2022-2023學年數學人教A版2019必修一單元卷第三章函數的概念與性質專題詳解一、函數的概念設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系）,使對于集合A中的任意一個數無，在集合B中都有唯一確定的數/（x）和它對應，那么就稱/：A—B為從集合A到集合B的一個函數。記作：y=/（x）,xeA。其中：x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的V值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域。構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域注意：（1）構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以,如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等（或為同一函數）。（2）兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①定義域一致；②表達式相同（兩點必須同時具備）考點一：定義域的求法一.已知函數解析式型即給出函數的解析式的定義域求法，其解法是由解析式有意義列出關于自變量的不等式或不等式組，解此不等式（或組）即得原函數的定義域求函數的定義域需要從這幾個方面入手：（1）分母不為零（2）偶次根式的被開方數非負。（3）對數中的真數部分大于0。（4）指數、對數的底數大于0,且不等于1（5）y=tanx中x/k7t+7t/2；y=cotx中x，k?t等等。（6）x°中x/0例1：求下列函數的定義域Jr+3［x+3>0解析：（I）. 解得：或x>lx-\所以函數的定義域為［-3,1）口（1,+8）；故答案為：［-3,1）d（1,+8）.x-l

2x2x-4>05-x>0 解得：2Wx<3或2x2x-4>05-x>0 解得：2Wx<3或3<xW5，2x—4￥，5-x2x所以函數y= 4r 的定義域為［2,3)一(3,5］：故答案為：［2,3)d(3,5］.2 2\la一工八（3）,/y=—j-： x-xa2-x2>0|力"。解得：一$<°/2_2所以函數丫=華二一(“>0)的定義域為［一。,0)；故答案為：［一0).\x\-x二、抽象函數型抽象函數是指沒有給出解析式的函數，不能用常規方法求解，一般表示為已知一個抽象函數的定義域求另一個抽象函數的定義域，一般有兩種情況。(一)已知/(x)的定義域，求/［g(x)］的定義域。其解法是：已知/(x)的定義域是可求/［g(x)］的定義域是解aWg(x)Wb,即為所求的定義域。例2：已知/(x)的定義域為［-2,2］,求/(/—1)的定義域。解：*.*-24x42, —2x~-1<2,解j1—V3KxVV3即函數/(一一1)的定義域為卜-V3<x<V3｝舉一反三已知函數Hx)的定義域是［-1,4］,求函數人2x+l)的定義域.3【答案】-1-y【詳解】已知/x)的定義域是［-1,4］,即-1SE4.故對于火2x+l)應有-1W2X+1S4,3 「3一A-2<2x<3,，?1人一.???函數12/+1)的定義域是-L-.2 _2_(二)已知/［g(X)］的定義域，求/(X)的定義域。其解法是：已知/［g(x)］的定義域是［a,句求/(X)的定義域的方法是：a<x<h,求g(x)的值域,即所求/(x)的定義域。例3：已知/(2》+1)的定義域為［1,2］,求/(x)的定義域。解：vl<x<2,.,.2<2x<4,.,.3<2x+l<50即函數/(工)的定義域是｛x|3WxW5｝。舉一反三已知函數〃3x+l)的定義域為［1,7］,求函數/(X)的定義域.【答案】[4,22]【詳解】因為〃3x+l)的定義域為[1,7],所以14x47,所以443X+1422.令3x+l=r,貝U441422.即/⑺中，re[4,22].故〃x)的定義域為[4,22].(三)復合函數定義域綜合求解例4：已知函數/(x+1)的定義域為[1,2],則/(-2x+3)的定義域為()A.[1,2] B.[0,1] C.[-1,1] D.[1,1]【答案】B【詳解】因為函數/(x+1)的定義域為[1,2],所以14x42,則24X+143,所以24—2X+3W3,解得04x4：,所以/(-2x+3)的定義域為[0」],故選：B2 2舉一反三1.已知函數y=/(2x+l)的定義域為[-1,2],則函數y=/*-l)的定義域為.【答案】[0,6]【詳解】函數y=/(2x+l)的定義域為[-1,2],即―14x42,所以一142X+145,所以-14X-1W5,即04x46,所以函數的定義域為[。,可.故答案為：[0,6].三、逆向思維型即已知所給函數的定義域求解析式中參數的取值范圍。特別是對于已知定義域為R,求參數的范圍問題通常是轉化為恒成立問題來解決。例5：已知函數y=Jntd-6/虹+〃1+8的定義域為R求實數m的取值范圍。解：討論：①當機=0時，函數的定義域為R；②當“HO時，“if一6爾+,〃+820是二次不等式，其對?切文數x都成立的充要條件是m>0A=(-6m)~-4m(m+8)<0綜上可知：OWmKl。舉一反三kx+1已知函數f(x)=. —的定義域是R,求實數k的取值范圍。kx+4依+3解：要使函數有意義，則必須婦i2+4A:x+3hO恒成立，因為/(%)的定義域為R.即+4Zx+3=0無實數解3討論：①當&H0時，△=1642—4x34<0恒成立，解得0<女<巳；4②當攵=0時，方程左邊=3/0恒成立。綜上得：上的取值范圍是考點二：求函數值域-L-1x>1例1已知函數，(x)=jx' 在r上滿足：對任意石h%,都有/&)#/(&),則實數〃的-2x+a,x<1取值范圍是()A.(-oo,2] B.(—oo,-2] C.[2,-f-oo) D.[—2,+oo)【答案】C--1, X>1【詳解】由題意，得到f(x)=1x 在R上單調遞減，-2x+a,x<1因此只需1一14一2+。，解得.故選：C.二、值域是函數y=f(x)中y的取值范圍。常用的求值域的方法：(1)直接法(2)圖象法(數形結合)(3)函數單調性法(4)配方法(5)換元法(包括三角換元)(6)反函數法(逆求法)(7)分離常數法(8)判別式法(9)復合函數法(10)不等式法(11)平方法等等這些解題思想與方法貫穿了高中數學的始終。1.利用常見函數的值域來求(直接法)一次函數y=ax+b(a#0)的定義域為R,值域為R；ky=-(jt#0)反比例函數.X的定義域為值域為｛ylyX。)；二次函數〃x)="2+&+c(aH0)的定義域為氐,、(4。。一尸) .一(4。。-從)yIy> yIyK 當a>0時，值域為｛' 4。 )；當a<0時，值域為｛-4a｝.例2求下列函數的值域2①y=3x+2(-l<x<l) ②/(%)= (1<x<3)3x③y=x+-(記住圖像)x解：①--IWxWl,...-343x43,.---l<3x+2<5,即-14yW5,.?.值域是[-1,5]--A6x--A6x當x<0時，y="(―xH )=(J—x—. )~-2K—2?—x yl—x，值域是(一OO,-2]U[2,+8).(此法也稱為配方法)函數y=X+'的圖像為：X2.二次函數在區間上的值域(最值)：例3求下列函數的最大值、最小值與值域:@y=x2-4x+1； ②；y-x2-4x+1,xe[3,4](3)y=x2-4x+1,xg[0,1]s?y=x2-4x+1,xg[0,5]；解：。。=刀2-4彳+1=。-2)2-3,二頂點為(2,-3),頂點橫坐標為2.①?.?拋物線的開口向上，函數的定義域R,，x=2時，ymin=-3,無最大值；函數的值域是{y|y2-3}.TOC\o"1-5"\h\z②..?頂點橫坐標2￡[3,4],當x=3時，y=-2；x=4時，y=l； 青...在[3,4]上，ymin=-2,ymax=l;值域為[-2,1]. i'③：頂點橫坐標2任[0,1],當x=0時，y=l；x=l時，y=-2, -2-10,12345-1,在叩]上，ymin=-2,ymax=l；值域為[21]. -2-~6? ?④?.?頂點橫坐標2€[0,5],當x=0時，y=l：x=2時，y=-3,x=5時，y=6,.?.在[0,1]上，ymin=-3,ymax=6；值域為[-3,6]..單調性法例4求函數y=4x—Jl-3x(xWl/3)的值域。設f(x)=4x.g(x)= =57,(xW1/3),易知它們在定義域內為增函數，從而y=f(x)+g(x)=4x-Jl-3x在定義域為爛1/3上也為增函數，而且yWf(l/3)+g(l/3)=4/3,因此，所求的函數值域為{y|y<4/3}..換元法例5 1.求函數y=x+2jl-X的值域解：設= 則、=-『+2，+1(，20),對稱軸r=1e[0,+oo),且開口向下,當r=l時,ymax=2值域為(-8,2].求函數y=2r—Jx-1的值域.答案[—，+℃>).8【分析】

利用換元法設【詳解】y=2G*H)-i平方法求函數y的值域函數定義域為+8x-15e分離常數法用復合函數法來求值域數型結合法已知函數/（x）=|2x-l|如果是條件定義域（對自變量有附加條件），采用部分分式法將原函數化為將函數化為y=2（尸+1）利用換元法設【詳解】y=2G*H)-i平方法求函數y的值域函數定義域為+8x-15e分離常數法用復合函數法來求值域數型結合法已知函數/（x）=|2x-l|如果是條件定義域（對自變量有附加條件），采用部分分式法將原函數化為將函數化為y=2（尸+1）一/,再利用二次函數的圖像與性質即可求求解由侖0，再結合函數的圖象（如圖），可得函數的值域為［設f=Jx-l，則侖0且x=F+i如果在其自然定義域（代數式自身對變量的要求）內，值域為-(5—x)+2v- +8x—15由,.原函數值域為亞,2〕求函數y=的值域小結：已知分式函數丁=竺±2cx-^-d（1）用分段函數的形式表示該函數；（2）在所給的坐標系中畫出該函數的圖像，并根據圖像直接寫出該函數的定義域、值域（不要求寫作圖及解答過程）答案1）/（幻=<2x—l(x2—)1-2x(x<—)（2）圖見解析，定義域R,值域［0,+8）【分析】（1）因為fM=|2x—11.分別討論x2,和x<』,R|J可求得答案:2 22x-l(x2—)1-2x(x<—)，畫出函數圖像，即可求得答案.【詳解】(1)???/(x)=|2x-l|當 J(x)=l-2x1-2x(x<—)\|7\17n-211-2><畫出函數的圖像,如圖:根據函數圖像可知:/（?定義域R，值域［0,+8）.10,反解法/-1例10函數y=T—的值域解法一：(逆求法)/='2no -1<y<1l-y：.原函數的值域為［-1,1)解法二：(換元法)設爐+1=?，則vt>\/.0<—<2 原函數值域即得 2t解法三：(判別式法)原函數可化為(y—l)x2+0?x+y+i=0y=1時不成立時，A>0=>0-4(y-l)(y+l)>0=>-l<y<l/.-I<y<1綜合1)、2)值域［y|-lWy<l}11、判別式法例11求函數y=十""十"(x>—1)的值域x+1解法一：(判別式法)原式可化為x2+(2-y)x+2-y=0?/A>0(2-y)2-4(2-y)>0=>y>2或y4-2vx>-1y<-2舍去.??原函數值域為2,+oo)解法二：(不等式法)原函數可化為y=(X+1)+1=.x+l+—>2(vx>-l)X4-1 X4-1當且僅當x=0時取等號，故值域為［2,+00)12.復合函數法(4y)-8y(3y-5)>0^0<y<5,-.0<y<5綜合1)、2)值域{y[0<yW5}

二、函數的三種表示法是：解析法；圖象法；列表法。①函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據；0解析法：必須注明函數的定義域；3圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域;化簡函數的解析式；觀察函數的特征；4列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征.注意啊：解析法：便于算出函數值。列表法：便于查出函數值。圖象法：便于量出函數值一：分段函數在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數；(2)分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集/、fax+4,x<1 ,.r.例1：已知f(x)= 若函數的值域為［1,+8),則。的最小值為.I人,人--4,【答案】-3【詳解】由題意，函數【詳解】由題意，函數“*)=ax+4,x<l ,、b-'可得"A】，要使得函數/(x)要使得函數/(x)的信域為［1,也)，則滿足,,,解得一3WaW0,a+4>l所以實數。的最小值為-3.故答案為:-3.舉一反三1.已知狄利克雷函數/(x1.已知狄利克雷函數/(x)=0,x是無理數’則下列結論正確的是()A./(x)的值域為［0,1］ B./(x)定義域為RC./(%+1)=/(%) D./(x)的圖象經過點【答案】BC【詳解】對于A.“X)的值域為｛0,1｝,故A錯誤：對于B,“X)定義域為R,故B正確;對于C,當x是有理數時，x+1也為有理數，當x是無理數時，x+1也為無理數，故/(x+l)=/(x)成立，故C正確；對于D,因為嗎)=1,所以f(x)的圖象經過點停1｝故D錯誤.故選：BC. F1,X<0?2.已知函數人x)=j2 則不等式八x)2-1的解集是—.-(1)2,X>0,【答案】[-4.2]x<0, (八x>0,【詳解】由題意得〈X 或《 ，2 ,-+1>-1 -(x-1)>-h12解得T4x40或0<r42,即不等式的解集為[-4.2].故答案為：|-4,2].題型二：圖像法例2：1.已知圖①中的圖象是函數y=/(x)的圖象，則圖②中的圖象對應的函數可能是( )A.y=f(\x|)b.y=|f(x)|c.y=/(-1x|)d.y=-/(-|x|)答案.C.【詳解】圖②中的圖象是在圖①的基礎I.,去抻函數y=/(x)的圖象在y釉右側的部分,然后將y軸左側圖象翻折到y軸右側，y軸左側圖象不變得來的，.??圖②中的圖象對應的函數可能是y=f(一|x|).故選:c.舉一反三1.(多選)下列選項中所給圖象是函數圖象的為( )答案.CD解：根據函數的定義，在定義域內作一條直線x=a,將直線x=。在定義域內左右移動，如果直線與圖象的交點始終只有一個，則圖象是函數圖象，據此可判斷C,D選項所給圖象是函數圖象，故選：CD.2(多選).已知甲、乙兩車由同一起點同時出發，并沿同一路線(假定為直線)行駛.甲車、乙車的速度曲線分別為丫“，和丫”如圖所示).那么對于圖中給定的S和八，下列判斷中一定正確的是( )A.在八時刻，甲車的速度大于乙車的速度B.，o時刻后，甲車的速度小于乙車的速度

c.在m時刻，兩車的位置相同 D.在ft)時刻，甲車在乙車前面答案：BD【詳解】由圖可知，當時間為八時，甲車的速度小于乙車的速度，所以選項B正確，選項A錯誤；“時刻之前，甲車的速度一直大于乙車，時間相同的情況下，甲車行駛路程大于乙車行駛路程，故而時刻甲車在乙車前面.所以選項D正確，選項C錯誤.故選：BD題型三：列表法例3：1.下表表示y是x的函數，則函數的值域是( )Xx<22<x<3x>3y101A.{y|O<y<l}B.R C.{0,1,1} D.{0,1}【答案】D【詳解】由題意，該函數的值域是{0,1}.故選：D.舉一反三已知下列表格表示的是函數S=g(t}，寫出g(_2),g(0),g(6).t(-8,0)0(0,+oo)s-101【答案】g(-2)=-l,g(0)=0,g(G)=l【詳解】?.?-2e(-oo,0),0e{0},ge(0,y) /..?(-2)=-l,g(0)=0,g(G)=l四：求解析式.湊配法例4：已知彳為一皆=3+",求八x)；【詳解】(配湊法)?.?/(》一，)=%2+-17=1》一_1)+2，.??/(x)=f+2..換元法例5：1.已知數/(x+l)=(無一1尸，則/(x)的解析式為( )A./(x)=x2 B./(x)=(x-2)2C.f(x)=x2-1D.f(x)=(x+l)2【答案】B【詳解】設x+l=f,則X=r—1，則/(。=?-1-1)2=("2)2,即/(x)=(x-2)2.故選：B.待定系數法例6：已知一次函數y=/(x)滿足3/(l+x)-2/(l-x)=4x+3,則/(x)= .…4 11【答案】—^+―【詳解】設/(x)=Ax+b(AxO),則由3/(l+x)-2=(l-x)=4x+3,’5k=4得3[Z(x+l)+〃|-2]左(1—x)+b]=4x+3,K|J(5k—4)x+k+b—3=0,故4 '解得k+b=3,TOC\o"1-5"\h\z4 11 4 11 4 11k=《,b=w,所以=故答案為：—x+—.4.方程組法例7：已知V'J+Hx)=xC#O),求4x).【詳解】由貢x)+)=X,將X換為 得/[-J+4x)=L,于是得關于貝X)與ff(x)+2f(^-]=x,的方程組'/、 ，消去得以x)=?■一三(.#o).x 3x5.賦值法3TOC\o"1-5"\h\z例8：若函數/(X)滿足〃2%+1)=4/，則/(一3)=( )A.4 B.12 C.16 D.36【答案】C解：令x=—2,得/(—3)=/(2x(—2)+1)=4x(—2)2=16.故選：C.四.函數的單調性1、定義：(1)設函數y=/(x)的定義域為A,區間MqA,如果取區間M中的任意兩個值七“2,當改變量時，都有= 那么就稱函數y=/(x)在區間M上是增函數，如圖(1)當改變量>。時，都有二八入2)?/5)<0，那么就稱函數y=f(x)在區間M上是減函數，如圖(2)注意：函數單調性定義中的汨田有三個特征,一是任意性，二是有大小，三是同屬于一個單調區間.2、鞏固概念：1、定義的另一種表示方法如果對于定義域1內某個區間D上的任意兩個自變量X1,X2,若＞0即包＞0,則函數Xj-x2 Axy=f（x）是增函數，若"±）一/色）＜0即包＜0,則函數y=f（x）為減函數。Xj-x2 Ax強調幾點：①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性.②對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域（如一次函數），可以是定義域內某個區間（如二次函數），也可以根本不單調（如常函數）.③單調性是對定義域的某個區間上的整體性質，不能用特殊值說明問題。④函數在定義域內的兩個區間4,8上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在AdB上是增（或減）函數.熟記以下結論，可迅速判斷函數的單調性..函數y=-f（x）與函數y=f（x）的單調性相反..當f（x）恒為正或恒為負時，函數y=/（幻與y=/（x）的單調性相反..在公共區間內，增函數+增函數=增函數，增函數一減函數=增函數等.判斷函數單調性的方法（1）定義法.（2）直接法.運用己知的結論，直接得到函數的單調性，如一次函數，二次函數的單調性均可直接說出.（3）圖象法..函數的單調性（1）設%?％2€［。，“司工工2那么（%_々）［/（3）_/（與）1〉00 /（X）在卜,“上是增函數；xr（%-W升/a）—/（電）］＜0o/⑻-/a2）＜0。/（X）在［a,U上是減函數.

X］—x2.單調性性質：①增函數+增函數=增函數：②減函數+減函數=減函數；③增函數-減函數=增函數；④減函數-增函數=減函數；注：上述結果中的函數的定義域一般情況下是要變的，是等號左邊兩個函數定義域的交集。

.復合函數單調性的判斷方法：⑴如果函數/(X)和g(x)都是減函數(增函數)，則在公共定義域內,和函數/(x)+g(x)也是減函數(增函數)；!小結：同增異：減,;研究函數的單:調性，定義域優!先考慮。;且復合函數的，單調區間是它:的定義域的!小結：同增異：減,;研究函數的單:調性，定義域優!先考慮。;且復合函數的，單調區間是它:的定義域的某!個子區間。ty=/(?)"=g(x)y=f[g(x)]增函數增函數增函數增函數減函數減函數減函數增函數減函數減函數減函數增函數題型一：定義法證明或判斷函數的單調性例1：(2020?山東?高考真題)已知函數“X)的定義域是R,若對于任意兩個不相等的實數公，巧，總有"七)一"斗)>0成立,則函數/(x)一定是()A.奇函數 B.偶函數 C.增函數 D.減函數【答案】C【詳解】對于任意兩個不相等的實數等價于對于任意兩個不相等的實數【詳解】對于任意兩個不相等的實數等價于對于任意兩個不相等的實數X1<X2所以函數f(x)一定是增函數.故選：C題型二：求函數的單調區間例2：設函數f(x)=x3-[,則f(x)(A.是奇函數，且在(0,+oo)單調遞增C.是偶函數，且在(0,+8)單調遞增【答案】A々，總有 )>0成立,Xj-Xj總有/(%)</(2).)B.是奇函數，且在(0,+8)單調遞減D.是偶函數，且在(0,+8)單調遞減【詳解】因為函數f(x)=V-g定義域為何"。｝，其關「原點對稱，而/(—X)=—/(X),所以函數/(X)為奇函數.乂因為函數y=V在(o,+8)上單調遞增，在(?8,0)上單調遞增，而丫=。=/在(0,+8)上單調遞減，在G8,0)上單調遞減，題型六：根據函數的單調性解不等式例6：(2022?河北邢臺?高考模擬)函數y=7(x)在R上為增函數，且/(2m)>/(m+9),則實數m的取值范圍是()A.(9,+oo) B.［9,+oo) C.(-00,-9) D.(-oo,-9］【答案】A解：Yy=/(x)在R上為增函數，且/(2加)>/(5+9),二26>機+9,解得m>9,故選：A.題型七：根據函數的單調性比較大小例7：(2021?全國?模擬預測(文))已知偶函數產成力在區間(-oo,0］上是減函數，則下列不等式一定成立的是()A./(2)>/(-3) B./(-2)</(1)C./(-1)>/(2) D./(-1)</(2)【答案】D【詳解】因為偶函數)=/(外在區間(-8,0］上是減函數，所以Ax)在(0,+?)上是增函數，對于A,負-3)寸(3),0<2<3,所以/(2)<f(3)=7(-3),故A錯誤；對于8,/(-2)=/(2),2>1>0,所以_/(-2)=/(2)葉(I),故8錯誤；對于C、0<1<2,所以</(2),故C錯誤,。正確.故選：D.題型8：根據解析式判斷函數的單調性例8：(2021?福建省德化第一中學高一階段練習)函數/(x)=1的單調遞減區間是( )XA.(-oo,0),(0,+oo)B.(0,+oo) C.(-<?,0)U(0,-k?)D.(一8,0)【答案】A解：因為f(x)=1定義域為(―,0)11(0,”)，函數在(7,0)和(。,內)上單調遞減，x故函數的單調遞減區間為(y,o)和(0,+8)：故選：a題型九：單調性綜合應用例9：1.(2021?全國?高考真題(文))下列函數中是增函數的為( )A./(x)=-x B.”x)=G)C.f(x)=x2 D.f(x)=>lx【答案】D【詳解】對于A,f(x)=-x為R上的減函數，不合題意，舍.對于B,f(x)=(|］為R上的減函數，不合題意，舍.對于c,/(x)=x2在(y,0)為減函數，不合題意，舍.對于D,〃x)=五為R上的增函數，符合題意，故選：D.五.奇函數、偶函數的定義(1)奇函數：設函數y=/(x)的定義域為￡),如果對。內的任意一個X,都有/(-x)=-/(x),則這個函數叫奇函數.(2)偶函數：設函數y=/(x)的定義域為。，如果對。內的任意一個X,都有/(一x)=/(x),則這個函數叫做偶函數.(3)奇偶性：如果函數/(x)是奇函數或偶函數，那么我們就說函數/(x)具有奇偶性.(4)非奇非偶函數：無奇偶性的函數是非奇非偶函數.注意：(1)奇函數若在x=0時有定義，則/(0)=0.(2)若f(x)=O且/(x)的定義域關于原點對稱，則/(x)既是奇函數又是偶函數..奇(偶)函數的基本性質(1)對稱性：奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱.(2)單調性：奇函數在其對稱區間上的單調性相同，偶函數在其對稱區間上的單調性相反..判斷函數奇偶性的方法(1)圖像法(2)定義法(D首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；0確定力一力與的關系；3)作出相應結論：若7T-x)=f(x)或#-X)~f(x)=0,則f(x)是偶函數；若#—X)=—f(x)或f(—X)+f(x)=0,則f(x)是奇函數.題型一判斷函數的奇偶性例1：判斷下列函數的奇偶性：(\)f(x)=x4-2x2;⑵/(x)=V-x；⑶"⑷/(x)=|M+x.【解析】(1)〃X)的定義域為R，它關于原點對稱./(-J：)=(-x)4-2(-x)2=X*-2x2=f(x),故f(x)為偶函數.(2)〃x)的定義域為R,它關于原點對稱.f(-X)=(-X)5-(-X)=-X5+X=-/(x),故/(x)為奇函數.⑶/(力的定義域為(yo,-1)U(T1)U(1,m)，它關于原點對稱.= 故y(x)為奇函數?(4)〃1)=|1|+1=2,/(-1)=0,故/⑴H,故/(x)為非奇非偶函數.題型二利用函數的奇偶性求函數值例2：1.已知“X)在R上是偶函數，且滿足〃x+4)=〃x),當xe(O,2)時，f(x)^2x2,則/⑺=()A.2 B.-2 C.-98 D.98【答案】A解：“X)在R上是偶函數，且滿足/(x+4)=/(x),當xw(O,2)時，f(x)=2x2,則/(7)=/(-1)=/(1)=2.故選：A.舉一反三己知函數f(x)是奇函數，當xNO時，/(x)=2x-l,則/(-2)=()3A.1 B.—— C.3 D.-34【答案】D【詳解】當XNO時，f(x)=r-l,則/(2)=22—1=3,因為函數f(x)是奇函數,則〃-2)=-/(2)=-3.故選：D.題型三利用函數的奇偶性求函數解析式例3：若/(力是定義在R上的奇函數，且〃x+l)是偶函數，當0<x41時，〃x)=ez,則當2<x43時,/(x)的解析式為()A.f(x)=-e11 B.f(x)=-e、*iC.f(x)=-ex-3 D./(x)=-e3-x【答案】C【詳解】因為/(x)是定義在R上的奇函數，且〃x+1)是偶函數，所以〃l+x)=/(l—x)=—/(x—l),即f(x)-2),當2<x43時，0<x-2<l,所以〃x)=-/(x-2)=-eA3.故選：c舉一反三.若定義在R上的偶函數/(x)和奇函數g(x)滿足/(x)+g(x)=e'，求g(x).解：因為/(x)為偶函數，g(x)為奇函數所以/(-%)=/(%).g(-x)=-g(x)TOC\o"1-5"\h\z因為/(X)+g(x)=ex ①所以/X-)+g(-x)=e-"所以f(x)+-g(x)=e~x ②由①②式消去/(%).得g(x)=e.類型四：根據奇偶性求參數例4：若函數〃x)=V(a-2,一2一，)是偶函數，則”=( )A.-1 B.0 C.1 D.±1【答案】C【詳解】由己知，/(切=爐32"-2-*),所以”—x)=(-x)3(a.2T-2)函數/(x)為偶函數，所以/(x)=/(—x),所以丁,？--')3-》以。々-'-2"),整理得：(。-1)(2*-2-*口3=0,所以a=l.故選：C.舉一反三.已知/(x)=h2'+2T為奇函數，貝ijk=.【答案】T【詳解】由題意/(x)=62，+2T是奇函數，則〃—x)=—/(x),^k-Tx+2x=-k-2x-Tx,故(&+1).(2-*+2*)=0,由于2T+2*胃0,故k=-l,故答案為：-1類型五：利用奇偶性求范圍問題例4：定義在R上的偶函數“X)在［0,+向上單調遞減，且〃-3)=0,若不等式〃x-m)>0的解集為(一1，5),則加的值為()A.3 B.2 C.-2 D.-3【答案】B【詳解】因為/(X)為偶函數，/(3)=/(-3)=0,/(力在［0,+8)單調遞減，若〃x)>0,則〃國)>八3),不等式〃x_/n)>0可轉化為〃卜一向)>/⑶，所以,一對<3,解得:m-3<x<m+3,所以m_3=-1且"?+3=5,即m=2.故選:B.六、函數的周期性.周期函數的定義：對于/(x)定義域內的每一個X,都存在非零常數T,使得/(x+T)=/(x)恒成立，則稱函數/(x)具有周期性，T叫做/(x)的一個周期，則攵T(keZ,k^O)也是/(x)的周期，所有周期中的最小正數叫了(X)的最小正周期..幾種特殊的抽象函數：具有周期性的抽象函數：函數y=/(x)滿足對定義域內任一實數無(其中。為常數)，

/(x)=/(x+a),則y=〃x)是以T=a為周期的周期函數;②/(x+a)=—/(x),則f(x)是以T=2a為周期的周期函數；③/(x③/(x+a)=±則/(x)是以丁=2a為周期的周期函數;@/(》+。)=/(%一。)，則/(尤)是以7=2。為周期的周期函數；⑤f(x+a)=L),則/(x)是以丁=2a為周期的周期函數.1+fM⑥/(—1一/住),則/(x)是以7=4。為周期的周期函數.+/W⑦/(x+a)J"2),則/(X)是以丁=4。為周期的周期函數.1-/W類型一：判斷周期函數例7：定義在R上的函數/(X)滿足/(x+2)=/(x)-l,則下列函數中是周期函數的是( )A.y=4/(x)-xB.y=2f(x)+x C.y=f(x)-x D.y=/(x)+2x【答案】B【詳解】依題意，定義在R上的函數/(x)滿足〃x+2)=/(x)-l,所以2/(x+2)+(x+2)=2〃x)-2+(x+2)=2〃x)+x,所以y=2/(x)+x是周期為2的周期函數.故選：B.類型二：周期性求值求值例8：已知函數人x)是定義在R上的周期為2的奇函數，當0<x<l時，加)=6,則/(-|)+川)=(A.-8 B.-4 C.12 D.20【答案】B［詳解］根據題意可得：= = =/(l)=-/(-i)=-/(l),可得/(1)=。/［-|)+/(1)=-4故選：B.類型三：周期性求函數解析式例9：設定義在R上的奇函數y=〃x),滿足對任意的reR都有")=〃1T),且當*e儼引時,/(“)=-/,則/⑶“(的值等于()A.-- B.-- C.-- D.--2 3 4 5【答案】C【詳解】由于函數y=/(x)為R上的奇函數，滿足對任意的feR都有/(r)=/(l-r),則〃3)=/(1_3)=〃-2)=_〃2)=__/(1_2)=_/(_1)=41)=/(0)=0,因此，/⑶故選：C.類型三：周期+奇偶性例6：已知函數y=/(x-2)為奇函數，y=f(x+l)為偶函數，且/(0)-/(6)=4,則八2022)=.【答案】-2【詳解】因為函數y=/(x-2)為奇函數，y=/(x+i)為偶函數，所以/(*2)-2),"1)=〃1+6,B|Jf(-x-4)=-f(x),f(2-x)=/(x),i!*/(-x-4)=-/(2-x),QP/(x-6)=-/(x),故/(x+6)=-/(x),即f(x+12)=f(x),令x=0,則由/(x+6)=-/(x)可得f(6)=-/(0),結合八。)-〃6)=4得，/(6)=-2,所以/(2022)=/(168xl2+6)=/(6)=-2,故答案為：—2七.函數對稱性(異號對稱)(1)軸對稱：若函數,f(x)關于直線x=a對稱，則①/(a+x)=/(a-x)；②/(x)=/(2a-x)：③/(一x)=/(2a+x)(2)點對稱：若函數,f(x)關于點3,0)對稱，則@f(a+x)=-f(a-x)〃x)=-/(2a-x)③/(r)=-/(2a+x)(3)點對稱：若函數/(x)關于點(a,b)對稱，則?f(a+x)=-f(a-x)+2b②/(x)=_/(2a-x)+2b/(-x)=-/(2a+x)+2b題型一：對稱性的判定例11：定義在R上的函數/(x)滿足/(4-x)+〃x)=2.若"力的圖象關于直線x=4對稱，則下列選項中一定成立的是()A./(-2)=1B./(O)=O C./(4)=2 D./(6)=-1【答案】A解:因為函數/(X)滿足/(4-x)+/(x)=2,所以〃4-2)+〃2)=2〃2)=2,所以"2)=1,又/(X)的圖象關于直線x=4對稱，所以f(6)=〃2)=l,fi/(4-x)=/(4+x),則/(4+x)+/(x)=2,所以“4—2)+/(—2)=2,所以〃—2)=7,無法求出f(0)J(4).故選：A.題型二：由函數對稱性求函數值例⑵函數y=〃x)為偶函數，且圖象關于直線x 對稱，"5)=4,則〃—1)=( )A.3 B.4 C.-3 D.-4【答案】B□【詳解】因為函數y= 的圖象關于直線x=］對稱，所以/(-2)=〃5)=4,又因為函數y=/(x)為偶函數，所以/(2)=〃一2)=4,/(-1)=/(1),而函數y=/(x)的圖象關于直線x=1對稱，所以/(一1)=/⑴=八2)=4.故選：B題型三：由周期性與對稱性求函數解析式例13：函數“X)的圖象與曲線y=log2X關于x軸對稱，則/(x)=()A.2X B.-2，C.log,(-x) D.log2--x【答案】D【詳解】任取函數〃x)上的一點(x,y),由函數f(x)的圖象與曲線y=log?x關于x軸對稱，則點(x,y)關于*軸對稱的點坐標為(x,-y),又點(x,-y)在曲線y=iog2x上，ol^-y=iog,x=>y=-log,x=log1-,貝ijf(x)=iog」.X X故選：D.題型四：由周期性與對稱性比較大小3 1Q例14：已知函數人幻是奇函數，且/。+2)=-/(幻，若〃力在上是增函數,/⑴J耳)，/(,)的大小關系是()A./(l)</(|)</(y) B./(|)</(l)</(y)13 3 13 3C./(y)</(1)</(-) D./(y)</(-)</(1)【答案】D【詳解】Vf(x+2)=-f(x),函數f(x)是奇函數，Af(x+2)=-f(x)=f(-x),...函數f(x)關于x=l對稱，且f(x+4)=f(x),.?.函數是周期為4的周期數列.13???f(x)在［-I,0］上是增函數，.?」(x)在［-1,1］上是增函數，f(x)在［1,2］上是減函數，f(―)=fTOC\o"1-5"\h\z(4+-)=f(-)=f(-),3 3 3, 3 5 3 5f(x)在［1, 2］上是減函數，且1<—V§, f(1)2>f(—) >f(§),13 3即f(一)<f(一)<f(1),故選D.3 2題型五函數性質的綜合應用例15： (2022?重慶?西南大學附中模擬預測)函數f(x)滿足/(x)+/(-x)=2,/(l+x)-/(l-x)=0,當xw［0,l］時，f(x)=x+l,則關于x的方程/(x)=G3在xe［0,2022］上的解的個數是()A.1010 B.1011 C.1012 D.1013【答案】B【解析】因為函數f。)滿足f(x)+/(-x)=2,所以函數〃x)關于點(0,1)對稱，因為/(l+x)-/(l-x)=0,即/(l+x)=/(l-x),所以函數/(X)關于直線x=l對稱，因為當xe［0,l］時，/(x)=x+l,所以，結合函數性質，作出函數圖像，如圖所示：由圖可知，函數/(X)為周期函數，周期為7=4,由于函數xe[2,6]一個周期內，y=〃x)與y有2個交點，在xe[0,2]匕y=f(x)與丫=礪1有1個交點，所以根據函數周期性可知，當xe[0,2022]時，y=/(6與y=荒彳有2x等+1=1011個交點.所以關于x的方程f(x)=3彳在xe[0,2022]上的解的個數是1011個.故選：B奇偶性周期性及對稱性綜合應用(2022?全國?高考真題)已知函數f(x)的定義域為R,S.f(x+y)+f{x-y)= =1,則/伏)=()A=1A.-3 B.-2 C.0 D.1【答案】A【詳解】因為7'(x+y)+/(x—y)=/(x)/(y),令x=l,y=0可得，2/(l)=/(l)/(O),所以f(0)=2,令x=0可得，f(y)+f(-y)=2f(y),即〃>)=〃-y),所以函數f(x)為偶函數,令y=i得，/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有〃x+2)+〃x)=f(x+l),從而可知〃x+2)=-〃xT),f(x-l)=-f(x-4),故/(x+2)=/(x-4),BP/(x)=/(x+6),所以函數/(x)的一個周期為6.因為“2)=/⑴一/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以一個周期內的/⑴+〃2)+…+"6)=0.由于22除以6余4,所以￡f(A)=/(l)+/(2)+f⑶+/(4)=1-1-2-1=-3.4=1故選：A.八.嘉函數.概念：形如y=V(aWR)的函數稱為累函數，其中x是自變量，Q是常數..基函數的圖像及性質y=_y=x^ y=x2 y=x3 y=xx丫=爐y=xy=x]定義域RRR[0,+8){x|x￡R且/0}值域R[0,+oo)R[0,+oo)｛九CR且刷奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函數奇函數單調性增XG[O,+oo)時，增;XG(一00,0]時，減增增x