幫你歸納總結五導數中

常見的分類討論TPMKstandardizationoffice【TPMK5AB-TPMK08-TPMK2C-TPMK18]

幫你歸納總結(五):導數中的分類討論問題分類討論思想就是根據所研究對象的性質差異，分各種不同的情況予以分析解決.分類討論題覆蓋知識點較多，利于考查學生的知識面、分類思想和技巧；同時方式多樣，具有較高的邏輯性及很強的綜合性，樹立分類討論思想，應注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到“確定對象的全體，明確分類的標準，分層別類不重復、不遺漏的分析討論.”一、參數引起的分類討論例：已知函數f(x)=plnx+(p-1)x2+1,當p>0時，討論函數f(x)的單調性。解：f(x)的定義域為(0,+8)，fG)=p+2(p-1)x=2P-1)xx當p>1時，f'(x)〉0，故f(x)在(0，+8)單調遞增;當0Vp〈1時，令廣(x)=0，解得x=:-J.V2也-1)則當xg"")]時，則當xg"")]時，f'(x)〉0；故f(x)在]”.單調遞增，時，f'(x)〈°.單調遞減.求函數f(X)的單調區間;例：已知函數f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1，解：(1)f(x)=—-k,(x>求函數f(X)的單調區間;當k<0時，f'(X)<0;當k>0時，由f'(x)>0得：x<1+-,所以,k當k<0時f(x)在(1,+3)上為增函數；(1(1上為減函數;當k>0時f(x)在1,1+-上為增函數；在1+-\k)二、判別式引起的分類討論上為減函數;例：已知函數f(x)=x2-x+alnx，(agR)，討論f(x)在定義域上的單調性。解：由已知得f(x)=2x-1+a=2x2-x+a,(x>0)，xx(1)當A=1-8a<0，a>1時，f'(x)>0恒成立，f(x)在(0,+3)上為增函數.8(2)當A=1-8a>0,a<1時，81)0VaV1時，1+、'1-8。>i''1-8。>0,f(x)在[1-、1-%,1+國-%]82222上為減函數，f(x)在(0,—；—8a],[1+、；—％,+3)上為增函數，2)當aV0時，"商v0，故f(x)在［0,土空］上為減函數，上為減函數，22f(x)在［1+偵；-8a，+8)上為增函數.綜上，當a>1時，f(x)在(0,+3)上為增函數；8當)0<a<1時，f(x)在［三上四,1+，1-8a］上為減函數，822f(x)在(0,1-、；-%],[1+'1-8a2,+3)上為增函數，[1+偵1-8a，2，當aV0時，f(x)在(0,1f'1-8a］上為減函數，f(x)在

2+8)上為增函數.三、二次函數對稱軸與給定區間引起的分類討論2例：已知函數f(x)—x32ax23x，令g(x)ln(x1)3f(x)，右g(x)在3(-!,+3)上單調遞增，—求實數a的取值范圍.2解：由已知得g(x)=ln(x+1)+3-(-2x2+4ax+3)=ln(x+1)+2x2-4ax，，/、1..4x2+4(1-a)x+1-4agXx)=+4x-4a=，x+1又當XG(-2,+3)時，怛有X+1>0，設h(x)=4x2+4(1-a)x+1-4a，其對稱軸為x=-4："=^-^(i)當N>-1，即a>0時，應有A=16(1-a)2-16(1-4a)<022解得：-2<a<0，所以a=0時成立，(ii)當土1<-1，即a<0時，應有h(-上)>0即：1-4(1-a)x1+1-4a>02222綜上：實數a的取值范圍是a<0。四、二項系數引起的分類討論4.已知函數f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.討論函數f(x)的單調性；設aW—2，求證：對任意x,xE(0,+8),|f(x)—f(x)|N4|x—x|.121212解析：(1)f(x)的定義域為(0,+8),a+12ax2+a+1f(x)=2ax=.xx當aN0時，f(x)〉0,故f(x)在(0,+8)上單調遞增.當aW—1時，f'(x)V0,故f(x)在(0,+8)上單調遞減.當一1VaV0時，令f'(x)=0,解得:a+1￥一下則當x￡(0,：-C!-+］時，f'(x)〉0；當x(E(:當一1VaV0時，令f'(x)=0,解得:a+1￥一下故f(x)在(0,」二二］上單調遞增，在(、：3H,+8)上單調遞減.2a2a(2)不妨設x1^x2.由于aW—2,故f(x)在(0,+8)上單調減少，所以|f(x)—f(x)|N4|x—x|等價于

1212f(x)—f(x)N4x—4x，即f(x)+4xNf(x)+4x.21122211令g(x)=f(x)+4x，則，/、a+1［八…2ax2+4x+a+1

g(x)=T+2ax+4=xF(x)W—4x2+4x—1=^^W0.xx從而g(x)在(0,+8)上單調減少，故g(x)Wg(x)，即f(x)+4xWf(x)+4x，TOC\o"1-5"\h\z121122故對任意x，xG(0，+8)，|f(x)—f(x)|N4|x—x|.121212三、針對性練習1.已知函數f(x)=aInx-ax-3(aeR且a^0).(I)求函數f⑴的單調區間;(II)當a=2時，設函數h(x)=(p-2)x-巳-3，若在區間［1,e］上至少存在一個

x使得h(x0)>f(x0)成立，試求實數p的取值范圍.解：(I)由f(x)=a(1-x)知：x當a>0時，函數f(x)的單調增區間是(0,1)，單調減區間是(1,+8);

當a<0時，函數f(x)的單調增區間是(1,+8)，單調減區間是(0,1);(II)?a-2,.f(x)=2lnx一2x一3,令F(x)=h(x)一f(x)，貝UF(x)-(p一2)x一p+」e一3一2lnx+2x+3-px一—一*一2lnx.1.當p<0時，由xg［1,e］得px一—<0,-^一2lnx<0，從而F(x)<0,所以，在［1,e］上不存在x0使得h(x0)>f(x0)；2.當P>0時，尸3=PX2一2X+P+2e,?.?X6［1,e］,.?.2e-2x>0,px2+p>0,礦(x)>0在［1,e］上恒成立，故F(x)在［1,e］上單調遞增。F3)啞=F(e)=pe-—-4故只要pe-<-4>0，解得p>占4e綜上所述，P的取值范圍是(~'+8)2.已知函數f(x)=x2-ax-aln(x-1)(agR),求函數f(x)的單調區間;a+2、TOC\o"1-5"\h\z2x4e綜上所述，P的取值范圍是(~'+8)解：f(x)-2x-a2-x一1一2x(x_B).若a<0時，則號<1,f(x)=一^>°在(】，