ArtificialIntelligence(AI)

人工智能第三章：非經典推理ArtificialIntelligence(AI)

人內容提要第三章：非經典推理1.經典推理和非經典推理2.不確定性推理3.概率推理4.主觀貝葉斯方法5.可信度方法6.證據理論內容提要第三章：非經典推理1.經典推理和非經典推理2.不確定可信度方法可信度：是指人們根據以往經驗對某個事物或現象為真的程度的一個判斷，或者說是人們對某個事物或現象為真的相信程度。在可信度方法中，由專家給出規則或知識的可信度，從而避免對先驗概率、條件概率的要求。可信度方法是肖特里菲（Shortliffe）等人在確定性理論基礎上結合概率論等理論提出的一種不精確推理模型。由于該方法直觀、簡單而且效果好，在專家系統等領域獲得了較為廣泛的應用。可信度方法可信度：是指人們根據以往經驗對某個事物或現象為真的知識的不確定性表示C-F模型：基于可信度表示的不確定性推理的基本方法，其他可信度方法都是基于此發展而來。知識的不確定性表示：在C-F模型中，知識是用產生式規則表示的，其一般形式為：

IFETHENH(CF(H,E))

E：知識的前提條件，可以是單一或復合條件H：知識的結論，可以是單一結論或多個結論CF(H,E)：知識的可信度，稱為可信度因子

(CertaintyFactor)或規則強度。知識的不確定性表示C-F模型：基于可信度表示的不確定性推理的知識的不確定性表示一般情況下，CF(H,E)的取值為[-1,1]，表示當證據E為真時，對結論H的支持程度。其值越大，表示支持程度越大。CF(H,E)>0對應于P(H|E)>P(H);CF(H,E)=0對應于P(H|E)=P(H)；CF(H,E)<0對應于P(H|E)<P(H)。例子：

IF發燒AND流鼻涕THEN感冒(0.7)表示當某人確實有“發燒”及“流鼻涕”癥狀時，則有七成的把握是患了感冒。知識的不確定性表示一般情況下，CF(H,E)的取值為[-知識的不確定性表示CF(H,E)的定義：CF(H,E)=MB(H,E)-MD(H,E)MB(MeasureBelief)稱為信任增長度，反映了證據對結論有利的一面。MB(H,E)定義為：MD(MeasureDisbelief)稱為不信任增長度，MD反映了證據對結論不利的一面。MD(H,E)定義為：知識的不確定性表示CF(H,E)的定義：知識的不確定性表示MB和MD的關系：當P(H|E)>P(H)時：

E的出現增加了H的概率MB(H,E)>0，MD(H,E)=0當P(H|E)<P(H)時：

E的出現降低了H的概率MB(H,E)=0，MD(H,E)>0因此，CF(H,E)的計算公式：知識的不確定性表示MB和MD的關系：知識的不確定性表示可信度的性質：互斥性：對同一證據，不可能既增加對H的信任程度，又同時增加對H的不信任程度，即MB與MD是互斥的當MB(H,E)>0時，MD(H,E)=0當MD(H,E)>0時，MB(H,E)=0值域：MB(H,E)∈[0,1];MD(H,E)∈[0,1];CF(H,E)∈[-1,1],當且僅當P(H|E)=1時,CF(H,E)=1當且僅當P(H|E)=0時,CF(H,E)=-1CF(H,E)定性地反映了P(H|E)的大小，因此可以用CF(H,E)近似表示P(H|E)，描述規則的可信度。知識的不確定性表示可信度的性質：知識的不確定性表示可信度的性質：對H的信任增長度等于對非H的不信任增長度再根據CF的定義和MB、MD的互斥性有

CF(H,E)+CF(﹁H,E)=0知識的不確定性表示可信度的性質：知識的不確定性表示可信度的性質：對前提E，若支持若干個不同的結論Hi(i=1,2,…,n)，則因此，如果發現專家給出的知識有如下情況

CF(H1,E)=0.7,CF(H2,E)=0.4則因0.7+0.4=1.1>1為非法，應進行調整或規范化。知識的不確定性表示可信度的性質：證據不確定性的表示證據不確定性的表示證據的E不確定性也用可信度因子CF(E)表示CF(E)的取值范圍：[-1，+1]。CF(E)=1，證據E肯定它為真CF(E)=-1，證據E肯定它為假CF(E)=0，對證據E一無所知0<CF(E)<1，證據E以CF(E)程度為真-1<CF(E)<0，證據E以CF(E)程度為假證據不確定性的表示證據不確定性的表示組合證據的不確定性否定證據的不確定性計算CF(?E)=－CF(E)組合證據的不確定性計算：可采用最大最小法當組合證據E是多個單一證據的合取時，若已知CF(E1),…,CF(En)，則:

CF(E)=min{CF(E1),CF(E2),…,CF(En)}當組合證據E是多個單一證據的析取時，若已知CF(E1),…,CF(En)，則:CF(E)=max{CF(E1),CF(E2),…,CF(En)}組合證據的不確定性否定證據的不確定性計算不確定性的更新不確定性的更新IFETHENH(CF(H,E))

結論H的可信度由下式計算：

CF(H)=CF(H,E)×max{0,CF(E)}CF(H)的取值范圍：[-1，+1]。CF(H)=0:

CF(E)<0,即該模型沒考慮E為假對H的影響CF(H)>0:表示結論以某種程度為真CF(H)<0:表示結論以某種程度為假不確定性的更新不確定性的更新結論不確定性的合成結論不確定性的合成若由多條不同知識推出了相同的結論，但可信度不同，則用合成算法求出綜合可信度。設有知識：IFE1THENH(CF(H,E1))IFE2THENH(CF(H,E2))則結論H的綜合可信度可分以下兩步計算：(1)分別對每條知識求出其CF(H)。即

CF1(H)=CF(H,E1)×max{0,CF(E1)}CF2(H)=CF(H,E2)×max{0,CF(E2)}結論不確定性的合成結論不確定性的合成結論不確定性的合成結論不確定性的合成(2)用如下公式求E1與E2對H的綜合可信度

結論不確定性的合成結論不確定性的合成可信度方法例：設有如下一組知識：r1：IFE1THENH(0.9)r2：IFE2THENH(0.6)r3：IFE3THENH(-0.5)r4：IFE4AND(E5ORE6)THENE1(0.8)已知：CF(E2)=0.8，CF(E3)=0.6，CF(E4)=0.5，CF(E5)=0.6,CF(E6)=0.8求：CF(H)=?可信度方法例：設有如下一組知識：可信度方法解：由r4得到：

CF(E1)=0.8×max{0,CF(E4AND(E5ORE6))}=0.8×max{0,min{CF(E4),CF(E5ORE6)}}=0.8×max{0,min{CF(E4),max{CF(E5),CF(E6)}}}=0.8×max{0,min{CF(E4),max{0.6,0.8}}}=0.8×max{0,min{0.5,0.8}}=0.8×max{0,0.5}=0.4由r1得到：CF1(H)=CF(H,E1)×max{0,CF(E1)}=0.9×max{0,0.4}=0.36可信度方法解：由r4得到：可信度方法由r2得到：CF2(H)=CF(H,E2)×max{0,CF(E2)}

=0.6×max{0,0.8}=0.48由r3得到：

CF3(H)=CF(H,E3)×max{0,CF(E3)}

=-0.5×max{0,0.6}=-0.3

根據結論不精確性的合成算法，CF1(H)和CF2(H)同號，有：可信度方法由r2得到：可信度方法CF12(H)和CF3(H)異號，有：綜合可信度為CF(H)=0.53可信度方法CF12(H)和CF3(H)內容提要第三章：非經典推理1.經典推理和非經典推理2.不確定性推理3.概率推理4.主觀貝葉斯方法5.可信度方法6.證據理論內容提要第三章：非經典推理1.經典推理和非經典推理2.不確定證據理論證據理論是由德普斯特(A.P.Dempster)首先提出，并由沙佛(G.Shafer)進一步發展起來的用于處理不確定性的一種理論，也稱DS(Dempster–Shafer)理論。

它將概率論中的單點賦值擴展為集合賦值，能夠區分“不確定”與“不知道”的差異，并能處理由“不知道”引起的不確定性，比主觀Bayes方法更具靈活性。在DS理論中，可以分別用信任函數、似然函數及類概率函數來描述知識的精確信任度、不可駁斥信任度及估計信任度。證據理論證據理論是由德普斯特(A.P.DempsterDS理論的形式描述DS理論是用集合表示命題的。設Ω是變量x所有可能取值的集合，且Ω中的元素是互斥的，即在任一時刻，x都能且只能取Ω中的某一個元素值，則稱Ω為x的樣本空間。在DS理論中，Ω的任何一個子集A都對應于一個關于x的命題，稱該命題為“x的值在A中”。例如：用x表示打靶擊中的環數，Ω={1,...,10}，則A={5}表示命題“x值是5”或“擊中環數為5”；A={5,6,7,8}表示命題“擊中環數為5,6,7,8中的某一個”。DS理論的形式描述DS理論是用集合表示命題的。DS理論的形式描述DS理論處理的是集合上的不確定性問題，為此需要先建立命題與集合之間的一一對應關系，以把命題的不確定性問題轉化為集合的不確定性問題。設Ω為樣本空間，且Ω中的每個元素都相互獨立，則由Ω的所有子集構成的冪集記為2Ω。當Ω中的元素個數為N時，則其冪集2Ω的元素個數為2N，且其中每一個元素都對應一個關于x取值情況的命題。例如：設Ω={紅,黃,白}，Ω的冪集2Ω包括如下子集

A0=Φ,A1={紅},A2={黃},A3={白},A4={紅，黃},A5={紅，白},A6={黃，白},A7={紅，黃，白}。其中，Φ表示空集，DS理論的形式描述DS理論處理的是集合上的不確定性問題，為此DS理論的形式描述概率分配函數設函數M：2Ω→[0，1]，且滿足則稱M是2Ω上的概率分配函數，M(A)稱為A的基本概率數。概率分配函數實質上是對Ω的各個子集進行信任分配，M(A)表示分給A的那部分。概率分配函數不是概率。DS理論的形式描述概率分配函數DS理論的形式描述概率分配函數信任函數和似然函數都是在概率分配函數的基礎上定義的，不同的概率分配函數將得到不同的推理模型。一種具體的概率分配函數的定義：設Ω={s1,…,sn}，M為定義在2Ω上的概率分配函數，且M滿足DS理論的形式描述概率分配函數DS理論的形式描述信任函數命題的信任函數Bel:2Ω→[0，1]為其中，2Ω是Ω的冪集。Bel又稱為下限函數，Bel(A)表示對A的總的信任度。根據定義還可以得到：DS理論的形式描述信任函數DS理論的形式描述似然函數似然函數Pl：2Ω→[0，1]為其中，﹁A=Ω－A。似然函數又稱為不可駁斥函數或上限函數。由于Bel(﹁A)表示對﹁A的信任度，即A為假的信任度，因此，Pl(A)表示對A為非假的信任度。似然函數的另外一種計算辦法DS理論的形式描述似然函數DS理論的形式描述信任函數和似然函數之間存在關系：Pl(A)≥Bel(A)由于Bel(A)和Pl(A)分別表示A為真的信任度和A為非假的信任度，因此，可分別稱Bel(A)和Pl(A)為對A信任程度的下限和上限，記為：A[Bel(A),Pl(A)]例如：若Bel({紅})=0.3，Pl({紅})=0.9即：{紅}[0.3,0.9]表示對{紅}的精確信任度為0.3，不可駁斥部分為0.9，肯定不是{紅}的為0.1。DS理論的形式描述信任函數和似然函數之間存在關系：DS理論的形式描述信任函數和似然函數之間存在關系：對任何命題A屬于Ω,其似然函數為因此，對任意命題A和B屬于Ω均有：表示對命題不知道的程度DS理論的形式描述信任函數和似然函數之間存在關系：表示對命題DS理論的形式描述一些典型值的含義A[0,1]：說明對A一無所知。A[0,0]：說明A為假。A[1,1]：說明A為真。A[0.6,1]：說明對A部分信任，Bel(A)=0.6

。A[0,0.4]：說明對﹁A部分信任，Bel(﹁A)=0.6。A[0.3,0.9]：說明對A和﹁A都有部分信任。Bel(A)=0.3，說明對A為真有0.3的信任度；Bel(﹁A)=1-0.9=0.1，說明對A為假有0.1的信任度。DS理論的形式描述一些典型值的含義DS理論的形式描述概率分配函數的正交和當證據來源不同時，可能會得到不同的概率分配函數例如，對Ω={紅，黃}，假設從不同知識源得到的兩個概率分配函數分別為：

M1({},{紅},{黃},{紅,黃})=(0,0.4,0.5,0.1)M2({},{紅},{黃},{紅,黃})=(0,0.6,0.2,0.2)可采用德普斯特提出的求正交和的方法組合這些函數設M1和M2是兩個不同的概率分配函數，則兩者的正交和滿足DS理論的形式描述概率分配函數的正交和DS理論的形式描述概率分配函數的正交和其中：如果K≠0，則正交和也是一個概率分配函數；如果K=0，則不存在正交和M，稱M1與M2矛盾。例子P133，例4.5DS理論的形式描述概率分配函數的正交和DS理論的形式描述類概率函數的定義設Ω為有限域，對任何命題A屬于有限域Ω，命題A的類概率函數為

類概率函數f(A)的性質

(2)對任何,有Bel(A)≤f(A)≤Pl(A)

(1)

(3)對任何，有f(﹁A)=1－f(A)DS理論的形式描述類概率函數的定義(2)對任何知識不確定性的表示知識不確定性的表示IFETHENH={h1,h2,…,hn}CF={c1,c2,…,cn}E為前提條件，它既可以是簡單條件，也可以是用合取或析取詞連接起來的復合條件；H是結論，它用樣本空間中的子集表示，h1,h2,…,hn

是該子集中的元素；CF是可信度因子，用集合形式表示。該集合中的元素c1,c2,…,cn

用來指出h1,h2,…,hn

的可信度；ci與hi一一對應，且應滿足如下條件：知識不確定性的表示知識不確定性的表示證據不確定性的表示證據不確定性的表示不確定性證據E的確定性用CER(E)表示，CER(E)的取值范圍為：[0,1]初始證據的不確定性由用戶給出設H是規則結論部分命題，E'是外部輸入的證據和已證實的命題，命題H所要求的證據與E'的匹配程度為：結論命題H的確定性為:CER(H)=MD(H/E')×f(H)否則中

要求的證據都出現在如果'01)'/(EHEHMD?íì=Certainty證據不確定性的表示證據不確定性的表示否則中要求的證據都出現組合證據不確定性的表示組合證據不確定性的表示當組合證據是多個證據的合取時：E=E1ANDE2AND…ANDEn

此時CER(E)=min{CER(E1),CER(E2),…,CER(En)}當組合證據是多個證據的析取時：E=E1ORE2OR…OREn此時CER(E)=max{CER(E1),CER(E2),….CER(En)

組合證據不確定性的表示組合證據不確定性的表示不確定性的更新不確定性的更新設有知識IFETHENH={h1,…,hn}CF={c1,c2,…,cn}則求結論H的確定性CER(H)的方法如下：(1)求H的概率分配函數

不確定性的更新不確定性的更新不確定性的更新不確定性的更新(1)求H的概率分配函數

如果有兩條或多條知識支持同一結論H，例：IFETHENH={h1,…,hn}CF={c11,…,c1n}IFETHENH={h1,…,hn}CF={c21,…,c2n}則按正交和求CER(H)，即先求出：M1=M({h1},{h2},…,{hn})M2=M({h1},{h2},…,{hn})

然后再用公式求M1和M2的正交和，最后求得H的M。不確定性的更新不確定性的更新不確定性的更新(2)求Bel(H)、Pl(H)及f(H)

(3)求H的確定性CER(H)不確定性的更新(2)求Bel(H)、Pl(H)及f(H)問題？問題？ArtificialIntelligence(AI)

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人內容提要第三章：非經典推理1.經典推理和非經典推理2.不確定性推理3.概率推理4.主觀貝葉斯方法5.可信度方法6.證據理論內容提要第三章：非經典推理1.經典推理和非經典推理2.不確定可信度方法可信度：是指人們根據以往經驗對某個事物或現象為真的程度的一個判斷，或者說是人們對某個事物或現象為真的相信程度。在可信度方法中，由專家給出規則或知識的可信度，從而避免對先驗概率、條件概率的要求。可信度方法是肖特里菲（Shortliffe）等人在確定性理論基礎上結合概率論等理論提出的一種不精確推理模型。由于該方法直觀、簡單而且效果好，在專家系統等領域獲得了較為廣泛的應用。可信度方法可信度：是指人們根據以往經驗對某個事物或現象為真的知識的不確定性表示C-F模型：基于可信度表示的不確定性推理的基本方法，其他可信度方法都是基于此發展而來。知識的不確定性表示：在C-F模型中，知識是用產生式規則表示的，其一般形式為：

IFETHENH(CF(H,E))

E：知識的前提條件，可以是單一或復合條件H：知識的結論，可以是單一結論或多個結論CF(H,E)：知識的可信度，稱為可信度因子

(CertaintyFactor)或規則強度。知識的不確定性表示C-F模型：基于可信度表示的不確定性推理的知識的不確定性表示一般情況下，CF(H,E)的取值為[-1,1]，表示當證據E為真時，對結論H的支持程度。其值越大，表示支持程度越大。CF(H,E)>0對應于P(H|E)>P(H);CF(H,E)=0對應于P(H|E)=P(H)；CF(H,E)<0對應于P(H|E)<P(H)。例子：

IF發燒AND流鼻涕THEN感冒(0.7)表示當某人確實有“發燒”及“流鼻涕”癥狀時，則有七成的把握是患了感冒。知識的不確定性表示一般情況下，CF(H,E)的取值為[-知識的不確定性表示CF(H,E)的定義：CF(H,E)=MB(H,E)-MD(H,E)MB(MeasureBelief)稱為信任增長度，反映了證據對結論有利的一面。MB(H,E)定義為：MD(MeasureDisbelief)稱為不信任增長度，MD反映了證據對結論不利的一面。MD(H,E)定義為：知識的不確定性表示CF(H,E)的定義：知識的不確定性表示MB和MD的關系：當P(H|E)>P(H)時：

E的出現增加了H的概率MB(H,E)>0，MD(H,E)=0當P(H|E)<P(H)時：

E的出現降低了H的概率MB(H,E)=0，MD(H,E)>0因此，CF(H,E)的計算公式：知識的不確定性表示MB和MD的關系：知識的不確定性表示可信度的性質：互斥性：對同一證據，不可能既增加對H的信任程度，又同時增加對H的不信任程度，即MB與MD是互斥的當MB(H,E)>0時，MD(H,E)=0當MD(H,E)>0時，MB(H,E)=0值域：MB(H,E)∈[0,1];MD(H,E)∈[0,1];CF(H,E)∈[-1,1],當且僅當P(H|E)=1時,CF(H,E)=1當且僅當P(H|E)=0時,CF(H,E)=-1CF(H,E)定性地反映了P(H|E)的大小，因此可以用CF(H,E)近似表示P(H|E)，描述規則的可信度。知識的不確定性表示可信度的性質：知識的不確定性表示可信度的性質：對H的信任增長度等于對非H的不信任增長度再根據CF的定義和MB、MD的互斥性有

CF(H,E)+CF(﹁H,E)=0知識的不確定性表示可信度的性質：知識的不確定性表示可信度的性質：對前提E，若支持若干個不同的結論Hi(i=1,2,…,n)，則因此，如果發現專家給出的知識有如下情況

CF(H1,E)=0.7,CF(H2,E)=0.4則因0.7+0.4=1.1>1為非法，應進行調整或規范化。知識的不確定性表示可信度的性質：證據不確定性的表示證據不確定性的表示證據的E不確定性也用可信度因子CF(E)表示CF(E)的取值范圍：[-1，+1]。CF(E)=1，證據E肯定它為真CF(E)=-1，證據E肯定它為假CF(E)=0，對證據E一無所知0<CF(E)<1，證據E以CF(E)程度為真-1<CF(E)<0，證據E以CF(E)程度為假證據不確定性的表示證據不確定性的表示組合證據的不確定性否定證據的不確定性計算CF(?E)=－CF(E)組合證據的不確定性計算：可采用最大最小法當組合證據E是多個單一證據的合取時，若已知CF(E1),…,CF(En)，則:

CF(E)=min{CF(E1),CF(E2),…,CF(En)}當組合證據E是多個單一證據的析取時，若已知CF(E1),…,CF(En)，則:CF(E)=max{CF(E1),CF(E2),…,CF(En)}組合證據的不確定性否定證據的不確定性計算不確定性的更新不確定性的更新IFETHENH(CF(H,E))

結論H的可信度由下式計算：

CF(H)=CF(H,E)×max{0,CF(E)}CF(H)的取值范圍：[-1，+1]。CF(H)=0:

CF(E)<0,即該模型沒考慮E為假對H的影響CF(H)>0:表示結論以某種程度為真CF(H)<0:表示結論以某種程度為假不確定性的更新不確定性的更新結論不確定性的合成結論不確定性的合成若由多條不同知識推出了相同的結論，但可信度不同，則用合成算法求出綜合可信度。設有知識：IFE1THENH(CF(H,E1))IFE2THENH(CF(H,E2))則結論H的綜合可信度可分以下兩步計算：(1)分別對每條知識求出其CF(H)。即

CF1(H)=CF(H,E1)×max{0,CF(E1)}CF2(H)=CF(H,E2)×max{0,CF(E2)}結論不確定性的合成結論不確定性的合成結論不確定性的合成結論不確定性的合成(2)用如下公式求E1與E2對H的綜合可信度

結論不確定性的合成結論不確定性的合成可信度方法例：設有如下一組知識：r1：IFE1THENH(0.9)r2：IFE2THENH(0.6)r3：IFE3THENH(-0.5)r4：IFE4AND(E5ORE6)THENE1(0.8)已知：CF(E2)=0.8，CF(E3)=0.6，CF(E4)=0.5，CF(E5)=0.6,CF(E6)=0.8求：CF(H)=?可信度方法例：設有如下一組知識：可信度方法解：由r4得到：

CF(E1)=0.8×max{0,CF(E4AND(E5ORE6))}=0.8×max{0,min{CF(E4),CF(E5ORE6)}}=0.8×max{0,min{CF(E4),max{CF(E5),CF(E6)}}}=0.8×max{0,min{CF(E4),max{0.6,0.8}}}=0.8×max{0,min{0.5,0.8}}=0.8×max{0,0.5}=0.4由r1得到：CF1(H)=CF(H,E1)×max{0,CF(E1)}=0.9×max{0,0.4}=0.36可信度方法解：由r4得到：可信度方法由r2得到：CF2(H)=CF(H,E2)×max{0,CF(E2)}

=0.6×max{0,0.8}=0.48由r3得到：

CF3(H)=CF(H,E3)×max{0,CF(E3)}

=-0.5×max{0,0.6}=-0.3

根據結論不精確性的合成算法，CF1(H)和CF2(H)同號，有：可信度方法由r2得到：可信度方法CF12(H)和CF3(H)異號，有：綜合可信度為CF(H)=0.53可信度方法CF12(H)和CF3(H)內容提要第三章：非經典推理1.經典推理和非經典推理2.不確定性推理3.概率推理4.主觀貝葉斯方法5.可信度方法6.證據理論內容提要第三章：非經典推理1.經典推理和非經典推理2.不確定證據理論證據理論是由德普斯特(A.P.Dempster)首先提出，并由沙佛(G.Shafer)進一步發展起來的用于處理不確定性的一種理論，也稱DS(Dempster–Shafer)理論。

它將概率論中的單點賦值擴展為集合賦值，能夠區分“不確定”與“不知道”的差異，并能處理由“不知道”引起的不確定性，比主觀Bayes方法更具靈活性。在DS理論中，可以分別用信任函數、似然函數及類概率函數來描述知識的精確信任度、不可駁斥信任度及估計信任度。證據理論證據理論是由德普斯特(A.P.DempsterDS理論的形式描述DS理論是用集合表示命題的。設Ω是變量x所有可能取值的集合，且Ω中的元素是互斥的，即在任一時刻，x都能且只能取Ω中的某一個元素值，則稱Ω為x的樣本空間。在DS理論中，Ω的任何一個子集A都對應于一個關于x的命題，稱該命題為“x的值在A中”。例如：用x表示打靶擊中的環數，Ω={1,...,10}，則A={5}表示命題“x值是5”或“擊中環數為5”；A={5,6,7,8}表示命題“擊中環數為5,6,7,8中的某一個”。DS理論的形式描述DS理論是用集合表示命題的。DS理論的形式描述DS理論處理的是集合上的不確定性問題，為此需要先建立命題與集合之間的一一對應關系，以把命題的不確定性問題轉化為集合的不確定性問題。設Ω為樣本空間，且Ω中的每個元素都相互獨立，則由Ω的所有子集構成的冪集記為2Ω。當Ω中的元素個數為N時，則其冪集2Ω的元素個數為2N，且其中每一個元素都對應一個關于x取值情況的命題。例如：設Ω={紅,黃,白}，Ω的冪集2Ω包括如下子集

A0=Φ,A1={紅},A2={黃},A3={白},A4={紅，黃},A5={紅，白},A6={黃，白},A7={紅，黃，白}。其中，Φ表示空集，DS理論的形式描述DS理論處理的是集合上的不確定性問題，為此DS理論的形式描述概率分配函數設函數M：2Ω→[0，1]，且滿足則稱M是2Ω上的概率分配函數，M(A)稱為A的基本概率數。概率分配函數實質上是對Ω的各個子集進行信任分配，M(A)表示分給A的那部分。概率分配函數不是概率。DS理論的形式描述概率分配函數DS理論的形式描述概率分配函數信任函數和似然函數都是在概率分配函數的基礎上定義的，不同的概率分配函數將得到不同的推理模型。一種具體的概率分配函數的定義：設Ω={s1,…,sn}，M為定義在2Ω上的概率分配函數，且M滿足DS理論的形式描述概率分配函數DS理論的形式描述信任函數命題的信任函數Bel:2Ω→[0，1]為其中，2Ω是Ω的冪集。Bel又稱為下限函數，Bel(A)表示對A的總的信任度。根據定義還可以得到：DS理論的形式描述信任函數DS理論的形式描述似然函數似然函數Pl：2Ω→[0，1]為其中，﹁A=Ω－A。似然函數又稱為不可駁斥函數或上限函數。由于Bel(﹁A)表示對﹁A的信任度，即A為假的信任度，因此，Pl(A)表示對A為非假的信任度。似然函數的另外一種計算辦法DS理論的形式描述似然函數DS理論的形式描述信任函數和似然函數之間存在關系：Pl(A)≥Bel(A)由于Bel(A)和Pl(A)分別表示A為真的信任度和A為非假的信任度，因此，可分別稱Bel(A)和Pl(A)為對A信任程度的下限和上限，記為：A[Bel(A),Pl(A)]例如：若Bel({紅})=0.3，Pl({紅})=0.9即：{紅}[0.3,0.9]表示對{紅}的精確信任度為0.3，不可駁斥部分為0.9，肯定不是{紅}的為0.1。DS理論的形式描述信任函數和似然函數之間存在關系：DS理論的形式描述信任函數和似然函數之間存在關系：對任何命題A屬于Ω,其似然函數為因此，對任意命題A和B屬于Ω均有：表示對命題不知道的程度DS理論的形式描述信任函數和似然函數之間存在關系：表示對命題DS理論的形式描述一些典型值的含義A[0,1]：說明對A一無所知。A[0,0]：說明A為假。A[1,1]：說明A為真。A[0.6,1]：說明對A部分信任，Bel(A)=0.6

。A[0,0.4]：說明對﹁A部分信任，Bel(﹁A)=0.6。A[0.3,0.9]：說明對A和﹁A都有部分信任。Bel(A)=0.3，說明對A為真有0.3的信任度；Bel(﹁A)=1-0.9=0.1，說明對A為假有0.1的信任度。DS理論的形式描述一些典型值的含義DS理論的形式描述概率分配函數的正交和當證據來源不同時，可能會得到不同的概率分配函數例如，對Ω={紅，黃}，假設從不同知識源得到的兩個概率分配函數分別為：

M1({},{紅},{黃},{紅,黃})=(0,0.4,0.5,0.1)M2({},{紅},{黃},{紅,黃})=(0,0.6,0.2,0.2)可采用德普斯特提出的求正交和的方法組合這些函數設M1和M2是兩個不同的概率分配函數，則兩者的正交和滿足DS理論的形式描述概率分配函數的正交和DS理論的形式描述概率分配函數的正交