第50頁共50頁小學生數學應用題小學數學典型應用題小學數學典型應用題01歸一問題【含義】在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題。【數量關系】總量÷份數＝1份數量1份數量×所占份數＝所求幾份的數量另一總量÷（總量÷份數）＝所求份數02解題思路和方法先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數量。例1：3頭牛4天吃了24千克的草料，照這樣計算5頭牛6天吃草_____千克。解:1.根據題意先算出1頭牛1天吃草料的質量：24÷3÷4=2(千克)。2.那么5頭牛一天吃2×5=10(千克)的草料。3.那么6天就能吃10×6=60(千克)草料。例2：5名同學8分鐘制作了240張正方形紙片。如果每人每分鐘制作的數量相同，并且又來了2位同學，那么再過15分鐘他們又能做_____張正方形紙片？解：1.可以先算出5名同學1分鐘能制作正方形紙片的數量，240÷8=30(張)。2.再算出1名同學1分鐘制作的數量，30÷5=6(張)。3.現在有5+2=7(名)同學，每人每分鐘做6張，要做15分鐘，那么他們能做7×6×15=630(張)正方形紙片。例3：某車間用4臺車床5小時生產零件600個，照這樣計算，增加3臺同樣的車床后，如果要生產6300個零件，需要_____小時完成？解：1.4臺車床5小時生產零件600個，則每臺車床每小時生產零件600÷4÷5=30（個）。2.增加3臺同樣的車床，也就是4+3=7（臺）車床，7臺車床每小時生產零件7×30=210（個）。3.如果生產6300個零件，需要6300÷210=30（小時）完成。02歸總問題【含義】解題時，常常先找出“總數量”，然后再根據其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數量”是指貨物的總價.幾小時（幾天）的總工作量.幾公畝地上的總產量.幾小時走的總路程等?！緮盗筷P系】1份數量×份數＝總量總量÷1份數量＝份數總量÷另一份數＝另一每份數量解題思路和方法先求出總數量，再根據題意得出所求的數量。例1:王大伯家的干草夠8只牛吃一個星期的，照這樣計算，這些草夠4只牛吃（）天？解：1.可以算出這些草夠1只牛吃多少天，用8×7=56(天)。2.算4只牛能吃多久，用56÷4=14(天)。例2小青家有個書架共5層，每層放36本書。現在要空出一層放碟片，把這層書平均放入其它4層中，每層比原來多放（）本書。解：方法一：1.根據題意可以算出書架上有5×36=180(本)書。2.現在還剩下5-1=4(層)書架。3.所以每層書架上有180÷4=45(本)書。比原來多45-36=9(本)書。方法二：也可以這樣考慮，就是要把其中一層的36本書平均分到其他4層，所以每層比原來多放36÷4=9（本）書。例3一個長方形的水槽可容水480噸，水槽裝有一個進水管和一個排水管。單開進水管8小時可以把空池注滿；單開排水管6小時可以把滿水池排空，兩管齊開需要多少小時把滿池水排空？解：1.要求兩管齊開需要多少小時把滿池水排光，關鍵在于先求出進水速度和排水速度，進水每小時480÷8=60（噸）；排水每小時480÷6=80（噸）。2.當兩管齊開，排水速度大于進水速度，即每小時排80-60=20（噸）。3.再根據總水量就可以求出排空滿池水所需的時間。480÷20=24（小時）。03和差問題【含義】已知兩個數量的和與差，求這兩個數量各是多少，這類應用題叫和差問題?！緮盗筷P系】大數＝(和＋差)÷2小數＝(和－差)÷2解題思路和方法簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。例1:兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多18千克，第一筐水果重_____千克，第二筐水果重_____千克。解：因為第一筐比第二筐重1.根據大大數＝(和＋差)÷2的數量關系，可以求出第一筐水果重(150+18)÷2=84（千克）。2.根據小數＝(和－差)÷2的數量關系，可以求出第二筐水果重(150-18)÷2=66（千克）。例2:登月行動地面控制室的成員由兩組專家組成，兩組共有專家120名，原來第一組人太多，所以從第一組調了20人到第二組，這時第一組和第二組人數一樣多，那么原來第二組有（）名專家。解：1.原來從第一組調了20人到第二組，這時第一組和第二組人數一樣多，說明原來第一組比第二組多20+20=40（人）2.根據小數＝(和－差)÷2的數量關系，第二組人數應該為(120-40)÷2=40（人）。例3:某工廠第一.二.三車間共有工人280人，第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人，三個車間各有多少人？解：1.第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人；那么第一車間就比第三車間多25人，因此第三車間的人數是（280-25-15）÷3=80（人）。據此可得出第一.二車間的人數。04和倍問題【含義】已知兩個數的和及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做和倍問題。【數量關系】總和÷（幾倍＋１）＝較小的數總和－較小的數＝較大的數較小的數×幾倍＝較大的數解題思路和方法簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例１：甲、乙兩倉庫共存糧２６４噸，甲倉庫存糧是乙倉庫存糧的１０倍。甲倉庫存糧噸，乙倉庫存糧＿＿＿＿＿噸。解：１.根據“甲倉庫存糧是乙倉庫存糧的１０倍”，把甲倉庫存糧數看成“大數”，乙倉庫存糧數看成“小數”。２.根據和倍公式總和－（幾倍＋１）＝較小的數，即可求乙倉庫存糧２６４＝（１０＋１）＝２４（噸）。３.根據和倍公式較小的數×幾倍＝較大的數，即可求甲倉庫存糧２４×１０＝２４０（噸）。例２：已知蘋果.梨.桃子的總質量為４０千克，蘋果的質量是桃子的４倍，梨的質量是桃子的３倍，求蘋果.梨.桃子的質量。解：１.根據“蘋果的質量是桃子的４倍，梨的質量是桃子的３倍”；把桃子看成１倍數，則蘋果是４倍數，梨是３倍數。２.根據“蘋果、梨、桃子的總質量為４０千克”和和倍公式：總和＝（幾倍＋１）＝較小的數可求出桃子的質量，４０＝（４＋３＋１）＝５（千克）３.根據桃子質量可以求出蘋果和梨的質量。例３：歡歡、樂樂和多多一共帶了1４８元去公園。已知歡歡帶的錢數比樂樂的２倍多１元，多多帶的錢數比歡歡多２倍，那么多多帶了（）元。解：１.在三個量的和倍問題中，我們可以選擇其中一個標準量，然后通過三個量之間的和倍關系進行計算即可。需要注意，多２倍就是３倍。２.由題可知，三人里樂樂的錢數最少。我們可以把樂樂看成標準量，那么歡歡就是２份標準量再加１元。３.多多比歡歡多兩倍，就是２×３＝６份標準量再加１×３＝３（元）。４.那么他們三個合起來就是１＋２＋６＝９份標準量再加１＋３＝４（元）。５.所以標準量是（１４８－４）÷９＝１６（元），即樂樂帶了１６元。６.根據樂樂的錢數可以求出歡歡帶了１６×２＋１＝３３（元），所以多多帶了３３×３＝９９（元）。05差倍問題【含義】已知兩個數的差及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少；這類應用題叫做差倍問題。【數量關系】兩個數的差÷（幾倍－1）=較小的數較小的數×幾倍=較大的數解題思路和方法簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例1：莉莉的科技書比故事書多16本，科技書是故事書3倍，莉莉有科技書（）本。A.8B.12C.16D.24解：1.解決差倍問題，可以畫線段圖解決，也可以直接套用公式解決。2.把故事書的本數看作1倍數，科技書的本數就是3倍數，科技書比故事書多16本，所以根據差倍公式兩個數的差÷（幾倍－1）=較小的數，可以求出故事書有16÷2=8本。3.根據差倍公式較小的數×幾倍=較大的數，可以求出科技書有8×3=24本。例2：甲桶油是乙桶油4倍，如果從甲桶倒出15千克給乙桶，兩桶油的重量就相等了，則原來甲桶有油____千克，乙桶有油____千克。解：1.根據題意，從甲桶倒出15千克給乙桶，兩桶油的重量就相等了，說明原來甲桶油比乙桶油多15×2=30（千克）。2.根據差倍公式兩個數的差÷（幾倍-1）=較小的數，可以求出乙桶有油30÷（4-1）=10（千克）。3.根據差倍公式較小的數×幾倍=較大的數，可以求出甲桶原有油10×4=40（千克）。例3：每件成品需要5個甲零件，2個乙零件。開始時，甲零件的數量是乙零件數量的2倍，加工了30個成品之后甲零件和乙零件的數量一樣多，那么還可以加工_____個成品。解：1.加工一個成品，甲零件比乙零件多用5-2=3（個），加工30個成品，甲零件比乙零件多用3×30=90（個）。根據“加工了30個成品之后甲零件和乙零件的數量一樣多”說明原來甲零件比乙零件多90個。2.把乙原來的零件數看成1倍，甲就是這樣的2倍，甲比乙多1倍，對應90個，求出乙原來有90÷（2-1）=90（個）3.那么甲原來有90×2=180（個）零件。4.每件成品需要5個甲零件，2個乙零件，那么加工30個成品，甲零件用了5×30=150（個），乙零件用了2×30=60（個），所以甲零件還剩180-150=30（個），乙零件還剩90-60=30（個）。剩下的甲零件還能做30÷5=6（個）成品，剩下的乙零件還能做30÷2=15（個）成品。因為每件成品需要甲.乙兩種零件共同完成，所以剩下的零件數還可以加工6個成品。06和倍問題【含義】已知兩個或多個人年齡關系，求各自年齡或年齡關系，這類應用題叫做和倍問題。【數量關系】大數＝(和＋差)÷2小數＝(和－差)÷2總和÷(幾倍+1)＝較小的數總和-較小的數＝較大的數較小的數×幾倍＝較大的數兩個數的差÷（幾倍－1）=較小的數較小的數×幾倍=較大的數解題思路和方法年齡問題具有年齡同增同減，年齡差不變的特性。年齡問題都可以轉化為和差.和倍.差倍問題。簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例1：爸爸今年38歲，媽媽今年36歲，當爸爸42歲時，媽媽_____歲。解：1.本題考查的年齡差不變（簡單），不管過了多少年年齡差是不變的。2.爸爸比媽媽大2歲，根據不管過了多少年年齡差是不變的，當爸爸42歲時，媽媽是40歲。例2：姐姐今年15歲，妹妹今年12歲，當她們的年齡和是39歲時，那時妹妹_____歲。解：方法一：1.利用年齡同增同減的思路。2.姐妹倆今年的年齡之和是：15+12=27（歲），年齡之和到達39歲時需要的年限是：（39-27）÷2=6（年）。3.那是妹妹的年齡是12+6=18（歲）。方法二：1.利用年齡差不變的思路。2.兩姐妹的年齡差為15-12=3（歲），再根據小數＝(和－差)÷2的公式，可以求出妹妹的年齡為（39-3）÷2=18（歲）。例3：爸爸今年50歲，哥哥今年14歲，_____年前，爸爸的年齡是哥哥的5倍。解：1.不管過了多少年，年齡差是不變的，當爸爸的年齡是哥哥的5倍時，年齡差仍是50-14=36（歲）。2.問什么時候爸爸的年齡是哥哥的5倍，實際上年齡差就是哥哥的5-1=4倍。3.根據兩個數的差÷（幾倍－1）=較小的數，可以求出哥哥當時的年齡是（50-14）÷4=9（歲）。4.再根據題意可求出14-9=5（年）前。例4：今年姐妹兩人的年齡和是50歲，曾經有一年，姐姐的年齡與妹妹今年的年齡相同，且那時姐姐的年齡恰好是妹妹年齡的2倍。那么姐姐今年_____歲。解：1.當姐姐的年齡恰好是妹妹年齡的2倍時，我們設那時妹妹的年齡是1份，那么姐姐的年齡就是2份，那么姐姐與妹妹的年齡差就是1份。2.因為那時姐姐的年齡與妹妹今年的年齡相同，所有妹妹今年的年齡也是2份。因為年齡差不變，所以今年姐姐的年齡應該是2+1=3份。3.今年姐妹兩人的年齡和是50歲，對應2+3=5份，求出1份是50÷5=10（歲），那么姐姐今年是10×3=30（歲）。07相遇問題【含義】兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。這類應用題叫做相遇問題?！緮盗筷P系】相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速）總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間解題思路和方法簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析^p可以讓解題事半功倍。例1：歡歡和樂樂在一條馬路的兩端相向而行，歡歡每分鐘行60米，樂樂每分鐘行80米，他們同時出發5分鐘后相遇。這條馬路長（）。解：根據公式總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間，可以求出這條馬路長（60＋80）×5=700（米）。例2：甲乙兩車分別以不變的速度從AB兩地同時出發，相向而行。到達目的地后立即返回。已知第一次相遇地點距離A地50千米，第二次相遇地點距離B地60千米，AB兩地相距_____千米。解：1.本題考查的是二次相遇問題，靈活的運用畫線段圖的方法來分析^p是解決這類問題的關鍵。2.畫線段圖3.從圖中可以看出，第一次相遇時甲行了50千米。甲乙合行了一個全程的路程。從第一次相遇后到第二次相遇，甲乙合行了兩個全程的路程。由于甲乙速度不變，合行兩個全程時，甲能50×2=100(千米)。4.因此甲一共行了50+100=150(千米)，從圖中看甲所行路程剛好比AB兩地相距路程還多出60千米。所以AB兩地相距150-60=90(千米)。例3：歡歡和樂樂在相距80米的直跑道上來回跑步，樂樂的速度是每秒3米，歡歡的速度是每秒2米。如果他們同時分別從跑道兩端出發，當他們跑了10分鐘時，在這段時間里共相遇過_____次。解：1.根據題意，第一次相遇時，兩人共走了一個全程，但是從第二次開始每相遇一次需要的時間都是第一次相遇時間的兩倍。（線段圖參考例2。）2.根據“相遇時間=總路程÷速度和”得到，歡歡和樂樂首次相遇需要80÷（3+2）=16（秒）。3.因為從第一次相遇結束到第二次相遇，歡歡和樂樂要走兩個全程，所以從第二次開始每相遇一次需要的時間是16秒的2倍，也就是32秒，則經過第一次相遇后，剩下的時間是600-16=584（秒），還要相遇584÷32=18.25（次），所以在這段時間里共相遇過18+1=19（次）。追及問題（含解析）01追及問題【含義】兩個運動物體在不同地點同時出發（或者在同一地點而不是同時出發，或者在不同地點又不是同時出發）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題?！緮盗筷P系】★追及時間＝追及路程÷（快速－慢速）★追及路程＝（快速－慢速）×追及時間02解題思路和方法簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析^p可以讓解題事半功倍。例1：某警官發現前方100米處有一匪徒，匪徒正以每秒2米的速度逃跑。警官趕緊以每秒3米的速度追，（）秒后警官可以追上這個匪徒。解：1.從警官追開始到追上匪徒，這就是一個追及過程。根據公式：路程差÷速度差=追及時間。2.路程差為100米，警官每秒比匪徒多跑3-2=1（米），即速度差為1米/秒。所以追及的時間為100÷1=100（秒）。例2：甲乙二人同時從400米的環形跑道的起跑線出發，甲每秒跑6米，乙每秒跑8米，同向出發。那么甲乙二人出發后（）秒第一次相遇？解：1.由題可知，甲乙同時出發后，乙領先，甲落后，那么兩人第一次相遇時，乙從后方追上甲。所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道長度，即追及路程為400米。2.由追及時間=總路程÷速度差可得：經過400÷（8-6）=200（秒）兩人第一次相遇。例3：小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米/時.48千米/時和42千米/時，小轎車和大客車從甲地.面包車從乙地同時相向出發，面包車遇到小轎車后30分鐘又遇到大客車。那么甲.乙兩地相距多遠？解：1.根據題意，將較復雜的綜合問題分解為若干個單一問題。首先是小轎車和面包車的相遇問題；其次是面包車和大客車的相遇問題；然后是小轎車與大客車的追及問題。最后通過大客車與面包車共行甲.乙兩地的一個單程，由相遇問題可求出甲.乙兩地距離。2.畫線段圖，圖上半部分是小轎車和面包車相遇時三車所走的路程。圖下半部分是第一次相遇30分鐘之后三車所走的路程。3.由圖可知，當面包車與大客車相遇時，大客車與小轎車的路程差為小轎車與大客車30分鐘所走的路程。有小轎車與大客車的速度差，有距離，所以可以求出車輛行駛的時間。（60+48）×0.5÷（60-42）=3（小時）。4.由于大客車與面包車相遇，共行一個行程，所以AB兩地路程為（42+48）×3=270（千米）。01植樹問題【含義】按相等的距離植樹，在距離.棵距.棵數這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題?！緮盗筷P系】線形植樹：一端植樹：棵數＝間隔數=距離÷棵距兩端植樹：棵數＝間隔數+1=距離÷棵距＋1兩端都不植樹：棵數＝間隔數-1=距離÷棵距-1環形植樹：棵數＝間隔數=距離÷棵距正多邊形植樹：一周總棵數=每邊棵數×邊數-邊數每邊棵樹=一周總棵數÷邊數+1面積植樹：棵數＝面積÷（棵距×行距）02解題思路和方法先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。例1：植樹節到了，少先隊員要在相距72米的兩幢樓房之間種8棵楊樹。如果兩頭都不栽，平均每兩棵樹之間的距離應是多少米？解：1.本題考察的是植樹問題中的兩端都不栽的情況，解決此類問題的關鍵是要理解棵數比間隔數少1。2.因為棵數比間隔數少1，所以共有8+1=9個間隔，每個間隔距離是72÷9=8米。3.所以每兩棵樹之間的距離是8米。例2：佳一小學舉行運動會，在操場周圍插上彩旗。已知操場的周長是500米，每隔5米插一根紅旗，每兩面紅旗之間插一面黃旗，那么一共插紅旗多少面，一共插黃旗多少面。解：1.本題考查的是植樹問題中封閉圖形間隔問題。本題中只要抓住棵數＝間隔數，就能求出插了多少面紅旗和黃旗。2.棵數＝間隔數，一共插紅旗500÷5＝100（面），這一百面紅旗中一共有100個間隔，所以一共插黃旗100面。例3：多多從一樓爬樓梯到三樓需要6分鐘，照這樣計算，從三樓爬到十樓需要多少分鐘？解：1.本題考查的是植樹問題中鋸木頭.爬樓梯問題的情況。需要理解爬的樓層.鋸的次數與層數.段數之間的關系。所在樓層=爬的層數+1；木頭段數=鋸的次數+1。2.從一樓爬樓梯到三樓，需要爬2層，需要6分鐘，所以每層需要6÷2=3（分鐘）。因此從三樓爬到十樓，需要（10-3）×3=21（鐘）。例4：時鐘敲3下要2秒鐘，敲6下要多少秒？解：1.本題考查的是植樹問題中敲鐘聲問題，與鋸木頭爬樓問題類似。本題中只要抓住敲的次數＝間隔數+1。2.時鐘敲3下，中間有2個間隔，2個間隔需要2秒鐘，那么1個間隔需要1秒鐘。時鐘敲6下，中間有5個間隔，需要5秒。01行船問題【含義】行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度；也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差?！緮盗筷P系】（順水速度＋逆水速度）÷2＝船速（順水速度－逆水速度）÷2＝水速順水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2逆水速＝船速×2－順水速＝順水速－水速×202解題思路和方法簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析^p可以讓解題事半功倍。例1：某船在同一條河中順水船速是每小時20千米，逆水船速是每小時10千米，這條河的水流速度是每小時_____千米？解：順水船速=船速+水流速度，逆水船速=船速-水流速度，可以看出，順水船速比逆水船速多2個水流速度，因此，水流速度=(20-10)÷2=5(千米/時)。例2：某條大河水流速度是每小時5千米，一艘靜水船速是每小時20千米的貨輪逆水航行5小時能到達目的地，這艘貨輪原路返回到出發地需要多少小時？解：1.逆水速度=靜水船速-水流速度，所以貨輪逆水速度是20-5=15(千米/時)，行駛5小時共行了15×5=75(千米)。2.原路返回時是順水航行，順水速度是靜水船速+水速，即20+5=25(千米/時)，所以返回用時75÷25=3(小時)。例3：小船在兩個碼頭間航行，順水需4小時，逆水需5小時，若一只木筏順水漂過這段距離需_____小時？解：1.我們可以假設一個路程。假設兩個碼頭之間的距離是200千米，順水需4小時，則順水的速度是每小時200÷4=50（千米），逆水需5小時，則逆水的速度是每小時200÷5=40（千米）。2.根據“水速=（順水行駛速度-逆水行駛速度）÷2”得到，水流速度是每小時（50-40）÷2=5（千米）。3.一只木筏順水漂過的速度就是水流速度，所以木筏順水漂過這段距離需要200÷5=40（小時）。01列車問題【含義】與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。【數量關系】★火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速★火車追及：追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速－乙車速）★火車相遇：相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速＋乙車速）02解題思路和方法簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析^p可以讓解題事半功倍。例1：一列火車全長126米，全車通過611米的隧道需要67秒，火車的速度是多少米/秒？解：1.本題考查的是火車過橋的問題。解決本題的關鍵是知道火車完全經過隧道所走的路程是一個車身長＋隧道長，進而求出車速。2.因此火車的速度為：（126＋611）÷67＝11（米/秒）。例2：在兩行軌道上有兩列火車相對開來，一列火車長208米，每秒行18米，另一列火車每秒行19米，兩列火車從相遇到完全錯開用了12秒鐘，那么另一列火車長多少米？解：兩列火車從相遇到完全錯開，所行路程之和剛好是它們的車身長度之和。根據“路程和=速度和×時間”可得，另一列火車長=（18+19）×12-208=236（米）。例3：一列火車通過一座長90米的橋需要24秒，如果火車的速度加快1倍，它通過長為222米的隧道只用了18秒。原來火車每秒行多少米？解：1.根據“火車的速度加快1倍，它通過長為222米的隧道只用了18秒”可知，如果火車用原來的速度通過222米的隧道，則要用18×2=36（秒）。2.隧道比大橋長222-90=132（米），火車要多用36-24=12（秒）行駛這一段路程，根據速度=路程÷時間，可以求出原來火車每秒行132÷12=11（米）。01時鐘問題【含義】就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合.兩針垂直.兩針成一線.兩針夾角為60度等，這類問題可轉化為行程問題中的追及問題?！緮盗筷P系】分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為5.5度/分。通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。02解題思路和方法將兩針重合，兩針垂直，兩針成一線，兩針夾角60°等為“追及問題”后可以直接利用公式。例1：鐘面上從時針指向8開始，再經過多少分鐘，時針正好與分針第一次重合?（精確到1分）解：1.此類題型可以把鐘面看成一個環形跑道。那么本題就相當于行程問題中的追及問題，即分針與時針之間的路程差是240°。2.分針每分鐘比時針多轉6°-0.5°=5.5°，所以240÷5.5≈44（分鐘）。也就是從8時開始，再經過44分鐘，時針正好與分針第一次重合。例2：從早晨6點到傍晚6點，鐘面上時針和分針一共重合了多少次？解：我們可以把鐘面看成一個環形跑道，這樣分針和時針的轉動就可以轉化成追及問題。從早晨6點到傍晚6點，一共經過了12小時，12個小時分針要跑12圈，時針只能跑1圈，分針比時針多跑12-1=11（圈），而分針每比時針多跑1圈，就會追上時針一次，也就是和時針重合1次，所以12小時內兩針一共重合了11次。例3：一部記錄中國軍隊時代變遷的紀錄片時長有兩個多小時。小明發現，紀錄片播放結束時，手表上時針.分針的位置正好與開始時時針.分針的位置交換了一下。這部紀錄片時長多少分鐘？（精確到1分）解：1.解決本題的關鍵是認識到時針與分針合走的路程是1080°，進而轉化成相遇問題來解決。2.兩個多小時，分針與時針位置正好交換。所以分針與時針所走的路程和正好是三圈，也就是分針和時針合走360°×3=1080°，而分針和時針每分鐘的合走6°+0.5°=6.5°，所以合走1080°需要1080÷6.5≈166（分鐘），即這部紀錄片時長166分鐘。01工程問題【含義】工程問題主要研究工作量.工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數量，只提出“一項工程”.“一塊土地”.“一條水渠”.“一件工作”等。在解題時，常常用單位“1”表示工作總量?！緮盗筷P系】工作量＝工作效率×工作時間工作時間

＝工作量÷工作效率工作時間

＝工作總量÷（甲工作效率＋乙工作效率）02解題思路和方法解答工程問題的關鍵是把工作總量看作單位“1”。這樣，工作效率就是工作時間的倒數（它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾）。進而就可以根據工作量.工作效率.工作時間三者之間的關系列出算式。例1：一項工程，甲隊獨做要12天完成，乙隊獨做要15天完成，兩隊合做4天可以完成這項工程的（

）。解：1.本題考察的是兩個人的工程問題，解決本題的關鍵是求出甲.乙兩隊的工作效率之和。進而用工作效率×工作時間=工作量。2.甲隊的工作效率為:1÷12=，乙隊的工作效率為:1÷15=，兩隊合做4天，可以完成這項工程的（+）×4=。例2：一項工程，甲.乙兩隊合作30天完成。如果甲隊單獨做24天后，乙隊再加入合做，兩隊合做12天后，甲隊因事離去，由乙隊繼續做了15天才完成。這項工程如果由甲隊單獨做，需要多少天完成？解：1.我們可以將“甲隊單獨做24天后，乙隊再加入合做，兩隊合做12天后，甲隊因事離去。由乙隊繼續做了15天才完成”轉化為“甲.乙兩隊合做27天，甲再單獨做9天”，由此可以求出甲9天的工作量為：，甲每天的工作效率為：，這項工程如果由甲隊單獨做，需要。例3：有一項工程，甲單獨做需要6小時，乙單獨做需要8小時，丙單獨做需要10小時，上午8時三人同時開始，中間甲有事離開，如果到中午12點工程才完工，則甲上午離開的時間是幾時幾分？解：1.根據題意，知道了甲乙丙的工作時間可求出相應的工作效率。甲的工作量是全部工作量減去乙丙的工作量，所以甲的工作時間也可以求出來，即甲上午離開的時間也可以求出來。2.甲的工作量=1-（+）×4=；甲的工作效率為：1÷6=所以甲的工作時間為：÷=（小時）所以甲離開的時間是8時36分。01盈虧問題【含義】根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數或物品數，這類應用題叫做盈虧問題?！緮盗筷P系】一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：參加分配總量＝（盈＋虧）÷分配差如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總量＝（大盈－小盈）÷分配差參加分配總量＝（大虧－小虧）÷分配差02解題思路和方法大多數情況可以直接利用數量關系的公式。例1：小明從家到學校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘；如果每分鐘走70米，則可提前5分鐘到校，小明家到學校的路程是多少米？解：1.分析^p題意，類比“盈虧問題”，我們可以把“遲到3分鐘”，轉化為比計劃路程少行50×3=150（米），把“提前5分鐘”轉化為比計劃路程多行70×5=350（米）這時題目被轉化成了“一盈一虧”問題。2.根據公式，求出原計劃到校的時間：（350+150）÷（70-50）=25（分鐘）。3.所以小明家到學校的路程：50×（25+3）=1400（米），或者70×（25-5）=1400（米）。例2：若干人擦玻璃窗，其中2人各擦4塊，其余的人各擦5塊，則余12塊；若每人擦6塊，正好擦完。擦玻璃窗的共有多少人，玻璃共有多少塊？解：1.由題意可知，本題屬于分配不均型的盈虧問題，需要將題目條件轉化成一般盈虧問題?！捌渲?人各擦4塊，其余的人各擦5塊，則余12塊”可以轉化為“每人擦5塊，則余10塊”。2.這樣就轉化為了雙盈問題，擦玻璃的有：（10-0）÷（6-5）=10人，玻璃共有10×5+10=60塊。例3：動物園飼養員把一堆桃子分給一群猴子。如果每只猴子分10個桃子，則有兩只猴子沒有分到；如果有兩只猴子分8個桃子，其余猴子分9個，則還差3個桃子。一共有多少只猴子？解：1.分析^p題意，題中有兩種分配方式。聯系“盈虧問題”，我們可以把“兩只猴子沒有分到”理解為桃子的數量少2×10=20（個），再把“有兩只猴子分8個桃子，其余猴子分9個，則還差3個桃子”理解為每只猴子分9個，則還少（9-8）×2+3=5（個）。題目看成“雙虧問題”，求出猴子的數量：（20-5）÷（9-8）=15（只）。01百分數問題【含義】百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。百分數是一種特殊的分數。分數常?？梢酝ǚ?約分，而百分數則無需；分數既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數只顯“率”；分數的分子.分母必須是自然數，而百分數的分子可以是小數；百分數有一個專門的記號“%”。在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%?！緮盗筷P系】掌握“百分數”.“標準量”“比較量”三者之間的數量關系：百分數＝比較量÷標準量標準量＝比較量÷百分數02解題思路和方法一般有三種基本類型：（1）求一個數是另一個數的百分之幾；（2）已知一個數，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。例1：在植樹節里，某校六年級學生在校園內種樹8棵，占全校植樹數的20%，則該校在植樹節里共植樹多少棵？解：已知六年級學生的種樹棵數以及所種棵數占全校植樹數的比值，直接用除法運算即可。所以：8÷20%=40（棵）例2：商店新上架了一批連衣裙，第一天賣出總數的25%，第二天賣出45件，第三天賣出的是前兩天賣出的總和的三分一，最后剩下20件，則商店原先進了多少件連衣裙？解：1.把這批連衣裙的總數看作單位“1”，已知第三天賣出的是前兩天賣出的總和的三分之一，也就是第三天賣出了25%的和45的，由此可以求出與（45+45×+20）對應的分率。2.根據已知一個數的幾分之幾或百分之幾是多少，求這個數，用除法解答。（45+45×+20）÷（1-25%-25%×）=120（件）例3：一堆圍棋子黑白兩種顏色，拿走15枚白棋子后，白子占總數的40%；再拿走49枚黑棋子后，白子占總數的75%，則原來這堆棋子一共有多少枚？解：1.本題考察的是百分數應用題的相關知識，解決本題的關鍵是當一種棋子變化時，抓住另一種棋子的數量不變，統一不變量的份數，進而解決問題。2.由條件可知，當拿走49枚黑子時，此時白子的數量沒有變化，那么拿走49枚黑子前，黑子與白子的數量比為（1-40%）：40%=3：2=9：6，拿走49枚黑子后，黑子與白子的數量比為（1-75%）：75%=1：3=2：6，所以拿走的49枚黑子相當于9-2=7（份），故每一份是49÷7=7（枚）棋子3.拿走49枚棋子之前，黑子有7×9=63（枚），白子有7×6=42（枚）。4.再往前推，由“拿走15枚白棋子”可知，黑子的數量沒有變化，所以原來黑子有63枚，白子有42+15=57（枚），那么原來這堆棋子一共有63+57=120（枚）棋子。03知識補充百分數又叫百分率，百分率在工農業生產中應用很廣泛，常見的百分率有：★

增長率＝增長數÷原來基數×100%★

合格率＝合格產品數÷產品總數×100%★

出勤率＝實際出勤人數÷應出勤人數×100%★

出勤率＝實際出勤天數÷應出勤天數×100%★

缺席率＝缺席人數÷實有總人數×100%★

發芽率＝發芽種子數÷試驗種子總數×100%★

成活率＝成活棵數÷種植總棵數×100%★

出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%★

出油率＝油的重量÷油料重量×100%★

廢品率＝廢品數量÷全部產品數量×100%★

命中率＝命中次數÷總次數×100%★

烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%方陣問題【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣）。根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題?！緮盗筷P系】（1）方陣每邊人數與四周人數的關系：四周人數

＝（每邊人數－1）×4每邊人數

＝四周人數÷4＋1（2）方陣總人數的求法：實心方陣：總人數＝每邊人數×每邊人數空心方陣：總人數＝外每邊的人數平方－內每邊的人數平方內每邊人數＝外每邊人數－層數×2（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：

總人數＝（每邊人數－層數）×層數×4解題思路和方法方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。例1：佳一學校參加運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少23人。那么參加團體操表演的運動員一共有多少人？解：1.要知道參加表演的運動員共有多少人，只需要找到最外層每邊有多少人即可。2.一個正方形隊列，減去一行和一列，就是去掉了兩條邊上的人數，其中頂點上的人數計算了兩次，所以減少的人數=每邊的人數×2-1。所以開始每邊有（23+1）÷2=12（人），參加表演的有12×12=144（人）。例2：歡歡用圍棋子圍成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子16枚，歡歡擺這個方陣共用了多少枚圍棋子？解法1：1.本題考查的空心方陣，根據四周的枚數和每邊上的枚數之間的關系，算出每一層的棋子數。2.方陣每向里一層，每邊的枚數就減少2枚。知道最外一層每邊放16枚，就可求出第二層及第三層每邊枚數，知道各層每邊的枚數，就可以求出各層的總數。最外一層的棋子的枚數：（16-1）×4=60（枚），第二層棋子的枚數：（16-2-1）×4=52（枚），第三層棋子的枚數：（16-2-2-1×4=11×4=44（枚），

擺這個方陣共用了60+52+44=156（枚）棋子。解法2:

若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：總人數＝（每邊人數－層數）×層數×4。則：（16-3）×3×4=156(枚)例3：一個實心方陣由81人組成，這個方陣的最外層有多少人？解：方陣的行數和列數相同，9×9=81，所以這是一個9行9列的方陣。最外層人數與一邊人數的關系：一邊人數×4-4=一層人數。所以最外層的人數是9×4-4=32(人)。例4：明明在一個用棋子排成的實心方陣的下面和右面各多排一排棋子，一共用了23個棋子，這樣排成了一個新方陣，他又把這個新方陣改排成一個4層的空心陣，這個方陣最外層每邊有多少個棋子？解：1.根據題意，排成的這個新方陣的每邊棋子數是（23+1）÷2=12（個）,那么這個實心方陣的棋子總數是12×12=144（個）。2.根據空心方陣中，每相鄰的兩層的棋子數相差8的關系，我們可以找出等量關系，列方程解決。設最外層有x個棋子，則從外到內每層的棋子數分別是（x-8）個.（x-16）個.（x-24）個。則：x+x-8+x-16+x-24=144，x=48所以這個方陣最外層每邊有48÷4+1=13（個）棋子。01牛吃草問題【含義】“牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。【數量關系】草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數

02解題思路和方法解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。例1：這是一片新鮮的牧場，現有400份草，每天都均勻地生長6份草。若一開始放26頭奶牛，每頭奶牛每天吃1份草。這片牧場的草夠奶牛吃多少天？解：1.本題考查的是牛吃草的問題。解決本題的關鍵是要求出每天新增加的草量，在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其余的牛吃原有的草。題目可知：原有的草量+新長的草量=總的草量。奶牛除了要吃掉原有的草，也要吃掉新長的草。原有的草量是不變的，每天新長的草量是勻速的，每天都長6份，每頭奶牛每天吃1份，新長的草剛好夠6頭奶牛吃的量。那么剩下的20頭奶牛吃的就是原有的草，每天吃20份，400÷20=20（天），夠吃20天。例2：一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫。5臺抽水機連續20天可抽干；6臺同樣的抽水機連續15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機？解：設每臺抽水機每天可抽1份水。5臺抽水機20天抽水：5×20=100（份）6臺抽水機15天抽水：6×15=90（份）每天入庫的水量：（100-90）÷（20-15）=2（份）原有的存水量：100-20×2=60（份）需抽水機臺數：60÷6+2=12（臺）答：要求6天抽干，需要12臺同樣的抽水機。例3：某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。如果同時打開7個檢票口，那么需多少分鐘？解：1.本題考查的是牛吃草的問題，“旅客”相當于“草”，檢票口相當于“?！?。題目可知，旅客總數由兩部分組成：一部分是開始檢票前已經排隊的原有旅客，另一部分是開始檢票后新來的旅客。設1個檢票口1分鐘檢票的人數為1份。那么4個檢票口30分鐘檢票4×30=120（份），5個檢票口20分鐘檢票5×20=100（份），多花了10分鐘多檢了120-100=20（份）那么每分鐘新增顧客數量為：20÷10=2（份）。那么原有顧客總量為：120-30×2=60（份）。同時打開7個檢票口，我們可以讓2個檢票口專門通過新來的顧客，其余的5個檢票口通過原來的顧客，需要60÷5=12（分鐘）。01雞兔同籠問題【含義】這是古典的算術問題。已知籠子里雞.兔共有多少只頭和多少只腳，求雞.兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞.兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題?！緮盗筷P系】第一雞兔同籠問題：?

假設全都是雞，則有兔數＝（實際腳數－2×雞兔總數）÷（4－2）?

假設全都是兔，則有雞數＝（4×雞兔總數－實際腳數）÷（4－2）第二雞兔同籠問題：

?

假設全是雞，則有兔數＝（2×雞兔總數－雞與兔腳之差）÷（4＋2）?

假設全是兔，則有雞數＝（4×雞兔總數＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）02解題思路和方法解此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞；如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。例1：雞和兔在一個籠子里，共有35個頭，94只腳，那么雞有多少只，兔有多少只？假設籠子里全部都是雞，每只雞有2只腳，那么一共應該有35×2=70（只）腳，而實際有94只腳，這多出來的腳就是把兔子當作雞多出來的，每只兔子比雞多2只腳，一共多了94-70=24（只），則兔子有24÷2=12（只），那么雞有35-12=23（只）。例2：動物園里有鴕鳥和長頸鹿共70只，其中鴕鳥的腳比長頸鹿多80只，那么鴕鳥有多少只，長頸鹿有多少只？解：假設全部都是鴕鳥，則一共有70×2=140（只）腳，此時長頸鹿的腳數是0，鴕鳥腳比長頸鹿腳多140只，而實際上鴕鳥的腳比長頸鹿多80只。因此鴕鳥腳與長頸鹿腳的差數多了140-80=60（只），這是因為把其中的長頸鹿換成了鴕鳥。把每一只長頸鹿換成鴕鳥，鴕鳥的腳數將增加2只，長頸鹿的腳數減少4只，那么鴕鳥腳數與長頸鹿腳數的差就增加了6只，所以換成鴕鳥的長頸鹿有60÷6=10（只），鴕鳥有70-10=60（只）。例3：李阿姨的農場里養了一批雞和兔，共有144條腿，如果雞數和兔數互換，那么共有腿156條。雞和兔一共有多少只？解：根據題意可得：前后雞的總只數=前后兔的總只數。把1只雞和1只兔子看做一組，共有6條腿。前后雞和兔的總腿數有144+156=300（條）所以共有300÷6=50（組），也就是雞和兔的總只數有50只。例4：一次數學考試，只有20道題。做對一題加5分，做錯一題倒扣3分（不做算錯）。樂樂這次考試得了84分，那么樂樂做對了多少道題？解：如果20題全部做對，應該得20×5=100（分），而實際得了84分，少了100-84=16（分）。做錯一題和做對一題之間，相差5+3=8（分），所以少了的16分，也就是做錯了16÷8=2（題）。一共20題，所以樂樂做對了20-2=18（題）。01抽屜問題【含義】在數學問題中有一類與“存在性”有關的問題，如367個人中至少有兩個人是同一天過生日，這類問題在生活中非常常見。它所依據的理論，我們稱之為“抽屜原理”。抽屜原理又名狄利克雷原則，是符合某種條件的對象存在性問題有力工具?！緮盗筷P系】基本的抽屜原則是：如果把n＋1個物體（也叫元素）放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體（元素）。抽屜原則可以推廣為：如果有m個抽屜，元素的個數是抽屜個數的k倍多一些，那么至少有一個抽屜要放（k＋1）個或更多的元素。02解題思路和方法目前,處理抽屜原理問題最基本和常用的方法是運用“最不利原則”,構造“最不利”“點最背”的情形。例1：不透明的箱子中有紅.黃.藍.綠四種顏色的球各20個，一次至少摸出多少個球才能保證摸出兩個相同顏色的球？解：解決這個問題要考慮最不利的情況，因為有4種顏色，想要摸出兩個相同顏色的球。那么最不利的情況就是，每種顏色的各摸出一個，這時再摸一個球，一定與前幾個球有顏色相同的。因此至少要摸4+1=5(個)球。例2：袋子中有2個紅球，3個黃球，4個藍球，5個綠球，一次至少摸出多少個球就能保證摸到兩種顏色的球？解：解決這個問題要考慮最不利情況，想要摸出兩種顏色的球。最不利的情況應該是將一種顏色的球都拿出來時，不論接下來摸的球是什么顏色都與之前顏色不同。因為4種球的個數各不相同。所以最不利的情況應該是先將個數最多的球都拿出來，接下來摸的球都一定與之前顏色不同。因此至少摸出5+1=6(個)球例3：一次數學競賽共5道選擇題，評分標準為：基礎分5分，答對一題得3分，答錯扣1分，不答不得分。要保證至少有4人得分相同，最少需要多少人參加競賽？解：1.本題考察的是抽屜原理的相關知識，解決本題的關鍵是要知道得分一共有多少種不同的情況。進而從最壞的情況開始考慮解決問題。2.一共有5題，且有5分的基礎分，那么每道題就有1分的基礎分。也就相當于答對一題得4分，答錯不得分，不答得1分。這次數學競賽的得分情況有以下幾種：5題全對的只有1種情況：得20分；對4題的有2種情況：1題答錯得16分，1題沒答得17分；對3題的有3種情況：2題全錯得12分，只錯1題得13分，2題不做得14分；對2題的有4種情況：3題全