第二章第四節

連續型隨機變量及其密度函數

第二章第四節連續型隨機變量X所有可能取值充滿一個區間,對這種類型的隨機變量,不能象離散型隨機變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數”的方式.下面我們就來介紹對連續型隨機變量的描述方法.連續型隨機變量X所有可能取值充滿一個區間,對這種類型的請看演示:怎樣畫直方圖

直方圖與概率密度（I）直方圖

一概率密度函數由此啟發我們如何描述連續型隨機變量.請看演示:怎樣畫直方圖直方圖與概率密度（I）直方圖一(II)連續型r.v.及其概率密度函數的定義

(II)連續型r.v.及其概率密度函數的定義連續型

r.v.的分布函數即分布函數是密度函數的可變上限的定積分.若

X

是連續型r.v.，X

～

f(x),則

F(x)=P(Xx)=～

由上式可得，在

f(x)的連續點，

連續型r.v.的分布函數即分布函數是密度函數的可變上限的(III)概率密度函數的性質

1o

2o

這兩條性質是判定一個函數

f(x)是否為某r.vX的概率密度函數的充要條件.

f(x)

x

o面積為1

(III)概率密度函數的性質1o2o這兩條性質是例1設連續隨機變量的概率密度為：求系數A。解：因為所以A=3。例1設連續隨機變量的概率密度為：

故

X的密度

f(x)

在

x

這一點的值，恰好是X落在區間

上的概率與區間長度

之比的極限.這里，如果把概率理解為質量，

f(x)相當于線密度.

若x是

f(x)的連續點，則：

=f(x)

3.對

f(x)的進一步理解:故X的密度f(x)在x這一點的值，恰好是

要注意的是，密度函數

f(x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.

f(x)

x

o要注意的是，密度函數f(x)在某點處a的高度，并不若不計高階無窮小，有：

它表示隨機變量

X

取值于

的概率近似等于.

在連續型r.v理論中所起的作用與

在離散型r.v理論中所起的作用相類似.若不計高階無窮小，有：它表示隨機變量X4.連續型r.v取區間值的概率.

對一個連續型隨機變量X，若已知其密度函數為f(x),則根據定義，可求得其分布函數F(x)，同時，還可以求得X的取值落在任意區間(a,b]上的概率：

4.連續型r.v取區間值的概率.對一個連續型隨機變量X，5.連續型r.v取任一指定值的概率為0.

即：

a為任一指定值這是因為

5.連續型r.v取任一指定值的概率為0.即：a為任一指由此得，1)對連續型r.vX,有由此得，1)對連續型r.vX,有2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.可見，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=S2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能下面給出幾個r.v的例子.由于連續型r.v唯一被它的密度函數所確定.所以，若已知密度函數，該連續型r.v的概率規律就得到了全面描述.

f(x)xo下面給出幾個r.v的例子.由于連續型r.v唯一被它例2設隨機變量的分布函數為求(1)概率(2)的密度函數.解由連續型隨機變量分布函數的性質,有(1)例2設隨機變量的分布函數為求(1)概率(2)的密度函數.解由例2設隨機變量的分布函數為求(2)的密度函數.解(2)的密度函數為例2設隨機變量的分布函數為求(2)的密度函數.解(2)的密度二常見的連續型隨機變量均勻分布、指數分布、正態分布二常見的連續型隨機變量均勻分布、指數分布、正態分布若

r.v.X的概率密度為：

則稱X服從區間(a,b)上的均勻分布，記作：

X

～

U[a,b]

1、均勻分布(Uniform)（注：X

～

U（a,b））易見若r.v.X的概率密度為：則稱X服從區間(a,b)若X

～

U(a,b)，則對于滿足的c,d,總有

它的實際背景是：r.vX取值在區間(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小區間內的概率與這個小區間的長度成正比，與這個小區間的位置無關。則X具有(a,b)上的均勻分布.若X～U(a,b)，則對于滿足的c,d,總有因此X～U(a,b)的分布函數為：因此X～U(a,b)的分布函數為：均勻分布常見于下列情形：

如在數值計算中，由于四舍五

入，小數點后某一位小數引入的誤差，例如對小數點后第一位進行四舍五

入時，那么一般認為誤差服從（-0.5,0.5）上的均勻分布。公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.均勻分布常見于下列情形：如在數值計算中，由于四舍五入

例3

某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間X是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.解：依題意，

X～U(0,30)

以7:00為起點0，以分為單位例3某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，為使候車時間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達車站.所求概率為：從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達汽車站，即乘客候車時間少于5分鐘的概率是1/3.為使候車時間X少于5分鐘，乘客必須在7:1例4：設ξ服從[0,3]上均勻分布，求方程

沒有實根的概率。解：因為ξ服從[0,3]上均勻分布，則其概率密度函數為設例4：設ξ服從[0,3]上均勻分布，求方程

沒有實根區間(0,1)上的均勻分布U(0,1)在計算機模擬中起著重要的作用.實用中，用計算機程序可以在短時間內產生大量服從(0,1)上均勻分布的隨機數.它是由一種迭代過程產生的.嚴格地說，計算機中產生的U(0,1)隨機數并非完全隨機，但很接近隨機，故常稱為偽隨機數.區間(0,1)上的均勻分布U(0,1)在如取n足夠大，獨立產生n個U(0,1)隨機數，則從用這n個數字畫出的頻率直方圖就可看出，它很接近于(0,1)上的均勻分布U(0,1).如取n足夠大，獨立產生n個U(0,1)隨機數則稱

X

服從參數為

的指數分布.

2、指數分布：若r.vX具有概率密度常簡記為

X~e().分布函數易見則稱X服從參數為的指數分布.2、指數分布：若指數分布常用于可靠性統計研究中，各種“壽命”

分布的近似，如電子元件的壽命，動物的壽命，電話問題中的通話時間，隨機服務系統中的服務時間等都常假定服從指數分布.例5

設某種電子元件的壽命為連續隨機變量ξ，若使用了t小時的該元件在以后的t小時內損壞的概率為

t+o(t)，其中>0為常數，o(t)表示當t0時較t高階的無窮小量，可以證明ξ服從指數分布。指數分布常用于可靠性統計研究中，各種“壽命”分布的近似，如第二章第四節-連續型隨機變量及其密度函數-概率論課件證明：

ξ的分布函數為：例6

設隨機變量ξ服從參數為(>0)的指數分布，證明對任意的s≥0，t≥0均有P(s+t|s)=P(t).服從指數分布的隨機變量ξ通常可解釋為某種壽命，此例的結果表明，如果已知壽命長于s年，則再活t年的概率與年齡s無關，亦稱指數分布具有“無記憶性”.證明：ξ的分布函數為：例6設隨機變量ξ服從參數為(>例7某元件的壽命服從指數分布,已知其參數求3個這樣的元件使用1000小時,至少已有一個損壞的概率.解由題設知,的分布函數為由此得到各元件的壽命是否超過1000小時是獨立的,用表示三個元件中使用1000小時損壞的元件數,例7某元件的壽命服從指數分布,已知其參數求3個這樣的元件例7某元件的壽命服從指數分布,已知其參數求3個這樣的元件使用1000小時,至少已有一個損壞的概率.解各元件的壽命是否超過1000小時是獨立的,用表示三個元件中使用1000小時損壞的元件數,所求概率為則例7某元件的壽命服從指數分布,已知其參數求3個這樣的元件

正態分布是應用最廣泛的一種連續型分布.正態分布在十九世紀前葉由高斯(Gauss)加以推廣，所以通常稱為高斯分布.德莫佛

德莫佛（DeMoivre)最早發現了二項分布的一個近似公式，這一公式被認為是正態分布的首次露面.3、正態分布正態分布是應用最廣泛的一種連續型分布.正態分布你們是否見過街頭的一種賭博游戲?用一個釘板作賭具。你們是否見過街頭的一種賭博游戲?用一個釘板作賭具。高爾頓釘板試驗這條曲線就近似我們將要介紹的正態分布的密度曲線。高這條曲線就近似我們將要介紹的正態分布的密度曲線。(1)、正態分布的定義

若r.v.X的概率密度為記作

f(x)所確定的曲線叫作正態曲線.其中

和

都是常數，

任意，>0，則稱X服從參數為

和

的正態分布.(Normal)易見(1)、正態分布的定義若r.v.X的(2)、正態分布

的圖形特點正態分布的密度曲線是一條關于對稱的鐘形曲線.

特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”.(2)、正態分布的圖形特決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.

正態分布

的圖形特點決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.故f(x)以μ為對稱軸，并在x=μ處達到最大值:令x=μ+c,

x=μ-c(c>0),分別代入f(x),

可得f(μ+c)=f(μ-c)且f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)故f(x)以μ為對稱軸，并在x=μ處達到最大值:令x=μ+c這說明曲線f(x)向左右伸展時，越來越貼近x軸。即f(x)以x軸為漸近線。

當x→

∞時，f(x)→0,這說明曲線f(x)向左右伸展時，越來越貼近x軸。即f(x用求導的方法可以證明，為f(x)的兩個拐點的橫坐標。x=μσ這是高等數學的內容，如果忘記了，課下再復習一下。用求導的方法可以證明，為f(x)的兩個拐點的橫坐標。x=實例

年降雨量問題，我們用上海99年年降雨量的數據畫出了頻率直方圖。從直方圖，我們可以初步看出，年降雨量近似服從正態分布。實例年降雨量問題，我們用上海99年年降雨量的數據畫出了頻下面是我們用某大學大學生的身高的數據畫出的頻率直方圖。紅線是擬合的正態密度曲線可見，某大學大學生的身高應服從正態分布。下面是我們用某大學大學生的身高的數據畫出的頻率直方圖。紅線是人的身高高低不等，但中等身材的占大多數，特高和特矮的只是少數，而且較高和較矮的人數大致相近，這從一個方面反映了服從正態分布的隨機變量的特點。人的身高高低不等，但中等身材的占大多數，特高和特矮的只是少數除了我們在前面遇到過的年降雨量和身高外,在正常條件下各種產品的質量指標，如零件的尺寸；纖維的強度和張力；農作物的產量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態分布.除了我們在前面遇到過的年降雨量和身高外,在正常條件下(3)設X~,X的分布函數是(3)設X~(4)、標準正態分布

的正態分布稱為標準正態分布.其密度函數和分布函數常用

和

表示：(4)、標準正態分布的正態分布稱為標準正態分布.其密度函數它的依據是下面的定理：標準正態分布的重要性在于，任何一個一般的正態分布都可以通過線性變換轉化為標準正態分布.根據定理1,只要將標準正態分布的分布函數制成表，就可以解決一般正態分布的概率計算問題.

,則~N(0,1)

設定理1它的依據是下面的定理：標準正態分布的重要性在于，任何書末附有標準正態分布函數數值表，有了它，可以解決一般正態分布的概率計算查表.

（5）、正態分布表

表中給的是x>0時,Φ(x)的值.

當-x<0時書末附有標準正態分布函數數值表，有了它，可以解決一般正態若~N(0,1)

若

X～N(0,1),

若~N(0,1)若X～N(0,1),由標準正態分布的查表計算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區間內，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.當X～N(0,1)時，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974（6）、3準則由標準正態分布的查表計算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集將上述結論推廣到一般的正態分布,時，可以認為，Y的取值幾乎全部集中在區間內.

這在統計學上稱作“3準則”

（三倍標準差原則）.將上述結論推廣到一般的正態分布,時，可以認為，Y的取值

例8

（I）假設某地區成年男性的身高（單位：cm）X～N(170,7.692)，求該地區成年男性的身高超過175cm的概率。解:(I)根據假設X～N(170,7.692)，則故事件{X>175}的概率為P{X>175}==0.2578例8（I）假設某地區成年男性的身高（單解:(I)根解:(II)設車門高度為hcm,按設計要求P(X≥h)≤0.01

或P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的h.（II）公共汽車車門的高度是按成年男性與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設計的，問車門高度應如何確定?解:(II)設車門高度為hcm,按設計要求P(X≥h因為X～N(170,7.692),故P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即

h=170+17.92188

設計車門高度為188厘米時，可使男子與車門碰頭機會不超過0.01.

P(X<h)0.99

求滿足的最小的h.

因為X～N(170,7.692),故P(X<h)=0.9其他例子參書本48-49頁其他例子參書本48-49頁下面我們來求幾個連續型

r.v

的分布函數.例9設連續隨機變量的概率密度為：且P(1<<2)=P(2<<3).(1)、求系數A、B；(2)、求的分布函數。解:(1)因為P(1<<2)=P(2<<3),所以下面我們來求幾個連續型r.v的分布函數.例9設連續隨機因此的分布函數為：因此的分布函數為：例10

設r.v

X

的密度函數為

f(x)求

F(x).

F(x)=P(X

x)=

解：對x<-1，F(x)=0

對例10設r.vX的密度函數為f(x)求F(對x>1，

F(x)=1

即

對x>1，F(x)=1即例11

已知連續隨機變量的分布函數為：求的概率密度f(x)。解：

值得注意的是，在F’(x)不存在的點，取f(x)的對應值為0．例11已知連續隨機變量的分布函數為：解：

這一講，我們介紹了連續型隨機變量、概率密度函數及性質。

還介紹了正態分布，它的應用極為廣泛，在本課程中我們一直要和它打交道.

后面第五章中，我們還將介紹為什么這么多隨機現象都近似服從正態分布;還要給出德莫佛極限定理的證明.

另外我們簡單介紹了均勻分布和指數分布這一講，我們介紹了連續型隨機變量、概率密度函數及性質。作業第50-51頁2,3,10,13,14作業要求

寫出求解過程，問答題要說明原因不用抄書本上的題目，寫清序號即可作業第50-51頁

第二章第四節

連續型隨機變量及其密度函數

第二章第四節連續型隨機變量X所有可能取值充滿一個區間,對這種類型的隨機變量,不能象離散型隨機變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數”的方式.下面我們就來介紹對連續型隨機變量的描述方法.連續型隨機變量X所有可能取值充滿一個區間,對這種類型的請看演示:怎樣畫直方圖

直方圖與概率密度（I）直方圖

一概率密度函數由此啟發我們如何描述連續型隨機變量.請看演示:怎樣畫直方圖直方圖與概率密度（I）直方圖一(II)連續型r.v.及其概率密度函數的定義

(II)連續型r.v.及其概率密度函數的定義連續型

r.v.的分布函數即分布函數是密度函數的可變上限的定積分.若

X

是連續型r.v.，X

～

f(x),則

F(x)=P(Xx)=～

由上式可得，在

f(x)的連續點，

連續型r.v.的分布函數即分布函數是密度函數的可變上限的(III)概率密度函數的性質

1o

2o

這兩條性質是判定一個函數

f(x)是否為某r.vX的概率密度函數的充要條件.

f(x)

x

o面積為1

(III)概率密度函數的性質1o2o這兩條性質是例1設連續隨機變量的概率密度為：求系數A。解：因為所以A=3。例1設連續隨機變量的概率密度為：

故

X的密度

f(x)

在

x

這一點的值，恰好是X落在區間

上的概率與區間長度

之比的極限.這里，如果把概率理解為質量，

f(x)相當于線密度.

若x是

f(x)的連續點，則：

=f(x)

3.對

f(x)的進一步理解:故X的密度f(x)在x這一點的值，恰好是

要注意的是，密度函數

f(x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.

f(x)

x

o要注意的是，密度函數f(x)在某點處a的高度，并不若不計高階無窮小，有：

它表示隨機變量

X

取值于

的概率近似等于.

在連續型r.v理論中所起的作用與

在離散型r.v理論中所起的作用相類似.若不計高階無窮小，有：它表示隨機變量X4.連續型r.v取區間值的概率.

對一個連續型隨機變量X，若已知其密度函數為f(x),則根據定義，可求得其分布函數F(x)，同時，還可以求得X的取值落在任意區間(a,b]上的概率：

4.連續型r.v取區間值的概率.對一個連續型隨機變量X，5.連續型r.v取任一指定值的概率為0.

即：

a為任一指定值這是因為

5.連續型r.v取任一指定值的概率為0.即：a為任一指由此得，1)對連續型r.vX,有由此得，1)對連續型r.vX,有2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.可見，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=S2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能下面給出幾個r.v的例子.由于連續型r.v唯一被它的密度函數所確定.所以，若已知密度函數，該連續型r.v的概率規律就得到了全面描述.

f(x)xo下面給出幾個r.v的例子.由于連續型r.v唯一被它例2設隨機變量的分布函數為求(1)概率(2)的密度函數.解由連續型隨機變量分布函數的性質,有(1)例2設隨機變量的分布函數為求(1)概率(2)的密度函數.解由例2設隨機變量的分布函數為求(2)的密度函數.解(2)的密度函數為例2設隨機變量的分布函數為求(2)的密度函數.解(2)的密度二常見的連續型隨機變量均勻分布、指數分布、正態分布二常見的連續型隨機變量均勻分布、指數分布、正態分布若

r.v.X的概率密度為：

則稱X服從區間(a,b)上的均勻分布，記作：

X

～

U[a,b]

1、均勻分布(Uniform)（注：X

～

U（a,b））易見若r.v.X的概率密度為：則稱X服從區間(a,b)若X

～

U(a,b)，則對于滿足的c,d,總有

它的實際背景是：r.vX取值在區間(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小區間內的概率與這個小區間的長度成正比，與這個小區間的位置無關。則X具有(a,b)上的均勻分布.若X～U(a,b)，則對于滿足的c,d,總有因此X～U(a,b)的分布函數為：因此X～U(a,b)的分布函數為：均勻分布常見于下列情形：

如在數值計算中，由于四舍五

入，小數點后某一位小數引入的誤差，例如對小數點后第一位進行四舍五

入時，那么一般認為誤差服從（-0.5,0.5）上的均勻分布。公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.均勻分布常見于下列情形：如在數值計算中，由于四舍五入

例3

某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間X是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.解：依題意，

X～U(0,30)

以7:00為起點0，以分為單位例3某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，為使候車時間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達車站.所求概率為：從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達汽車站，即乘客候車時間少于5分鐘的概率是1/3.為使候車時間X少于5分鐘，乘客必須在7:1例4：設ξ服從[0,3]上均勻分布，求方程

沒有實根的概率。解：因為ξ服從[0,3]上均勻分布，則其概率密度函數為設例4：設ξ服從[0,3]上均勻分布，求方程

沒有實根區間(0,1)上的均勻分布U(0,1)在計算機模擬中起著重要的作用.實用中，用計算機程序可以在短時間內產生大量服從(0,1)上均勻分布的隨機數.它是由一種迭代過程產生的.嚴格地說，計算機中產生的U(0,1)隨機數并非完全隨機，但很接近隨機，故常稱為偽隨機數.區間(0,1)上的均勻分布U(0,1)在如取n足夠大，獨立產生n個U(0,1)隨機數，則從用這n個數字畫出的頻率直方圖就可看出，它很接近于(0,1)上的均勻分布U(0,1).如取n足夠大，獨立產生n個U(0,1)隨機數則稱

X

服從參數為

的指數分布.

2、指數分布：若r.vX具有概率密度常簡記為

X~e().分布函數易見則稱X服從參數為的指數分布.2、指數分布：若指數分布常用于可靠性統計研究中，各種“壽命”

分布的近似，如電子元件的壽命，動物的壽命，電話問題中的通話時間，隨機服務系統中的服務時間等都常假定服從指數分布.例5

設某種電子元件的壽命為連續隨機變量ξ，若使用了t小時的該元件在以后的t小時內損壞的概率為

t+o(t)，其中>0為常數，o(t)表示當t0時較t高階的無窮小量，可以證明ξ服從指數分布。指數分布常用于可靠性統計研究中，各種“壽命”分布的近似，如第二章第四節-連續型隨機變量及其密度函數-概率論課件證明：

ξ的分布函數為：例6

設隨機變量ξ服從參數為(>0)的指數分布，證明對任意的s≥0，t≥0均有P(s+t|s)=P(t).服從指數分布的隨機變量ξ通常可解釋為某種壽命，此例的結果表明，如果已知壽命長于s年，則再活t年的概率與年齡s無關，亦稱指數分布具有“無記憶性”.證明：ξ的分布函數為：例6設隨機變量ξ服從參數為(>例7某元件的壽命服從指數分布,已知其參數求3個這樣的元件使用1000小時,至少已有一個損壞的概率.解由題設知,的分布函數為由此得到各元件的壽命是否超過1000小時是獨立的,用表示三個元件中使用1000小時損壞的元件數,例7某元件的壽命服從指數分布,已知其參數求3個這樣的元件例7某元件的壽命服從指數分布,已知其參數求3個這樣的元件使用1000小時,至少已有一個損壞的概率.解各元件的壽命是否超過1000小時是獨立的,用表示三個元件中使用1000小時損壞的元件數,所求概率為則例7某元件的壽命服從指數分布,已知其參數求3個這樣的元件

正態分布是應用最廣泛的一種連續型分布.正態分布在十九世紀前葉由高斯(Gauss)加以推廣，所以通常稱為高斯分布.德莫佛

德莫佛（DeMoivre)最早發現了二項分布的一個近似公式，這一公式被認為是正態分布的首次露面.3、正態分布正態分布是應用最廣泛的一種連續型分布.正態分布你們是否見過街頭的一種賭博游戲?用一個釘板作賭具。你們是否見過街頭的一種賭博游戲?用一個釘板作賭具。高爾頓釘板試驗這條曲線就近似我們將要介紹的正態分布的密度曲線。高這條曲線就近似我們將要介紹的正態分布的密度曲線。(1)、正態分布的定義

若r.v.X的概率密度為記作

f(x)所確定的曲線叫作正態曲線.其中

和

都是常數，

任意，>0，則稱X服從參數為

和

的正態分布.(Normal)易見(1)、正態分布的定義若r.v.X的(2)、正態分布

的圖形特點正態分布的密度曲線是一條關于對稱的鐘形曲線.

特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”.(2)、正態分布的圖形特決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.

正態分布

的圖形特點決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.故f(x)以μ為對稱軸，并在x=μ處達到最大值:令x=μ+c,

x=μ-c(c>0),分別代入f(x),

可得f(μ+c)=f(μ-c)且f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)故f(x)以μ為對稱軸，并在x=μ處達到最大值:令x=μ+c這說明曲線f(x)向左右伸展時，越來越貼近x軸。即f(x)以x軸為漸近線。

當x→

∞時，f(x)→0,這說明曲線f(x)向左右伸展時，越來越貼近x軸。即f(x用求導的方法可以證明，為f(x)的兩個拐點的橫坐標。x=μσ這是高等數學的內容，如果忘記了，課下再復習一下。用求導的方法可以證明，為f(x)的兩個拐點的橫坐標。x=實例

年降雨量問題，我們用上海99年年降雨量的數據畫出了頻率直方圖。從直方圖，我們可以初步看出，年降雨量近似服從正態分布。實例年降雨量問題，我們用上海99年年降雨量的數據畫出了頻下面是我們用某大學大學生的身高的數據畫出的頻率直方圖。紅線是擬合的正態密度曲線可見，某大學大學生的身高應服從正態分布。下面是我們用某大學大學生的身高的數據畫出的頻率直方圖。紅線是人的身高高低不等，但中等身材的占大多數，特高和特矮的只是少數，而且較高和較矮的人數大致相近，這從一個方面反映了服從正態分布的隨機變量的特點。人的身高高低不等，但中等身材的占大多數，特高和特矮的只是少數除了我們在前面遇到過的年降雨量和身高外,在正常條件下各種產品的質量指標，如零件的尺寸；纖維的強度和張力；農作物的產量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態分布.除了我們在前面遇到過的年降雨量和身高外,在正常條件下(3)設X~,X的分布函數是(3)設X~(4)、標準正態分布

的正態分布稱為標準正態分布.其密度函數和分布函數常用

和

表示：(4)、標準正態分布的正態分布稱為標準正態分布.其密度函數它的依據是下面的定理：標準正態分布的重要性在于，任何一個一般的正態分布都可以通過線性變換轉化為標準正態分布.根據定理1,只要將標準正態分布的分布函數制成表，就可以解決一般正態分布的概率計算問題.

,則~N(0,1)

設定理1它的依據是下面的定理：標準正態分布的重要性在于，任何書末附有標準正態分布函數數值表，有了它，可以解決一般正態分布的概率計算查表.

（5）、正態分布表

表中給的是x>0時,Φ(x)的值.

當-x<0時書末附有標準正態分布函數數值表，有了它，可以解決一般正態若~N(0,1)

若

X～N(0,1),

若~N(0,1)若X～N(0,1),由標準正態分布的查表計算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區間內，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.當X～N(0,1)時，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2