1117.1勾股定理人教2011版數(shù)學(xué)八年級下冊第十七章第一節(jié)第一課時1117.1勾股定理人教2011版數(shù)學(xué)八年級下冊第十七章1

在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為"勾"，下半部分稱為"股“.我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.人們對勾股定理的認(rèn)識，經(jīng)歷過一個從特殊到一般的過程，很難區(qū)分是誰最先發(fā)明的.勾股

史話勾股定理在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為"勾2

兩千多年前，古希臘有個畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理。相傳，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派找到了勾股定理的證明后，欣喜若狂，殺了一百頭牛祭神，由此，又有“百牛定理”之稱。。

我國是最早了解勾股定理的國家之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.故稱之為“勾股定理”或“商高定理”。

史話勾股定理兩千多年前，古希臘有個畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們發(fā)現(xiàn)了3

兩千年前發(fā)現(xiàn)的勾股定理，現(xiàn)在在探索宇宙奧秘的過程中仍然可以發(fā)揮作用呢！我國已故著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議用這個圖作為與“外星人”聯(lián)系的信號.

兩千年前發(fā)現(xiàn)的勾股定理，現(xiàn)在在探索宇宙奧秘的過程中仍然4

相傳兩千五百年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來觀察左面的圖案，看看能發(fā)現(xiàn)什么？

看一看相傳兩千五百年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客5

數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：正方形A、B、C的面積有什么關(guān)系？等腰直角三角形三邊有什么關(guān)系？SA+SB=SC兩直角邊的平方和等于斜邊的平方ABCabca2+b2=c2

探究一abc數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：正方形A、B、C的面積有什么關(guān)系6ABC討論交流如何計算正方形C的面積？

如圖，每個小方格的邊長均為1.（1）計算圖中正方形A、B、C的面積.（2）圖中正方形A、B、C面積之間有何關(guān)系？（3）圖中正方形A、B、C所圍成的直角三角形三邊之間有什么關(guān)系？916？其它直角三角形是否也存在這種關(guān)系？

探究二ABC討論交流如何計算正方形C的面積？如圖，每個小方7ABCCABC用了“割”的方法用了“補(bǔ)”的方法SC=S大正方形-4×S小直角三角形

743SC=4×S小直角三角形

+S小正方形43ABCCABC用了“割”的方法用了“補(bǔ)”的方法SC=S大正方8

如圖，每個小方格的邊長均為1，（1）計算圖中正方形A、B、C的面積.（2）圖中正方形A、B、C面積之間有何關(guān)系？（3）圖中正方形A、B、C所圍成的直角三角形三邊之間有什么關(guān)系？

發(fā)現(xiàn):

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.ABCabc91625其它直角三角形是否也存在這種關(guān)系？a2+b2=c2

探究二SA+SB=SC如圖，每個小方格的邊長均為1，發(fā)現(xiàn):直角三9ABCacb如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊為c

，那么a2+b2=c2

猜想ABCacb如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊為c10動手做：畫一個直角三角形，它的兩直角邊的長分別是3cm和4cm

動手量:它的斜邊長是多少?動手算:

三邊各自的平方有什么關(guān)系?

動腦猜：任意直角三角形兩直角邊的平方和都等于斜邊的平方嗎?動手驗證動手做：畫一個直角三角形，它的兩直角邊的長分別是3cm和4c11cab1、拿出準(zhǔn)備好的四個全等的直角三角形（設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊c）；2、你能用這四個直角三角形拼成一個正方形嗎？拼一拼試試看3、你拼的正方形中是否含有以斜邊c為邊長的正方形？4、你能否就你拼出的圖說明a2+b2=c2？拼圖證明cab1、拿出準(zhǔn)備好的四個全等的直角三角形（設(shè)直角三角形的兩12ABCCABC如何利用下圖證明a2+b2=c2？拼圖證明ABCCABC如何利用下圖證明a2+b2=c2？拼圖證明13可得:

a2+b2

=c2思考:大正方形面積怎么求？大正方形的面積可以表示為；也可以表示為(a+b)2拼圖證明1cabcabcabcab可得:a2+b2=c2思考:大正方形面積怎么求？大14結(jié)論：大正方形的面積可以表示為；也可以表示為c2拼圖證明2cabcabcabcab結(jié)論：大正方形的面積可以表示為151.成立條件：在直角三角形中；3.作用：已知直角三角形任意兩邊長，求第三邊長.2.公式變形:abc如果直角三角形兩直角邊長分別為a、b,斜邊長為c，那么勾股定理（注意：哪條邊是斜邊）1.成立條件：在直角三角形中；3.作用：已知直角三角形任意16圖1-1三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》給出的，被稱為“趙爽弦圖”.趙爽用它證明了勾股定理。圖1-2是在北京召開的2002年國際數(shù)學(xué)家大會（TCM－2002）的會標(biāo)，其圖案正是“弦圖”，它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就.

圖1-1圖1-2趙爽弦圖

古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討、研究它的證明，新證法不斷出現(xiàn)。目前世界上共有500多種證明“勾股定理”的方法。其中包括大畫家達(dá)·芬奇和美國總統(tǒng)加菲爾德的證法。圖1-1三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》給出的，被稱為17結(jié)論:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7

勾股定理運(yùn)用1結(jié)論:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7勾股定理運(yùn)用1811美麗的勾股樹通過這種方法，可以把一個正方形的面積分成若干個小正方形的面積的和，不斷地分下去，就可以得到一棵美麗的勾股樹．11美麗的勾股樹通過這種方法，可以把一個正方形的面積分成195

勾股定理運(yùn)用21<c<7斜邊直角邊5勾股定理運(yùn)用21<c<7斜邊直角邊20

如圖，學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”，僅僅少走了________步路,卻踩傷了花草。（假設(shè)1米為2步）34“路”ABC54應(yīng)用知識回歸生活1走文明路，做文明人如圖，學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角走2158cm46cm46cm58cm

小明媽媽買了一部29英寸（74厘米）的電視機(jī)．小明量了電視機(jī)的屏幕，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58厘米長和46厘米寬．他覺得一定是售貨員搞錯了，你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？通常來講電視機(jī)的大小是以屏幕的對角線長度來衡量的，按照1英寸≈2.54厘米的標(biāo)準(zhǔn)來計算的。在誤差范圍內(nèi)，售貨員沒有搞錯。應(yīng)用知識回歸生活258cm46cm46cm58cm小明媽媽買了一部29英寸（22

拓展提高圖1圖21717拓展提高圖1圖2171723

課堂小結(jié)數(shù)學(xué)知識

：勾股定理——如果直角三角形兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么請同學(xué)們談?wù)劚竟?jié)課的收獲

數(shù)學(xué)方法：1.觀察—探索—猜想—驗證—歸納—應(yīng)用

2.“割補(bǔ)、拼接”法數(shù)學(xué)思想：1.特殊—一般

2.數(shù)形結(jié)合思想

3.分類討論思想解題策略：學(xué)會把實際生活中的問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決。

感受數(shù)學(xué)文化的價值和我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的成就。

a2+b2

=c2課堂小結(jié)數(shù)學(xué)知識：勾股定理——如果直角三角形兩直角24（1）課本P281,2,3,布置作業(yè)（2）通過查閱資料，閱讀了解更多有關(guān)勾股定理的證明方法．下節(jié)課展示.（1）課本P281,2,3,布置作業(yè)（2）通過查閱資25aabbcc

證法欣賞11876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的證法。1881年，加菲爾德就任美國第20任總統(tǒng)。后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)證法”。3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積aabbcc證法欣賞11876年4月1日，加菲爾德在《新英26左圖的面積為

右圖的面積為可知a2+b2=C2

“趙爽弦圖”通過對圖形的切割、拼接，巧妙的利用面積關(guān)系證明了勾股定理，它表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲。

證法欣賞2左圖的面積為右圖的面積為“趙爽弦圖”27以劉徽的“青朱出入圖”為代表，證明不需用任何數(shù)學(xué)符號和文字，更不需進(jìn)行運(yùn)算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，被稱為“無字證明”.

青出朱入朱出朱方青方青入青入青出青出朱入朱出

證法欣賞3以劉徽的“青朱出入圖”為代表，證明不需用任何數(shù)學(xué)符號和文字，28abc①②③④⑤以劉徽的“青朱出入圖”為代表，證明不需用任何數(shù)學(xué)符號和文字，更不需進(jìn)行運(yùn)算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，被稱為“無字證明”.

證法欣賞3abc①②③④⑤以劉徽的“青朱出入圖”為代表，證明不需用任29c2

證法欣賞4據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時做出的證明.c2證法欣賞4據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時做出的證明30

證法欣賞4據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時做出的證明.證法欣賞4據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時做出的證明.31

證法欣賞4據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時做出的證明.證法欣賞4據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時做出的證明.32a2b2a2+b2=c2

證法欣賞4據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時做出的證明.a2b2a2+b2=c2證法欣賞4據(jù)傳是當(dāng)年畢33

證法欣賞5在印度、阿拉伯世界和歐洲出現(xiàn)的一種拼圖證明.證法欣賞5在印度、阿拉伯世界和歐洲出現(xiàn)的一種拼圖證明.3411祝同學(xué)們學(xué)習(xí)進(jìn)步！11祝同學(xué)們學(xué)習(xí)進(jìn)步！351117.1勾股定理人教2011版數(shù)學(xué)八年級下冊第十七章第一節(jié)第一課時1117.1勾股定理人教2011版數(shù)學(xué)八年級下冊第十七章36

在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為"勾"，下半部分稱為"股“.我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.人們對勾股定理的認(rèn)識，經(jīng)歷過一個從特殊到一般的過程，很難區(qū)分是誰最先發(fā)明的.勾股

史話勾股定理在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為"勾37

兩千多年前，古希臘有個畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理。相傳，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派找到了勾股定理的證明后，欣喜若狂，殺了一百頭牛祭神，由此，又有“百牛定理”之稱。。

我國是最早了解勾股定理的國家之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.故稱之為“勾股定理”或“商高定理”。

史話勾股定理兩千多年前，古希臘有個畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們發(fā)現(xiàn)了38

兩千年前發(fā)現(xiàn)的勾股定理，現(xiàn)在在探索宇宙奧秘的過程中仍然可以發(fā)揮作用呢！我國已故著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議用這個圖作為與“外星人”聯(lián)系的信號.

兩千年前發(fā)現(xiàn)的勾股定理，現(xiàn)在在探索宇宙奧秘的過程中仍然39

相傳兩千五百年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來觀察左面的圖案，看看能發(fā)現(xiàn)什么？

看一看相傳兩千五百年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客40

數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：正方形A、B、C的面積有什么關(guān)系？等腰直角三角形三邊有什么關(guān)系？SA+SB=SC兩直角邊的平方和等于斜邊的平方ABCabca2+b2=c2

探究一abc數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：正方形A、B、C的面積有什么關(guān)系41ABC討論交流如何計算正方形C的面積？

如圖，每個小方格的邊長均為1.（1）計算圖中正方形A、B、C的面積.（2）圖中正方形A、B、C面積之間有何關(guān)系？（3）圖中正方形A、B、C所圍成的直角三角形三邊之間有什么關(guān)系？916？其它直角三角形是否也存在這種關(guān)系？

探究二ABC討論交流如何計算正方形C的面積？如圖，每個小方42ABCCABC用了“割”的方法用了“補(bǔ)”的方法SC=S大正方形-4×S小直角三角形

743SC=4×S小直角三角形

+S小正方形43ABCCABC用了“割”的方法用了“補(bǔ)”的方法SC=S大正方43

如圖，每個小方格的邊長均為1，（1）計算圖中正方形A、B、C的面積.（2）圖中正方形A、B、C面積之間有何關(guān)系？（3）圖中正方形A、B、C所圍成的直角三角形三邊之間有什么關(guān)系？

發(fā)現(xiàn):

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.ABCabc91625其它直角三角形是否也存在這種關(guān)系？a2+b2=c2

探究二SA+SB=SC如圖，每個小方格的邊長均為1，發(fā)現(xiàn):直角三44ABCacb如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊為c

，那么a2+b2=c2

猜想ABCacb如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊為c45動手做：畫一個直角三角形，它的兩直角邊的長分別是3cm和4cm

動手量:它的斜邊長是多少?動手算:

三邊各自的平方有什么關(guān)系?

動腦猜：任意直角三角形兩直角邊的平方和都等于斜邊的平方嗎?動手驗證動手做：畫一個直角三角形，它的兩直角邊的長分別是3cm和4c46cab1、拿出準(zhǔn)備好的四個全等的直角三角形（設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊c）；2、你能用這四個直角三角形拼成一個正方形嗎？拼一拼試試看3、你拼的正方形中是否含有以斜邊c為邊長的正方形？4、你能否就你拼出的圖說明a2+b2=c2？拼圖證明cab1、拿出準(zhǔn)備好的四個全等的直角三角形（設(shè)直角三角形的兩47ABCCABC如何利用下圖證明a2+b2=c2？拼圖證明ABCCABC如何利用下圖證明a2+b2=c2？拼圖證明48可得:

a2+b2

=c2思考:大正方形面積怎么求？大正方形的面積可以表示為；也可以表示為(a+b)2拼圖證明1cabcabcabcab可得:a2+b2=c2思考:大正方形面積怎么求？大49結(jié)論：大正方形的面積可以表示為；也可以表示為c2拼圖證明2cabcabcabcab結(jié)論：大正方形的面積可以表示為501.成立條件：在直角三角形中；3.作用：已知直角三角形任意兩邊長，求第三邊長.2.公式變形:abc如果直角三角形兩直角邊長分別為a、b,斜邊長為c，那么勾股定理（注意：哪條邊是斜邊）1.成立條件：在直角三角形中；3.作用：已知直角三角形任意51圖1-1三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》給出的，被稱為“趙爽弦圖”.趙爽用它證明了勾股定理。圖1-2是在北京召開的2002年國際數(shù)學(xué)家大會（TCM－2002）的會標(biāo)，其圖案正是“弦圖”，它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就.

圖1-1圖1-2趙爽弦圖

古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討、研究它的證明，新證法不斷出現(xiàn)。目前世界上共有500多種證明“勾股定理”的方法。其中包括大畫家達(dá)·芬奇和美國總統(tǒng)加菲爾德的證法。圖1-1三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》給出的，被稱為52結(jié)論:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7

勾股定理運(yùn)用1結(jié)論:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7勾股定理運(yùn)用5311美麗的勾股樹通過這種方法，可以把一個正方形的面積分成若干個小正方形的面積的和，不斷地分下去，就可以得到一棵美麗的勾股樹．11美麗的勾股樹通過這種方法，可以把一個正方形的面積分成545

勾股定理運(yùn)用21<c<7斜邊直角邊5勾股定理運(yùn)用21<c<7斜邊直角邊55

如圖，學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”，僅僅少走了________步路,卻踩傷了花草。（假設(shè)1米為2步）34“路”ABC54應(yīng)用知識回歸生活1走文明路，做文明人如圖，學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角走5658cm46cm46cm58cm

小明媽媽買了一部29英寸（74厘米）的電視機(jī)．小明量了電視機(jī)的屏幕，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58厘米長和46厘米寬．他覺得一定是售貨員搞錯了，你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？通常來講電視機(jī)的大小是以屏幕的對角線長度來衡量的，按照1英寸≈2.54厘米的標(biāo)準(zhǔn)來計算的。在誤差范圍內(nèi)，售貨員沒有搞錯。應(yīng)用知識回歸生活258cm46cm46cm58cm小明媽媽買了一部29英寸（57

拓展提高圖1圖21717拓展提高圖1圖2171758

課堂小結(jié)數(shù)學(xué)知識

：勾股定理——如果直角三角形兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么請同學(xué)們談?wù)劚竟?jié)課的收獲

數(shù)學(xué)方法：1.觀察—探索—猜想—驗證—歸納—應(yīng)用

2.“割補(bǔ)、拼接”法數(shù)學(xué)思想：1.特殊—一般

2.數(shù)形結(jié)合思想

3.分類討論思想解題策略：學(xué)會把實際生活中的問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決。

感受數(shù)學(xué)文化的價值和我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的成就。

a2+b2

=c2課堂小結(jié)數(shù)學(xué)知識：勾股定理——如果直角三角形兩直角59（1）課本P281,2,3,布置作業(yè)（2）通過查閱資料，閱讀了解更多有關(guān)勾股定理的證明方法．下節(jié)課展示.（1）課本P281,2,3,布置作業(yè)（2）通過查閱資60aabbcc

證法欣賞11876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的證法。1881年，加菲爾德就任美