幫你歸納總結(jié)五導(dǎo)數(shù)中

常見的分類討論TPMKstandardizationoffice【TPMK5AB-TPMK08-TPMK2C-TPMK18]

幫你歸納總結(jié)(五):導(dǎo)數(shù)中的分類討論問題分類討論思想就是根據(jù)所研究對象的性質(zhì)差異，分各種不同的情況予以分析解決.分類討論題覆蓋知識點(diǎn)較多，利于考查學(xué)生的知識面、分類思想和技巧；同時(shí)方式多樣，具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，樹立分類討論思想，應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到“確定對象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類不重復(fù)、不遺漏的分析討論.”一、參數(shù)引起的分類討論例：已知函數(shù)f(x)=plnx+(p-1)x2+1,當(dāng)p>0時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性。解：f(x)的定義域?yàn)?0,+8)，fG)=p+2(p-1)x=2P-1)xx當(dāng)p>1時(shí)，f'(x)〉0，故f(x)在(0，+8)單調(diào)遞增;當(dāng)0Vp〈1時(shí)，令廣(x)=0，解得x=:-J.V2也-1)則當(dāng)xg"")]時(shí)，則當(dāng)xg"")]時(shí)，f'(x)〉0；故f(x)在]”.單調(diào)遞增，時(shí)，f'(x)〈°.單調(diào)遞減.求函數(shù)f(X)的單調(diào)區(qū)間;例：已知函數(shù)f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1，解：(1)f(x)=—-k,(x>求函數(shù)f(X)的單調(diào)區(qū)間;當(dāng)k<0時(shí)，f'(X)<0;當(dāng)k>0時(shí)，由f'(x)>0得：x<1+-,所以,k當(dāng)k<0時(shí)f(x)在(1,+3)上為增函數(shù)；(1(1上為減函數(shù);當(dāng)k>0時(shí)f(x)在1,1+-上為增函數(shù)；在1+-\k)二、判別式引起的分類討論上為減函數(shù);例：已知函數(shù)f(x)=x2-x+alnx，(agR)，討論f(x)在定義域上的單調(diào)性。解：由已知得f(x)=2x-1+a=2x2-x+a,(x>0)，xx(1)當(dāng)A=1-8a<0，a>1時(shí)，f'(x)>0恒成立，f(x)在(0,+3)上為增函數(shù).8(2)當(dāng)A=1-8a>0,a<1時(shí)，81)0VaV1時(shí)，1+、'1-8。>i''1-8。>0,f(x)在[1-、1-%,1+國-%]82222上為減函數(shù)，f(x)在(0,—；—8a],[1+、；—％,+3)上為增函數(shù)，2)當(dāng)aV0時(shí)，"商v0，故f(x)在［0,土空］上為減函數(shù)，上為減函數(shù)，22f(x)在［1+偵；-8a，+8)上為增函數(shù).綜上，當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在(0,+3)上為增函數(shù)；8當(dāng))0<a<1時(shí)，f(x)在［三上四,1+，1-8a］上為減函數(shù)，822f(x)在(0,1-、；-%],[1+'1-8a2,+3)上為增函數(shù)，[1+偵1-8a，2，當(dāng)aV0時(shí)，f(x)在(0,1f'1-8a］上為減函數(shù)，f(x)在

2+8)上為增函數(shù).三、二次函數(shù)對稱軸與給定區(qū)間引起的分類討論2例：已知函數(shù)f(x)—x32ax23x，令g(x)ln(x1)3f(x)，右g(x)在3(-!,+3)上單調(diào)遞增，—求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2解：由已知得g(x)=ln(x+1)+3-(-2x2+4ax+3)=ln(x+1)+2x2-4ax，，/、1..4x2+4(1-a)x+1-4agXx)=+4x-4a=，x+1又當(dāng)XG(-2,+3)時(shí)，怛有X+1>0，設(shè)h(x)=4x2+4(1-a)x+1-4a，其對稱軸為x=-4："=^-^(i)當(dāng)N>-1，即a>0時(shí)，應(yīng)有A=16(1-a)2-16(1-4a)<022解得：-2<a<0，所以a=0時(shí)成立，(ii)當(dāng)土1<-1，即a<0時(shí)，應(yīng)有h(-上)>0即：1-4(1-a)x1+1-4a>02222綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<0。四、二項(xiàng)系數(shù)引起的分類討論4.已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；設(shè)aW—2，求證：對任意x,xE(0,+8),|f(x)—f(x)|N4|x—x|.121212解析：(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),a+12ax2+a+1f(x)=2ax=.xx當(dāng)aN0時(shí)，f(x)〉0,故f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.當(dāng)aW—1時(shí)，f'(x)V0,故f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.當(dāng)一1VaV0時(shí)，令f'(x)=0,解得:a+1￥一下則當(dāng)x￡(0,：-C!-+］時(shí)，f'(x)〉0；當(dāng)x(E(:當(dāng)一1VaV0時(shí)，令f'(x)=0,解得:a+1￥一下故f(x)在(0,」二二］上單調(diào)遞增，在(、：3H,+8)上單調(diào)遞減.2a2a(2)不妨設(shè)x1^x2.由于aW—2,故f(x)在(0,+8)上單調(diào)減少，所以|f(x)—f(x)|N4|x—x|等價(jià)于

1212f(x)—f(x)N4x—4x，即f(x)+4xNf(x)+4x.21122211令g(x)=f(x)+4x，則，/、a+1［八…2ax2+4x+a+1

g(x)=T+2ax+4=xF(x)W—4x2+4x—1=^^W0.xx從而g(x)在(0,+8)上單調(diào)減少，故g(x)Wg(x)，即f(x)+4xWf(x)+4x，TOC\o"1-5"\h\z121122故對任意x，xG(0，+8)，|f(x)—f(x)|N4|x—x|.121212三、針對性練習(xí)1.已知函數(shù)f(x)=aInx-ax-3(aeR且a^0).(I)求函數(shù)f⑴的單調(diào)區(qū)間;(II)當(dāng)a=2時(shí)，設(shè)函數(shù)h(x)=(p-2)x-巳-3，若在區(qū)間［1,e］上至少存在一個(gè)

x使得h(x0)>f(x0)成立，試求實(shí)數(shù)p的取值范圍.解：(I)由f(x)=a(1-x)知：x當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,1)，單調(diào)減區(qū)間是(1,+8);

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(1,+8)，單調(diào)減區(qū)間是(0,1);(II)?a-2,.f(x)=2lnx一2x一3,令F(x)=h(x)一f(x)，貝UF(x)-(p一2)x一p+」e一3一2lnx+2x+3-px一—一*一2lnx.1.當(dāng)p<0時(shí)，由xg［1,e］得px一—<0,-^一2lnx<0，從而F(x)<0,所以，在［1,e］上不存在x0使得h(x0)>f(x0)；2.當(dāng)P>0時(shí)，尸3=PX2一2X+P+2e,?.?X6［1,e］,.?.2e-2x>0,px2+p>0,礦(x)>0在［1,e］上恒成立，故F(x)在［1,e］上單調(diào)遞增。F3)啞=F(e)=pe-—-4故只要pe-<-4>0，解得p>占4e綜上所述，P的取值范圍是(~'+8)2.已知函數(shù)f(x)=x2-ax-aln(x-1)(agR),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;a+2、TOC\o"1-5"\h\z2x4e綜上所述，P的取值范圍是(~'+8)解：f(x)-2x-a2-x一1一2x(x_B).若a<0時(shí)，則號<1,f(x)=一^>°在(】，