2020-2021年山東省煙臺市中考數學試卷及答案-2021年山東省煙臺市中考數學試卷及答案·最新說明：文檔整理了，2020年至2021年度，煙臺市中考數學試卷及答案內容，試卷包含了詳細的題解和分析，望對老師和同學們有所幫助。山東省2020年初中畢業生學業水平考試（煙臺卷）數學試題卷一、選擇題（本題共12個小題，每小題3分，滿分36分）每小題都給出標號為A，B，C，D四個備選答案，其中有且只有一個是正確的．1．（3分）（2020?煙臺）4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．22．（3分）（2020?煙臺）下列關于數字變換的圖案中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）（2020?煙臺）實數a，b，c在數軸上的對應點的位置如圖所示，那么這三個數中絕對值最大的是（）A．a B．b C．c D．無法確定4．（3分）（2020?煙臺）如圖，是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是（）A． B． C． D．5．（3分）（2020?煙臺）如果將一組數據中的每個數都減去5，那么所得的一組新數據（）A．眾數改變，方差改變 B．眾數不變，平均數改變 C．中位數改變，方差不變 D．中位數不變，平均數不變6．（3分）（2020?煙臺）利用如圖所示的計算器進行計算，按鍵操作不正確的是（）A．按鍵即可進入統計計算狀態 B．計算8的值，按鍵順序為： C．計算結果以“度”為單位，按鍵可顯示以“度”“分”“秒”為單位的結果 D．計算器顯示結果為13時，若按鍵，則結果切換為小數格式0.3333333337．（3分）（2020?煙臺）如圖，△OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規律作下去，則OAn的長度為（）A．（2）n B．（2）n﹣1 C．（22）n D．（22）8．（3分）（2020?煙臺）量角器測角度時擺放的位置如圖所示，在△AOB中，射線OC交邊AB于點D，則∠ADC的度數為（）A．60° B．70° C．80° D．85°9．（3分）（2020?煙臺）七巧板是我們祖先的一項創造，被譽為“東方魔板”．在一次數學活動課上，小明用邊長為4cm的正方形紙片制作了如圖所示的七巧板，并設計了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中陰影部分的面積為5cm2的是（）A． B． C． D．10．（3分）（2020?煙臺）如圖，點G為△ABC的重心，連接CG，AG并延長分別交AB，BC于點E，F，連接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，則EF的長度為（）A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.411．（3分）（2020?煙臺）如圖，在矩形ABCD中，點E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點D落在BC邊上的點F處．若AB＝3，BC＝5，則tan∠DAE的值為（）A．12 B．920 C．2512．（3分）（2020?煙臺）如圖，正比例函數y1＝mx，一次函數y2＝ax+b和反比例函數y3=kx的圖象在同一直角坐標系中，若y3＞y1＞y2，則自變量A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1 C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）13．（3分）（2020?煙臺）5G是第五代移動通信技術，其網絡下載速度可以達到每秒1300000KB以上，正常下載一部高清電影約需1秒．將1300000用科學記數法表示為．14．（3分）（2020?煙臺）已知正多邊形的一個外角等于40°，則這個正多邊形的內角和的度數為．15．（3分）（2020?煙臺）關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是．16．（3分）（2020?煙臺）按如圖所示的程序計算函數y的值，若輸入的x值為﹣3，則輸出y的結果為．17．（3分）（2020?煙臺）如圖，已知點A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），連接AB，CD，將線段AB繞著某一點旋轉一定角度，使其與線段CD重合（點A與點C重合，點B與點D重合），則這個旋轉中心的坐標為．18．（3分）（2020?煙臺）二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結論：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個根為1，另一個根為?1其中正確結論的序號是．三、解答題（本大題共7個小題，滿分66分）19．（6分）（2020?煙臺）先化簡，再求值：（yx?y?y2x2?y220．（8分）（2020?煙臺）奧體中心為滿足暑期學生對運動的需求，欲開設球類課程，該中心隨機抽取部分學生進行問卷調查，被調查學生須從“羽毛球”、“籃球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中選擇自己最喜歡的一項．根據調查結果繪制了不完整的條形統計圖和扇形統計圖，請根據圖中信息，解答下列問題：（1）此次共調查了多少名學生？（2）將條形統計圖補充完整；（3）我們把“羽毛球”“籃球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分別用A，B，C，D，E表示．小明和小亮分別從這些項目中任選一項進行訓練，利用樹狀圖或表格求出他倆選擇不同項目的概率．21．（9分）（2020?煙臺）新冠疫情期間，口罩成為了人們出行必備的防護工具．某藥店三月份共銷售A，B兩種型號的口罩9000只，共獲利潤5000元，其中A，B兩種型號口罩所獲利潤之比為2：3．已知每只B型口罩的銷售利潤是A型口罩的1.2倍．（1）求每只A型口罩和B型口罩的銷售利潤；（2）該藥店四月份計劃一次性購進兩種型號的口罩共10000只，其中B型口罩的進貨量不超過A型口罩的1.5倍，設購進A型口罩m只，這1000只口罩的銷售總利潤為W元．該藥店如何進貨，才能使銷售總利潤最大？22．（9分）（2020?煙臺）如圖，在?ABCD中，∠D＝60°，對角線AC⊥BC，⊙O經過點A，B，與AC交于點M，連接AO并延長與⊙O交于點F，與CB的延長線交于點E，AB＝EB．（1）求證：EC是⊙O的切線；（2）若AD＝23，求AM的長（結果保留π）．23．（9分）（2020?煙臺）今年疫情期間，針對各種入口處人工測量體溫存在的感染風險高、效率低等問題，清華大學牽頭研制一款“測溫機器人”，如圖1，機器人工作時，行人抬手在測溫頭處測量手腕溫度，體溫合格則機器人抬起臂桿行人可通行，不合格時機器人不抬臂桿并報警，從而有效阻隔病原體．（1）為了設計“測溫機器人”的高度，科研團隊采集了大量數據．下表是抽樣采集某一地區居民的身高數據：測量對象男性（18～60歲）女性（18～55歲）抽樣人數（人）20005000200002000500020000平均身高（厘米）173175176164165164根據你所學的知識，若要更準確的表示這一地區男、女的平均身高，男性應采用厘米，女性應采用厘米；（2）如圖2，一般的，人抬手的高度與身高之比為黃金比時給人的感覺最舒適，由此利用（1）中的數據得出測溫頭點P距地面105厘米．指示牌掛在兩臂桿AB，AC的連接點A處，A點距地面110厘米．臂桿落下時兩端點B，C在同一水平線上，BC＝100厘米，點C在點P的正下方5厘米處．若兩臂桿長度相等，求兩臂桿的夾角．（參考數據表）計算器按鍵順序計算結果（近似值）計算器按鍵順序計算結果（近似值）0.178.70.284.31.75.73.511.324．（12分）（2020?煙臺）如圖，在等邊三角形ABC中，點E是邊AC上一定點，點D是直線BC上一動點，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．【問題解決】如圖1，若點D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；【類比探究】如圖2，若點D在邊BC的延長線上，請探究線段CE，CF與CD之間存在怎樣的數量關系？并說明理由．25．（13分）（2020?煙臺）如圖，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交于A，B兩點，且OA＝2OB，與y軸交于點C，連接BC，拋物線對稱軸為直線x=12，D為第一象限內拋物線上一動點，過點D作DE⊥OA于點E，與AC交于點F，設點D的橫坐標為（1）求拋物線的表達式；（2）當線段DF的長度最大時，求D點的坐標；（3）拋物線上是否存在點D，使得以點O，D，E為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

山東省2020年初中畢業生學業考試（煙臺卷）數學參考答案及評分標準一、選擇題（本題共12個小題，每小題3分，滿分36分）每小題都給出標號為A，B，C，D四個備選答案，其中有且只有一個是正確的．1．（3分）（2020?煙臺）4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2【解答】解：4的平方根是±2．故選：C．2．（3分）（2020?煙臺）下列關于數字變換的圖案中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項符合題意；B、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項不符合題意．故選：A．3．（3分）（2020?煙臺）實數a，b，c在數軸上的對應點的位置如圖所示，那么這三個數中絕對值最大的是（）A．a B．b C．c D．無法確定【解答】解：有理數a，b，c在數軸上的對應點的位置如圖所示，這三個數中，實數a離原點最遠，所以絕對值最大的是：a．故選：A．4．（3分）（2020?煙臺）如圖，是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是（）A． B． C． D．【解答】解：結合三個視圖發現，這個幾何體是長方體和圓錐的組合圖形．故選：B．5．（3分）（2020?煙臺）如果將一組數據中的每個數都減去5，那么所得的一組新數據（）A．眾數改變，方差改變 B．眾數不變，平均數改變 C．中位數改變，方差不變 D．中位數不變，平均數不變【解答】解：如果將一組數據中的每個數都減去5，那么所得的一組新數據的眾數、中位數、平均數都減少5，方差不變，故選：C．6．（3分）（2020?煙臺）利用如圖所示的計算器進行計算，按鍵操作不正確的是（）A．按鍵即可進入統計計算狀態 B．計算8的值，按鍵順序為： C．計算結果以“度”為單位，按鍵可顯示以“度”“分”“秒”為單位的結果 D．計算器顯示結果為13時，若按鍵，則結果切換為小數格式0.333333333【解答】解：A、按鍵即可進入統計計算狀態是正確的，故選項A不符合題意；B、計算8的值，按鍵順序為：，故選項B符合題意；C、計算結果以“度”為單位，按鍵可顯示以“度”“分”“秒”為單位的結果是正確的，故選項C不符合題意；D、計算器顯示結果為13時，若按鍵，則結果切換為小數格式0.333333333是正確的，故選項D不符合題意；故選：B．7．（3分）（2020?煙臺）如圖，△OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規律作下去，則OAn的長度為（）A．（2）n B．（2）n﹣1 C．（22）n D．（22）【解答】解：∵△OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，∴OA2=2∵△OA2A3為等腰直角三角形，∴OA3＝2=(2∵△OA3A4為等腰直角三角形，∴OA4＝22=∵△OA4A5為等腰直角三角形，∴OA5＝4=(2……∴OAn的長度為（2）n﹣1．故選：B．8．（3分）（2020?煙臺）量角器測角度時擺放的位置如圖所示，在△AOB中，射線OC交邊AB于點D，則∠ADC的度數為（）A．60° B．70° C．80° D．85°【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，∴∠A＝∠B=1∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，故選：C．9．（3分）（2020?煙臺）七巧板是我們祖先的一項創造，被譽為“東方魔板”．在一次數學活動課上，小明用邊長為4cm的正方形紙片制作了如圖所示的七巧板，并設計了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中陰影部分的面積為5cm2的是（）A． B． C． D．【解答】解：最小的等腰直角三角形的面積=18×12×42＝1（cm2），平行四邊形面積為2cm2，中等的等腰直角三角形的面積為2A、陰影部分的面積為2+2＝4（cm2），不符合題意；B、陰影部分的面積為1+2＝3（cm2），不符合題意；C、陰影部分的面積為4+2＝6（cm2），不符合題意；D、陰影部分的面積為4+1＝5（cm2），符合題意．故選：D．10．（3分）（2020?煙臺）如圖，點G為△ABC的重心，連接CG，AG并延長分別交AB，BC于點E，F，連接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，則EF的長度為（）A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4【解答】解：∵點G為△ABC的重心，∴AE＝BE，BF＝CF，∴EF=1故選：A．11．（3分）（2020?煙臺）如圖，在矩形ABCD中，點E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點D落在BC邊上的點F處．若AB＝3，BC＝5，則tan∠DAE的值為（）A．12 B．920 C．25【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上的F處，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，BF=AF∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，設CE＝x，則DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x=4∴DE＝EF＝3﹣x=5∴tan∠DAE=DE故選：D．12．（3分）（2020?煙臺）如圖，正比例函數y1＝mx，一次函數y2＝ax+b和反比例函數y3=kx的圖象在同一直角坐標系中，若y3＞y1＞y2，則自變量A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1 C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1【解答】解：由圖象可知，當x＜﹣1或0＜x＜1時，雙曲線y3落在直線y1上方，且直線y1落在直線y2上方，即y3＞y1＞y2，所以若y3＞y1＞y2，則自變量x的取值范圍是x＜﹣1或0＜x＜1．故選：D．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）13．（3分）（2020?煙臺）5G是第五代移動通信技術，其網絡下載速度可以達到每秒1300000KB以上，正常下載一部高清電影約需1秒．將1300000用科學記數法表示為1.3×106．【解答】解：將數據1300000用科學記數法可表示為：1.3×106．故答案為：1.3×106．14．（3分）（2020?煙臺）已知正多邊形的一個外角等于40°，則這個正多邊形的內角和的度數為1260°．【解答】解：正n邊形的每個外角相等，且其和為360°，據此可得360°n解得n＝9．（9﹣2）×180°＝1260°，即這個正多邊形的內角和為1260°．故答案為：1260°．15．（3分）（2020?煙臺）關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是m＞0且m≠1．【解答】解：根據題意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，解得m＞0且m≠1．故答案為：m＞0且m≠1．16．（3分）（2020?煙臺）按如圖所示的程序計算函數y的值，若輸入的x值為﹣3，則輸出y的結果為18．【解答】解：∵﹣3＜﹣1，∴x＝﹣3代入y＝2x2，得y＝2×9＝18，故答案為：18．17．（3分）（2020?煙臺）如圖，已知點A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），連接AB，CD，將線段AB繞著某一點旋轉一定角度，使其與線段CD重合（點A與點C重合，點B與點D重合），則這個旋轉中心的坐標為（4，2）．【解答】解：平面直角坐標系如圖所示，旋轉中心是P點，P（4，2）．故答案為（4，2）．18．（3分）（2020?煙臺）二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結論：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個根為1，另一個根為?1其中正確結論的序號是②③④．【解答】解：①由二次函數的圖象開口向上可得a＞0，對稱軸在y軸的右側，b＜0，∴ab＜0，故①錯誤；②由圖象可知拋物線與x軸的交點為（1，0），與y軸的交點為（0，﹣1），∴c＝﹣1，∴a+b﹣1＝0，故②正確；③∵a+b﹣1＝0，∴a﹣1＝﹣b，∵b＜0，∴a﹣1＞0，∴a＞1，故③正確；④∵拋物線與與y軸的交點為（0，﹣1），∴拋物線為y＝ax2+bx﹣1，∵拋物線與x軸的交點為（1，0），∴ax2+bx﹣1＝0的一個根為1，根據根與系數的關系，另一個根為?1a，故故答案為②③④．三、解答題（本大題共7個小題，滿分66分）19．（6分）（2020?煙臺）先化簡，再求值：（yx?y?y2x2?y2【解答】解：（yx?y?y＝[y(x+y)(x+y)(x?y)?y=xy=y當x=3+1，y原式=(3?120．（8分）（2020?煙臺）奧體中心為滿足暑期學生對運動的需求，欲開設球類課程，該中心隨機抽取部分學生進行問卷調查，被調查學生須從“羽毛球”、“籃球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中選擇自己最喜歡的一項．根據調查結果繪制了不完整的條形統計圖和扇形統計圖，請根據圖中信息，解答下列問題：（1）此次共調查了多少名學生？（2）將條形統計圖補充完整；（3）我們把“羽毛球”“籃球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分別用A，B，C，D，E表示．小明和小亮分別從這些項目中任選一項進行訓練，利用樹狀圖或表格求出他倆選擇不同項目的概率．【解答】解：（1）此次共調查的學生有：40÷72°（2）足球的人數有：200﹣40﹣60﹣20﹣30＝50（人），補全統計圖如下：（3）根據題意畫樹狀圖如下：共用25種等可能的情況數，其中他倆選擇不同項目的有20種，則他倆選擇不同項目的概率是202521．（9分）（2020?煙臺）新冠疫情期間，口罩成為了人們出行必備的防護工具．某藥店三月份共銷售A，B兩種型號的口罩9000只，共獲利潤5000元，其中A，B兩種型號口罩所獲利潤之比為2：3．已知每只B型口罩的銷售利潤是A型口罩的1.2倍．（1）求每只A型口罩和B型口罩的銷售利潤；（2）該藥店四月份計劃一次性購進兩種型號的口罩共10000只，其中B型口罩的進貨量不超過A型口罩的1.5倍，設購進A型口罩m只，這1000只口罩的銷售總利潤為W元．該藥店如何進貨，才能使銷售總利潤最大？【解答】解：設銷售A型口罩x只，銷售B型口罩y只，根據題意得：x+y=90002000x×1.2=經檢驗，x＝4000，y＝5000是原方程組的解，∴每只A型口罩的銷售利潤為：20004000=0.5（元），每只答：每只A型口罩和B型口罩的銷售利潤分別為0.5元，0.6元．（2）根據題意得，W＝0.5m+0.6（10000﹣m）＝﹣0.1m+6000，10000﹣m≤1.5m，解得m≥4000，∵0.1＜0，∴W隨m的增大而減小，∵m為正整數，∴當m＝4000時，W取最大值，則﹣0.1×4000+6000＝5600，即藥店購進A型口罩4000只、B型口罩6000只，才能使銷售總利潤最大，增大利潤為5600元．22．（9分）（2020?煙臺）如圖，在?ABCD中，∠D＝60°，對角線AC⊥BC，⊙O經過點A，B，與AC交于點M，連接AO并延長與⊙O交于點F，與CB的延長線交于點E，AB＝EB．（1）求證：EC是⊙O的切線；（2）若AD＝23，求AM的長（結果保留π）．【解答】（1）證明：連接OB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠D＝60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，∵BE＝AB，∴∠E＝∠BAE，∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°，∴∠E＝∠BAE＝30°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∴∠OBC＝30°+60°＝90°，∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切線；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝23，過O作OH⊥AM于H，則四邊形OBCH是矩形，∴OH＝BC＝23，∴OA=OHsin60°=4，∠AOM∴AM的長度=60?π×423．（9分）（2020?煙臺）今年疫情期間，針對各種入口處人工測量體溫存在的感染風險高、效率低等問題，清華大學牽頭研制一款“測溫機器人”，如圖1，機器人工作時，行人抬手在測溫頭處測量手腕溫度，體溫合格則機器人抬起臂桿行人可通行，不合格時機器人不抬臂桿并報警，從而有效阻隔病原體．（1）為了設計“測溫機器人”的高度，科研團隊采集了大量數據．下表是抽樣采集某一地區居民的身高數據：測量對象男性（18～60歲）女性（18～55歲）抽樣人數（人）20005000200002000500020000平均身高（厘米）173175176164165164根據你所學的知識，若要更準確的表示這一地區男、女的平均身高，男性應采用176厘米，女性應采用164厘米；（2）如圖2，一般的，人抬手的高度與身高之比為黃金比時給人的感覺最舒適，由此利用（1）中的數據得出測溫頭點P距地面105厘米．指示牌掛在兩臂桿AB，AC的連接點A處，A點距地面110厘米．臂桿落下時兩端點B，C在同一水平線上，BC＝100厘米，點C在點P的正下方5厘米處．若兩臂桿長度相等，求兩臂桿的夾角．（參考數據表）計算器按鍵順序計算結果（近似值）計算器按鍵順序計算結果（近似值）0.178.70.284.31.75.73.511.3【解答】解：（1）用表格可知，男性應采用176厘米，女性應采用164厘米．故答案為176，164．（2）如圖2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，由題意FC＝10cm，∴tan∠FAC=FC∴∠FAC＝78.7°，∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，答：兩臂桿的夾角為157.4°24．（12分）（2020?煙臺）如圖，在等邊三角形ABC中，點E是邊AC上一定點，點D是直線BC上一動點，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．【問題解決】如圖1，若點D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；【類比探究】如圖2，若點D在邊BC的延長線上，請探究線段CE，CF與CD之間存在怎樣的數量關系？并說明理由．【解答】【問題解決】證明：在CD上截取CH＝CE，如圖1所示：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等邊三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等邊三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，DE=FE∠DEH=∠FEC∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；【類比探究】解：線段CE，CF與CD之間的等量關系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝60°，過D作DG∥AB，交AC的延長線于點G，如圖2所示：∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD為等邊三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF為等邊三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，ED=DF∠EDG=∠FDC∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．25．（13分）（2020?煙臺）如圖，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交于A，B兩點，且OA＝2OB，與y軸交于點C，連接BC，拋物線對稱軸為直線x=12，D為第一象限內拋物線上一動點，過點D作DE⊥OA于點E，與AC交于點F，設點D的橫坐標為（1）求拋物線的表達式；（2）當線段DF的長度最大時，求D點的坐標；（3）拋物線上是否存在點D，使得以點O，D，E為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）設OB＝t，則OA＝2t，則點A、B的坐標分別為（2t，0）、（﹣t，0），則x=12=12（2t故點A、B的坐標分別為（2，0）、（﹣1，0），則拋物線的表達式為：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，解得：a＝﹣1，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+2；（2）對于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，則y＝2，故點C（0，2），由點A、C的坐標得，直線AC的表達式為：y＝﹣x+2，設點D的橫坐標為m，則點D（m，﹣m2+m+2），則點F（m，﹣m+2），則DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，∵﹣1＜0，故DF有最大值，此時m＝1，點D（1，2）；（3）存在，理由：點D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），則OD＝m，DE＝﹣m2+m+2，以點O，D，E為頂點的三角形與△BOC相似，則DEOE=OBOC或OCOB，即DE解得：m＝1或﹣2（舍去）或1+334或故m＝1或1+33

山東省2021年初中畢業生學業水平考試（煙臺卷）數學試題卷一、選擇題（本題共12個小題，每小題3分，滿分36分）每小題都給出標號為A,B,C,D四個備選答案，其中有且只有一個是正確的1．若x的相反數是3，則x的值是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．±32．下列數學符號中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．下列計算正確的是（）A．a2?a3＝a6 B．a2+a3＝a5 C．（a2）3＝a6 D．a2÷a3＝a4．一個正方體沿四條棱的中點切割掉一部分后，如圖所示，則該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．5．2021年5月15日，天問一號探測器成功著陸火星，邁出了我國星際探測征程的重要一步．已知火星與地球的近距離約為5500萬公里，5500萬用科學記數法表示為（）A．0.55×108 B．5.5×107 C．55×106 D．5.5×1036．一副三角板如圖放置，兩三角板的斜邊互相平行，每個三角板的直角頂點都在另一個三角板的斜邊上，圖中∠α的度數為（）A．45° B．60° C．75° D．85°7．如圖，在直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標軸上，若點B的坐標為（﹣1，0），∠BCD＝120°，則點D的坐標為（）A．（2，2） B．（，2） C．（3，） D．（2，）8．如圖所示，若用我們數學課本上采用的科學計算器進行計算，其按鍵順序及結果如下：按鍵的結果為m；按鍵的結果為n；按鍵的結果為k．下列判斷正確的是（）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k9．已知關于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中m，n在數軸上的對應點如圖所示，則這個方程的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法確定10．連接正六邊形不相鄰的兩個頂點，并將中間的六邊形涂成黑色，制成如圖所示的鏢盤，將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在黑色區域的概率為（）A． B． C． D．11．如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．下列結論：①ac＞0；②當x＞0時，y隨x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．由12個有公共頂點O的直角三角形拼成的圖形如圖所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，則OG的長為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）13．若代數式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為．14．《九章算術》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點E，如果測得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD為米．15．幻方歷史悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方．將數字1～9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對角線上的數字之和都是15，則a的值為．16．數學興趣小組利用無人機測量學校旗桿高度，已知無人機的飛行高度為40米，當無人機與旗桿的水平距離是45米時，觀測旗桿頂部的俯角為30°，則旗桿的高度約為米．（結果精確到1米，參考數據：≈1.41，≈1.73）17．如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，⊙O是△ABC的外接圓，點A，B，O在網格線的交點上，則sin∠ACB的值是．18．綜合實踐活動課上，小亮將一張面積為24cm2，其中一邊BC為8cm的銳角三角形紙片（如圖1），經過兩刀裁剪，拼成了一個無縫隙、無重疊的矩形BCDE（如圖2），則矩形的周長為cm．三、解答題（本大題共7個小題，滿分66分19．（6分）先化簡，再求值：，從﹣2＜x≤2中選出合適的x的整數值代入求值．20．（8分）2021年是中國共產黨成立100周年．為普及黨史知識，培養愛國主義精神，今年五月份，某市黨校舉行黨史知識競賽，每個班級各選派15名學員參加了網上測試，現對甲、乙兩班學員的分數進行整理分析如下：甲班15名學員測試成績（滿分100分）統計如下：87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．乙班15名學員測試成績（滿分100分）統計如下：77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89（1）按如表分數段整理兩班測試成績班級70.5～75.575.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.595.5～100.5甲12a512乙033621表中a＝；（2）補全甲班15名學員測試成績的頻數分布直方圖；（3）兩班測試成績的平均數、眾數、中位數、方差如表所示：班級平均數眾數中位數方差甲86x8644.8乙8688y36.7表中x＝，y＝．（4）以上兩個班級學員掌握黨史相關知識的整體水平較好的是班；（5）本次測試兩班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．現從以上三人中隨機抽取兩人代表黨校參加全市黨史知識競賽，利用樹狀圖或表格求出恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識競賽的概率．21．（8分）如圖，正比例函數y＝x與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于點A，過點A作AB⊥y軸于點B，OB＝4，點C在線段AB上，且AC＝OC．（1）求k的值及線段BC的長；（2）點P為B點上方y軸上一點，當△POC與△PAC的面積相等時，請求出點P的坐標．22．（9分）直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調查發現，每件小商品售價每降低5元，日銷售量增加10件．（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應定為多少元？（2）小明的線下實體商店也銷售同款小商品，標價為每件62.5元．為提高市場競爭力，促進線下銷售，小明決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格不超過（1）中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？23．（10分）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）請按如下要求完成尺規作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．①作∠BAC的角平分線AD，交BC于點D；②作線段AD的垂直平分線EF與AB相交于點O；③以點O為圓心，以OD長為半徑畫圓，交邊AB于點M．（2）在（1）的條件下，求證：BC是⊙O的切線；（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半徑．24．（11分）有公共頂點A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置，點E，F分別在邊AB和AD上，連接BF，DE，M是BF的中點，連接AM交DE于點N．【觀察猜想】（1）線段DE與AM之間的數量關系是，位置關系是；【探究證明】（2）將圖1中的正方形AEGF繞點A順時針旋轉45°，點G恰好落在邊AB上，如圖2，其他條件不變，線段DE與AM之間的關系是否仍然成立？并說明理由．25．（14分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（﹣2，0），B（4，0），與y軸正半軸交于點C，且OC＝2OA，拋物線的頂點為D，對稱軸交x軸于點E．直線y＝mx+n經過B，C兩點．（1）求拋物線及直線BC的函數表達式；（2）點F是拋物線對稱軸上一點，當FA+FC的值最小時，求出點F的坐標及FA+FC的最小值；（3）連接AC，若點P是拋物線上對稱軸右側一點，點Q是直線BC上一點，試探究是否存在以點E為直角頂點的Rt△PEQ，且滿足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

山東省2021年初中畢業生學業考試（煙臺卷）數學參考答案及評分標準一、選擇題（本題共12個小題，每小題3分，滿分36分）每小題都給出標號為A,B,C,D四個備選答案，其中有且只有一個是正確的1．若x的相反數是3，則x的值是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．±3【分析】只有符號不同的兩個數叫做互為相反數．【解答】解：﹣3的相反數是3，∴x＝﹣3．故選：A．2．下列數學符號中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義進行判斷，即可求出答案．【解答】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；B．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；D．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意．故選：D．3．下列計算正確的是（）A．a2?a3＝a6 B．a2+a3＝a5 C．（a2）3＝a6 D．a2÷a3＝a【分析】根據同底數冪的乘法，合并同類項，冪的乘方，同底數冪的除法法則進行計算，然后作出判斷．【解答】解：A．a2?a3＝a5，故此選項不符合題意；B．a2與a3不是同類項，不能進行合并計算，故此選項不符合題意；C．（a2）3＝a6，正確，故此選項符合題意；D．a2÷a3＝，故此選項不符合題意，故選：C．4．一個正方體沿四條棱的中點切割掉一部分后，如圖所示，則該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據左視圖是從左面看到的圖形判定則可．【解答】解：從左邊看，是一個正方形，正方形的中間有一條橫向的虛線．故選：C．5．2021年5月15日，天問一號探測器成功著陸火星，邁出了我國星際探測征程的重要一步．已知火星與地球的近距離約為5500萬公里，5500萬用科學記數法表示為（）A．0.55×108 B．5.5×107 C．55×106 D．5.5×103【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數，且n比原來的整數位數少1，據此判斷即可．【解答】解：5500萬＝55000000＝5.5×107．故選：B．6．一副三角板如圖放置，兩三角板的斜邊互相平行，每個三角板的直角頂點都在另一個三角板的斜邊上，圖中∠α的度數為（）A．45° B．60° C．75° D．85°【分析】根據EF∥BC得出∠FDC＝∠F＝30°，進而得出∠α＝∠FDC+∠C即可．【解答】解：如圖，∵EF∥BC，∴∠FDC＝∠F＝30°，∴∠α＝∠FDC+∠C＝30°+45°＝75°，故選：C．7．如圖，在直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標軸上，若點B的坐標為（﹣1，0），∠BCD＝120°，則點D的坐標為（）A．（2，2） B．（，2） C．（3，） D．（2，）【分析】根據直角三角形的性質得出OB，OA的長，進而利用菱形的性質得出點的坐標即可．【解答】解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，OA＝，AB＝2，∴A（0，），∴BC＝AD＝2，∴C（1，0），D（2，），故選：D．8．如圖所示，若用我們數學課本上采用的科學計算器進行計算，其按鍵順序及結果如下：按鍵的結果為m；按鍵的結果為n；按鍵的結果為k．下列判斷正確的是（）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k【分析】分別計算出m，n，k的值即可得出答案．【解答】解：m＝23﹣＝8﹣4＝4；n＝﹣22＝4﹣4＝0；k＝﹣cos60°＝﹣＝4；∴m＝k，故選：C．9．已知關于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中m，n在數軸上的對應點如圖所示，則這個方程的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法確定【分析】先由數軸得出m，n與0的關系，再計算判別式的值即可判斷．【解答】解：由數軸得m＞0，n＜0，m+n＜0，∴mn＜0，∴△＝（mn）2﹣4（m+n）＞0，∴方程有兩個不相等的實數根．故選：A．10．連接正六邊形不相鄰的兩個頂點，并將中間的六邊形涂成黑色，制成如圖所示的鏢盤，將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在黑色區域的概率為（）A． B． C． D．【分析】如圖，將陰影部分分割成圖形小三角形的大小，令小三角形的面積為a，分別表示出陰影部分的面積個正六邊形的面積，根據概率公式求解即可．【解答】解：如圖所示，令S△ABC＝a，則S陰影＝6a，S正六邊形＝18a，∴將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在黑色區域的概率為＝，故選：B．11．如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．下列結論：①ac＞0；②當x＞0時，y隨x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】把點A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函數y＝ax2+bx+c，可得二次函數的解析式為：y＝ax2﹣2ax﹣3a，由圖象可知，函數圖象開口向下，所以a＜0，可得b和c的符號，及a和c的數量關系；由函數解析式可得函數對稱軸為直線：x＝﹣＝1，根據函數的增減性和最值，可判斷②和④的正確性．【解答】解：把點A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函數y＝ax2+bx+c，可得二次函數的解析式為：y＝ax2﹣2ax﹣3a，∵該函數開口方向向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，c＝﹣3a＞0，∴ac＜0，3a+c＝0，①錯誤，③正確；∵對稱軸為直線：x＝﹣＝1，∴x＜1時，y隨x的增大而增大，x＞1時，y隨x的增大而減小；②錯誤；∴當x＝1時，函數取得最大值，即對于任意的m，有a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故④正確．綜上，正確的個數有2個，故選：B．12．由12個有公共頂點O的直角三角形拼成的圖形如圖所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，則OG的長為（）A． B． C． D．【分析】由AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，可知AB：OB：OA＝BC：OC：OB＝…＝FG：OG：OF＝1：：2，由此可求出OG的長．【解答】解：由圖可知，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，∵AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，∴∠A＝∠OBA＝∠BCD＝…＝∠OLM＝60°，∴AB＝OA，OB＝AB＝OA，同理可得，OC＝OB＝（）2OA，OD＝OC＝（）3OA，…OG＝OF＝（）6OA＝（）6×16＝．故選：A．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）13．若代數式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為x≤2．【分析】二次根式的被開方數是非負數．【解答】解：依題意，得2﹣x≥0，解得，x≤2．故答案是：x≤2．14．《九章算術》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點E，如果測得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD為3米．【分析】由題意知：△ABE∽△CDE，得出對應邊成比例即可得出CD．【解答】解：由題意知：AB∥CD，則∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD＝3米，故答案為：3．15．幻方歷史悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方．將數字1～9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對角線上的數字之和都是15，則a的值為2．【分析】利用幻方中每一橫行，每一豎行以及兩條對角線上的數字之和都是15，可求出幻方右下角及第二行中間的數字，再利用幻方中對角線上的數字之和為15，即可得出關于a的一元一次方程，解之即可得出結論．【解答】解：幻方右下角的數字為15﹣8﹣3＝4，幻方第二行中間的數字為15﹣6﹣4＝5．依題意得：8+5+a＝15，解得：a＝2．故答案為：2．16．數學興趣小組利用無人機測量學校旗桿高度，已知無人機的飛行高度為40米，當無人機與旗桿的水平距離是45米時，觀測旗桿頂部的俯角為30°，則旗桿的高度約為14米．（結果精確到1米，參考數據：≈1.41，≈1.73）【分析】過O點作OC⊥AB的延長線于C點，垂足為C，利用直角三角形的解法得出OC，進而解答即可．【解答】解：過O點作OC⊥AB的延長線于C點，垂足為C，∵當無人機與旗桿的水平距離是45米時，觀測旗桿頂部的俯角為30°，∴AC＝45米，∠CAO＝30°，∴OC＝AC?tan30°＝（米），∴旗桿的高度＝40﹣15≈14（米），故答案為：14．17．如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，⊙O是△ABC的外接圓，點A，B，O在網格線的交點上，則sin∠ACB的值是．【分析】連接AO并延長交⊙O于D，根據圓周角定理得到∠ACB＝∠ADB，根據勾股定理求出AD，根據正弦的定義計算，得到答案．【解答】解：如圖，連接AO并延長交⊙O于D，由圓周角定理得：∠ACB＝∠ADB，由勾股定理得：AD＝＝2，∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝，故答案為：．18．綜合實踐活動課上，小亮將一張面積為24cm2，其中一邊BC為8cm的銳角三角形紙片（如圖1），經過兩刀裁剪，拼成了一個無縫隙、無重疊的矩形BCDE（如圖2），則矩形的周長為22cm．【分析】延長AT交BC于點P，利用三角形的面積公式求出AP，求出BE，CD，DE，可得結論．【解答】解：延長AT交BC于點P，∵AP⊥BC，∴?BC?AP＝24，∴×8×AP＝24，∴AP＝6（cm），由題意，AT＝PT＝3（cm），∴BE＝CD＝PT＝3（cm），∵DE＝BC＝8cm，∴矩形BCDE的周長為8+8+3+3＝22（cm）．故答案為：22．三、解答題（本大題共7個小題，滿分66分19．（6分）先化簡，再求值：，從﹣2＜x≤2中選出合適的x的整數值代入求值．【分析】根據分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后從﹣2＜x≤2中選出一個使得原分式有意義的整數代入化簡后的式子即可解答本題．【解答】解：＝[]?＝?＝＝，∵﹣2＜x≤2且（x+1）（x﹣1）≠0，2﹣x≠0，∴x的整數值為﹣1，0，1，2且x≠±1，2，∴x＝0，當x＝0時，原式＝＝﹣1．20．（8分）2021年是中國共產黨成立100周年．為普及黨史知識，培養愛國主義精神，今年五月份，某市黨校舉行黨史知識競賽，每個班級各選派15名學員參加了網上測試，現對甲、乙兩班學員的分數進行整理分析如下：甲班15名學員測試成績（滿分100分）統計如下：87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．乙班15名學員測試成績（滿分100分）統計如下：77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89（1）按如表分數段整理兩班測試成績班級70.5～75.575.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.595.5～100.5甲12a512乙033621表中a＝4；（2）補全甲班15名學員測試成績的頻數分布直方圖；（3）兩班測試成績的平均數、眾數、中位數、方差如表所示：班級平均數眾數中位數方差甲86x8644.8乙8688y36.7表中x＝87，y＝86．（4）以上兩個班級學員掌握黨史相關知識的整體水平較好的是乙班；（5）本次測試兩班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．現從以上三人中隨機抽取兩人代表黨校參加全市黨史知識競賽，利用樹狀圖或表格求出恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識競賽的概率．【分析】（1）由甲班15名學員的測試成績即可求解；（2）由（1）的結果，補全甲班15名學員測試成績的頻數分布直方圖即可；（3）由眾數、中位數的定義求解即可；（4）從平均數、中位數、方差幾個方面說明即可；（5）畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識競賽的結果有4種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）由題意得：a＝4，故答案為：4；（2）補全甲班15名學員測試成績的頻數分布直方圖如下：（3）甲班15名學員測試成績中，87分出現的次數最多，∴x＝87，由題意得：乙班15名學員測試成績的中位數為86，故答案為：87，86；（4）以上兩個班級學員掌握黨史相關知識的整體水平較好的是乙班，理由如下：①甲、乙兩個班的平均數相等，但乙班的中位數大于甲班的中位數；②乙班的方差小于甲班的方差，因此乙班的成績更穩定；故答案為：乙；（5）把甲班2人記為A、B，乙班1人記為C，畫樹狀圖如圖：共有6種等可能的結果，恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識競賽的結果有4種，∴恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識競賽的概率為＝．21．（8分）如圖，正比例函數y＝x與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于點A，過點A作AB⊥y軸于點B，OB＝4，點C在線段AB上，且AC＝OC．（1）求k的值及線段BC的長；（2）點P為B點上方y軸上一點，當△POC與△PAC的面積相等時，請求出點P的坐標．【分析】（1）根據正比例函數的解析式求出A點坐標，由A在反比例函數上，可求出k，再根據AC＝OC求出點C的坐標，即可得線段BC的長；（2）設點P（0，p），根據△POC與△PAC的面積相等，得出關于p的方程，解方程即可得點P的坐標．【解答】解：（1）∵點A在正比例函數y＝x上，AB⊥y軸，OB＝4，∵點B的坐標為（0，4），∴點A的縱坐標是4，代入y＝x，得x＝8，∴A（8，4），∵點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，∴k＝4×8＝32，∵點C在線段AB上，且AC＝OC．設點C（c，4），∵OC＝＝，AC＝AB﹣BC＝8﹣c，∴＝8﹣c，解得：c＝3，∴點C（3，4），∴BC＝3，∴k＝32，BC＝3；（2）如圖，設點P（0，p），∵點P為B點上方y軸上一點，∴OP＝p，BP＝p﹣4，∵A（8，4），C（3，4），∴AC＝8﹣3＝5，BC＝3，∵△POC與△PAC的面積相等，∴×3p＝×5（p﹣4），解得：p＝10，∴P（0，10）．22．（9分）直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調查發現，每件小商品售價每降低5元，日銷售量增加10件．（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應定為多少元？（2）小明的線下實體商店也銷售同款小商品，標價為每件62.5元．為提高市場競爭力，促進線下銷售，小明決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格不超過（1）中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？【分析】（1）根據日利潤＝每件利潤×日銷售量，可求出售價為60元時的原利潤，設售價應定為x元，則每件的利潤為（x﹣40）元，日銷售量為20+＝（140﹣2x）件，根據日利潤＝每件利潤×日銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論；（2）設該商品需要打x折銷售，根據銷售價格不超過50元，列出不等式求解即可．【解答】（1）解：設售價應定為x元，則每件的利潤為（x﹣40）元，日銷售量為20+＝（140﹣2x）件，依題意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，整理，得：x2﹣110x+3000＝0，解得：x1＝50，x2＝60（舍去）．答：售價應定為50元；（2）該商品需要打a折銷售，由題意，得，62.5×≤50，解得：a≤8，答：該商品至少需打8折銷售．23．（10分）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）請按如下要求完成尺規作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．①作∠BAC的角平分線AD，交BC于點D；②作線段AD的垂直平分線EF與AB相交于點O；③以點O為圓心，以OD長為半徑畫圓，交邊AB于點M．（2）在（1）的條件下，求證：BC是⊙O的切線；（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半徑．【分析】（1）①以A為圓心，以任意長度為半徑畫弧，與AC、AB相交，再以兩個交點為圓心，以大于兩點之間距離的一半為半徑畫弧相交于∠BAC內部一點，將點A與它連接并延長，與BC交于點D，則AD為∠BAC的平分線；②分別以點A、點D為圓心，以大于AD長度為半徑畫圓，將兩圓交點連接，則EF為AD的垂直平分線，EF與AB交于點O；（2）根據線段垂直平分線及角平分線的性質推出角之間的關系，再根據平行線的判定得出OD∥AC，從而得出OD⊥BC即可；（3）根據題意得到線段之間的關系：OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，再根據相似三角形的性質求解即可．【解答】解：（1）如圖所示，①以A為圓心，以任意長度為半徑畫弧，與AC、AB相交，再以兩個交點為圓心，以大于兩點之間距離的一半為半徑畫弧相交于∠BAC內部一點，將點A與它連接并延長，與BC交于點D，則AD為∠BAC的平分線；②分別以點A、點D為圓心，以大于AD長度為半徑畫圓，將兩圓交點連接，則EF為AD的垂直平分線，EF與AB交于點O；③如圖，⊙O與AB交于點M；（2）證明：∵EF是AD的垂直平分線，且點O在AD上，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，故BC是⊙O的切