關于剪切和扭轉應力第一頁，共四十二頁，2022年，8月28日

第八章剪切和扭轉§8–1剪切概念與實例§8–2連接接頭的強度計算§8–5圓軸扭轉時應力與變形§8–6圓軸扭轉時強度和剛度條件§8–3扭矩概念與實例§8–4扭矩計算扭矩圖第二頁，共四十二頁，2022年，8月28日1）受力特點桿件兩側作用大小相等，方向相反，作用線相距很近的外力。2）變形特點兩外力作用線間截面發生錯動，由矩形變為平行四邊形。構件在這兩個平行面間的任一橫截面只有剪力作用，產生剪切變形?！?–1剪切概念與實例工程上的剪切件×第三頁，共四十二頁，2022年，8月28日

1、

剪切實用計算FFnnFFFF鉚接件ק8–2連接接頭的強度計算第四頁，共四十二頁，2022年，8月28日FnnFS剪切面nnFFFs為剪切面的內力，稱為剪力?！恋谖屙摚菜氖?，2022年，8月28日FFFS設剪切面的剪力沿截面是均勻分布的，則有為剪切面的剪應力，As為剪切面的面積。剪切強度條件為[]為容許切應力，由材料破壞時的極限剪應力除以安全系數。×第六頁，共四十二頁，2022年，8月28日2、

擠壓實用計算Fbs=F×F實際擠壓面計算擠壓面第七頁，共四十二頁，2022年，8月28日擠壓應力Fbs為擠壓力，Abs為計算擠壓面的面積。擠壓強度條件[bs]為容許擠壓應力，由

極限擠壓應力除以安全系數。×F實際擠壓面計算擠壓面第八頁，共四十二頁，2022年，8月28日×Fb3、連接板強度計算拉壓應力FN為軸力，Aj為截面面積。第九頁，共四十二頁，2022年，8月28日例1圖示鉚接件，P=100kN，鉚釘的直徑d=16mm，容許剪應力[]=140MPa，容許擠壓應力[bs]=200MPa；板的厚度t=10mm，b=100mm，容許正應力[]=170MPa，試校核鉚接件的強度。PPdttPPb鉚釘（或螺栓）連接件要安全工作，鉚釘即要滿足剪切強度條件，又要滿足擠壓強度條件，同時板還要滿足拉壓強度條件。×第十頁，共四十二頁，2022年，8月28日PPdttFbF/4F/4F/4F/4F/43F/4F⊕⊕⊕上板受力圖上板軸力圖F/4F/4鉚釘受力圖多鉚釘連接件，為計算方便，各鉚釘受力可視作相同?！恋谑豁?，共四十二頁，2022年，8月28日鉚釘剪應力F/4F/4鉚釘擠壓應力鉚釘滿足強度條件，安全?！恋谑?，共四十二頁，2022年，8月28日FbF/4F/4F/4F/4F/43F/4F⊕⊕⊕上板受力圖上板軸力圖112233bbddd2—2截面3—3截面t板也滿足拉壓強度條件，鉚接件安全。×第十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日[例2]已知圖示圓梯形桿D=32mm，d=20mm，h=12mm，材料的[]=100MPa，[bs]=200MPa。受拉力F=50kN作用，試校核此桿的強度

。dDhFF剪切面擠壓面×第十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日擠壓面剪切面Fdh解：剪切面面積：擠壓面面積：此桿安全?！恋谑屙?，共四十二頁，2022年，8月28日圓軸扭轉時應力與變形×第十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.實驗后：①圓周線不變；②各縱向線長度不變，但均傾斜了同一微小角度。②縱向線變成螺旋線。3.結果：①圓筒表面各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉動。圓周線實際代表一個橫截面，此結果表明橫截面仍保持平面，且大小、形狀不變，滿足平面假設。③所有矩形網格均歪斜成同樣大小的平行四邊形?！烈?、實驗：1.實驗前：①繪縱向線，圓周線；②兩端施加一對外力偶m。第十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日acddxbdy′′tz二、切應力互等定理：

這就是切應力互等定理：在單元體相互垂直的兩個截面上，切應力必然成對出現，且數值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向或共同指向交線，或共同背離交線?！?/p>

單元體的四個側面上只有切應力而無正應力作用，這種應力狀態稱為純剪切應力狀態。第十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日剪切虎克定律：

acddxbdy′′tz單元體ab的傾角稱為切應變，切應變是單元體直角的改變量。實驗表明，在彈性范圍內，切應力與切應變成正比，即這就是剪切虎克定律，比例常數G

稱為剪切彈性模量?！良羟袕椥阅Ａ縂、與彈性模量E和泊松比一樣，都是表征材料力學性質的材料常數。對于各向同性材料，這三個材料常數并不是獨立的，它們存在如下關系。第十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、等直圓桿扭轉橫截面上的切應力RdxdxB’C’C’c’b’d⒈變形的幾何條件橫截面上b點的切應變：其中為單位長度桿兩端面相對扭轉角，稱單位扭轉角B’×第二十頁，共四十二頁，2022年，8月28日⒉物理條件橫截面上b點的切應力：⒊靜力條件O2dAdAbT其中稱為截面對圓心的極慣性矩?！恋诙豁?，共四十二頁，2022年，8月28日于是得橫截面上任一點的切應力為Ip—截面對圓心的極慣性矩，純幾何量，無物理意義。式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得；—求應力那點到圓心的距離；×第二十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日dD環形截面：極慣性矩的單位：m4DdO⒋極慣性矩×第二十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日同一截面，扭矩T，極慣性矩IP為常量，因此各點切應力的大小與該點到圓心的距離成正比，方向垂直于圓的半徑，且與扭矩的轉向一致。TTmaxmax實心圓截面切應力分布圖空心圓截面切應力分布圖最大切應力在外圓處?！恋诙捻?，共四十二頁，2022年，8月28日⒌最大切應力令：Wt

稱為抗扭截面模量，單位：m3實心圓截面空心圓截面×第二十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日五、扭轉時的變形當T、GIP為常量時，長為l一段桿兩端面相對扭轉角為其中GIP表示桿件抵抗扭轉變形的能力，稱為抗扭剛度?！恋诙摚菜氖?，2022年，8月28日例6

已知空心圓截面的扭矩T

=1kN.m，D=40mm，d=20mm，求最大、最小切應力。dDTmaxmin解：×第二十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日例7圖示圓桿BC段為空心，已知D=50mm，d=25mm；a=250mm，b=150mm；G=80GPa；試求該桿的最大切應力和自由端的扭轉角。ABCaabb

Dd0.5kN.m0.3kN.m0.8kN.m11223344解：本題應分4段考慮?！恋诙隧?，共四十二頁，2022年，8月28日ABCaabb

Dd0.5kN.m0.3kN.m0.8kN.m○－○－0.8kN.m○－0.5kN.m1kN.m11223344×第二十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日ABCaabb

Dd0.5kN.m0.3kN.m0.8kN.m○－○－0.8kN.m○－0.5kN.m1kN.m11223344×第三十頁，共四十二頁，2022年，8月28日一.強度條件：其中容許切應力[]是由扭轉時材料的極限切應力除以安全系數得到?！痢?–6圓軸扭轉時強度和剛度條件第三十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日二、剛度條件[]稱為許用單位扭轉角。若許用單位扭轉角給的是，則上式改寫為×第三十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日例8

圖示圓軸，已知mA=1kN.m，mB=3kN.m，mC=2kN.m；l1

=0.7m，l2

=0.3m；[]=60MPa，[]=0.3°/m，G=80GPa；試選擇該軸的直徑。ABCmAmB

mCl1l22kN.m1kN.m⊕○解：⑴按強度條件×第三十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日ABCmAmB

mCl1l22kN.m1kN.m⊕○⑵按剛度條件該圓軸直徑應選擇：d=83.5mm.×第三十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日例9圖示圓軸，已知mA=1.4kN.m，mB=0.6kN.m，mC=0.8kN.m；d1

=40mm，d2

=70mm；l1

=0.2m，l2

=0.4m；[]=60MPa，[]=1°/m，G=80GPa；試校核該軸的強度和剛度，并計算兩端面的相對扭轉角。ABCmAmB

mCl1l2⊕○解：⑴按強度核該d1d2×第三十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日ABCmAmB

mCl1l2⊕○d1d2滿足強度條件。⑴按剛度核該×第三十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日ABCmAmB

mCl1l2⊕○d1d2此軸不滿足剛度條件?！恋谌唔?，共四十二頁，2022年，8月28日例10長為l=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內外徑之比為

=