直線相關(guān)與回歸分析第一節(jié)直線相關(guān)(linearcorrelation)什么是相關(guān)？

當(dāng)所研究的兩個(gè)事物或現(xiàn)象之間，既存在著密切的數(shù)量關(guān)系，又不象函數(shù)關(guān)系那樣，能以一個(gè)變量的數(shù)值精確地求出另一個(gè)變量的數(shù)值，我們稱(chēng)這類(lèi)變量之間的關(guān)系為相關(guān)關(guān)系，簡(jiǎn)稱(chēng)相關(guān)。

目的：研究事物或現(xiàn)象之間有無(wú)關(guān)系、關(guān)系的方向和密切程度。直線相關(guān)的概念直線相關(guān)(linearcorrelation)又稱(chēng)簡(jiǎn)單相關(guān)，用于雙變量正態(tài)分布資料。相關(guān)關(guān)系并不一定是因果關(guān)系，相關(guān)分析的任務(wù)就是對(duì)相關(guān)關(guān)系給以定量的描述。第一節(jié)直線相關(guān)(linearcorrelation)直線相關(guān)系數(shù)（一）相關(guān)系數(shù)的意義

相關(guān)系數(shù)(coefficientofcorrelation)又稱(chēng)積差相關(guān)系數(shù)(coefficientofproduct-momentcorrelation)，以符號(hào)r表示。它是說(shuō)明具有直線關(guān)系的兩個(gè)變量間相關(guān)密切程度和相關(guān)方向的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。直線相關(guān)系數(shù)（一）相關(guān)系數(shù)的意義

r＞0：正相關(guān)，r＜0：負(fù)相關(guān)，r＝0：零相關(guān)。|r|＝l：完全相關(guān)相關(guān)系數(shù)沒(méi)有單位，其值為-1≤r≤l

直線相關(guān)系數(shù)（一）相關(guān)系數(shù)的意義

Pearson相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式相關(guān)系數(shù)的計(jì)算

例：某地一年級(jí)12名女大學(xué)生的體重與肺活量數(shù)據(jù)如下，試問(wèn)肺活量(L)Y與體重(kg)X有無(wú)相關(guān)關(guān)系？

體重X：42，42，46，46，46，50，50，50，52，52，58，58。肺活量Y：2.55，2.20，2.75，2.40，2.80，2.81，3.41，3.10，3.46，2.85，3.50，3.00相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)r是樣本相關(guān)系數(shù)，它是總體相關(guān)系數(shù)ρ的估計(jì)值。要判斷X、Y間是否有相關(guān)關(guān)系，就要檢驗(yàn)r是否來(lái)自總體相關(guān)系數(shù)ρ為零的總體。常用t檢驗(yàn):Sr為相關(guān)系數(shù)r的標(biāo)準(zhǔn)誤自由度ν=n-2例：就上例檢驗(yàn)女大學(xué)生體重與肺活量間是否有直線相關(guān)關(guān)系α=0.05

本例，n=12,r=0.7495

ν=n–2=12–2=10，t0.01(10)=3.169t=3.58＞3.169，P＜0.01，按α=0.05水準(zhǔn)，拒絕H0，接受H1，故可認(rèn)為一年級(jí)女大學(xué)生體重與肺活量間呈正的直線相關(guān)關(guān)系。進(jìn)行直線相關(guān)分析時(shí)的注意事項(xiàng)直線相關(guān)表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系是雙向的，當(dāng)散點(diǎn)圖出現(xiàn)直線趨勢(shì)時(shí)，再作分析。相關(guān)系數(shù)的計(jì)算只適用于兩個(gè)變量都服從正態(tài)分布的資料。樣本相關(guān)系數(shù)是總體相關(guān)系數(shù)的一個(gè)估計(jì)值，與總體相關(guān)系數(shù)之間存在著抽樣誤差，必須作假設(shè)檢驗(yàn)。相關(guān)分析是用相關(guān)系數(shù)來(lái)描述兩個(gè)變量間相互關(guān)系的密切程度和方向，相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系。出現(xiàn)異常值時(shí)慎用相關(guān)。進(jìn)行直線相關(guān)分析時(shí)的注意事項(xiàng)第二節(jié)直線回歸(linearregression)直線回歸的概念

假設(shè)兩個(gè)變量X，Y中，當(dāng)一個(gè)變量X改變時(shí)，另一個(gè)變量Y也相應(yīng)地改變，此時(shí)稱(chēng)X為自變量(independentvariable)，Y為應(yīng)變量(dependentvariable)。當(dāng)這兩個(gè)變量之間存在著直線關(guān)系時(shí)，不僅可以用相關(guān)系數(shù)r表示變量Y與X直線關(guān)系的密切程度，也可以用表示Y與X的直線關(guān)系，稱(chēng)為直線回歸(1inear

regression)。為了區(qū)別于一般函數(shù)方程，我們將它稱(chēng)為直線回歸方程。直線回歸方程的求法

一般表達(dá)式

：a為回歸直線在Y軸上的截距(intercept)。a＞0：直線與縱軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的上方a＜0：則交點(diǎn)在原點(diǎn)的下方a＝0：則回歸線通過(guò)原點(diǎn)b為回歸系數(shù)(regressioncoefficient)，即直線的斜率(slope)b＞0：表示直線從左下方走向右上方，即Y隨X增大而增大b＜0：表示直線從左上方走向右下方，即y隨X增大而減少b＝0：表示直線與X軸平行，即X與Y無(wú)直線關(guān)系b的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義是X每增(減)一個(gè)單位，Y平均改變b個(gè)單位就上例試求女大學(xué)生肺活量Y對(duì)體重X的直線回歸方程：回歸方程：

注意：所繪直線必然通過(guò)點(diǎn)()，若縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)無(wú)折斷號(hào)時(shí)，將此線左端延長(zhǎng)與縱軸相交，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)必等于截距a。直線回歸方程的應(yīng)用

1.

描述兩變量間的依存關(guān)系2.利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)(forecast)3.利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制(statisticalcontrol)回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

回歸方程是否成立，即x、y是否有直線關(guān)系，是回歸分析要考慮的首要問(wèn)題。即使x、y的總體回歸系數(shù)β為零，由于抽樣誤差，其樣本回歸系數(shù)b也不一定為零，因此需作β是否為零的假設(shè)檢驗(yàn)，可用方差分析或t檢驗(yàn)。2.計(jì)算統(tǒng)計(jì)量（一）方差分析ν總=n-1ν回歸=1ν殘差=n-2

SS殘差=SS總-SS回歸式中Sb為樣本回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，Sy.x為剩余標(biāo)準(zhǔn)差，是當(dāng)X的影響被扣除后，應(yīng)變量Y值對(duì)于回歸直線的離散程度。（二）t檢驗(yàn)2.計(jì)算統(tǒng)計(jì)量回歸系數(shù)與相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)是等值的，即tr=tb

應(yīng)用直線回歸應(yīng)注意的問(wèn)題（1）作回歸分析要有實(shí)際意義，不能把毫無(wú)關(guān)聯(lián)的兩種現(xiàn)象作回歸分析，必須對(duì)兩種觀象間的內(nèi)在聯(lián)系有所認(rèn)識(shí)。（2）作回歸分析時(shí)，一般以“因”的變量為X，以“果”的變量為Y。若變量之間無(wú)因果關(guān)系，則以容易測(cè)定、較穩(wěn)定或變異較小者為X。應(yīng)用直線回歸應(yīng)注意的問(wèn)題（3）應(yīng)變量是隨機(jī)變量。自變量也是隨機(jī)變量時(shí)，兩者均應(yīng)服從正態(tài)分布；自變量為給定的量時(shí)，與每個(gè)X取值相對(duì)應(yīng)的變量Y必須服從正態(tài)分布。（4）回歸方程只有經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)拒絕了無(wú)效假設(shè)后才有意義。（5）回歸方程的適用范圍有其限度，一般僅適用于自變量X的原數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，而不能任意外推。1.在資料要求上，直線回歸要求因變量Y服從正態(tài)分布；X是可以精確測(cè)量和嚴(yán)格控制的變量，一般稱(chēng)為I型回歸。第三節(jié)直線相關(guān)與回歸的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別直線相關(guān)要求兩個(gè)變量X、Y服從雙變量正態(tài)分布。這種資料若進(jìn)行回歸分析稱(chēng)為Ⅱ型回歸?？梢杂?jì)算兩個(gè)回歸方程。由X推Y的回歸方程：由Y推X的回歸方程：2.在應(yīng)用上，說(shuō)明兩變量間依存變化的數(shù)量關(guān)系用回歸，說(shuō)明變量間雙向的相互關(guān)系時(shí)用相關(guān)。區(qū)別聯(lián)系

1.對(duì)一組數(shù)據(jù)若同時(shí)計(jì)算r與b，它們的正負(fù)號(hào)是一致的。r為正號(hào)說(shuō)明兩變量間的相互關(guān)系是同向變化的。b為正，說(shuō)明X增(減)一個(gè)單位，Y平均增(或減)b個(gè)單位。

2.同一資料中r和b的假設(shè)檢驗(yàn)是等價(jià)的，即對(duì)同一樣本，二者的t值相等。

3.回歸與相關(guān)可互相解釋。r2稱(chēng)為決定系數(shù)(Coefficientof

determination)。1、區(qū)別：（1）直線相關(guān)的兩個(gè)變量都需服從正態(tài)分布