2019-2020年中考數學復習：幾何綜合題—軸對稱為主的題型知識梳理授課重、難點作業完成情況典題研究例1在△ABC中，AD是△ABC的角均分線．（1）如圖1，過C作CE∥AD交BA延長線于點E，若F為CE的中點，連接AF，求證：AF⊥AD；2）如圖2，M為BC的中點，過M作MN∥AD交AC于點N，若AB=4，AC=7，求NC的長．例2在圖-1至圖-3中，點B是線段AC的中點，點D是線段CE的中點．四邊形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中點是M．（1）如圖-1，點E在AC的延長線上，點N與點G重合時，點M與點C重合，求證：FM=MH，FM⊥MH；（2）將圖-1中的CE繞點C順時針旋轉一個銳角，獲取圖-2，求證：△FMH是等腰直角三角形；3）將圖-2中的CE縮短到圖-3的情況，△FMH還是等腰直角三角形嗎？（不用說明原由）GFNG(N)FHHABCAB( )DEMDCM圖-1圖-2EFGNHCABM

DE圖-3例3在△ABC中，BABC，BAC，M是AC的中點，P是線段BM上的動點，將線段PA繞點P順時針旋轉2獲取線段PQ．（1）若60且點P與點M重合（如圖1），線段CQ的延長線交射線BM于點D，請補全圖形，并寫出CDB的度數；（2）在圖2中，點P不與點B，M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于點D，猜想CDB的大小（用含的代數式表示），并加以證明；（3）關于合適大小的，當點P在線段BM上運動到某一地址（不與點B，M重合）時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D，且PQQD，請直接寫出的范圍．例4問題：已知△ABC中，BAC=2ACB，點D是△ABC內的一點，且AD=CD，BD=BA,研究DBC與ABC度數的比值.請你完成以下研究過程：先將圖形特別化，得出猜想，再對一般情況進行剖析并加以證明.(1)當BAC=90時，依問題中的條件補全右圖.觀察圖形，AB與AC的數量關系為_________；當推出DAC=15時，可進一步推出DBC的度數為；可獲取DBC與ABC度數的比值為__________；(2)當BAC90時，請你畫出圖形，研究DBC與ABC度數的比值可否與(1)中的結論相同，寫出你的猜想并加以證明.演練方陣A檔（牢固專練）1．在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點．（1）如圖(1)，若AC均分BAE，ACE=90°,則線段AE、AB、DE的長度滿足的數量關系為；（直接寫出答案）EABCD圖（1）（2）如圖（2），AC均分BAE，EC均分AED，若ACE120，則線段AB、BD、DE、AE的長度滿足怎樣的數量關系？寫出結論并證明；EABCD圖（3）如圖（3），BD=8，AB=2，DE=8，

ACE135，則線段AE長度的最大值是（直接寫出答案）．ABC

ED圖（3）2.在△ABC中，已知D為直線BC上一點，若ABCxo,BADyo.（1）當為邊上一點，并且，，時，則（填“=”DBCCD=CAx40y30AB_____AC或“”）；ABDC（2）若是把（1）中的條件“CD=CA”變為“CD=AB”，且x,y的取值不變，那么（1）中的結論可否仍成立？若成立請寫出證明過程，若不成立請說明原由；ABDC3）若CD=CA=AB，請寫出y與x的關系式及x的取值范圍.（不寫解答過程，直接寫出結果）3.在Rt△中，∠=90°，∠=30°，是△的角均分線，⊥于點．ABCACBABDABCDEABE（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；（2）點M是線段CD上的一點（不與點C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延長線于點G．請你在圖2中畫出圓滿圖形，并直接寫出MD，DG與AD之間的數量關系；（3）如圖3,點N是線段AD上的一點，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長線于點G．試一試究ND，DG與AD數量之間的關系，并說明原由．已知正方形紙片ABCD的邊長為2．操作：如圖1，將正方形紙片折疊，使極點A落在邊CD上的點P處（點P與C、D不重合），折痕為EF，折疊后AB邊落在PQ的地址，PQ與BC交于點G．研究：（1）觀察操作結果，找到一個與△EDP相似的三角形，并證明你的結論；（2）當點P位于CD中點時，你找到的三角形與△EDP周長的比是多少（圖2為備用圖）？EADADPBFGCBCQ圖1圖2直線CD經過BCA的極點C，CA=CB．E、F分別是直線CD上兩點，且BECCFA．（1）若直線CD經過BCA的內部，且E、F在射線CD上，請解決下面兩個問題：①如圖1，若BCA90o,90o，則EFBEAF（填“”，“”或“”號）；②如圖2，若0oBCA180o，若使①中的結論依舊成立，則與BCA應滿足的關系是；（2）如圖3，若直線CD經過BCA的外面，BCA，請研究EF、與BE、AF三條線段的數量關系，并恩賜證明．BBBFDEFEAECDCCAAFD圖1圖2圖3檔（提升精練）1．在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點P在線段BC上（不含點B），∠BPE1＝∠ACB，PE交BO于點E，過點B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點G．2（1）當點P與點C重合時（如圖①）．求證：△BOG≌△POE；（2）經過觀察、測量、猜想：BF=，并結合圖②證明你的猜想；PE（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖③），若∠ACB=α，BF求的值．（用含α的式子表示）PE2．在矩形ABCD中，AB4，BC3，E是AB邊上一點，EFCE交AD于點F，過點E作AEHBEC，交射線FD于點H，交射線CD于點N.（1）如圖1，當點H與點F重合時，求BE的長；（2）如圖2，當點H在線段FD上時，設BEx，DNy，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）連接AC，當以點E，F，H為極點的三角形與△AEC相似時，求線段DN的長.3．如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，連接AM、CM.1）當M點在哪處時，AM＋CM的值最小；2）當M點在哪處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明原由；（3）當AM＋BM＋CM的最小值為31時，求正方形的邊長.4．在△ABC中，AB=AC，AD，CE分別均分∠BAC和∠ACB，且AD與CE交于點M．點N在射線AD上，且NA=NC．過點N作NF⊥CE于點G，且與AC交于點F，再過點F作FH∥CE，且與AB交于點H．如圖1，當∠BAC=60°時，點M，N，G重合．①請依照題目要求在圖1中補全圖形；②連接EF，HM，則EF與HM的數量關系是__________；如圖2，當∠BAC=120°時，求證：AF=EH；當∠BAC=36°時，我們稱△ABC為“黃金三角形”，此時

BC51．若EH=4，AC2直接寫出GM的長．圖1圖2備用圖5．以以下列圖，現有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當點P在邊AD上搬動時，△PDH的周長可否發生變化？并證明你的結論；（3）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，請直接寫出．．．．S與x的函數關系式，并求出．．S的最小值．檔（超越導練）1．如圖1，在四邊形ABCD中，ABCD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N，則BMECNE（不需證明）．（溫馨提示：在圖1中，連接BD，取BD的中點H，連接HE、HF，依照三角形中位線定理，證明HEHF，從而12，再利用平行線性質，可證得BMECNE．）問題一：如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD訂交于點O，ABCD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF，分別交DC、AB于點M、N，判斷△OMN的形狀，請直接寫出結論．問題二：如圖3，在△ABC中，ACAB，D點在AC上，ABCD，E、F分別是BC、ADEFBAG，若EFC60的中點，連接并延長，與的延長線交于點°，連接GD，判斷△AGD的形狀并證明．2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=，點P在△ABC的內部．(1)如圖1，AB=2AC，PB=3，點M、N分別在AB、BC邊上，則cos=_______，△周長的最小值為_______；PMN(2)如圖2，若條件AB=2AC不變，而PA=2，PB=10，PC=1，求△ABC的面積；(3)若PA=m，PB=n，PC=k，且kmcosnsin，直接寫出∠APB的度數．3．（1）如圖1，在矩形中，2，是的中點．直接寫出∠與∠的倍數關系；ABCDAB=BCMABBMDADM（2）如圖2，若四邊形ABCD是平行四邊形，AB=2BC，M是AB的中點，過C作CE⊥AD與AD所在直線交于點E．①若∠為銳角，則∠與∠有怎樣的倍數關系，并證明你的結論；ABMEAEM②當0A時，上述結論成立；當A180時，上述結論不能夠立．EDCDCA

M

B

A

M

B圖

1

圖

24．如圖，在四邊形

ABCD

中，對角線

AC

、BD

訂交于點

O，直線

MN

經過點

O

，設銳角∠

DOC

=∠，將△

以直線

為對稱軸翻折獲取△

D’OC

’，直線

’、

’訂交于點

．（1

）當四邊形

ABCD

是矩形時，如圖

1，請猜想

AD

’、

BC’的數量關系以及∠

APB

與的大小關系；2）當四邊形ABCD3）當四邊形ABCD

是平行四邊形時，如圖2，（1）中的結論還成立嗎？是等腰梯形時，如圖3，∠APB與有怎樣的等量關系？請證明．5．（西城）已知：在如圖1所示的銳角三角形ABC中，CH⊥AB于點H，點B關于直線CH的對稱點為D，AC邊上一點E滿足∠EDA=∠A，直線DE交直線CH于點F．求證：BF∥AC；(2)若AC邊的中點為M，求證：DF2EM；(3)當AB=BC時（如圖2），在未增加輔助線和其他字母的條件下，找出圖2中所有與BE相等的線段，并證明你的結論．成長蹤影課后檢測幾何綜合題（軸對稱為主的題型）參照答案典題研究例1證明：∵AD為△ABC的角均分線，12．1）∵CE∥AD，∴1E，23.E3．AC=AE．F為EC的中點，∴AF⊥BC．AFEFAD．∴AF⊥AD．（2）延長與延長線于點，過作∥交延長線于點.BAMNEBBFACNMF∴3C，F4．∵M為BC的中點EBM＝CM．在△BFM和△CNM中，A5NF4,1243C,BMCM,∴△BFM≌△CNM（AAS）．BF＝CN．MN∥AD，∴1E，245.∴E5F．

B3DMCFAE＝AN，BE＝BF．設CN=x，則BF=x，AE＝AN＝AC－CN＝7－x，BE＝AB＋AE＝4＋7－x．∴4＋7－x＝x．解得x＝5.5．∴＝5.5．CNBCGF和CDHN例2證明：∵四邊形都是正方形，又∵點N與點G重合，點M與點C重合，∴FB=BM=MG=MD=DH，∠FBM=∠MDH=90°．∴△FBM≌△MDH．FG(N)∴FM=MH．H∵∠FMB=∠DMH=45°，∴∠FMH=90°．CMDE∴⊥．AB( )FMHM圖-1（2）證明：連接MB、MD，如圖2，設FM與AC交于點P．∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點，∴∥，且MD==；∥，FGNMDBCBCBFMBCD且MB=CD=DH．BPH∴四邊形BCDM是平行四邊形．AC∴∠CBM=∠CDM．DM又∵∠FBP=∠HDC，∴∠FBM=∠MDH．圖2E∴△FBM≌△MDH．∴FM=MH，FG且∠=∠．NMFBHMD∴∠FMH=∠FMD－∠HMDCH=∠APM－∠MFB=∠FBP=90°．ABD∴△FMH是等腰直角三角形．ME（3）是．圖-3例3（1）30；（2）連接PC、AD，易得∠PAD=∠PCQ=∠PQC，∴∠PAD+∠PQD=180，∴∠APQ+∠ADQ=180，易得∠CDB=90；(3)∵∠CDB=90,PQ=QD,∴∠PAD=∠PCQ=2∠CDB=1802,∵P不與M、B重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD,即2＞1802＞，∴4560例425.解：(1)相等；15；1：3。(2)猜想：DBC與ABC度數的比值與(1)中結論相同。證明：如圖2，作KCA=BAC，過B點作BK//AC交CK于點K，連接DK。∵BAC90，∴四邊形ABKC是等腰梯形，∴CK=AB，∵DC=DA，∴DCA=DAC，∵KCA=BAC，∴KCD=3，∴△KCD△BAD，∴2=4，KD=BD，∴KD=BD=BA=KC。∵BK//AC，∴ACB=6，∵KCA=2ACB，∴5=ACB，∴5=6，∴KC=KB，∴KD=BD=KB，∴KBD=60，∵ACB=6=601，∴BAC=2ACB=12021，∵1(601)(12021)2=180，∴2=21，∴DBC與ABC度數的比值為1：3。演練方陣檔（牢固專練）1.（1）AE=AB+DE；1（2

）解：猜想：

AE=

AB+DE

+

BD

．2證明：在

AE

上取點

F，使

AF

=AB

，連接

CF，在AE上取點G，使EG=ED，連接CG．1∵C

是

BD

邊的中點，∴

CB=

CD=

BD

．2∵AC均分BAE，∴∠BAC=∠FAC．AF=AB，AC=AC，∴△ABC≌△AFC.CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可證：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．CB=CD，∴CG=CFACE120，∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．∴△FGC是等邊三角形．1∴FG=FC=BD．2AE=AF+EG+FG．1∴AE=AB+DE+BD．2（3）1042．（1）=（2）成立.解法一：在BC上截取BE=BA，連接AE.QCDAB,BECD.ABEDE=CDDE.即：BD=CE.B40,BAEBEA70.BDEC在ABD中，B40，BAD30.BDA=110，ADE=70.ADE=BEA，AEC=110.AD=AE.在ABD和ACE中,AD=AE,BDA=CEA,BD=CE.ABD≌ACE.AB=AC.解法二：如圖，作DAEDAB30,AEAB，AE交BC于點F.在ABD和AED中，ADAD，QDABDAE，ABAE.ABD≌AED.AEDB40,ADBADE.

AF在ABD中，DCBB40,BAD30.EADEADB110,ADC70.CDEADEADC40.CDEAED40.FDFE.QABCD,ABAE，CDAE.CDFDAEFE.即：FCFA.QDFECFA,ACBAED.BACB.ABAC.（3）解：(ⅰ)當D在線段BC上時，y903B、D重合）.x(0x60)（取等號時2(ⅱ)當D在CB的延長線上時，y3x90(60x90)（取等號時B、D重合）2(ⅲ)當D在BC的延長線上時，y1803x，(0x90).2（1）證明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，1∴ABC60,BC=AB．2BD均分∠ABC，1DBAA30.DA=DB．DE⊥AB于點E．1AE=BE=AB．BC=BE.∴△BCE是等邊三角形.2）結論：AD=DG＋DM．3）結論：AD=DG－DN．原由以下：延長BD至H，使得DH＝DN.由（1）得DA=DB，A30．A∵DE⊥AB于點E．∴2360．∴4560．∴△NDH是等邊三角形．∴NH=ND，H660．∴H2．ABNG60,∴BNG767.即DNGHNB.在△DNG和△HNB中，DNHN,DNGHNB,H2,∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG=HB.∵HB=HD＋DB=ND＋AD,∴DG=ND＋AD.∴AD=DG－ND.解：（1）與△EDP相似的三角形是△PCG．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠C=∠D=90°．由折疊知∠EPQ=∠A=90°．∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．∴∠2=∠3．

CMDEBG圖2HCD546N7231EBG圖3EADPBFQGC∴△PCG∽△EDP．（2）設ED=x，則AE=2x，由折疊可知：EP=AE=2x．∵點P是CD中點，∴DP=1．∵∠D=90°，∴ED2DP2EP2，即x212(2x)23解得x．43∴ED．4∵△PCG∽△EDP，PC14∴．ED334∴△PCG與△EDP周長的比為4∶3．（1）EF=BEAF；∠α+∠BCA=180°；研究結論：EF=BE+AF.證明：∵∠1+∠2+∠=180°,∠2+∠3+∠=180°.BCACFA又∵∠BCA=∠α=∠CFA，∴∠1=∠3.∵∠BEC=∠CFA=∠α,CB=CA,∴△BEC≌△CFA.∴BE=CF,EC=AF.∴EF=EC+CF=BE+AF.

123檔（提升精練）解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，P與C重合，OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°。∵PF⊥BG，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO。∴∠GBO=∠EPO。∴△BOG≌△POE（AAS）。BF1（2）。證明以下：PE2如圖，過P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB。∵∠OBC=∠OCB=450，∴∠NBP=∠NPB。NB=NP。∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE。∴△BMN≌△PEN（ASA）。∴BM=PE。∵∠BPE=

12

∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF。∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900。又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）。∴BF=MF

1，即BF=BM。1PE，即BF2∴BF=1。2PE2（3）如圖，過P作PM//AC交BG于點M，交BO于點N，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900。由（2）同理可得BF=1∠EPN。BM，∠MBN=2∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN。BMBN∴。PEPNBNBM中，tan=在Rt△BNP，∴=tan，即2BFPNPE=tan。PEBF1=tan。PE22解：（1）∵EFEC，∴AEFBEC90.∵AEFBEC，BEC45.B90，∴BEBC.∵BC3，∴BE3（2）過點E作EGCN，垂足為點G.∴BECG.∵AB∥CN，∴AEHN，BECECN.∵AEHBEC，∴NECN.∴ENEC.∴2CG2BE.CN∵BEx，DNy，CDAB4，∴y2x42x3（3）∵矩形ABCD，BAD90.∴AFEAEF90.∵EFEC，∴AEFCEB90.∴AFECEB.∴HFEAEC.當以點E，F，H為極點的三角形與AEC相似時，ⅰ）若FHEEAC，∵BADB，AEHBEC，∴FHEECB.∴EACECB.BC

BE

9

1∴tanEACtanECB

，∴

.∴BE

.∴DN.AB

BC

4

2ⅱ)

若

FHE

ECA

，以以下列圖，記

EG

與AC

交于點

O

.∵AEHBEC

，∴

AHE

BCE

.ENCECN.∵ENEC，EGCN，∴12.∵AH∥EG，∴FHE1.∴FHE2.∴2ECA.∴EOCO.設EOCO3k，則AE4k,AO5k，∴AOCO8k5.∴k.5538∴AE1.，BE.∴DN221DN的長為綜上所述，線段或1.2解：（1）當M點落在BD的中點時，AM＋CM的值最小.（2）如圖，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM原由以下：

＋

CM

的值最小

.M是正方形ABCD對角線上一點∴AM=CM又AB=BC,BM=BM∴△ABM≌△CBM∴∠BAM=∠BCM又BE=BA=BC∴∠BEC=∠BCM∴∠BEC=∠BAM在EC上取一點N使得EN=AM,連接BN又∵EB=AB∴△BNE≌△ABM∴∠EBN=∠ABM,BN=BM又∵∠EBN+∠NBA=60°∴∠ABM+∠NBA=60°即∠NBM=60°∴△BMN是等邊三角形.BM＝MN.AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.依照“兩點之間線段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長.（3）過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F∴∠EBF＝90°－60°＝30°3x，EF＝x設正方形的邊長為x，則BF＝22在Rt△EFC中，EF2＋FC2＝EC2，∴（x）2＋（23x＋x）2＝31.22解得，x＝2（舍去負值）.∴正方形的邊長為24解：(1)補全圖形見圖1，AEF與HM的數量關系是EF=HM；H(2)連接MF（如圖2）.FE∵AD，CE分別均分∠BAC和∠ACB，M且∠BAC=120°，BD∴∠1=∠2=60°，∠3=∠4.圖1∵=AC，ABA∴AD⊥BC.H12FE7∵NG⊥EC，M6G∴∠MDC=∠NGM=90°.BD∴∠4+∠6=90°，∠5+∠6=90°.5∴∠4=∠5.N∴∠3=∠5.圖2NA=NC，∠2=60°，∴△ANC是等邊三角形.AN=AC.在△AFN和△AMC中，3,ANAC,2,∴△AFN≌△AMC.AF=AM.∴△AMF是等邊三角形.AF=FM，∠7=60°.∴∠7=∠1.FM∥AE.FH∥CE，∴四邊形FHEM是平行四邊形.EH=FM.AF=EH.GM的長為51.5（1）證明：PE=BE，∴EBP=EPB.

C3C又∵EPH=EBC=90°,∴EPH-EPB=EBC-EBP.即PBC=BPH.又∵AD∥BC,APB=PBC.APB=BPH.（2）△PHD的周長不變，為定值8證明：過B作BQ⊥PH，垂足為Q由（1）知APB=BPH又∵A=BQP=90°，BP=BP∴△ABP≌△QBPAP=QP,AB=BQ又∵AB=BCBC=BQ又∵C=BQH=90°，BH=BH∴△BCH≌△BQHCH=QH△PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8（3）S1x22x8212S6，配方得，(x2)2∴當x=2時，S有最小值6C檔（超越導練）

AEB

PDQHGFC1.（1）等腰三角形（2）判斷出直角三角形證明：如圖連接BD，取BD的中點H，連接HF、HE，QF是AD的中點，HF∥AB，HF1AB，13．G32A1FCD，2EFC．H1D同理，HE∥CD，HE2B2QABCD，HFHE，12．-------4分ECQEFC60°，3EFCAFG60°，AGF是等邊三角形．QAFFD，GFFD，FGDFDG30°AGD90°即△AGD是直角三角形．2.解：（1）cos=3，△PMN周長的最小值為3；22）分別將△PAB、△PBC、△PAC沿直線AB、BC、AC翻折，點P的對稱點分別是點D、E、F，連接DE、DF，（如圖6）則△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC.B∴AD=AP=AF，BD=BP=BE，CE=CP=CF.∵由（1）知∠ABC=30°，∠BAC=60°，∠ACB=90°，∴∠DBE=2∠ABC=60°，∠DAF=2∠BAC=120°，∠FCE=2∠ACB=180°.D∴△DBE是等邊三角形，點F、C、E共線.∴DE=BD=BP=10，EF=CE+CF=2CP=2.EP∵△中，==，∠=120°，ACADFADAF2DAF∴∠ADF=∠AFD=30°.F∴DF=3AD=6.圖6∴EF2DF210DE2.∴∠=90°.DFE∵S多邊形BDAFE2SABCSDBESDFESDAF，∴2SABC3(10)2162162336.4222∴SABC336B2.3）∠APB=150°.說明：作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N.（如圖7）o由（2）知∠DBE=2，∠DAF=1802.1D2，∠DAN=90o3M∴∠DBM=.PoN∴∠1=90，∠3=.AC∴DM=nsin，DN=mcos.∴DE=DF=EF.∴∠2=60°.F∴∠=∠=∠1+∠2+∠3=150°.圖7

EAPBBDA3.（1）∠BMD=3∠ADM2）聯系CM，取CE的中點F，聯系MF，交DC于N∵M是AB的中點，∴MF∥AE∥BC，∴∠AEM=∠1，∠2=∠4，E∵AB=2BC，∴BM=BC，∴∠3=∠4.F∵CE⊥AE，∴MF⊥EC，又∵F是EC的中點，∴ME=MC，∴∠1=∠2.DC4∴∠1=∠2=∠3.123∴∠BME=3∠AEM.AMB3）當0°<∠A<120°時，結論成立；當120A180時，結論不成立.4.解：（1）AD’=BC’，∠APB=∠α．2）AD’=BC’依舊成立，∠APB=∠α不用然成立．3）∠APB=180°-∠α．證明：如圖3，設OC’，PD’交于點E．∵將△DOC以直線MN為對稱軸翻折獲取△D’OC’，∴△DOC≌△D’OC’，OD=OD’，OC=OC’，∠DOC=∠D’OC’．∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，AB=CD,∠ABC=∠DCB．∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB．∴∠DBC=∠ACB．∴OB=OC，OA=OD．∵∠AOB=∠COD=∠C’OD’，∴∠BOC’=∠D’OA．OD’=OA，OC’=OB，∴△D’OC’≌△AOB，∴∠OD’C’=∠OAB．OD’=OA，OC’=OB，∠BOC’=∠D’OA，∠OD’A=∠OAD’=∠OBC’=∠OC’B．∵∠C’EP=∠D’EO，∴∠C’PE=∠C’OD’=∠COD=∠α．∵∠C’PE+∠APB=180°，∴∠APB=180°-∠α．5.證明：（1）如圖6．∵點B關于直線CH的對稱點為D，CH⊥AB于點H，直線DE交直線CH于點F，∴BF=DF，DH=BH∴∠1=∠2．又∵∠EDA=∠A，∠EDA=∠1，∴∠A＝∠2．BF∥AC2）取FD的中點N，連接HM、HN.H是BD的中點，N是FD的中點，HN∥BF．由（1）得BF∥AC，HN∥AC，即HN∥EM．

圖6圖7∵在Rt△ACH中，∠AHC=90°，AC邊的中點為M，1∴．HMACAM2∴∠A＝∠3．∴∠EDA=∠3．NE∥HM．四邊形ENHM是平行四邊形HN=EM．∵在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中點為N，∴HN1DF，即DF2HN．2∴DF2EM．（3）當AB=BC時，在未增加輔助線和其他字母的條件下，原題圖2中所有與BE相等的線段是EF和CE．（只猜想結論不給分）證明：連接CD．（如圖8）∵點B關于直線CH的對稱點為D，CH⊥AB于點H，BC=CD，∠ABC＝∠5．AB＝BC，ABC1802A，AB＝CD．①∵∠EDA=∠A，61802A，AE=DE．②∠ABC＝∠6=∠5．∵∠BDE是△ADE的外角，圖8∴BDEA6．∵BDE45，∴∠A＝∠4．③由①，②，③得△ABE≌△DCE．BE=CE．由（1）中BF=DF得∠CFE=∠BFC．由（1）中所得BF∥AC可得∠BFC=∠ECF．∴∠CFE=∠ECF．EF=CE．BE=EF．BE=EF=CE．[2019-2020年中考數學復習：函數及其圖像三只鐘的故事一只小鐘被主人放在了兩只舊鐘中間，兩只舊鐘滴答、滴答的走著。一只舊鐘對小鐘說：“來吧，你也該工作了。可是我有點擔憂，你走完三千兩百萬次今后，生怕會吃不用的。”“天哪！三千兩百萬次。”小鐘吃驚不已，“要我做這么大的事？辦不到，辦不到！”另一支舊鐘說：“別聽他說三道四，不用害怕，你只要每秒滴答擺一下就行了。”“天下哪有這么簡單的事情？”小鐘將信將疑，“若是這樣，我就試一試吧。”小鐘很輕松地每秒滴答擺一下，不知不覺中，一年過去了，它擺了三千兩百萬次。成功就是這樣，把簡單的事做到極致，就能成功。例1：一列快車從甲地駛往乙地，一列特快車從乙地駛往甲地，快車的速度為

100千米

/小時，特快車的速度為

150千米

/小時，甲乙兩地之間的距離為

1000

千米，兩車同時出發，則圖中折線大體表示兩車之間的距離

y（千米）與快車行駛時間

t（小時）之間的函數圖象是（

）A．B．C．D．例2：2013年“中國好聲音”全國巡演重慶站在奧體中心舉行．童童從家出發前往觀看，先勻速步行至輕軌車站，等了一會兒，童童搭乘輕軌至奧體中心觀看演出，演出結束后，童童搭乘鄰居劉叔叔的車順利到家．其中x表示童童從家出發后所用時間，y表示童童離家的距離．以以下列圖能反響y與x的函數關系式的大體圖象是（）yyyyＯxＯxＯxＯxA．Ｂ．Ｃ．Ｄ．例3：函數yx1自變量x取值范圍是（）x1x3x3x1x3x3x1A．且B．C．D．且例4：已知二次函數ya(x1)2c的圖像如圖2所示，則一次函數yaxc的大體圖像可能是（）yyyyyOxOxOxOxOxABCD組【確定簡單的整式、分式和簡單實詰責題中的函數的自變量取值范圍】1.函數y1的自變量x的取值范圍是x2x2.在函數y中，自變量x的取值范圍是______________________2x1在函數在函數函數y在函數

y2x5中，自變量x的取值范圍是y1中，自變量x的取值范圍是___________________x2x中，自變量x的取值范圍是．1xx2y中，自變量x的取值范圍是_______________________________xx27.在函數yx3中，自變量x的取值范圍是．【求函數值】若是一次函數y=-x+b經過（0，-4），則b=9.函數y1中，當x=-1時，y=x310.函數y1x中，當x=-4時，y=x211.已知函數y=kx+b的函數圖像與y軸交點的縱坐標為-5，且當x=1時，y=2,則x=3時，y=組【用合適的函數表示法刻畫某些實詰責題中變量之間的關系】水以恒速（即單位時間內注入水的體積相同）向一個容器注水，最后把容器注滿，在注水過程中，水面高度隨時間的變化規律以以下列圖（圖中為一折線)，這個容器htOABC的形狀是圖中（）hCABOtABCD.13.如圖，動點P從點A出發，沿線段AB運動至點B后，馬上按原路返回.點P在運動過程中速度大小不變.則以點A為圓心，線段AP長為半徑的圓的面積S與點P的運動時間t之間的函數圖象大體為（）14.如圖，平面直角坐標系中，在邊長為1的正方形ABCD的邊上有一動點P沿ABCDA運動一周，則P的y2AD縱坐標y與點P走過的行程s之間的函數關系用圖象表示大體P是（）1BCO12xyyyy21Os1234A.

222111O1234sO1234sO1234sB.C.D.15.“五·一”時期，九年一班同學從學校出發，去距學校6千米的本溪水洞游玩，同學們分為步行和騎自行車兩組，在去水洞的全過程中，騎自行車的同學比步行的同學少用40分鐘，已知騎自行車的速度是步行速度的3倍．1）求步行同學每分鐘走多少千米？．．．（2）右圖是兩組同學前往水洞時的行程y（千米）與時間x（分鐘）的函數圖象．完成以下填空：①表示騎車同學的函數圖象是線段；

65432

y千米）MN②已知A點坐標(30，0)，則B點的坐標為（1A）．O102030B（分鐘）x組【理解詳盡問題中的數量關系和變化規律】16.如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，C90o，CD6cm，AD＝2cm，動點P、Q同時從點B出發，點P

AD沿BA、AD、DC運動到點C停止，點Q沿BC運動到C點停止，P兩點運動時的速度都是1cm/s，而當點P到達點A時，點QBQC正好到達點C．設P點運動的時間為t(s)，△BPQ的面積為y(cm2)．以以下列圖中能正確表示整個運動中y關于的函數關系的大體圖象是（）A．B．C．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點P在BC邊上運動，聯系DP，過點A作AE⊥DP，垂足為E，設DP＝x，AEyy

D．AD＝，則能反響與x之間函數關系的大體圖象是（）EBPCyyyy44441212121255

5

5035x035xA．B．C

035x035x．D．18.如圖，A、B、C、D為eO的四均分點，動點P從圓心O出發，沿OCDO路線作勻速運動，設運動時間為（秒），∠APB=y（度），則以以下列圖象中表示y與之間函數關系最合適的是（）DCyyyyP90909090O45454545ABt0t0t0t0第8題圖A．B．C．D．19.如圖,點E、F是以線段BC為公共弦的兩條圓弧的中點，BC6.點A、D分別為線段EF、BC上的動點.連接AB、AD，設BDx，AB2AD2y，以以下列圖象中，能表示y與x的函數關系的圖象是（）EAFBDCA．B．C．D．20.如圖，C為⊙O直徑AB上一動點，過點C的直線交⊙O于D、E兩點，且∠ACD=45°，DF⊥AB于點F,EG⊥AB于點G,當點C在AB上運動時，設AF=x，DE=y，以下中圖象中，能表示y與x的函數關系式的圖象大體是（）DA

OGBFCEAF

DBCE21.在正方形ABCD中，點E為BC邊的中點，點F在對角線AC上，連接FB、FE．當點F在AC上運動時，設AF=x，△BEF的周長為y，以以下列圖象中，能表示y與x的函數關系的圖象大體是（）函數及其圖像例1：一列快車從甲地駛往乙地，一列特快車從乙地駛往甲地，快車的速度為100千米/小時，特快車的速度為150千米/小時，甲乙兩地之間的距離為1000千米，兩車同時出發，則圖中折線大體表示兩車之間的距離y（千米）與快車行駛時間t（小時）之間的函數圖象是（）A．B．C．D．【答案】

C．【剖析】當時間為

0時，兩車均未出發，相距

1000

千米，即

t＝

0時，

y＝

1000，由此除掉B選項；當兩車相遇時，得100t＋150t＝1000，解得t＝4．接下來兩車相遇后又分兩種情況：一是兩車相遇后均專家駛，二是兩車相遇后，特快車到達終點地而只有快車專家駛．時，聯想現實情景，發現后者中y的增大幅度顯然會小于前者中y的增大幅度．于是可知相遇前的函數圖象是一條線段，相遇后的函數圖象是一條折線段，且前段比后段陡．綜合這些信息知答案選C．

這【方法指導】本題觀察實詰責題中的函數圖象．解答本題也能夠從函數剖析式的角度剖析判斷．由兩車相遇得100t＋150t＝1000，解得t＝4；特快車到達甲地所用時間t＝1000＝1000150200