第二章、連續時間系統的時域分析主要內容：系統的數學模型零輸入響應與零狀態響應奇異函數與信號的時域分解沖激響應與階躍響應卷積

第二章、連續時間系統的時域分析主要內容：§2.1引言連續時間系統的分析，歸結為建立并且求解線性常系數微分方程，求解微分方程通常有兩種方法：一是直接求解，因涉及的函數變量都是時間t，所以稱時域分析法；二是變換的方法，即將時間變量變換為其他變量，所以也稱變換域分析法。這一章我們主要討論時域分析法，下面先看一個RLC串聯電路§2.1引言連續時間系統的分析，歸結為建立并且求解線性常系列回路方程可得:或列回路方程可得:或一、經典解法這種形式的方程其解法在高等數學中已學過。求解過程可分為三步：1、求出齊次方程的通解。（稱自由響應）2、根據激勵函數的具體形式求特解。（稱受迫響應）3、根據初始條件求待定系數。這種方法對于簡單的正弦函數或指數函數、直流激勵時求解比較簡單，但對于一些復雜的激勵信號求解就比較困難了。一、經典解法

二、疊加積分法這種方法將全響應分為零輸入響應和零狀態響應r(t)=rzi(t)+rzs(t)初態≠0系統二、疊加積分法初態≠0初態=0系統初態=0系統初態=0系統初態=0初態=0初態=01、求解齊次方程，根據初始狀態求出待定系數得rzi(t)2、將e(t)分解為基本函數，分別求解系統對這些基本函數的響應。3、根據線性系統的疊加原理將它們相加得rzs(t)4、r(t)=rzi(t)+rzs(t)1、求解齊次方程，根據初始狀態求出待定系數得rzi(t)§2.2系統方程的算子表示法對于n階線性非時變系統其輸入輸出方程為引入算子則方程可改寫為：§2.2系統方程的算子表示法對于n階線性非時變系統其輸入輸出進一步可寫成：進一步可寫成：p就不能隨意消去，除非x(-∞)=0，另外由px=py

也不能推出x=y

這是因為p就不能隨意消去，除非x(-∞)=0，另外由px=py也結論：1、代數量的運算規則對于算子符號一般也適用，只是在分子分母或等式兩邊的相同算子符號不能隨意約去。2、它表達的是一個運算過程，應把它作為整體看待，書寫時也應把它寫在變量的左邊，表示該運算過程作用于某個變量。3、算子形式的方程實質上還是一個微分方程。因此對于零輸入響應就是解齊次方程D(p)r(t)=0

，而求零狀態響應則要解方程r(t)=H(p)e(t)。下面我們先看一個例子結論：因此對于零輸入響應就是解齊次方程D(p)r(t)=0例:電路如圖所示，寫出i1(t),i2(t)的轉移算子。解：直接用算子符號列方程：例:電路如圖所示，寫出i1(t),i2(t)的轉移算子。信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析討論：1、在電路中有三個獨立的儲能元件，為一個三階系統，特征方程應為三次方程，即H(p)的分母多項式的最高次數應為三次。2、所以這類題目也可直接求解，最后通過核對電路的階數來確定是否能消去分子分母中的公共因子。討論：§2.3系統的零輸入響應前面已經指出求零狀態響應就是求解齊次方程：先看一階、二階的簡單情況，然后再推廣到一般情況。§2.3系統的零輸入響應前面已經指出求零狀態響應就是求解齊次其中的C為常數，需要系統的初始條件來確定。設初始條件為：t=0時r=r(0)

其中的C為常數，需要系統的初始條件來確定。設初始條件為：t=一般地，設初始條件為：t=t0

時r=r(t0)

一般地，設初始條件為：t=t0時r=r(t0)顯然r1(t)，r2(t)都滿足原方程，所以解的一般形式可寫為：顯然r1(t)，r2(t)都滿足原方程，所以解的一般形式可寫若t=0時的初試條件為r(0),r’(0)，代入上式得：解之便可得C1，C2

對于一般的n階齊次方程可設其特征方程

有n個根λ1,λ2…λn稱特征根,也稱為系統自然頻率，或稱為轉移算子H(p)的n個極點。下面分根的三種不同情況來討論。

若t=0時的初試條件為r(0),r’(0)，代入上式得一、特征根為異（實）根算子方程寫為：由前面的討論可寫出解的一般形式：若給定系統的n個初始條件：

我們就可以確定其中的待定常數C1，C2，…Cn。將初始條件代入r(t)就得到一個線性方程組：一、特征根為異（實）根由前面的討論可寫出解的一般形式：若給定信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析二、特征根為共軛復根因為特征方程的系數為實數，所以如果出現復根則必定成對出現。設特征根λ1，λ2為一對共軛復根，即λ1=α+jβ，λ2=α-jβ

則對應的解為：二、特征根為共軛復根所以特征根為一對共軛復根時解的一般形式寫為：其中的C1，C2同樣可由初始條件求出。所以特征根為一對共軛復根時解的一般形式寫為：其中的C1，C2三、特征根為k階重根設特征根λ為k階重根，這種情況說明特征多項式D(p)中有因子(p-λ)k，根為其它的情況前面已作出討論，所以我們只要求解方程(p-λ)kr=0即可。三、特征根為k階重根信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析如此推下去可得：所以方程(p-λ)kr=0解的一般形式為：常數C1，C2，…Ck同樣可由初始條件求出。如此推下去可得：所以方程(p-λ)kr=0解的一般形式為：常例2-1如圖RLC串聯諧振電路，已知L=1H,C=1F,R=2.5Ω

初始條件為：1、i(0)=0A,i’(0)=1A/s2、i(0)=0A,uc(0)=10V分別求上述兩種情況下回路電流的零輸入響應。例2-1如圖RLC串聯諧振電路，已知L=1H,C=1解：前面我們已經列出了它的微分方程寫成算子形式：解：前面我們已經列出了它的微分方程寫成算子形式：1、初始條件為i(0)=0A,i’(0)=1A/s時1、初始條件為2、初始條件為i(0)=0A,uc(0)=10V時初始條件uc(0)=10V不能直接用于確定常數C1,C2所以必須轉化為i’(0)。2、初始條件為i(0)=0A,uc(0)=10V時代入零輸入響應的一般形式得：代入零輸入響應的一般形式得：1、初始條件為i(0)=0A,i’(0)=1A/s時1、初始條件為2、初始條件為i(0)=0A,uc(0)=10V時2、初始條件為i(0)=0A,uc(0)=10V時1、由于電容C上的初始電壓為10V方向為左正右負，所以電容放電，方向與參考方向相反，曲線在橫軸下方，由于電路中存在電阻將損耗能量，最終電流變為零。2、第一種情況i’(0)=1A/s相當于電容C上的初始電壓為-1V方向為右正左負，所以電容放電方向與參考方向相同，曲線在橫軸上方。電路的工作過程與第二種情況一樣。1、由于電容C上的初始電壓為10V方向為左正右負，所以電容放例2-2上例中將電阻改為R=2Ω

初始條件仍為：i(0)=0A,i’(0)=1A/s求回路電流的零輸入響應。解:例2-2上例中將電阻改為R=2Ω初始條件仍為：i(0)=討論：這種情況特征根為二階重根，在電路理論中屬于臨界阻尼的情況，電路工作過程與例2-1一樣。而例2-1在電路理論中屬于過阻尼的情況，臨界阻尼和過阻尼的零輸入響應電流都不出現振蕩。如果繼續減小電阻則零輸入響應電流將出現衰減的振蕩，在電路理論中稱欠阻尼。討論：這種情況特征根為二階重根，在電路理論中屬于臨界阻尼的情例2-3上例中將電阻改為R=1Ω

初始條仍件為：i(0)=0A,i’(0)=1A/s求回路電流的零輸入響應。解：例2-3上例中將電阻改為R=1Ω初始條仍件為：i(0)=1、i’(0)=1A/s相當于電容C上的初始電壓為-1V方向為右正左負，所以電容放電方向與參考方向相同，曲線在橫軸上方。電容放電時將電容中的電能轉化為電感中的磁能；討論：2、接下來電感中的磁能向電容釋放，當電感中的磁能全部轉化為電容中的電能時電感中的電流為零；3、電容中的電能反向釋放，曲線在橫軸下方，電容中的電能轉化為電感中的磁能；4、電感中的磁能向電容釋放方向與2相反，當電感中的磁能全部轉化為電容中的電能時，電感中的電流又變為零；5、接下來從1開始重復這個過程，由于電路中存在電阻將損耗能量，所以振蕩幅度逐步減小，最終衰減為零。1、i’(0)=1A/s相當于電容C上的初始電壓為-1V方零輸入響應小結：求解零輸入響應就是解齊次方程D(p)r(t)=0

，可根據特征方程D(p)=0根的三種不同情況寫出解的一般形式。零輸入響應小結：對于復雜的系統其特征根中可能既有異實根又有重根還可能有共軛復根，則系統零輸入響應的一般形式我們可以根據根的不同情況分別寫出，例如系統的特征根中λ1，λ2為兩個不同的實根，λ3=α+jβ，λ4=α-jβ為一對共軛復根，λ5為三階重根則系統零輸入響應的一般形式寫為：對于復雜的系統其特征根中可能既有異實根又有重根還可能有共軛復§2.4奇異函數

系統的全響應是零輸入響應和零狀態響應之和，上一節討論了零輸入響應的求法，后面幾節將討論零狀態響應的求法。本節先介紹幾個很有用的信號函數，由于這些信號在實際中并不存在，只是數學上對某些信號的一種抽象和理想化，所以稱為奇異函數。§2.4奇異函數一、單位階躍函數ε(t)單位階躍函數延遲t0的單位階躍函數任意一個函數f(t)乘ε(t)以后，其乘積在階躍之前為0，之后則保持f(t)不變。一、單位階躍函數ε(t)單位階躍函數延遲t0的單位階躍函數任我們來看下面的一個電路系統，原來輸入端沒有輸入，在t＝0時接入電源E。等效因此，階躍函數可以用來表示理想化了的開關接通一信號源的情況。我們來看下面的一個電路系統，原來輸入端沒有輸入，在t＝0時接二、單位沖激函數δ(t)二、單位沖激函數δ(t)

單位沖激函數δ(t)除了t=0外其余均為0。δ(t)

函數在t=0處的值沒有定義，但其面積為1，即：，其面積稱為單位沖激函數的沖激強度。在圖象上用括號括起來，表示沖激強度而不是函數的幅度；其幅度有時也將它看成無窮大，在圖象上用箭頭表示。單位沖激函數δ(t)除了t=0外其余均為0。δ單位沖激函數的幾個性質：單位沖激函數的幾個性質：ε(t)和δ(t)這二個奇異函數特別重要，要求重點掌握。有了這二個函數對一些分段表示的函數表達起來就比較方便，另外對一些不連續的函數也可以求導數了。ε(t)和δ(t)這二個奇異函數特別重要，要求重點掌握。有了例如：如圖所示的函數可分段表示為：例如：如圖所示的函數可分段表示為：

實際上對于這種函數的求導，通過圖形來求更方便。在函數連續的部分用常規的求導方法求，而在函數有跳變的地方則有一個沖激存在，沖激的方向取決于向上還是向下跳變，沖激的強度則取決于它的跳躍量。實際上對于這種函數的求導，通過圖形來求更方便三、單位斜變函數R(t)

三、單位斜變函數R(t)四、門函數

我們把幅度為1寬度為τ的對稱矩形脈沖信號稱為門函數，記為Gτ(t)，下標τ表示其寬度。則寬度為τ幅度為1/τ的門函數記為1/τGτ(t)。

四、門函數我們把幅度為1寬度為τ的對稱矩形脈沖五、單位沖激偶δ’(t)我們注意到門函數1/τGτ(t)，不管τ取何值它的面積總是1，當τ變小時它的幅度增大，但面積保持不變。所以，當τ→0時1/τGτ(t)→δ(t)

而1/τG’τ(t)→δ’(t)五、單位沖激偶δ’(t)我們注意到門函數1/τGτ(t)，不信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析δ’(t)為一正一負兩個沖激，因此稱單位沖激偶，帶括號的1標在中間，它并不表示沖激的強度，而表示單位沖激函數的導數。沖激偶有下面的性質

δ’(t)為一正一負兩個沖激，因此稱單位沖激偶，帶括號的1標§2.5信號的時域分解一、周期脈沖信號表示為奇異函數之和1、有始周期矩形脈沖§2.5信號的時域分解信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析2、有始周期鋸齒形脈沖信號2、有始周期鋸齒形脈沖信號信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析二、任意信號分解為異函數

任意信號表示為沖激函數的積分二、任意信號分解為異函數當Δt→0時為無窮小量，用dτ表示；kΔt→連續變量，記為τ；求和→積分；近似相等→相等。

當Δt→0時為無窮小量，用dτ表示；kΔt→連續變量，記為τ信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析§2.6階躍響應與沖激響應一、單位階躍響應與單位沖激響應系統對單位階躍函數ε(t)的零狀態響應稱單位階躍響應，用rε(t)表示；系統對單位沖激函數δ(t)的零狀態響應稱單位沖激響應，用h(t)表示。

§2.6階躍響應與沖激響應對于線性非時變系統有：證明：對于線性非時變系統有：證明：所以對于線性非時變系統，還有如下的結論：若：e(t)→r(t)則：e’(t)→r’(t)所以對于線性非時變系統，還有如下的結論：

可見rε(t)，h(t)只要求出其中之一，另一個也就相應地確定下來了。在實際的系統分析中更重要的是單位沖激響應h(t)。所以，下面我們主要討論單位沖激響應h(t)的求法。可見rε(t)，h(t)只要求出其中之一，二、單位沖激響應h(t)的求法h(t)是系統在單位沖激函數δ(t)激勵下的零狀態響應。所以當系統的激勵為δ(t)時，輸入輸出算子方程寫為：二、單位沖激響應h(t)的求法1、由轉移算子H(p)求h(t)

設特征方程有n個根λ1,λ2…λn。它們是特征根，也稱為轉移算子H(p)的n個極點，或叫系統自然頻率。下面要分幾種不同情況來討論。1、由轉移算子H(p)求h(t)設特征方程有n(1)、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn且n>m則H(p)可寫成部分分式的形式

(1)、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn且n>m信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析(2)、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn但n≤m這時我們可以把H(p)化為一個多項式和一個真分式之和，然后將真分式寫成部分分式的形式。即：(2)、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn但n≤m信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析(3)、H(p)有兩個互為共軛的極點λ1=α+jβ，λ2=α-jβ(3)、H(p)有兩個互為共軛的極點λ1=α+jβ，λ2=α(4)、H(p)有k階極點λ(4)、H(p)有k階極點λ信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析證明：證明：信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析例1：已知系統的微分方程為:求單位沖激響應h(t)。解：1、求轉移算子H(p)例1：已知系統的微分方程為:求單位沖激響應h(t)。2、將H(p)分解例2：已知系統的微分方程為:

求單位沖激響應h(t)。2、將H(p)分解例2：已知系統的微分方程為:求單位沖激響解：解：例3如圖RLC串聯諧振電路，已知L=1H,C=1F,R=1Ω,e(t)=δ(t)求回路電流i(t)和電感上電壓uL(t)的零狀態響應。解：1、由算子的概念可直接寫出關于電流i(t)的H(p)

例3如圖RLC串聯諧振電路，已知L=1H,C=1F信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析2、由算子的概念可直接寫出關于電壓uL(t)的H(p)

2、由算子的概念可直接寫出關于電壓uL(t)的H(p)信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析討論：在電路理論中往往強調電感中的電流和電容上的電壓不能突變，在本例中系統的初始狀態為0，即電感中的初始電流應為0，但在t=0時電感中的電流發生了突變。原因是電路所受的激勵為δ(t)，這是一種理想的電源，在實際中并不存在，它的幅度為無窮大。所以，當δ(t)在t=0時作用于系統的瞬間就使電感中的電流達到某一數值，電流發生了突變，在響應的圖形中我們同時畫出了電感兩端的電壓，可以看到在t=0時有一沖激電壓存在，正是這個沖激電壓使得電流發生的突變；電容上的電壓也發生了突變。討論：例4：如圖RC串聯電路受沖激電壓激勵，求回路電流i(t)和電容上電壓uc(t)的零狀態響應。解：關于電流i(t)的H(p)例4：如圖RC串聯電路受沖激電壓激勵，求回路電流i(t)和電關于電壓uc(t)的H(p)uc(t)也可以由i(t)的積分來求：關于電壓uc(t)的H(p)uc(t)也可以由i(t)的積分信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析由H(p)求單位沖激響應小結：求單位沖激響應就是求解微分方程1、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn且n>m其中Kii=1,2,…,n為部分分式系數由H(p)求單位沖激響應小結：求單位沖激響應就是求解微分方程2、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn但n≤m其中Kii=1,2,…,n為部分分式系數,C0,C1,…,Cm-n為多項式系數。2、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn但n≤m其中3、H(p)有兩個互為共軛的極點λ1=α+jβ，λ2=α-jβ其中KR為部分分式系數的實部，KI為部分分式系數的虛部。4、H(p)有k階極點λ其中C1,C2,…,Ck為部分分式系數。3、H(p)有兩個互為共軛的極點λ1=α+jβ，λ2=α-j2、用求零輸入響應的方法求h(t)

沖激響應也與方程的特征根有關，而且也可以分為三種不同的情況。比較沖激響應與零輸入響應的公式發現在n>m時它們的形式是完全一樣的，所不同的是零輸入響應中的系數是由系統的初始狀態決定的，而沖激響應中的系數是由部分分式的系數決定的。其實這種現象并不是偶然的。因為，沖激響應是激勵為δ(t)時的系統響應。在t=0時作用于系統，所以在t>0時系統的激勵已為0，因此我們完全可以用前面講過的求零輸入響應的方法求h(t)。關鍵問題是要求出δ(t)在t=0時作用于系統后在0+時刻系統留下的初始狀態。2、用求零輸入響應的方法求h(t)沖激響應也所以對于線性非時變系統有：

稱卷積積分

§2.7疊加積分—卷積所以對于線性非時變系統有：稱卷積積分§2.7疊加積分

稱卷積積分，并用“*”表示兩個函數的卷積運算，所以上式可寫為r(t)=e(t)*h(t)；更一般地對于任意兩個函數f1(t)和f2(t)，它們的卷積運算定義為：

任意一個函數與δ(t)

卷積等于它自己。稱卷積積分，并用“*”表示兩個函數的卷積運算，所以上§2.8卷積及其性質一、卷積的計算過程如果我們將f1(t)和f2(t)的卷積結果記為g(t)，則卷積可寫成：由卷積的定義式可以看出，卷積的過程可以分為三個步驟：1、將f1(t)和f2(t)兩個函數的變量由t換成τ

；2、將f2(τ)反折并移動；3、將兩個函數相乘并求積分。§2.8卷積及其性質一、卷積的計算過程由卷積的定義式可以看出下面我們以下圖兩個有始函數來說明卷積的計算過程。f1(t)tf2(t)tf2(τ)τf1(τ)τ將t換成τ下面我們以下圖兩個有始函數來說明卷積的計算過程。f1(t)t將f2(τ)反折并移動將f2(τ)反折并移動將兩個函數相乘并求積分將兩個函數相乘并求積分信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析因此，對于兩個有始的函數卷積，則可簡單地寫為：因此，對于兩個有始的函數卷積，則可簡單地寫為：例1：計算矩形脈沖和指數函數的卷積解：作圖例1：計算矩形脈沖和指數函數的卷積解：作圖1、2、1、2、3、3、最后，卷積的結果可用圖形表示為：最后，卷積的結果可用圖形表示為：或用數學表達式表示為：這種完全用作圖的方法確定積分限計算卷積的方法稱圖解法。這是要求同學重點掌握的。我們也可以將函數直接代入公式計算。這種方法雖然簡單，但對卷積的計算過程的理解沒有幫助，所以這種方法不推薦。例如上例的卷積可計算如下：或用數學表達式表示為：這種完全用作圖的方法確定積分限計算卷積信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析從上面計算卷積的過程可以看出，計算卷積的實質是二個具體化：1、函數形式的具體化；2、積分限的具體化。二、卷積的性質設有三個函數u(t),v(t),w(t)1、交換律、分配律和結合律u(t)*v(t)=v(t)*u(t)u(t)*[v(t)+w(t)]=u(t)*v(t)+u(t)*w(t)u(t)*[v(t)*w(t)]=[u(t)*v(t)]*w(t)從上面計算卷積的過程可以看出，計算卷積的實質是二個具體化：二交換律證明：結合律證明：交換律證明：結合律證明：信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析例2：用交換律重做前例1例2：用交換律重做前例1信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析2、卷積后的微分兩個函數卷積后的導數等于其中之一求導后與另一函數的卷積。證明：2、卷積后的微分兩個函數卷積后的導數等于其中之一求導后與另一由交換律知由這個性質得到的直接推論是：任何函數與δ’(t)卷積相當于對函數求導：由交換律知由這個性質得到的直接推論是：任何函數與δ’(t)卷3、卷積后的積分

兩個函數卷積后的積分等于其中之一求積分后與另一函數的卷積。3、卷積后的積分兩個函數卷積后的積分等于其中之一求積分后與證明：證明：由交換律知由這個性質得到的直接推論是：任何函數與ε(t)卷積相當于對函數求積分：由交換律知由這個性質得到的直接推論是：任何函數與ε(t)卷積4、兩函數的卷積等于其中一個函數的微分和另一個函數的積分由卷積后的微分和卷積后的積分不難證明：由這個性質我們可以直接推出杜阿美爾積分利用這個性質還可以簡化卷積的計算。4、兩函數的卷積等于其中一個函數的微分和另一個函數的積分由卷5、函數延遲后的卷積證明：5、函數延遲后的卷積證明：

前面已指出任意一個函數與δ(t)

卷積等于它自己，即：f(t)*δ(t)=f(t)由此性質我們又可得出結論：任意一個函數與δ(t)

的延遲卷積等于函數本身作相應的延遲，即：

f(t)*δ(t-t0)=f(t-t0)前面已指出任意一個函數與δ(t)卷積等于它例3：利用性質4、5重做例1解：例3：利用性質4、5重做例1解：信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析6、相關卷積兩個函數x(t)與y(t)的相關定義為：6、相關卷積所以，兩個函數x(t)與y(t)的相關也定義為：所以，兩個函數x(t)與y(t)的相關也定義為：如果兩個相同的函數進行相關運算，則稱自相關，記為Rxx(t)相關函數反映了兩個函數的相似程度。Rxx(0)為信號能量，且Rxx(0)≥Rxx(t)。這是因為如果兩個相同的函數進行相關運算，則稱自相關，記為Rxx(t)信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析例4求兩個相同的門函數的卷積g(t)。解：例4求兩個相同的門函數的卷積g(t)。解：信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析我們將這個結果總結為：1、兩個相同的門函數（對稱的）的卷積是一個三角形；2、寬度增加一倍；3、最大值為兩個相同的門函數重合時函數值之積再乘以門函數的寬度。這是一個典型例子，很重要，希望把它記住。這個結論以后可以作為一個定理使用我們將這個結果總結為：

前面已經指出計算卷積的實質是二個具體化：函數形式的具體化和積分限的具體化。其中積分限的具體化更重要些。下面列出幾種特殊的情況：前面已經指出計算卷積的實質是二個具體化：函例5、RC串聯電路，及激勵信號如圖所示。其中R=0.5Ω，C=2F電路初始狀態為零，求響應電流i(t)。例5、RC串聯電路，及激勵信號如圖所示。其中R=0.5Ω，解：在前面的例題中已求得，該電路的沖激響應為：激勵電壓可寫為：解：在前面的例題中已求得，該電路的沖激響應為：激勵電壓可寫為則有線性非時變系統的定義：則有線性非時變系統的定義：信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析§2.9線性系統響應的時域求解一、時域分析小結§2.9線性系統響應的時域求解r(t)=rzi(t)+rzs(t)系統物理模型系統方程轉移算子H(p)沖激響應h(t)卷積積分零狀態響應rzs(t)全響應r(t)階躍響應rε(t)杜阿美爾積分零輸入響應rzi(t)初始狀態激勵e(t)r(t)=rzi(t)+rzs(t)系統物理模型系統方程轉移二、指數函數激勵下的系統響應二、指數函數激勵下的系統響應s0≠λj第一部分為零輸入響應，第二部分則為零狀態響應。系統的全響應中只包含λ1，λ2，…，λn分量稱自然頻率分量；另外還有s0分量相應地稱為激勵頻率分量。s0≠λj第一部分為零輸入響應，第二部分則為零狀態響應。系統如果將上式寫為：第一部分只包含自然頻率分量，第二部分只包含激勵頻率分量。所以，第一部分稱自然響應或自由響應；第二部就稱為受迫響應。對于一個穩定系統，系統的響應或最終趨于零或最終趨于一個常數。所以我們將系統的響應中最終趨于零的部分稱瞬態響應；最終趨于一個常數的部分稱穩態響應。如果將上式寫為：第一部分只包含自然頻率分量，第二部分只包含激結論：1、系統的全響應可分為零輸入響應（輸入為零）和零狀態響應（狀態為零）；自然響應（只含系統自然頻率）和受迫響應（只含激勵頻率）；瞬態響應（最終趨于零）和穩態響應（最終趨于一個常數）。2、指數函數激勵通過線性非時變系統后仍保持原指數函數的形式。3、指數函數也是一種典型的基本信號，今后還會看到一般的信號也可以分解為指數信號。結論：例：如圖RC串聯電路，已知R=1Ω，C=1F，e(t)=(1+e-3t)ε(t)

；電容上的初始電壓uc(0-)=1V求電容上的響應電壓uc(t)。解：直接列算子方程例：如圖RC串聯電路，已知R=1Ω，C=1F，e(t)=(1由H(p)還可求得:由H(p)還可求得:又例：已知線性非時變連續時間系統的自然響應為，受迫響應為。則下列說法正確的是？1、該系統一定是二階系統；2、該系統穩定；3、零輸入響應一定包含；4、零狀態響應一定包含。又例：已知線性非時變連續時間系統的自然響而又可寫成：零輸入響應＋零狀態響應只含自然頻率含自然頻率和激勵頻率零輸入響應可寫成：零狀態響應則寫成：而又可寫成：零輸入響應＋零狀態響應只含自然頻率含自然頻率和激三、矩形脈沖信號激勵下RC電路的響應求RC串聯電路在e(t)作用下uc(t)的零狀態響應。e(t)=E[ε(t)-ε(t-τ0)]

前面已求得沖激響應

三、矩形脈沖信號激勵下RC電路的響應求RC串聯電路在e(t其中的RC稱為時間常數，一般用τ表示。它表示電容充放電的快慢，τ越大充放電越慢，反之越快。

其中的RC稱為時間常數，一般用τ表示。它表示電容充放電的快慢信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析還可以寫出電阻上的電壓還可以寫出電阻上的電壓信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析對于RL電路有類似的結論。對于RL電路有類似的結論。四、梯形信號作用于系統首先，我們看一個簡單的例子，激勵為如下的一個梯形信號，并假定系統的沖激響應為h(t)。四、梯形信號作用于系統首先，我們看一個簡單的例子，激勵為如下信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析

將梯形信號進行二次微分后就變為一系列的沖激，而與沖激信號的卷積最容易求。最后我們只要對r’’(t)求二次積分便可求得系統的響應。需要注意的是在微分過程中可能將直流分量丟失，遇到這種情況需要另外求系統對直流的響應。這個例子告訴我們對于任意的信號還可以用折線來近似，然后用上面的方法求解。顯然，所取的線段越多結果越正確。當然，線段越多計算量也越大，但我們可以用計算機來進行數值計算。將梯形信號進行二次微分后就變為一系列的沖激信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析§2.10系統響應的數值計算法

信號的分解雖然有多種方法，但用得比較普遍的還是卷積。所以，我們下面討論卷積的數值計算。求系統的零狀態響應就是計算卷積，即計算積分：如果假定激勵是有始的系統是因果的，并令

則卷積可寫為：

§2.10系統響應的數值計算法信號的分解雖然有顯然計算這個積分就是計算被積函數f(t,τ)

在區間[0,t]下的面積。

我們將區間[0,t]分為n個等分,間隔為T，只要把這n個矩形的面積加起來就是這個卷積的近似。顯然計算這個積分就是計算被積函數f(t,τ)在區間[0,t如果我們只計算一些離散點上的值，即t=nT上的值，并記為ra(nT)那么如果我們只計算一些離散點上的值，即t=nT上的值，并記為ra若將上式中的符號分別簡記為：那么結合圖我們可以看出：若將上式中的符號分別簡記為：那么結合圖我們可以看出：分別將e(t)和h(t)以T為間隔等分得到兩個數列e0,e1,e2,...和h1,h2,h3,...在編寫計算程序時可將它們放在各自的一維數組中，然后按下圖的規律計算。分別將e(t)和h(t)以T為間隔等分得到兩個數列e0,e信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析第二章、連續時間系統的時域分析主要內容：系統的數學模型零輸入響應與零狀態響應奇異函數與信號的時域分解沖激響應與階躍響應卷積

第二章、連續時間系統的時域分析主要內容：§2.1引言連續時間系統的分析，歸結為建立并且求解線性常系數微分方程，求解微分方程通常有兩種方法：一是直接求解，因涉及的函數變量都是時間t，所以稱時域分析法；二是變換的方法，即將時間變量變換為其他變量，所以也稱變換域分析法。這一章我們主要討論時域分析法，下面先看一個RLC串聯電路§2.1引言連續時間系統的分析，歸結為建立并且求解線性常系列回路方程可得:或列回路方程可得:或一、經典解法這種形式的方程其解法在高等數學中已學過。求解過程可分為三步：1、求出齊次方程的通解。（稱自由響應）2、根據激勵函數的具體形式求特解。（稱受迫響應）3、根據初始條件求待定系數。這種方法對于簡單的正弦函數或指數函數、直流激勵時求解比較簡單，但對于一些復雜的激勵信號求解就比較困難了。一、經典解法

二、疊加積分法這種方法將全響應分為零輸入響應和零狀態響應r(t)=rzi(t)+rzs(t)初態≠0系統二、疊加積分法初態≠0初態=0系統初態=0系統初態=0系統初態=0初態=0初態=01、求解齊次方程，根據初始狀態求出待定系數得rzi(t)2、將e(t)分解為基本函數，分別求解系統對這些基本函數的響應。3、根據線性系統的疊加原理將它們相加得rzs(t)4、r(t)=rzi(t)+rzs(t)1、求解齊次方程，根據初始狀態求出待定系數得rzi(t)§2.2系統方程的算子表示法對于n階線性非時變系統其輸入輸出方程為引入算子則方程可改寫為：§2.2系統方程的算子表示法對于n階線性非時變系統其輸入輸出進一步可寫成：進一步可寫成：p就不能隨意消去，除非x(-∞)=0，另外由px=py

也不能推出x=y

這是因為p就不能隨意消去，除非x(-∞)=0，另外由px=py也結論：1、代數量的運算規則對于算子符號一般也適用，只是在分子分母或等式兩邊的相同算子符號不能隨意約去。2、它表達的是一個運算過程，應把它作為整體看待，書寫時也應把它寫在變量的左邊，表示該運算過程作用于某個變量。3、算子形式的方程實質上還是一個微分方程。因此對于零輸入響應就是解齊次方程D(p)r(t)=0

，而求零狀態響應則要解方程r(t)=H(p)e(t)。下面我們先看一個例子結論：因此對于零輸入響應就是解齊次方程D(p)r(t)=0例:電路如圖所示，寫出i1(t),i2(t)的轉移算子。解：直接用算子符號列方程：例:電路如圖所示，寫出i1(t),i2(t)的轉移算子。信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析討論：1、在電路中有三個獨立的儲能元件，為一個三階系統，特征方程應為三次方程，即H(p)的分母多項式的最高次數應為三次。2、所以這類題目也可直接求解，最后通過核對電路的階數來確定是否能消去分子分母中的公共因子。討論：§2.3系統的零輸入響應前面已經指出求零狀態響應就是求解齊次方程：先看一階、二階的簡單情況，然后再推廣到一般情況。§2.3系統的零輸入響應前面已經指出求零狀態響應就是求解齊次其中的C為常數，需要系統的初始條件來確定。設初始條件為：t=0時r=r(0)

其中的C為常數，需要系統的初始條件來確定。設初始條件為：t=一般地，設初始條件為：t=t0

時r=r(t0)

一般地，設初始條件為：t=t0時r=r(t0)顯然r1(t)，r2(t)都滿足原方程，所以解的一般形式可寫為：顯然r1(t)，r2(t)都滿足原方程，所以解的一般形式可寫若t=0時的初試條件為r(0),r’(0)，代入上式得：解之便可得C1，C2

對于一般的n階齊次方程可設其特征方程

有n個根λ1,λ2…λn稱特征根,也稱為系統自然頻率，或稱為轉移算子H(p)的n個極點。下面分根的三種不同情況來討論。

若t=0時的初試條件為r(0),r’(0)，代入上式得一、特征根為異（實）根算子方程寫為：由前面的討論可寫出解的一般形式：若給定系統的n個初始條件：

我們就可以確定其中的待定常數C1，C2，…Cn。將初始條件代入r(t)就得到一個線性方程組：一、特征根為異（實）根由前面的討論可寫出解的一般形式：若給定信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析二、特征根為共軛復根因為特征方程的系數為實數，所以如果出現復根則必定成對出現。設特征根λ1，λ2為一對共軛復根，即λ1=α+jβ，λ2=α-jβ

則對應的解為：二、特征根為共軛復根所以特征根為一對共軛復根時解的一般形式寫為：其中的C1，C2同樣可由初始條件求出。所以特征根為一對共軛復根時解的一般形式寫為：其中的C1，C2三、特征根為k階重根設特征根λ為k階重根，這種情況說明特征多項式D(p)中有因子(p-λ)k，根為其它的情況前面已作出討論，所以我們只要求解方程(p-λ)kr=0即可。三、特征根為k階重根信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析如此推下去可得：所以方程(p-λ)kr=0解的一般形式為：常數C1，C2，…Ck同樣可由初始條件求出。如此推下去可得：所以方程(p-λ)kr=0解的一般形式為：常例2-1如圖RLC串聯諧振電路，已知L=1H,C=1F,R=2.5Ω

初始條件為：1、i(0)=0A,i’(0)=1A/s2、i(0)=0A,uc(0)=10V分別求上述兩種情況下回路電流的零輸入響應。例2-1如圖RLC串聯諧振電路，已知L=1H,C=1解：前面我們已經列出了它的微分方程寫成算子形式：解：前面我們已經列出了它的微分方程寫成算子形式：1、初始條件為i(0)=0A,i’(0)=1A/s時1、初始條件為2、初始條件為i(0)=0A,uc(0)=10V時初始條件uc(0)=10V不能直接用于確定常數C1,C2所以必須轉化為i’(0)。2、初始條件為i(0)=0A,uc(0)=10V時代入零輸入響應的一般形式得：代入零輸入響應的一般形式得：1、初始條件為i(0)=0A,i’(0)=1A/s時1、初始條件為2、初始條件為i(0)=0A,uc(0)=10V時2、初始條件為i(0)=0A,uc(0)=10V時1、由于電容C上的初始電壓為10V方向為左正右負，所以電容放電，方向與參考方向相反，曲線在橫軸下方，由于電路中存在電阻將損耗能量，最終電流變為零。2、第一種情況i’(0)=1A/s相當于電容C上的初始電壓為-1V方向為右正左負，所以電容放電方向與參考方向相同，曲線在橫軸上方。電路的工作過程與第二種情況一樣。1、由于電容C上的初始電壓為10V方向為左正右負，所以電容放例2-2上例中將電阻改為R=2Ω

初始條件仍為：i(0)=0A,i’(0)=1A/s求回路電流的零輸入響應。解:例2-2上例中將電阻改為R=2Ω初始條件仍為：i(0)=討論：這種情況特征根為二階重根，在電路理論中屬于臨界阻尼的情況，電路工作過程與例2-1一樣。而例2-1在電路理論中屬于過阻尼的情況，臨界阻尼和過阻尼的零輸入響應電流都不出現振蕩。如果繼續減小電阻則零輸入響應電流將出現衰減的振蕩，在電路理論中稱欠阻尼。討論：這種情況特征根為二階重根，在電路理論中屬于臨界阻尼的情例2-3上例中將電阻改為R=1Ω

初始條仍件為：i(0)=0A,i’(0)=1A/s求回路電流的零輸入響應。解：例2-3上例中將電阻改為R=1Ω初始條仍件為：i(0)=1、i’(0)=1A/s相當于電容C上的初始電壓為-1V方向為右正左負，所以電容放電方向與參考方向相同，曲線在橫軸上方。電容放電時將電容中的電能轉化為電感中的磁能；討論：2、接下來電感中的磁能向電容釋放，當電感中的磁能全部轉化為電容中的電能時電感中的電流為零；3、電容中的電能反向釋放，曲線在橫軸下方，電容中的電能轉化為電感中的磁能；4、電感中的磁能向電容釋放方向與2相反，當電感中的磁能全部轉化為電容中的電能時，電感中的電流又變為零；5、接下來從1開始重復這個過程，由于電路中存在電阻將損耗能量，所以振蕩幅度逐步減小，最終衰減為零。1、i’(0)=1A/s相當于電容C上的初始電壓為-1V方零輸入響應小結：求解零輸入響應就是解齊次方程D(p)r(t)=0

，可根據特征方程D(p)=0根的三種不同情況寫出解的一般形式。零輸入響應小結：對于復雜的系統其特征根中可能既有異實根又有重根還可能有共軛復根，則系統零輸入響應的一般形式我們可以根據根的不同情況分別寫出，例如系統的特征根中λ1，λ2為兩個不同的實根，λ3=α+jβ，λ4=α-jβ為一對共軛復根，λ5為三階重根則系統零輸入響應的一般形式寫為：對于復雜的系統其特征根中可能既有異實根又有重根還可能有共軛復§2.4奇異函數

系統的全響應是零輸入響應和零狀態響應之和，上一節討論了零輸入響應的求法，后面幾節將討論零狀態響應的求法。本節先介紹幾個很有用的信號函數，由于這些信號在實際中并不存在，只是數學上對某些信號的一種抽象和理想化，所以稱為奇異函數。§2.4奇異函數一、單位階躍函數ε(t)單位階躍函數延遲t0的單位階躍函數任意一個函數f(t)乘ε(t)以后，其乘積在階躍之前為0，之后則保持f(t)不變。一、單位階躍函數ε(t)單位階躍函數延遲t0的單位階躍函數任我們來看下面的一個電路系統，原來輸入端沒有輸入，在t＝0時接入電源E。等效因此，階躍函數可以用來表示理想化了的開關接通一信號源的情況。我們來看下面的一個電路系統，原來輸入端沒有輸入，在t＝0時接二、單位沖激函數δ(t)二、單位沖激函數δ(t)

單位沖激函數δ(t)除了t=0外其余均為0。δ(t)

函數在t=0處的值沒有定義，但其面積為1，即：，其面積稱為單位沖激函數的沖激強度。在圖象上用括號括起來，表示沖激強度而不是函數的幅度；其幅度有時也將它看成無窮大，在圖象上用箭頭表示。單位沖激函數δ(t)除了t=0外其余均為0。δ單位沖激函數的幾個性質：單位沖激函數的幾個性質：ε(t)和δ(t)這二個奇異函數特別重要，要求重點掌握。有了這二個函數對一些分段表示的函數表達起來就比較方便，另外對一些不連續的函數也可以求導數了。ε(t)和δ(t)這二個奇異函數特別重要，要求重點掌握。有了例如：如圖所示的函數可分段表示為：例如：如圖所示的函數可分段表示為：

實際上對于這種函數的求導，通過圖形來求更方便。在函數連續的部分用常規的求導方法求，而在函數有跳變的地方則有一個沖激存在，沖激的方向取決于向上還是向下跳變，沖激的強度則取決于它的跳躍量。實際上對于這種函數的求導，通過圖形來求更方便三、單位斜變函數R(t)

三、單位斜變函數R(t)四、門函數

我們把幅度為1寬度為τ的對稱矩形脈沖信號稱為門函數，記為Gτ(t)，下標τ表示其寬度。則寬度為τ幅度為1/τ的門函數記為1/τGτ(t)。

四、門函數我們把幅度為1寬度為τ的對稱矩形脈沖五、單位沖激偶δ’(t)我們注意到門函數1/τGτ(t)，不管τ取何值它的面積總是1，當τ變小時它的幅度增大，但面積保持不變。所以，當τ→0時1/τGτ(t)→δ(t)

而1/τG’τ(t)→δ’(t)五、單位沖激偶δ’(t)我們注意到門函數1/τGτ(t)，不信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析δ’(t)為一正一負兩個沖激，因此稱單位沖激偶，帶括號的1標在中間，它并不表示沖激的強度，而表示單位沖激函數的導數。沖激偶有下面的性質

δ’(t)為一正一負兩個沖激，因此稱單位沖激偶，帶括號的1標§2.5信號的時域分解一、周期脈沖信號表示為奇異函數之和1、有始周期矩形脈沖§2.5信號的時域分解信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析2、有始周期鋸齒形脈沖信號2、有始周期鋸齒形脈沖信號信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析二、任意信號分解為異函數

任意信號表示為沖激函數的積分二、任意信號分解為異函數當Δt→0時為無窮小量，用dτ表示；kΔt→連續變量，記為τ；求和→積分；近似相等→相等。

當Δt→0時為無窮小量，用dτ表示；kΔt→連續變量，記為τ信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析§2.6階躍響應與沖激響應一、單位階躍響應與單位沖激響應系統對單位階躍函數ε(t)的零狀態響應稱單位階躍響應，用rε(t)表示；系統對單位沖激函數δ(t)的零狀態響應稱單位沖激響應，用h(t)表示。

§2.6階躍響應與沖激響應對于線性非時變系統有：證明：對于線性非時變系統有：證明：所以對于線性非時變系統，還有如下的結論：若：e(t)→r(t)則：e’(t)→r’(t)所以對于線性非時變系統，還有如下的結論：

可見rε(t)，h(t)只要求出其中之一，另一個也就相應地確定下來了。在實際的系統分析中更重要的是單位沖激響應h(t)。所以，下面我們主要討論單位沖激響應h(t)的求法。可見rε(t)，h(t)只要求出其中之一，二、單位沖激響應h(t)的求法h(t)是系統在單位沖激函數δ(t)激勵下的零狀態響應。所以當系統的激勵為δ(t)時，輸入輸出算子方程寫為：二、單位沖激響應h(t)的求法1、由轉移算子H(p)求h(t)

設特征方程有n個根λ1,λ2…λn。它們是特征根，也稱為轉移算子H(p)的n個極點，或叫系統自然頻率。下面要分幾種不同情況來討論。1、由轉移算子H(p)求h(t)設特征方程有n(1)、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn且n>m則H(p)可寫成部分分式的形式

(1)、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn且n>m信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析(2)、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn但n≤m這時我們可以把H(p)化為一個多項式和一個真分式之和，然后將真分式寫成部分分式的形式。即：(2)、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn但n≤m信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析(3)、H(p)有兩個互為共軛的極點λ1=α+jβ，λ2=α-jβ(3)、H(p)有兩個互為共軛的極點λ1=α+jβ，λ2=α(4)、H(p)有k階極點λ(4)、H(p)有k階極點λ信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析證明：證明：信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析例1：已知系統的微分方程為:求單位沖激響應h(t)。解：1、求轉移算子H(p)例1：已知系統的微分方程為:求單位沖激響應h(t)。2、將H(p)分解例2：已知系統的微分方程為:

求單位沖激響應h(t)。2、將H(p)分解例2：已知系統的微分方程為:求單位沖激響解：解：例3如圖RLC串聯諧振電路，已知L=1H,C=1F,R=1Ω,e(t)=δ(t)求回路電流i(t)和電感上電壓uL(t)的零狀態響應。解：1、由算子的概念可直接寫出關于電流i(t)的H(p)

例3如圖RLC串聯諧振電路，已知L=1H,C=1F信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析2、由算子的概念可直接寫出關于電壓uL(t)的H(p)

2、由算子的概念可直接寫出關于電壓uL(t)的H(p)信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析討論：在電路理論中往往強調電感中的電流和電容上的電壓不能突變，在本例中系統的初始狀態為0，即電感中的初始電流應為0，但在t=0時電感中的電流發生了突變。原因是電路所受的激勵為δ(t)，這是一種理想的電源，在實際中并不存在，它的幅度為無窮大。所以，當δ(t)在t=0時作用于系統的瞬間就使電感中的電流達到某一數值，電流發生了突變，在響應的圖形中我們同時畫出了電感兩端的電壓，可以看到在t=0時有一沖激電壓存在，正是這個沖激電壓使得電流發生的突變；電容上的電壓也發生了突變。討論：例4：如圖RC串聯電路受沖激電壓激勵，求回路電流i(t)和電容上電壓uc(t)的零狀態響應。解：關于電流i(t)的H(p)例4：如圖RC串聯電路受沖激電壓激勵，求回路電流i(t)和電關于電壓uc(t)的H(p)uc(t)也可以由i(t)的積分來求：關于電壓uc(t)的H(p)uc(t)也可以由i(t)的積分信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析由H(p)求單位沖激響應小結：求單位沖激響應就是求解微分方程1、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn且n>m其中Kii=1,2,…,n為部分分式系數由H(p)求單位沖激響應小結：求單位沖激響應就是求解微分方程2、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn但n≤m其中Kii=1,2,…,n為部分分式系數,C0,C1,…,Cm-n為多項式系數。2、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn但n≤m其中3、H(p)有兩個互為共軛的極點λ1=α+jβ，λ2=α-jβ其中KR為部分分式系數的實部，KI為部分分式系數的虛部。4、H(p)有k階極點λ其中C1,C2,…,Ck為部分分式系數。3、H(p)有兩個互為共軛的極點λ1=α+jβ，λ2=α-j2、用求零輸入響應的方法求h(t)

沖激響應也與方程的特征根有關，而且也可以分為三種不同的情況。比較沖激響應與零輸入響應的公式發現在n>m時它們的形式是完全一樣的，所不同的是零輸入響應中的系數是由系統的初始狀態決定的，而沖激響應中的系數是由部分分式的系數決定的。其實這種現象并不是偶然的。因為，沖激響應是激勵為δ(t)時的系統響應。在t=0時作用于系統，所以在t>0時系統的激勵已為0，因此我們完全可以用前面講過的求零輸入響應的方法求h(t)。關鍵問題是要求出δ(t)在t=0時作用于系統后在0+時刻系統留下的初始狀態。2、用求零輸入響應的方法求h(t)沖激響應也所以對于線性非時變系統有：

稱卷積積分

§2.7疊加積分—卷積所以對于線性非時變系統有：稱卷積積分§2.7疊加積分

稱卷積積分，并用“*”表示兩個函數的卷積運算，所以上式可寫為r(t)=e(t)*h(t)；更一般地對于任意兩個函數f1(t)和f2(t)，它們的卷積運算定義為：

任意一個函數與δ(t)

卷積等于它自己。稱卷積積分，并用“*”表示兩個函數的卷積運算，所以上§2.8卷積及其性質一、卷積的計算過程如果我們將f1(t)和f2(t)的卷積結果記為g(t)，則卷積可寫成：由卷積的定義式可以看出，卷積的過程可以分為三個步驟：1、將f1(t)和f2(t)兩個函數的變量由t換成τ

；2、將f2(τ)反折并移動；3、將兩個函數相乘并求積分。§2.8卷積及其性質一、卷積的計算過程由卷積的定義式可以看出下面我們以下圖兩個有始函數來說明卷積的計算過程。f1(t)tf2(t)tf2(τ)τf1(τ)τ將t換成τ下面我們以下圖兩個有始函數來說明卷積的計算過程。f1(t)t將f2(τ)反折并移動將f2(τ)反折并移動將兩個函數相乘并求積分將兩個函數相乘并求積分信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析因此，對于兩個有始的函數卷積，則可簡單地寫為：因此，對于兩個有始的函數卷積，則可簡單地寫為：例1：計算矩形脈沖和指數函數的卷積解：作圖例1：計算矩形脈沖和指數函數的卷積解：作圖1、2、1、2、3、3、最后，卷積的結果可用圖形表示為：最后，卷積的結果可用圖形表示為：或用數學表達式表示為：這種完全用作圖的方法確定積分限計算卷積的方法稱圖解法。這是要求同學重點掌握的。我們也可以將函數直接代入公式計算。這種方法雖然簡單，但對卷積的計算過程的理解沒有幫助，所以這種方法不推薦。例如上例的卷積可計算如下：或用數學表達式表示為：這種完全用作圖的方法確定積分限計算卷積信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析從上面計算卷積的過程可以看出，計算卷積的實質是二個具體化：1、函數形式的具體化；2、積分限的具體化。二、卷積的性質設有三個函數u(t),v(t),w(t)1、交換律、分配律和結合律u(t)*v(t)=v(t)*u(t)u(t)*[v(t)+w(t)]=u(t)*v(t)+u(t)*w(t)u(t)*[v(t)*w(t)]=[u(t)*v(t)]*w(t)從上面計算卷積的過程可以看出，計算卷積的實質是二個具體化：二交換律證明：結合律證明：交換律證明：結合律證明：信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析例2：用交換律重做前例1例2：用交換律重做前例1信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析2、卷積后的微分兩個函數卷積后的導數等于其中之一求導后與另一函數的卷積。證明：2、卷積后的微分兩個函數卷積后的導數等于其中之一求導后與另一由交換律知由這個性質得到的直接推論是：任何函數與δ’(t)卷積相當于對函數求導：由交換律知由這個性質得到的直接推論是：任何函數與δ’(t)卷3、卷積后的積分

兩個函數卷積后的積分等于其中之一求積分后與另一函數的卷積。3、卷積后的積分兩個函數卷積后的積分等于其中之一求積分后與證明：證明：由交換律知由這個性質得到的直接推論是：任何函數與ε(t)卷積相當于對函數求積分：由交換律知由這個性質得到的直接推論是：任何函數與ε(t)卷積4、兩函數的卷積等于其中一個函數的微分和另一個函數的積分由卷積后的微分和卷積后的積分不難證明：由這個性質我們可以直接推出杜阿美爾積分利用這個性質還可以簡化卷積的計算。4、兩函數的卷積等于其中一個函數的微分和另一個函數的積分由卷5、函數延遲后的卷積證明：5、函數延遲后的卷積證明：

前面已指出任意一個函數與δ(t)

卷積等于它自己，即：f(t)*δ(t)=f(t)由此性質我們又可得出結論：任意一個函數與δ(t)

的延遲卷積等于函數本身作相應的延遲，即：

f(t)*δ(t-t0)=f(t-t0)前面已指出任意一個函數與δ(t)卷積等于它例3：利用性質4、5重做例1解：例3：利用性質4、5重做例1解：信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析6、相關卷積兩個函數x(t)與y(t)的相關定義為：6、相關卷積所以，兩個函數x(t)與y(t)的相關也定義為：所以，兩個函數x(t)與y(t)的相關也定義為：如果兩個相同的函數進行相關運算，則稱自相關，記為Rxx(t)相關函數反映了兩個函數的相似程度。Rxx(0)為信號能量，且Rxx(0)≥Rxx(t)。這是因為如果兩個相同的函數進行相關運算，則稱自相關，記為Rxx(t)信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析例4求兩個相同的門函數的卷積g(t)。解：例4求兩個相同的門函數的卷積g(t)。解：信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析信號與線性系統第二章、連續時間系統的時域分析我們將這個結果總結為：1、兩個相同的門函數（對稱的）的卷積是一個三角形；2、寬度增加一倍；3、最大值為兩個相同的門函數重合時函