(最新整理)28章銳角三角函數(shù)(全章課件)2021/7/261(最新整理)28章銳角三角函數(shù)(全章課件)2021/7/2628章銳角三角函數(shù)2021/7/26228章銳角三角函數(shù)2021/7/262

在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得因此

即在直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角等于45°時(shí)，不管這個(gè)直角三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于

如圖，任意畫一個(gè)Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊的比

，你能得出什么結(jié)論？?思考ABC=+==________=2021/7/263在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，綜上可知，在一個(gè)Rt△ABC中，∠C＝90°，當(dāng)∠A＝30°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，是一個(gè)固定值；當(dāng)∠A＝45°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，也是一個(gè)固定值.

一般地，當(dāng)∠A

取其他一定度數(shù)的銳角時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值？結(jié)論問題2021/7/264綜上可知，在一個(gè)Rt△ABC中，∠C＝90°，當(dāng)∠A＝30°

在圖中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'

這就是說，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值．并且直角三角形中一個(gè)銳角的度數(shù)越大，它的對(duì)邊與斜邊的比值越大任意畫Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么與有什么關(guān)系．你能解釋一下嗎？探究ABCA'B'C'2021/7/265在圖中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine），記住sinA

即當(dāng)∠A＝30°時(shí)，我們有當(dāng)∠A＝45°時(shí)，我們有ABCcab對(duì)邊斜邊在圖中∠A的對(duì)邊記作a∠B的對(duì)邊記作b∠C的對(duì)邊記作c

1、正弦函數(shù)同理，sin60°=2021/7/266如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對(duì)邊注意sinA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示∠A的正弦，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“∠”；sinA沒有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中∠A的對(duì)邊與斜邊的比；sinA不表示“sin”乘以“A”。正弦的常見表示：sinA、sin42°、sinβ

（省去角的符號(hào)）sin∠DEF、sin∠1（不能省去角的符號(hào)）2021/7/267注意sinA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示∠A的正弦，記號(hào)里習(xí)慣省例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．解：（1）在Rt△ABC中，因此（2）在Rt△ABC中，因此ABCABC3413例題示范52021/7/268例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和si練一練1.判斷對(duì)錯(cuò):A10m6mBC1)如圖(1)sinA=（）

(2)sinB=（）

(3)sinA=0.6m（）

(4)SinB=0.8（）√√××sinA是一個(gè)比值（注意比的順序），無單位；2)如圖，sinA=（）

×2021/7/269練一練1.判斷對(duì)錯(cuò):A10m6mBC1)如圖(1)s2.在Rt△ABC中，銳角A的對(duì)邊和斜邊同時(shí)擴(kuò)大

100倍，sinA的值（）

A.擴(kuò)大100倍B.縮小

C.不變D.不能確定C練一練3.如圖ACB37300則sinA=______.122021/7/26102.在Rt△ABC中，銳角A的對(duì)邊和斜邊同時(shí)擴(kuò)大C練一練3.根據(jù)下圖，求sinA和sinB的值．ABC35練習(xí)解：（1）在Rt△ABC中，因此2021/7/2611根據(jù)下圖，求sinA和sinB的值．ABC35練習(xí)解：（根據(jù)下圖，求sinA和sinB的值．ABC125練習(xí)解：（1）在Rt△ABC中，因此2021/7/2612根據(jù)下圖，求sinA和sinB的值．ABC125練習(xí)解：根據(jù)下圖，求sinB的值．ABCn練習(xí)解：（1）在Rt△ABC中，因此m2021/7/2613根據(jù)下圖，求sinB的值．ABCn練習(xí)解：（1）在Rt△練習(xí)如圖，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB，圖中sinB可由哪兩條線段比求得。DCBA解：在Rt△ABC中，在Rt△BCD中，因?yàn)椤螧=∠ACD，所以2021/7/2614練習(xí)如圖，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB，圖中s求一個(gè)角的正弦值，除了用定義直接求外，還可以轉(zhuǎn)化為求和它相等角的正弦值。如圖,∠C=90°CD⊥AB.sinB可以由哪兩條線段之比?想一想若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.┌ACBD解:∵∠B=∠ACD

∴sinB=sin∠ACD在Rt△ACD中，AD=sin∠ACD=∴sinB==42021/7/2615如圖,∠C=90°CD⊥AB.想一想若ＡC=5,CD=回味無窮小結(jié)拓展1.銳角三角函數(shù)定義:2.sinA是∠A的函數(shù)ABC∠A的對(duì)邊┌斜邊斜邊∠A的對(duì)邊sinA=4.只有不斷的思考,才會(huì)有新的發(fā)現(xiàn);只有量的變化,才會(huì)有質(zhì)的進(jìn)步.Sin300=sin45°=sin60°=3.sinA是線段之間的一個(gè)比值，sinA沒有單位2021/7/2616回味無窮小結(jié)拓展1.銳角三角函數(shù)定義:2.si

小結(jié)如圖，Rt△ABC中，直角邊AC、BC小于斜邊AB，所以0＜sinA＜1,0＜sinB＜1,如果∠A＜∠B,則BC＜AC,那么0＜sinA＜sinB＜1ABC＜1＜11.sinA的取值范圍是什么？2．結(jié)合右圖，思考∠A的其他兩邊的比值是不是也是唯一確定的？發(fā)揮你的聰明才智,動(dòng)手試一試．2021/7/2617小結(jié)如圖，Rt△ABC中，直角邊AC、BC小于斜邊AB，所28.1.2余弦、正切2021/7/261828.1.2余弦、正切2021/7/2618探究如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，當(dāng)銳角A確定時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比就隨之確定，此時(shí)，其他邊之間的比是否也確定了呢？為什么？ABC鄰邊b對(duì)邊a斜邊c

當(dāng)銳角A的大小確定時(shí)，∠A的鄰邊與斜邊的比、∠A的對(duì)邊與鄰邊的比也分別是確定的，我們把∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦（cosine），記作cosA，即

把∠A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切（tangent），記作tanA，即

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．

精講2021/7/2619探究如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，當(dāng)銳角A確定時(shí)，∠

對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù)。

同樣地，

cosA，tanA也是A的函數(shù)。

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).2021/7/2620對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與1.下圖中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足為D.指出∠A和∠B的對(duì)邊、鄰邊.練習(xí)ABCD(1)sinA==AC()BC()(3)sinB==AB()CD()CDABBCAC(2)cosA==AC()AC()(4)cosB==AB()BD()ADABBCCD2021/7/26211.下圖中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足為D.練習(xí)ABC

例2如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝，求cosA、tanB的值．解：∵又ABC6

例題示范2021/7/2622例2如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，

變題：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，求sinA、tanA的值．解：∵ABC

例題示范設(shè)AC=15k，則AB=17k所以2021/7/2623變題：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA

例3：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°

例題示范1.求證：sinA=cosB，sinB=cosA2.求證：3.求證：ABC2021/7/2624例3：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°例1.分別求出下列直角三角形中兩個(gè)銳角的正弦值、余弦值和正切值．練習(xí)解：由勾股定理ABC13122021/7/26251.分別求出下列直角三角形中兩個(gè)銳角的正弦值、余弦值和正切2.在Rt△ABC中，如果各邊長都擴(kuò)大2倍，那么銳角A的正弦值、余弦值和正切值有什么變化？ABC解：設(shè)各邊長分別為a、b、c，∠A的三個(gè)三角函數(shù)分別為則擴(kuò)大2倍后三邊分別為2a、2b、2cABC2021/7/26262.在Rt△ABC中，如果各邊長都擴(kuò)大2倍，那么銳角A的正3.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，求：sinA、cosB的值．ABC8解：2021/7/26273.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tan

小結(jié)如圖，Rt△ABC中，∠C=90度，因?yàn)?＜sinA＜1,0＜sinB＜1,tanA＞0,tanB＞0ABC0＜cosA＜1,0＜cosB＜1,所以，對(duì)于任何一個(gè)銳角α

，有0＜sinα

＜1，0＜cosα

＜1，tanα

＞0，2021/7/2628小結(jié)如圖，Rt△ABC中，∠C=90度，因?yàn)?＜sinA定義中應(yīng)該注意的幾個(gè)問題:1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形)。2、sinA、cosA、tanA是一個(gè)比值（數(shù)值）。3、sinA、cosA、tanA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān)。2021/7/2629定義中應(yīng)該注意的幾個(gè)問題:1、sinA、cosA、ta若已知銳角α的始邊在x軸的正半軸上,(頂點(diǎn)在原點(diǎn))終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，它到原點(diǎn)的距離為r求角α的四個(gè)三角函數(shù)值。推廣xyPOα(x,y)rsinα=

，cosα=

，tanα=

，cotα=

．M2021/7/2630若已知銳角α的始邊在x軸的正半軸上,(頂點(diǎn)在原點(diǎn))終邊上一點(diǎn)

例4：如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦AD、BC相交于點(diǎn)P，若

例題示范

那么()B變題：如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦AD、BC相交于點(diǎn)P，若AB=10，CD=6，求.aOCDBAP2021/7/2631例4：如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦AD、BC相交4.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cos∠DAC,（1）求證：AC=BD；（2）若，BC=12，求AD的長。DBCA5.如圖，在△ABC中，∠C=90度，若∠ADC=45度，BD=2DC，求tanB及sin∠BAD.DABCAD=82021/7/26324.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=co新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)(下冊(cè))第二十八章

§28.2解直角三角形（1）2021/7/2633新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)(下冊(cè))第二十八章

§28.2解直角三復(fù)習(xí)30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

銳角a三角函數(shù)30°45°60°sinacosatana對(duì)于sinα與tanα，角度越大，函數(shù)值也越大；對(duì)于cosα，角度越大，函數(shù)值越小。2021/7/2634復(fù)習(xí)30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：問題：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角a一般要滿足50°≤a≤75°.現(xiàn)有一個(gè)長6m的梯子，問：（1）使用這個(gè)梯子最高可以安全攀上多高的墻（精確到0.1m）？（2）當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí)，梯子與地面所成的角a等于多少（精確到1°）？這時(shí)人是否能夠安全使用這個(gè)梯子？這樣的問題怎么解決2021/7/2635問題：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地問題（1）可以歸結(jié)為：在Rt△ABC中，已知∠A＝75°，斜邊AB＝6，求∠A的對(duì)邊BC的長．

問題（1）當(dāng)梯子與地面所成的角a為75°時(shí)，梯子頂端與地面的距離是使用這個(gè)梯子所能攀到的最大高度．因此使用這個(gè)梯子能夠安全攀到墻面的最大高度約是5.8m所以BC≈6×0.97≈5.8由計(jì)算器求得sin75°≈0.97由得ABαC2021/7/2636問題（1）可以歸結(jié)為：在Rt△ABC中，已知∠A＝75°，對(duì)于問題（2），當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí)，求梯子與地面所成的角a的問題，可以歸結(jié)為：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜邊AB＝6，求銳角a的度數(shù)由于利用計(jì)算器求得a≈66°

因此當(dāng)梯子底墻距離墻面2.4m時(shí)，梯子與地面所成的角大約是66°由50°＜66°＜75°可知，這時(shí)使用這個(gè)梯子是安全的．ABCα2021/7/2637對(duì)于問題（2），當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí)，求梯子與地面所ABabcC一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素即三條邊和兩個(gè)銳角

2021/7/2638ABabcC一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素即在圖中的Rt△ABC中，（1）根據(jù)∠A＝75°，斜邊AB＝6，你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎？探究ABCα能6=75°2021/7/2639在圖中的Rt△ABC中，探究ABCα能6=75°2021/7在圖中的Rt△ABC中，（2）根據(jù)AC＝2.4，斜邊AB＝6，你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎？探究ABCα能62.42021/7/2640在圖中的Rt△ABC中，探究ABCα能62.42021/7/事實(shí)上，在直角三角形的六個(gè)元素中，除直角外，如果再知道兩個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊），這個(gè)三角形就可以確定下來，這樣就可以由已知的兩個(gè)元素求出其余的三個(gè)元素．ABabcC

解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程．解直角三角形2021/7/2641事實(shí)上，在直角三角形的六個(gè)元素中，除直角外，如果再知道兩個(gè)元（2）兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°（3）邊角之間的關(guān)系（1）三邊之間的關(guān)系（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：2021/7/2642（2）兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°（3）邊角之間的關(guān)系例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，解這個(gè)直角三角形解：ABC2021/7/2643例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，例2如圖，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解這個(gè)直角三角形（精確到0.1）解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°ABCabc2035°你還有其他方法求出c嗎？2021/7/2644例2如圖，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解這個(gè)例3如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分線，解這個(gè)直角三角形。DABC6解：因?yàn)锳D平分∠BAC2021/7/2645例3如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠B在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形；（1）a=30,b=20;練習(xí)解：根據(jù)勾股定理ABCb=20a=30c2021/7/2646在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形；練

在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形；(2)∠B＝72°，c=14.ABCbac=14解：2021/7/2647在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條

解決有關(guān)比薩斜塔傾斜的問題．

設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為A，過B點(diǎn)向垂直中心線引垂線，垂足為點(diǎn)C（如圖），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m所以∠A≈5°28′

可以求出2001年糾偏后塔身中心線與垂直中心線的夾角．你愿意試著計(jì)算一下嗎？ABCABC2021/7/2648解決有關(guān)比薩斜塔傾斜的問題．解直角三角形∠A＋∠B＝90°a2+b2=c2三角函數(shù)關(guān)系式計(jì)算器

由銳角求三角函數(shù)值由三角函數(shù)值求銳角

歸納小結(jié)解直角三角形：由已知元素求未知元素的過程直角三角形中，AB∠A的對(duì)邊aC∠A的鄰邊b┌斜邊c2021/7/2649解直角∠A＋∠B＝90°a2+b2=c2三角函數(shù)計(jì)算器28.2.2應(yīng)用舉例（一）2021/7/265028.2.2應(yīng)用舉例（一）2021/7/265030°45°BOA東西北南【方位角】指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成小于900的角,叫做方位角.如圖：點(diǎn)A在O的北偏東30°點(diǎn)B在點(diǎn)O的南偏西45°（西南方向）2021/7/265130°45°BOA東西北南【方位角】指南或指北的例5.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（精確到0.01海里）65°34°PBCA2021/7/2652例5.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91=72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向時(shí)，它距離燈塔P大約130.23海里．65°34°PBCA2021/7/2653解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－6練習(xí)：海中有一個(gè)小島A，它的周圍8海里范圍內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？BADF60°1230°2021/7/2654練習(xí)：海中有一個(gè)小島A，它的周圍8海里范圍內(nèi)有暗礁，漁船跟BADF解：由點(diǎn)A作BD的垂線交BD的延長線于點(diǎn)F，垂足為F，∠AFD=90°由題意圖示可知∠DAF=30°設(shè)DF=x,AD=2x在Rt△ABF中，解得x=610.4>8沒有觸礁危險(xiǎn)30°60°2021/7/2655BADF解：由點(diǎn)A作BD的垂線交BD的延長線于點(diǎn)F，垂足為F【坡度與坡角】坡度一般用i來表示，即,一般寫成i=1:m,如i=1:5(1)坡面的鉛直高度h和水平寬度的比叫做坡度顯然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡.h水庫α2.坡度與坡角的關(guān)系(2)坡面與水平面的夾角叫坡角2021/7/2656【坡度與坡角】坡度一般用i來表示，即,一例6一段河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD,試根據(jù)下圖中的數(shù)據(jù)求出坡角α和壩底寬AD.(單位是米,結(jié)果保留根號(hào))ABCDF4E6α2021/7/2657例6一段河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD,試根據(jù)下圖中的練習(xí).如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD（圖中i=1:3是指坡面的鉛直高度DE與水平寬度CE的比），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求：（1）坡角a和β;（2）壩底寬BC和斜坡CD的長（精確到0.1m）BADFEC6mαβi=1:3i=1:1.53m2021/7/2658練習(xí).如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD（圖中i=1:3是歸納利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的一般過程是：（1）將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）；（2）根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角形函數(shù)等去解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問題的答案；（4）得到實(shí)際問題的答案．2021/7/2659歸納利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的一般過程是：（1）將解直角三角形應(yīng)用

中考題列舉2021/7/2660解直角三角形應(yīng)用2021/7/2660（2014?四川涼山州）如圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，則坡面AB的長度是（

）C2021/7/2661（2014?四川涼山州）如圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是4.（2014云南?。┤鐖D，小明在M處用高1米（DM=1米）的測(cè)角儀測(cè)得旗桿AB的頂端B的仰角為30°，再向旗桿方向前進(jìn)10米到F處，又測(cè)得旗桿頂端B的仰角為60°，請(qǐng)求出旗桿AB的高度.2021/7/26624.（2014云南?。┤鐖D，小明在M處用高1米（DM=1米）3.（2014?廣東）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量一棵樹CD的高度，他們先在點(diǎn)A處測(cè)得樹頂C的仰角為30°，然后沿AD方向前行10m，到達(dá)B點(diǎn)，在B處測(cè)得樹頂C的仰角高度為60°（A、B、D三點(diǎn)在同一直線上）．請(qǐng)你根據(jù)他們測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算這棵樹CD的高度．2021/7/26633.（2014?廣東）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量一棵樹CD5.（2014?自貢）如圖，某學(xué)校新建了一座吳玉章雕塑，小林站在距離雕塑2.7米的A處自B點(diǎn)看雕塑頭頂D的仰角為45°，看雕塑底部C的仰角為30°，求塑像CD的高度.2021/7/26645.（2014?自貢）如圖，某學(xué)校新建了一座吳玉章雕塑，小林

6.(2014?東營)熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球底部A處看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球A處與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高

2021/7/26656.(2014?東營)熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球底部A處（2014?湖南張家界）如圖：我漁政310船在南海海面上沿正東方向勻速航行，在A點(diǎn)觀測(cè)到我漁船C在北偏東60°方向的我國某傳統(tǒng)漁場捕魚作業(yè)．若漁政310船航向不變，航行半小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)，觀測(cè)到我漁船C在東北方向上．問：漁政310船再按原航向航行多長時(shí)間，離漁船C的距離最近？（漁船C捕魚時(shí)移動(dòng)距離忽略不計(jì)，結(jié)果不取近似值．）2021/7/2666（2014?湖南張家界）如圖：我漁政310船在南海海面上沿正(2014年河南)

在中俄“海上聯(lián)合—2014”反潛演習(xí)中，我軍艦A測(cè)得潛艇C的俯角為300．位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機(jī)B側(cè)得潛艇C的俯角為680.試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇C離開海平面的下潛深度.2021/7/2667(2014年河南)在中俄“海上聯(lián)合—2014”反潛演習(xí)中，（2014?四川內(nèi)江）“馬航事件”的發(fā)生引起了我國政府的高度重視，迅速派出了艦船和飛機(jī)到相關(guān)海域進(jìn)行搜尋．如圖，在一次空中搜尋中，水平飛行的飛機(jī)觀測(cè)得在點(diǎn)A俯角為30°方向的F點(diǎn)處有疑似飛機(jī)殘骸的物體（該物體視為靜止）．為了便于觀察，飛機(jī)繼續(xù)向前飛行了800米到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)F在點(diǎn)B俯角為45°的方向上，請(qǐng)你計(jì)算當(dāng)飛機(jī)飛臨F點(diǎn)的正上方點(diǎn)C時(shí)（點(diǎn)A、B、C在同一直線上），豎直高度CF約為多少米？AB=800米2021/7/2668（2014?四川內(nèi)江）“馬航事件”的發(fā)生引起了我國政府的高度（2014?山東臨沂）如圖，在某監(jiān)測(cè)點(diǎn)B處望見一艘正在作業(yè)的漁船在南偏西15°方向的A處，若漁船沿北偏西75°方向以40海里/小時(shí)的速度航行，航行半小時(shí)后到達(dá)C處，在C處觀測(cè)到B在C的北偏東60°方向上，則B、C之間的距離為（）2021/7/2669（2014?山東臨沂）如圖，在某監(jiān)測(cè)點(diǎn)B處望見一艘正在作業(yè)的2021/7/26702021/7/2670(最新整理)28章銳角三角函數(shù)(全章課件)2021/7/2671(最新整理)28章銳角三角函數(shù)(全章課件)2021/7/2628章銳角三角函數(shù)2021/7/267228章銳角三角函數(shù)2021/7/262

在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得因此

即在直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角等于45°時(shí)，不管這個(gè)直角三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于

如圖，任意畫一個(gè)Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊的比

，你能得出什么結(jié)論？?思考ABC=+==________=2021/7/2673在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，綜上可知，在一個(gè)Rt△ABC中，∠C＝90°，當(dāng)∠A＝30°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，是一個(gè)固定值；當(dāng)∠A＝45°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，也是一個(gè)固定值.

一般地，當(dāng)∠A

取其他一定度數(shù)的銳角時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值？結(jié)論問題2021/7/2674綜上可知，在一個(gè)Rt△ABC中，∠C＝90°，當(dāng)∠A＝30°

在圖中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'

這就是說，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值．并且直角三角形中一個(gè)銳角的度數(shù)越大，它的對(duì)邊與斜邊的比值越大任意畫Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么與有什么關(guān)系．你能解釋一下嗎？探究ABCA'B'C'2021/7/2675在圖中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine），記住sinA

即當(dāng)∠A＝30°時(shí)，我們有當(dāng)∠A＝45°時(shí)，我們有ABCcab對(duì)邊斜邊在圖中∠A的對(duì)邊記作a∠B的對(duì)邊記作b∠C的對(duì)邊記作c

1、正弦函數(shù)同理，sin60°=2021/7/2676如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對(duì)邊注意sinA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示∠A的正弦，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“∠”；sinA沒有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中∠A的對(duì)邊與斜邊的比；sinA不表示“sin”乘以“A”。正弦的常見表示：sinA、sin42°、sinβ

（省去角的符號(hào)）sin∠DEF、sin∠1（不能省去角的符號(hào)）2021/7/2677注意sinA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示∠A的正弦，記號(hào)里習(xí)慣省例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．解：（1）在Rt△ABC中，因此（2）在Rt△ABC中，因此ABCABC3413例題示范52021/7/2678例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和si練一練1.判斷對(duì)錯(cuò):A10m6mBC1)如圖(1)sinA=（）

(2)sinB=（）

(3)sinA=0.6m（）

(4)SinB=0.8（）√√××sinA是一個(gè)比值（注意比的順序），無單位；2)如圖，sinA=（）

×2021/7/2679練一練1.判斷對(duì)錯(cuò):A10m6mBC1)如圖(1)s2.在Rt△ABC中，銳角A的對(duì)邊和斜邊同時(shí)擴(kuò)大

100倍，sinA的值（）

A.擴(kuò)大100倍B.縮小

C.不變D.不能確定C練一練3.如圖ACB37300則sinA=______.122021/7/26802.在Rt△ABC中，銳角A的對(duì)邊和斜邊同時(shí)擴(kuò)大C練一練3.根據(jù)下圖，求sinA和sinB的值．ABC35練習(xí)解：（1）在Rt△ABC中，因此2021/7/2681根據(jù)下圖，求sinA和sinB的值．ABC35練習(xí)解：（根據(jù)下圖，求sinA和sinB的值．ABC125練習(xí)解：（1）在Rt△ABC中，因此2021/7/2682根據(jù)下圖，求sinA和sinB的值．ABC125練習(xí)解：根據(jù)下圖，求sinB的值．ABCn練習(xí)解：（1）在Rt△ABC中，因此m2021/7/2683根據(jù)下圖，求sinB的值．ABCn練習(xí)解：（1）在Rt△練習(xí)如圖，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB，圖中sinB可由哪兩條線段比求得。DCBA解：在Rt△ABC中，在Rt△BCD中，因?yàn)椤螧=∠ACD，所以2021/7/2684練習(xí)如圖，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB，圖中s求一個(gè)角的正弦值，除了用定義直接求外，還可以轉(zhuǎn)化為求和它相等角的正弦值。如圖,∠C=90°CD⊥AB.sinB可以由哪兩條線段之比?想一想若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.┌ACBD解:∵∠B=∠ACD

∴sinB=sin∠ACD在Rt△ACD中，AD=sin∠ACD=∴sinB==42021/7/2685如圖,∠C=90°CD⊥AB.想一想若ＡC=5,CD=回味無窮小結(jié)拓展1.銳角三角函數(shù)定義:2.sinA是∠A的函數(shù)ABC∠A的對(duì)邊┌斜邊斜邊∠A的對(duì)邊sinA=4.只有不斷的思考,才會(huì)有新的發(fā)現(xiàn);只有量的變化,才會(huì)有質(zhì)的進(jìn)步.Sin300=sin45°=sin60°=3.sinA是線段之間的一個(gè)比值，sinA沒有單位2021/7/2686回味無窮小結(jié)拓展1.銳角三角函數(shù)定義:2.si

小結(jié)如圖，Rt△ABC中，直角邊AC、BC小于斜邊AB，所以0＜sinA＜1,0＜sinB＜1,如果∠A＜∠B,則BC＜AC,那么0＜sinA＜sinB＜1ABC＜1＜11.sinA的取值范圍是什么？2．結(jié)合右圖，思考∠A的其他兩邊的比值是不是也是唯一確定的？發(fā)揮你的聰明才智,動(dòng)手試一試．2021/7/2687小結(jié)如圖，Rt△ABC中，直角邊AC、BC小于斜邊AB，所28.1.2余弦、正切2021/7/268828.1.2余弦、正切2021/7/2618探究如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，當(dāng)銳角A確定時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比就隨之確定，此時(shí)，其他邊之間的比是否也確定了呢？為什么？ABC鄰邊b對(duì)邊a斜邊c

當(dāng)銳角A的大小確定時(shí)，∠A的鄰邊與斜邊的比、∠A的對(duì)邊與鄰邊的比也分別是確定的，我們把∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦（cosine），記作cosA，即

把∠A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切（tangent），記作tanA，即

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．

精講2021/7/2689探究如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，當(dāng)銳角A確定時(shí)，∠

對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù)。

同樣地，

cosA，tanA也是A的函數(shù)。

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).2021/7/2690對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與1.下圖中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足為D.指出∠A和∠B的對(duì)邊、鄰邊.練習(xí)ABCD(1)sinA==AC()BC()(3)sinB==AB()CD()CDABBCAC(2)cosA==AC()AC()(4)cosB==AB()BD()ADABBCCD2021/7/26911.下圖中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足為D.練習(xí)ABC

例2如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝，求cosA、tanB的值．解：∵又ABC6

例題示范2021/7/2692例2如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，

變題：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，求sinA、tanA的值．解：∵ABC

例題示范設(shè)AC=15k，則AB=17k所以2021/7/2693變題：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA

例3：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°

例題示范1.求證：sinA=cosB，sinB=cosA2.求證：3.求證：ABC2021/7/2694例3：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°例1.分別求出下列直角三角形中兩個(gè)銳角的正弦值、余弦值和正切值．練習(xí)解：由勾股定理ABC13122021/7/26951.分別求出下列直角三角形中兩個(gè)銳角的正弦值、余弦值和正切2.在Rt△ABC中，如果各邊長都擴(kuò)大2倍，那么銳角A的正弦值、余弦值和正切值有什么變化？ABC解：設(shè)各邊長分別為a、b、c，∠A的三個(gè)三角函數(shù)分別為則擴(kuò)大2倍后三邊分別為2a、2b、2cABC2021/7/26962.在Rt△ABC中，如果各邊長都擴(kuò)大2倍，那么銳角A的正3.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，求：sinA、cosB的值．ABC8解：2021/7/26973.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tan

小結(jié)如圖，Rt△ABC中，∠C=90度，因?yàn)?＜sinA＜1,0＜sinB＜1,tanA＞0,tanB＞0ABC0＜cosA＜1,0＜cosB＜1,所以，對(duì)于任何一個(gè)銳角α

，有0＜sinα

＜1，0＜cosα

＜1，tanα

＞0，2021/7/2698小結(jié)如圖，Rt△ABC中，∠C=90度，因?yàn)?＜sinA定義中應(yīng)該注意的幾個(gè)問題:1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形)。2、sinA、cosA、tanA是一個(gè)比值（數(shù)值）。3、sinA、cosA、tanA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān)。2021/7/2699定義中應(yīng)該注意的幾個(gè)問題:1、sinA、cosA、ta若已知銳角α的始邊在x軸的正半軸上,(頂點(diǎn)在原點(diǎn))終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，它到原點(diǎn)的距離為r求角α的四個(gè)三角函數(shù)值。推廣xyPOα(x,y)rsinα=

，cosα=

，tanα=

，cotα=

．M2021/7/26100若已知銳角α的始邊在x軸的正半軸上,(頂點(diǎn)在原點(diǎn))終邊上一點(diǎn)

例4：如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦AD、BC相交于點(diǎn)P，若

例題示范

那么()B變題：如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦AD、BC相交于點(diǎn)P，若AB=10，CD=6，求.aOCDBAP2021/7/26101例4：如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦AD、BC相交4.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cos∠DAC,（1）求證：AC=BD；（2）若，BC=12，求AD的長。DBCA5.如圖，在△ABC中，∠C=90度，若∠ADC=45度，BD=2DC，求tanB及sin∠BAD.DABCAD=82021/7/261024.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=co新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)(下冊(cè))第二十八章

§28.2解直角三角形（1）2021/7/26103新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)(下冊(cè))第二十八章

§28.2解直角三復(fù)習(xí)30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

銳角a三角函數(shù)30°45°60°sinacosatana對(duì)于sinα與tanα，角度越大，函數(shù)值也越大；對(duì)于cosα，角度越大，函數(shù)值越小。2021/7/26104復(fù)習(xí)30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：問題：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角a一般要滿足50°≤a≤75°.現(xiàn)有一個(gè)長6m的梯子，問：（1）使用這個(gè)梯子最高可以安全攀上多高的墻（精確到0.1m）？（2）當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí)，梯子與地面所成的角a等于多少（精確到1°）？這時(shí)人是否能夠安全使用這個(gè)梯子？這樣的問題怎么解決2021/7/26105問題：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地問題（1）可以歸結(jié)為：在Rt△ABC中，已知∠A＝75°，斜邊AB＝6，求∠A的對(duì)邊BC的長．

問題（1）當(dāng)梯子與地面所成的角a為75°時(shí)，梯子頂端與地面的距離是使用這個(gè)梯子所能攀到的最大高度．因此使用這個(gè)梯子能夠安全攀到墻面的最大高度約是5.8m所以BC≈6×0.97≈5.8由計(jì)算器求得sin75°≈0.97由得ABαC2021/7/26106問題（1）可以歸結(jié)為：在Rt△ABC中，已知∠A＝75°，對(duì)于問題（2），當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí)，求梯子與地面所成的角a的問題，可以歸結(jié)為：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜邊AB＝6，求銳角a的度數(shù)由于利用計(jì)算器求得a≈66°

因此當(dāng)梯子底墻距離墻面2.4m時(shí)，梯子與地面所成的角大約是66°由50°＜66°＜75°可知，這時(shí)使用這個(gè)梯子是安全的．ABCα2021/7/26107對(duì)于問題（2），當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí)，求梯子與地面所ABabcC一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素即三條邊和兩個(gè)銳角

2021/7/26108ABabcC一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素即在圖中的Rt△ABC中，（1）根據(jù)∠A＝75°，斜邊AB＝6，你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎？探究ABCα能6=75°2021/7/26109在圖中的Rt△ABC中，探究ABCα能6=75°2021/7在圖中的Rt△ABC中，（2）根據(jù)AC＝2.4，斜邊AB＝6，你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎？探究ABCα能62.42021/7/26110在圖中的Rt△ABC中，探究ABCα能62.42021/7/事實(shí)上，在直角三角形的六個(gè)元素中，除直角外，如果再知道兩個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊），這個(gè)三角形就可以確定下來，這樣就可以由已知的兩個(gè)元素求出其余的三個(gè)元素．ABabcC

解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程．解直角三角形2021/7/26111事實(shí)上，在直角三角形的六個(gè)元素中，除直角外，如果再知道兩個(gè)元（2）兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°（3）邊角之間的關(guān)系（1）三邊之間的關(guān)系（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：2021/7/26112（2）兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°（3）邊角之間的關(guān)系例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，解這個(gè)直角三角形解：ABC2021/7/26113例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，例2如圖，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解這個(gè)直角三角形（精確到0.1）解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°ABCabc2035°你還有其他方法求出c嗎？2021/7/26114例2如圖，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解這個(gè)例3如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分線，解這個(gè)直角三角形。DABC6解：因?yàn)锳D平分∠BAC2021/7/26115例3如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠B在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形；（1）a=30,b=20;練習(xí)解：根據(jù)勾股定理ABCb=20a=30c2021/7/26116在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形；練

在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形；(2)∠B＝72°，c=14.ABCbac=14解：2021/7/26117在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條

解決有關(guān)比薩斜塔傾斜的問題．

設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為A，過B點(diǎn)向垂直中心線引垂線，垂足為點(diǎn)C（如圖），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m所以∠A≈5°28′

可以求出2001年糾偏后塔身中心線與垂直中心線的夾角．你愿意試著計(jì)算一下嗎？ABCABC2021/7/26118解決有關(guān)比薩斜塔傾斜的問題．解直角三角形∠A＋∠B＝90°a2+b2=c2三角函數(shù)關(guān)系式計(jì)算器

由銳角求三角函數(shù)值由三角函數(shù)值求銳角

歸納小結(jié)解直角三角形：由已知元素求未知元素的過程直角三角形中，AB∠A的對(duì)邊aC∠A的鄰邊b┌斜邊c2021/7/26119解直角∠A＋∠B＝90°a2+b2=c2三角函數(shù)計(jì)算器28.2.2應(yīng)用舉例（一）2021/7/2612028.2.2應(yīng)用舉例（一）2021/7/265030°45°BOA東西北南【方位角】指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成小于900的角,叫做方位角.如圖：點(diǎn)A在O的北偏東30°點(diǎn)B在點(diǎn)O的南偏西45°（西南方向）2021/7/2612130°45°BOA東西北南【方位角】指南或指北的例5.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（精確到0.01海里）65°34°PBCA2021/7/26122例5.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91=72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向時(shí)，它距離燈塔P大約130.23海里．65°34°PBCA2021/7/26123解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－6練習(xí)：海中有一個(gè)小島A，它的周圍8海里范圍內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？BADF60°1230°2021/7/26124練習(xí)：海中有一個(gè)小島A，它的周圍8海里范圍內(nèi)有暗礁，漁船跟BADF解：由點(diǎn)A作BD的垂線交BD的延長線于點(diǎn)F，垂足為F，∠AFD=90°由題意圖示可知∠DAF=30°設(shè)DF=x,AD=2x在Rt△ABF中，解得x=610.4>8沒有觸礁危險(xiǎn)30°60°2021/7/