x)在(0,1-、;-%],[1+'1-8a2,+3)上為增函數(shù),[1+偵1-8a,2,當(dāng)aV0時(shí),f(x)在(0,1f'1-8a]上為減函數(shù),f(x)在
2+8)上為增函數(shù).三、二次函數(shù)對稱軸與給定區(qū)間引起的分類討論2例:已知函數(shù)f(x)—x32ax23x,令g(x)ln(x1)3f(x),右g(x)在3(-!,+3)上單調(diào)遞增,—求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2解:由已知得g(x)=ln(x+1)+3-(-2x2+4ax+3)=ln(x+1)+2x2-4ax,,/、1..4x2+4(1-a)x+1-4agXx)=+4x-4a=,x+1又當(dāng)XG(-2,+3)時(shí),怛有X+1>0,設(shè)h(x)=4x2+4(1-a)x+1-4a,其對稱軸為x=-4:"=^-^(i)當(dāng)N>-1,即a>0時(shí),應(yīng)有A=16(1-a)2-16(1-4a)<022解得:-2<a<0,所以a=0時(shí)成立,(ii)當(dāng)土1<-1,即a<0時(shí),應(yīng)有h(-上)>0即:1-4(1-a)x1+1-4a>02222綜上:實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<0。四、二項(xiàng)系數(shù)引起的分類討論4.已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;設(shè)aW—2,求證:對任意x,xE(0,+8),|f(x)—f(x)|N4|x—x|.121212解析:(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),a+12ax2+a+1f(x)=2ax=.xx當(dāng)aN0時(shí),f(x)〉0,故f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.當(dāng)aW—1時(shí),f'(x)V0,故f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.當(dāng)一1VaV0時(shí),令f'(x)=0,解得:a+1¥一下則當(dāng)x£(0,:-C!-+]時(shí),f'(x)〉0;當(dāng)x(E(:當(dāng)一1VaV0時(shí),令f'(x)=0,解得:a+1¥一下故f(x)在(0,」二二]上單調(diào)遞增,在(、:3H,+8)上單調(diào)遞減.2a2a(2)不妨設(shè)x1^x2.由于aW—2,故f(x)在(0,+8)上單調(diào)減少,所以|f(x)—f(x)|N4|x—x|等價(jià)于
1212f(x)—f(x)N4x—4x,即f(x)+4xNf(x)+4x.21122211令g(x)=f(x)+4x,則,/、a+1[八…2ax2+4x+a+1
g(x)=T+2ax+4=xF(x)W—4x2+4x—1=^^W0.xx從而g(x)在(0,+8)上單調(diào)減少,故g(x)Wg(x),即f(x)+4xWf(x)+4x,TOC\o"1-5"\h\z121122故對任意x,xG(0,+8),|f(x)—f(x)|N4|x—x|.121212三、針對性練習(xí)1.已知函數(shù)f(x)=aInx-ax-3(aeR且a^0).(I)求函數(shù)f⑴的單調(diào)區(qū)間;(II)當(dāng)a=2時(shí),設(shè)函數(shù)h(x)=(p-2)x-巳-3,若在區(qū)間[1,e]上至少存在一個(gè)
x使得h(x0)>f(x0)成立,試求實(shí)數(shù)p的取值范圍.解:(I)由f(x)=a(1-x)知:x當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,1),單調(diào)減區(qū)間是(1,+8);
當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(1,+8),單調(diào)減區(qū)間是(0,1);(II)?a-2,.f(x)=2lnx一2x一3,令F(x)=h(x)一f(x),貝UF(x)-(p一2)x一p+」e一3一2lnx+2x+3-px一—一*一2lnx.1.當(dāng)p<0時(shí),由xg[1,e]得px一—<0,-^一2lnx<0,從而F(x)<0,所以,在[1,e]上不存在x0使得h(x0)>f(x0);2.當(dāng)P>0時(shí),尸3=PX2一2X+P+2e,?.?X6[1,e],.?.2e-2x>0,px2+p>0,礦(x)>0在[1,e]上恒成立,故F(x)在[1,e]上單調(diào)遞增。F3)啞=F(e)=pe-—-4故只要pe-<-4>0,解得p>占4e綜上所述,P的取值范圍是(~'+8)2.已知函數(shù)f(x)=x2-ax-aln(x-1)(agR),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;a+2、TOC\o"1-5"\h\z2x4e綜上所述,P的取值范圍是(~'+8)解:f(x)-2x-a2-x一1一2x(x_B).若a<0時(shí),則號<1,f(x)=一^>°在(】,
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