第四 三角x軸正半軸重合，終邊在坐標(biāo)平面內(nèi)任意確定位置的角的集合。P(rcosrsin)用處很多，要刻意體驗(yàn)。知識(shí)梳l、S1rl1r2（注意02 與角2k（kZ1弧度的角，180(2k2k2

(2k2

,2k第三象限的角：(2k,2k 2

(2k

,2k22x軸正半軸上的角：2k x軸負(fù)半軸上的角：2k y軸正半軸上的角：2k ；y軸負(fù)半軸上的角：2k （可寫為2k x軸上的角：k；y軸上的角：k （可寫為2k 2

（以上kZ在直角坐標(biāo)系內(nèi)，角xx2P(x,y)，OPrx2則sinycosxtanycotxsecrcsc

把角看成是一個(gè)銳角，則2k（第一象限，（第二象限（第三象限 2、（第四象限

（第一象限

（第二象限3（第三象限

（第四象限典型例【1（1）R，求扇形圓心角和面（1）設(shè)這個(gè)扇形的圓心角為，則2RRR，所以S，則S1(2（2）設(shè)扇形的半徑為r，圓心角為 1r24

5r40,r4rr r 所以l8或l2，則8（舍）或 【2】若是第二象限角，則2

2【3（1）已知角P(3y，且sin2y3若P(x

5，且cos

2x，求sin4xy9y 2,y236,y0，y69y x2是第三象限角，xx2

，cos

2x x2x2x23所以sin4cot(4)cos()cos(3)tan(【例4（1）

tan()2

)cos(3)sin(（2）若tancotxxcos(3sin(

kxk

30的兩實(shí)根，且372（1）原式cotcossintan)1tancotcossin)（2）由定理：tancotk231,所以k243

，tan0,cot0,sin0,cos02ktancot0，所以kk20成立，而tancot

1

2sincos22(sincos)22sincos0，所以sincos22cos(3)sin()cossin2 【備用題1（1）已知 ，則cos的取值范 已知sin

，則323已知sin1且cos2

，則323（1） （2）(2

,23

),3 (2

,26

),62】設(shè)鞏固練

2

sintan已知2，則與310米的圓形彎道中，120f(x2

1，f(162f(2008已知角的終邊過(guò)點(diǎn)(3a9a2，且cos0sin0，則a若角y3x的圖像上，則cosf(x)

tansintan

sinsin

tan

sin(2)tan()cot( 2

)cot(32的圓中，一個(gè)扇形的周長(zhǎng)等于半圓的弧長(zhǎng)，求扇形的圓心角的大小及該扇形P(5t,12t)(t0為角終邊上的點(diǎn)，求角已知角

3m，且sin

2m，求cos和tan4AxA在圓周上依逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，已A1分鐘轉(zhuǎn)過(guò)(0，2分鐘到達(dá)第三象限，14分鐘回到原來(lái)位置，求的值。知識(shí)梳（1）sin2cos21，1tan2sec2，1cot2csc2 ，

sinsincsc1cossec1tancot已知角關(guān)于sin與cos（1）(sincos)212sincos1sin（2）(sincos)212sincos1sin典型例【1】已知sin

11

,cos

3a11a

，若是第二象限角，求實(shí)數(shù)a思路分析：由sin2cos21a的以后，一定要重視角θ解：由sin2cos21得9a210a10,a1或a9又sin0cos0得1a1，所以a 【2（1）已知tan3是第三象限角，求sinsintan(cossin

cot解：（1）tan3sec21tan210sin2sintan(cotcsc

，sin3原式tan(cossin

cotsintansinsintansin【3】已知tanx3

sinxcos

sin2xsinxcosx2cos2

x3cosxsinxcosx2sin cos2x2sinxcos思路分析：關(guān)于sin與cos的齊次形式的問(wèn)題，分子分母同除以cos（或cos2（1）

tanx112tan

2 27（2）原式

tan2xtanx212tan原式2sin2x3sinxcosx3sin2x3cos2xcos2x(5tan2x3tanx5tan2x3tanx31tan2 【4】若sin(2cos(2，求sin(75cos(2)3sin(3)sin()解：由sin()2cos(2得sin2cos顯然cos0,tansin

tan 故原式3cossin

tan 【備用題】已知sincos

2(03（2）（3）解：由已知得：12sincos

2,2sincos7 0,2

2

,sincossincos

4(sin(sincos)24sin2 222

,sin0,cos cos

sin4 sincos

cos

tan26

947sin3cos3(sincos)(sin2sincoscos2)鞏固練若tan2，且為第三象限的角，則sin 若sin

1cos21cos21sin2

1，則(sec21)(1sin2化簡(jiǎn)

) csc2cot2已知1cos23sincos，則tan若sincos1，( )，則cossin 4若2cosx3sinx7，則tanx ，cos2x5sin2x2sinx2cos若sin(x35

sin(x)sec(3x)cos(x)tan(x)csc(x2)sin(2

已知sin

kk

，cos

4 ，k

，則cot已知cos4

cos()2sin(32

2tan(3)cot(

已知cos是方程5x26x80cos(9)costan2

sin7sin3cot3

已知sincos1且0,，求tan5若tancotxx2kxk230的兩實(shí)數(shù)根，且372求cos(3sin(三角恒等式（二知識(shí)梳cos()coscossinsin，cos()coscossinsinsin()sincoscossin，sin()sincoscossintan()tantan1tantan

，tan()tantan1tantansin22sincos2cos2sin22cos2112sin22tan 1tan2sin 1tan21tan2cos2

1tan2tan21tan2a2a2

bsin(，其中tanba典型例3【例1（1）已知sin ，3

,，求sin(

41設(shè)2

2，cos()cossin()sin 3求cos2已知cos2，求sin2 4 44（1） 5則sin(sincoscossin

3

2(4)

27 （2）由題設(shè)得cos1sin22，則cos22cos217（3）sin29

3 【2】已知cos(

) 5

求cos(22

4解：4

4

7,cos(44

)0,

4

74所以sin(

) sin() 2(sincos),cos() 2(cossin sincos5

2,cossin5

2,cos224sin2(sincos)21cos(23) 2(cos2sin2) 【3cos2cos2cos2 3 3 32【4（1）已知tan(

2,tan(5

)4

1，求tan(4

4（2）已知tan(（1）

1,tan

0,tan(2及2 2tan(

)tan[()( 4 4 1tan()tan()

12 1（2）因tantan[()] ，則tan(2)tan[()]13(0,),(,)，tan230，2(0,),(, 2(,0),234【1（1）tantansintansin

cotcsc思路分析：本例（1）可從多個(gè)角度思考，比如可從1sin2sincos

1cos22sin21cos22cos2，則可得到方法二；由于等式左邊所含的都是同角三角比（sin2cos2tan，于是又可得到方法三；1cos21cos2除以sin2（1）(sincos)2(cos2sin2)(sincos)(cossin)(sincos)2(cos2sin2

(sincos)(cossin

2sincos2sin22sincos2cos2

tansintansintansin11(1cos(1cos)(1cossin（2）左邊 sin cos右邊cotcsc 則sin0，且2k2

所以2k2k且2k2

，k鞏固練若cot(2，則2

已知tan1tan1則tan2 已知sin

4，cos() 2

、都是第一象限的角，則sin

3若sin，cos是二次方程2x(333

1)xm0

1

1tan已知3

，則tantan

tantancos(20xcos(25xcos(70xsin(25x1sin21sin22 已知4

3，求sin22

已知sinsin1coscos1，求cos( 10．已知

、tan

是方程x2axa1

的兩個(gè)實(shí)根，求證：sin(cos(2211.集合{1,2,...,n}對(duì)常數(shù)0的“余弦方差”定義221n

(10)

(20)...

(n0，求證集合

,2,相對(duì)3數(shù)0的余弦方差是與0無(wú)關(guān)的常12（1）把3sinxcosx和3sinx4cosxAsin(x02（2）若表達(dá)式3sin2k和

sincos4cos2k可化為sin2，02知識(shí)梳asin

sin

sin

2R（R為ABC的外接圓的半徑a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosS1absinC1bcsinA1casin 典型例【例1】例1（1）已知abc是ABC中ABC的對(duì)邊，S是ABC3a4，b5，S ，求c3在ABC中，已知B45，DBC上一點(diǎn)，AD=5，AC=7，DC=3，求3在ABC中，已知a1，B3

，S3

tanC（1）2

，則C60或C323所以由余弦定理得c的長(zhǎng) cosC11，則sinC53AB5 S1acsinB得c4，則由余弦定理得b213于是cosC ，所以tanC13【2（1）在ABCB30b503c150求a（2）在ABC中，已知cosB

,sinC

，求cosA（1）（2）（3）（4）（5）解（1）方法1、b2a2c22accosB7500a222500300a 33233a2

3a150000a

a2b方法2、 2b

,sinC

3,C或sin

33當(dāng)A90,a ，當(dāng)A30,ab33（2）cosB5

,sinB

3又sinC5

,cosC sinC

sinB,CB，即C必是銳角，cosCcosA124

53 【3】在ABCacosBbcosbcosBacosa、b、cA、B、C（1）由題設(shè)得2RsinAcosB2RsinBcosA，即sinAB)AB由題設(shè)得2RsinBcosB2RsinAcosA，即sin2Bsin22B2A或2B2A，即BABA2由題設(shè)得b2ac，且2BACBa2c2 a2c2 由cosB 得ac2ac0即a

【4】ABCR

2a3 ，求B和b3 22RsinA2Rsin

得cosCsinB2sinAcosBsinCcos2Rsin即cosCsinBsinCcosB2sinAcosBsin(BC)sin3故cosB1BsinB3

，于是b2RsinB 所以Bb3【1ABCa2CcosB25ABC的面積S sinB，cosB，再求出sinAsin(B

S 8782】△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、Ca、b、cz1a（1）（2）若△ABC中，csinCz1

（1）z1z2acosAbcosBacosBbcosA)iacosAbcosB2RsinAcosA2RsinBcosBsin2AsinABAB

2（2）2RsinCsinC,2Rz1

acosA(bcosB)ia2b2cos2Acos2B2acosA2bcos2,2a2b2cos2Acos2B2acosA2bcossin2A1sin2B1AB，所以△ABC4鞏固練43在ABC中，B45，c22，b ，則A43 ，SABC在ABC2R(sin2Asin2C)(absinB，則角Ca、b、cx的方程(a2bc)x2等的實(shí)數(shù)根，則邊aA在ABC中，三條邊的比為234

b2c2x10在ABC中，若cosAcosBsinAsinB，則ABC為 (A)銳角三角 (B)鈍角三角 (C)等邊三角 (D)直角三角在ABC中，已知a2tanBb2tanA在ABC中，已知a3，c33，A30，求角C、B及邊b在ABC

abcosCcbcos

sinsin在ABCA60，b

ABC

3a3

absinAsinBsin

tanAtanB

3

c 727

33a2知識(shí)梳典型例【1】ABCA120AB5BC7，則ABC解：由余弦定理得b25b240，故b3S154【例2ABCabcABC的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2c2acbc，求AbsinBc解：因b2aca2c2b2bc，即b2c2a2bc，于是cosA1A32232 又 及

ac得

bsinB

sinAbsinb

sin

csin

sin A

bsinB3 3【3BC60，在山頂CA45，已知塔高AB20米，求山高。CEACEAECEA設(shè)ECEA ，在 中xx

tan60

3，x103 3所以山高為30103

海里，且在北偏東30的方向3BA相距3

海里，且在北偏西75ADB在南偏西60C與D相距多少海里？CD的什么方向？解：由題意知，在△BCD中，156

，DA 在△BCDCD2302

3)2230

3 3300，CD3233所以燈塔C與D相距 海里，C在D的南偏東30方向3【1A20B處有一艘漁3010里CB（1[解]連接BC,由余弦定理得 7于是 71037∵sinACBsin120 1037

??2】120B.小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處.小區(qū)里有一條平行于BO的小路CD.已知從C沿CD走到D10DDAA650米，求該扇形的半徑OA的長(zhǎng)（1米【解】解法一：設(shè)該扇形半徑為r米，連接COCDOCD500（米DA300(米)CDOCDO在△CDO中，CD2OD22CDODcos600 即5002r300)22500(r3001r22 解得： 445（米）.所以，該扇形的半徑OA的長(zhǎng)約445米解法二：ACOHACACCD＝500米，AD＝300米，CDA＝1200在AC2CD2AD2

3002250030012AC2AD2 ， 在直角△HAO中，AH

2AC =4900445（米）. 【答】該扇形的半徑OA445米鞏固練在ABC中，S 3，a23，b2，求cABC（sinAsinBsinCsinAsinBsinC3sinAsinB，求在ABCa、b、cA、B、C的對(duì)邊，若4cos2Ccos2AB)7c2

，又ABC2

3a、b330CD，今甲船在A處測(cè)得乙船在北偏東70°方向，兩船相距10海里，且乙船正沿著南偏東40°12海里的速度航行，經(jīng)過(guò)半小時(shí)，甲船追上乙船，問(wèn)甲船的航行方向是南偏東多少度？航行的速