在管理中，人們常常需要對(duì)一些情況作出決策：例如企業(yè)的決策者要決定購(gòu)置哪種設(shè)備，上馬什么產(chǎn)品；經(jīng)理要從若干求職者中決定錄用哪些人員；地區(qū)、部門(mén)官員要對(duì)人口、交通、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境等領(lǐng)域的發(fā)展規(guī)劃作出決策。在日常生活中也常會(huì)遇到，在多種類不同特征的商品中選購(gòu),報(bào)考學(xué)校選擇志愿,畢業(yè)時(shí)選擇工作崗位等。第10章層次分析在管理中，人們常常需要對(duì)一些情況作出決策：例如企業(yè)的決策者要這一系列的問(wèn)題，單純靠構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)求解的方法往往是行不通的，而用完全主觀的定奪也常常表現(xiàn)為舉棋不定，而最終選擇不理想，甚至不滿意的決策方案。面對(duì)這樣的問(wèn)題，運(yùn)籌學(xué)者開(kāi)始了對(duì)人們思維決策過(guò)程進(jìn)行分析、研究。這一系列的問(wèn)題，單純靠構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)求解的方法往往是行不美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家，T.L.Saaty等人在20世紀(jì)70年代提出了一種能有效處理這類問(wèn)題的實(shí)用方法，稱之為層次分析法（AHP法）。T.L.Saaty等曾把它用于電力工業(yè)計(jì)劃，運(yùn)輸業(yè)研究，美國(guó)高等教育事業(yè)1985—2000展望，1985年世界石油價(jià)格預(yù)測(cè)等方面。美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家，T.L.Saaty等人在20世紀(jì)70年代提出了這種方法的特征：定性與定量相結(jié)合，把人們的思維過(guò)程層次化、數(shù)量化。AHP法作為一種決策方法是在1982年11月召開(kāi)的中美能源、資源、環(huán)境學(xué)術(shù)會(huì)議上，由Saaty學(xué)生H.Gholamnezhad首先向中國(guó)介紹的。以后層次分析法在中國(guó)得到很大的發(fā)展，很快應(yīng)用到能源系統(tǒng)分析、城市規(guī)劃、經(jīng)濟(jì)管理科研成果評(píng)價(jià)的許多領(lǐng)域。這種方法的特征：定性與定量相結(jié)合，把人們的思維過(guò)程層次化、數(shù)運(yùn)用AHP法進(jìn)行決策時(shí)，大體可以分為以下4個(gè)步驟進(jìn)行：（1）分析系統(tǒng)中各個(gè)因素的關(guān)系，建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)。

（2）對(duì)同一層次的各元素關(guān)于上一層次中某一準(zhǔn)則的重要性進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣。10.1層次分析法的基本步驟運(yùn)用AHP法進(jìn)行決策時(shí)，大體可以分為以下4個(gè)步驟

（3）由判斷矩陣計(jì)算被比較元素對(duì)于該準(zhǔn)則的相對(duì)權(quán)重。（4）計(jì)算各層元素對(duì)系統(tǒng)目標(biāo)的合成權(quán)重，并進(jìn)行排序。（3）由判斷矩陣計(jì)算被比較元素對(duì)于該準(zhǔn)則的相對(duì)權(quán)1.建立層次分析的結(jié)構(gòu)模型用AHP分析問(wèn)題，首先要把問(wèn)題條理化、層次化，構(gòu)造層次分析的結(jié)構(gòu)模型。這些層次大體上可分為3類。（1）最高層：在這一層次中只有一個(gè)元素，一般是分析問(wèn)題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果，因此又稱目標(biāo)層。1.建立層次分析的結(jié)構(gòu)模型

（2）中間層：這一層次包括了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可由若干個(gè)層次組成，包括所需要考慮的準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則，因此又稱為準(zhǔn)則層。

（3）最底層：表示為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策、方案等，因此又稱為措施層或方案層。層次分析結(jié)構(gòu)中各項(xiàng)稱為此結(jié)構(gòu)模型中的元素。（2）中間層：這一層次包括了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間決策目標(biāo)準(zhǔn)則1方案1準(zhǔn)則m1準(zhǔn)則2子準(zhǔn)則1方案2子準(zhǔn)則2方案mr子準(zhǔn)則m2………………方案層準(zhǔn)則層目標(biāo)層10.1層次分析法的基本步驟決策目標(biāo)準(zhǔn)則1方案1準(zhǔn)則m1準(zhǔn)則2子準(zhǔn)則1方案2子準(zhǔn)則2方案

注：層次之間的支配關(guān)系不一定是完全的，即可以有元素（非底層元素）并不支配下一層次的所有元素而只支配其中部分元素。這種自上而下的支配關(guān)系所形成的層次結(jié)構(gòu)，我們稱之為遞階層次結(jié)構(gòu)。遞階層次結(jié)構(gòu)中的層次數(shù)與問(wèn)題的復(fù)雜程度及分析的詳盡程度有關(guān)，一般可不受限制。注：層次之間的支配關(guān)系不一定是完全的，即

為了避免由于支配的元素過(guò)多而給兩兩比較判斷帶來(lái)困難，每層次中各元素所支配的元素一般地不要超過(guò)9個(gè)，若多于9個(gè)時(shí)，可將該層次再劃分為若干子層。例1某顧客選購(gòu)電冰箱時(shí)，對(duì)市場(chǎng)上正在出售的四種電冰箱考慮6項(xiàng)準(zhǔn)則作為評(píng)價(jià)依據(jù)，得到如下層次分析模型：為了避免由于支配的元素過(guò)多而給兩兩比較判目標(biāo)層：準(zhǔn)則層：方案層：目標(biāo)層：

例2選擇科研課題：某研究單位現(xiàn)有3個(gè)科研課題，限于人力物力，只能承擔(dān)其中一個(gè)課題，如何選擇？考慮下列因素：成果的貢獻(xiàn)大小，對(duì)人才培養(yǎng)的作用，課題可行性。在成果貢獻(xiàn)方面考察：應(yīng)用價(jià)值及科學(xué)。例2選擇科研課題：

意義（理論價(jià)值，對(duì)某科技領(lǐng)域的推動(dòng)作用）。在課題可行性方面考慮：難易程度（難易程度與自身的科技力量的一致性），研究周期（預(yù)計(jì)需要花費(fèi)的時(shí)間），財(cái)政支持（所需經(jīng)費(fèi)、設(shè)備及經(jīng)費(fèi)來(lái)源，有關(guān)單位支持情況等）。意義（理論價(jià)值，對(duì)某科技領(lǐng)域的推動(dòng)作用）。目標(biāo)層合理選擇科研課題A成果貢獻(xiàn)B1人才培養(yǎng)B2課題可行性B3課題D1課題D2課題D3應(yīng)用價(jià)值

C1科學(xué)意義

C2難易程度C3研究周期C4財(cái)政支持C5方案層準(zhǔn)則層目標(biāo)層合理選擇科研課題A成果貢獻(xiàn)B1人才培養(yǎng)B2課題可行性B

例3設(shè)某港務(wù)局要改善一條河道的過(guò)河運(yùn)輸條件，為此需要確定是否要建立橋梁或隧道以代替現(xiàn)有輪渡。此問(wèn)題中過(guò)河方式的確定取決于過(guò)河方式的效益與代價(jià)（即成本）。通常我們用費(fèi)效比（效益/代價(jià)）作為選擇方案的標(biāo)準(zhǔn)。為此構(gòu)造以下兩個(gè)層次分析的結(jié)構(gòu)模型。10.1層次分析法的基本步驟例3設(shè)某港務(wù)局要改善一條河道的過(guò)河運(yùn)輸準(zhǔn)則層過(guò)河的效益A經(jīng)濟(jì)效益B1社會(huì)效益B2環(huán)境效益B3橋梁D1隧道D2渡船D3收入C2岸間商業(yè)

C3節(jié)省時(shí)間C1當(dāng)?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進(jìn)出方便C10美化C1110.1層次分析法的基本步驟方案層目標(biāo)層準(zhǔn)則層過(guò)河的效益A經(jīng)濟(jì)效益B1社會(huì)效益B2環(huán)境效益B3橋梁D過(guò)河的代價(jià)A經(jīng)濟(jì)代價(jià)B1社會(huì)代價(jià)B2環(huán)境代價(jià)B3橋梁D1投入資金C1操作維護(hù)C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷

C6汽車排廢物C7對(duì)水的污染C8對(duì)生態(tài)的破壞C9隧道D2渡船D310.1層次分析法的基本步驟目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層過(guò)河的代價(jià)A經(jīng)濟(jì)代價(jià)B1社會(huì)代價(jià)B2環(huán)境代價(jià)B3橋梁D1投入2.構(gòu)造判斷矩陣上、下層之間關(guān)系被確定之后，需確定與上層某元素z（目標(biāo)A或某個(gè)準(zhǔn)則z）相聯(lián)系的下層元素（x1，x2，…，xn)各在上層元素z之中所占的比重。

方法：每次取2個(gè)元素，如xi，xj，以aij表示xi和xj對(duì)z的影響之比。這里得到的A=(aij)n×n稱為兩兩比較的判斷矩陣。10.1層次分析法的基本步驟2.構(gòu)造判斷矩陣10.1層次分析法的基本Saaty建議用1~9及其倒數(shù)作為標(biāo)度來(lái)確定aij的值，1~9比例標(biāo)度的含義：

xi比xj強(qiáng)（重要）的程度

xi/xj

相等稍強(qiáng)強(qiáng)很強(qiáng)絕對(duì)強(qiáng)

aij1234567891~9標(biāo)度的理由：兩兩比較的心理習(xí)慣，顯然，判斷矩陣A的元素有如下特征：10.1層次分析法的基本步驟Saaty建議用1~9及其倒數(shù)作為標(biāo)度來(lái)確定aij的值1°aij>02°aji=1/aij3°aii=1

我們稱判斷矩陣A為正互反矩陣。

10.1層次分析法的基本步驟1°aij>010.1層

例如在例2中，準(zhǔn)則層B對(duì)目標(biāo)層作因素兩兩比較，并可建立下面判斷矩陣：

B1：B2為3B1：B3為1

認(rèn)為人才培養(yǎng)比另一項(xiàng)稍重要，另兩項(xiàng)差不多相同重要。10.1層次分析法的基本步驟例如在例2中，準(zhǔn)則層B對(duì)目標(biāo)層作因素兩兩比較，并可判斷矩陣

B1B2B3

B1131A=B2

1/311/3

B313110.1層次分析法的基本步驟判斷矩陣10.1層次分析法的基本步驟3.單一準(zhǔn)則下元素相對(duì)排序權(quán)重計(jì)算及判斷矩陣一致性檢驗(yàn)（1）單一準(zhǔn)則下元素排序求判斷矩陣A的最大特征值λmax及標(biāo)準(zhǔn)化（歸一化）的特征向量W。向量W為同一層次中相應(yīng)元素對(duì)于上一層次中某個(gè)因素相對(duì)重要性的排序權(quán)重。有wi>0，i，

。10.1層次分析法的基本步驟3.單一準(zhǔn)則下元素相對(duì)排序權(quán)重計(jì)算及判斷矩陣一致性檢驗(yàn)10.

在構(gòu)造判斷矩陣，且各層元素間兩兩比較時(shí)，aij應(yīng)有某種傳遞性質(zhì)，即若甲比乙重要，乙比丙重要，合理地應(yīng)有甲比丙更重要，在數(shù)值上表示為aijajk=aik

即若xi與xj相比aij=3，xj與xk相比ajk=2，那么有傳遞性的判斷應(yīng)是xj與xk相比ajk=6。10.1層次分析法的基本步驟在構(gòu)造判斷矩陣，且各層元素間兩兩比較時(shí)，aij應(yīng)有

（2）判斷矩陣的一致性概念

判斷矩陣是各元素均為正數(shù)的矩陣，這種正矩陣有下列重要性質(zhì)。10.1層次分析法的基本步驟（2）判斷矩陣的一致性概念10.1層次分析法的基本步驟定理1設(shè)n階方陣A為正矩陣，

λmax為A的最大特征值，u=（u1，u2，…，un)T為λmax的相應(yīng)特征向量。①λmax

>

0，ui

>0，i

=1，2，…，n②λmax是單特征根（因此u除差一常數(shù)因子外是唯一的）；③A的任何其他特征值λ，有λmax>|λ|。10.1層次分析法的基本步驟定理1設(shè)n階方陣A為正矩陣，λmax為A的最大特征值，定義若正互反矩陣A滿足aijajk=aik,i，j，k=1，2，…，n

，則稱A為一致陣。一致陣的重要性質(zhì)：設(shè)A是一致陣，

1°A的轉(zhuǎn)置亦是一致陣。因?yàn)閍ij=1/aji

，aij=1，i，j=1，2，…n；由定義aijajk=aik

，則顯然。10.1層次分析法的基本步驟定義若正互反矩陣A滿足aijajk=aik,i，2°A的每一行均為任意指定的另一行的正數(shù)倍，從而A的秩為1（即只有一個(gè)非零特征值，其余n－1個(gè)為0特征值）。考慮第ⅰ行元素ai1，ai2，…，ain

，i=1,2,…,n;對(duì)于第k行元素ak1，ak2，…，akn

，

j=1，2，…，n，

aij=aikakj,

即第ⅰ行各元素分別為第k行各元素的aik倍。

10.1層次分析法的基本步驟2°A的每一行均為任意指定的另一行的正數(shù)倍，從而A的秩3°A的最大特征根λmax=

n，其余特征根皆為零。

4°設(shè)u=(u1，u2，…，un)T是A對(duì)應(yīng)λmax的特征向量，則aij=ui/uj

，

i，j=1,2,…,n

容易驗(yàn)證：對(duì)于n及向量u=(u1，u2，…，un)T

若aij=ui/uj

，ij

，則

Au=nu(i，)，又由定理1及性質(zhì)2°可知λmax=n，u滿足4°。

10.1層次分析法的基本步驟3°A的最大特征根λmax=n，其余特征根皆為零。105°若A為判斷矩陣，那么A對(duì)應(yīng)于λmax=n

的標(biāo)準(zhǔn)化（歸一化）特征向量u=(u1，

u2，…，un)T

就是一組排序權(quán)向量。（歸一化）由性質(zhì)4°即知。進(jìn)一步地，有如下定理:定理2

n階正互反矩陣A=（aij)n×n是一致陣的充分必要條件為λmax=n。10.1層次分析法的基本步驟5°若A為判斷矩陣，那么A對(duì)應(yīng)于λmax=n10.1Proof:

“必要性”即是上面性質(zhì)3°，已證。“充分性”設(shè)A的最大特征值為λmax，相應(yīng)特征向量u=(u1，…，un)T,

Au=λmax

u

。

分量形式：對(duì)i=1，2，…，n，由定理1知ui>0于是λmax=。

注意aii=1，λmax-1=aijuj

/ui

。

10.1層次分析法的基本步驟Proof:10.1層次分析法的基本步驟求和（把i=1，…，n的各式相加）：nλmax-n=aijuj

/ui

注意

aji=1/aij

整理上式得nλmax-n=(aijuj

/ui+1/(aijuj

/ui))(*)10.1層次分析法的基本步驟求和（把i=1，…，n的各式相加）：10.1層次分析法的基式()末端=n2-n=n(n-1)注意：當(dāng)x>0時(shí)x+(1/x)≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立。于是：aij(uj

/ui

)+1/(aij(

uj

/ui))

≥2式(*)右端≥·2=2[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=n(n-1)=左端，當(dāng)且僅當(dāng)aij(uj/ui)=1時(shí)等號(hào)成立。10.1層次分析法的基本步驟*

10.1層次分析法的基本步驟*所以

aij(uj/ui

)，即aijajk=(ui/uj)·(uj/uk)=uj/uk=ajk，故A是一致陣。由于客觀事物的復(fù)雜性與人的認(rèn)識(shí)的多樣性，我們得到的判斷矩陣常常不具有傳遞性和一致性，但應(yīng)該要求這些判斷大體是一致的。當(dāng)判斷矩陣過(guò)于偏離一致性時(shí)，它的可靠性值得懷疑，為此需要對(duì)判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。10.1層次分析法的基本步驟所以aij(uj/ui)，即aijajk=(ui一致性檢驗(yàn)步驟：（1）計(jì)算一致性指標(biāo)C.I.=(λmax-n)/(n-1)(ConsistencyIndex)；（2）查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I.(RandomIndex)；

1~15階正互反矩陣計(jì)算1000次得到的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)：

矩陣階數(shù)12345678

R.I.000.520.891.121.261.361.4110.1層次分析法的基本步驟一致性檢驗(yàn)步驟：10.1層次分析法的基本步驟矩陣階數(shù)9101112131415

R.I.1.461.491.521.541.561.581.59計(jì)算：R.I.=(λmax-n)/(n-1)，λmax為m次判斷矩陣λmax的平均值。λmax產(chǎn)生方法：取定階數(shù)n，隨機(jī)構(gòu)造正互反矩陣?=（?ij)n×n

，?ij在1,2,…,9,1/2,1/3,…,1/9這17個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取

(只需取n(n-1)/2個(gè)，對(duì)10.1層次分析法的基本步驟矩陣階數(shù)91011角元為1，其余按正互反性得到）取充分大的子樣計(jì)算所有?的最大特征值，然后求平均即為λmax。（3）計(jì)算一致性比率C.R.(consistencyratio)C.R.=C.I./R.I。當(dāng)C.R.<0.1時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可接受的。當(dāng)C.R.≥0.1時(shí)，應(yīng)修正判斷矩陣。10.1層次分析法的基本步驟角元為1，其余按正互反性得到）取充分大的子樣計(jì)算所有?的最大例如，對(duì)前面矩陣

131

A=1/311/3131計(jì)算出λmax=3，歸一化向量u=(3/7，1/7，3/7)T

，C.I.=(λmax-3)/(3-1)=0，所以C.R.=0是一致陣。10.1層次分析法的基本步驟例如，對(duì)前面矩陣10.1層次分析法的基本步驟例3

125

A=1/2171/51/71

計(jì)算出λmax=3.1189，u=(0.5415，0.3816，0.0761)T

C.I.=（3.1189-3）/（3-1）=0.05945，查表得R.I.=0.52

C.R.=0.05945/0.52=0.1143≥0.1，應(yīng)修正判斷矩陣。10.1層次分析法的基本步驟例310.1層次分析法的基本步驟4.計(jì)算各層元素對(duì)目標(biāo)層的總排序權(quán)重層次總排序過(guò)程：計(jì)算同一層次所有因素對(duì)于最高層（總目標(biāo)）相對(duì)重要性的排序權(quán)值。從最高層到底層逐層進(jìn)行：設(shè)已算出第k-1層上nk-1個(gè)元素相對(duì)于總目標(biāo)的排序?yàn)?/p>

w(k-1)=(w1(k-1)，w2(k-1)，…，w

n

(k-1))T10.1層次分析法的基本步驟k-14.計(jì)算各層元素對(duì)目標(biāo)層的總排序權(quán)重10.1層次分析法的基

第k層nk個(gè)元素對(duì)于第k-1層上第j個(gè)元素為準(zhǔn)則的單排序向量

uj(k)=(u1j(k)，u2j(k)，…，un

j(k))T,j=1，2，…，nk-1

其中不受第j個(gè)元素支配的元素權(quán)重取零，于是可得到nk×nk-1階矩陣

u11(k)

u12(k)…

u1n

(k)

U(k)=u21(k)

u22(k)…

u2n

(k)

………

un1(k)un2(k)…

unn

(k)10.1層次分析法的基本步驟kkkkk-1k-1k-1第k層nk個(gè)元素對(duì)于第k-1層上第j個(gè)元素為準(zhǔn)則的單排第k層上各元素對(duì)總目標(biāo)的總排序w(k)為

w(k)=(w1(k)，w2(k)，…，wn(k))T

w(k)=U(k)w(k-1)分量形式：wi(k)=

uij(k)wj(k-1)

i=1，2，…，n于是可得到公式

w(k)=U(k)U(k-1)…U(3)w(2)w(2)為第二層上元素對(duì)目標(biāo)的排序（即是單層排序）10.1層次分析法的基本步驟k第k層上各元素對(duì)總目標(biāo)的總排序w(k)為10.1層次分析法

各層總排序的一致性檢驗(yàn)：由高層向下逐層進(jìn)行檢驗(yàn)，設(shè)第k層中某些因素對(duì)k－1層第j個(gè)元素單排序的一致性指標(biāo)為C.I.j(k)，平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為R.I.j(k)，(k層中與k－1層的第j個(gè)元素?zé)o關(guān)時(shí)，不必考慮)，那么第k層的總排序的一致性比率為

C.R.(k)=[

]/[

]10.1層次分析法的基本步驟各層總排序的一致性檢驗(yàn)：10.1層次分析法的基本步

當(dāng)C.R.(k)<0.1時(shí)認(rèn)為第k層層次總排序具有滿意的一致性。10.1層次分析法的基本步驟當(dāng)C.R.(k)<0.1時(shí)認(rèn)為第k層層次總排序具有滿意1.求正互反矩陣的最大特征值及相應(yīng)特征向量（1）冪法由前面定理1知正互反矩陣的最大特征值λmax是單重特征值，且對(duì)任意其他特征值λ有λmax>∣λ∣。10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法1.求正互反矩陣的最大特征值及相應(yīng)特10.2幾個(gè)問(wèn)題的處

冪法是處理這類矩陣求最大特征值及特征向量的一個(gè)簡(jiǎn)單而有效的方法。⑴冪法原理：設(shè)n階矩陣A的特征值為λ1，λ2，…，λn有如下性質(zhì)：∣λ1∣

>

∣λ2∣≥∣λ3∣≥…≥∣λn∣

有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量u1，u2，…，un

x(1)∈Rn，則可表示為x(1)=αiui10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法冪法是處理這類矩陣求最大特征值及特征向量的一個(gè)簡(jiǎn)單而有利用迭代公式x(k+1)=Ax(k)

，

k=1，2,…得到點(diǎn)列{x(1)，x(2)，x(3)，…}顯然，x(k+1)=Akx(1)

=Akαiui=αiAkui

=αiλikui

=λ1k[α1u1+αi(λi

/λ1)kui]

10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法利用迭代公式x(k+1)=Ax(k)，k=由于∣λi/λ1∣<1，i=2，3，…，n

當(dāng)k充分大時(shí)有Akx(1)≈λ1k

α1u1于是

(Ak+1x(1))i/(Akx(1))i≈λ1

，

i=1，2，…，n特別地，當(dāng)(Akx(1))j=1時(shí)，

(Ak+1x(1))j≈λ1

Ak+1x(1)即為特征向量。10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法由于∣λi/λ1∣<1，i=2，3，…，n當(dāng)k充10.

例：131

A=1/311/3取初始向量x=(1，0，0)T

131ix1x2

x3y1y2

y3

α01001001111/3111/311231311/313331311/31310.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法例：131

10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法λmax=3，u=(3，1，3)T歸一化：w=(3/7，1/7，3/7)T

10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法λmax=3，u=(3，1⑵實(shí)用方法10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法x>0，且最大分量β=maxxi，ε>0，1in,α=0α=βy=(1/β)xx=Ay，β=maxxi1in∣β-α∣<ε?停;

特征值β

特征向量xNY⑵實(shí)用方法10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法x>0，且最大分量此方法當(dāng)矩陣一致性較好時(shí)，收斂很快。在實(shí)用上常用下面的一些更為簡(jiǎn)單的方法（僅對(duì)近似一致性矩陣適應(yīng)）。2.方根法步驟：（1）求Mi=(

aij)1/n

，

i=1，2，…，n（2）標(biāo)準(zhǔn)化（歸一化）：Wi=Mi

/Mj（3）10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法此方法當(dāng)矩陣一致性較好時(shí)，收斂很快。10.2幾個(gè)問(wèn)題的處Ex.131M1==1.4422

A=1/311/3M2==0.4807131

M3==1.4422

w1=0.4286歸一化：

w2=0.1428

w3=0.4286Aw=(1.2856，0.4285，1.2856)Tλmax=2.999910.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法Ex.1313.和積法步驟：（1）求（每列歸一化）bij=aij/akj

，

i，j=1，2，…，n（2）行求和Mi=bij

，

i=1，2，…，n再歸一化：Wi=Mi/Mj

，

i=1，2，…，n（3）10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法3.和積法10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法例：

131ⅰ3/73/73/7ⅱM1=9/7

A=1/311/3B=1/71/71/7M2=3/71313/73/73/7M3=9/7

Mj=3

w2=1/7Aw=(9/7，3/7，9/7)T

w3=3/7λmax=3顯然，當(dāng)A是一致陣時(shí)，λmax=n，對(duì)歸一化的w,aij=wi/wj

10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法

w1=3/7ⅲ例：131ⅰ3/

方根法：Mi=(aij)1/n=Wi/SS=(Wj)1/n

i=1，2，…，n

歸一化后，w即為(w1，w2，…，wn)T

λmax=(1/n)

(Aw)i/wi

(Aw=nw)

=n2/n

=n10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法方根法：Mi=(aij)1/n=Wi/S用冪法：取x(0)=(1，0，0)T

k

x1

x2

x3

α

y1y2y301001100110.50.2110.50.2231.60.5667310.53330.188933.01111.60.56673.011110.53140.188243.00371.59590.56533.003710.53130.188253.00371.59590.56533.003710.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法用冪法：取x(0)=(1，0，0)T10.2幾個(gè)問(wèn)題的處λmax=3.0037C.I.=(λmax-3)/(3-1)=0.00185C.R.=C.I./R.I.=0.00185/0.52=0.0036滿足一致陣要求

。u=(3.0037，1.5959，0.5653)T歸一化得

w=(0.5816，0.3090，0.1094)T10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法λmax=3.003710.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方用方根法（1）M1===2.1544

M2==1.1447

M3==0.4055(2）歸一化：M1+M2+M3=3.7046

w1=2.1544/3.7046=0.5815

w2=1.1447/3.7046=0.3090

w3=0.4055/3.07046=0.1095

w=(0.5815，0.3090，0.1095)T10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法3333用方根法10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法333(3)Aw=(1.7470，0.9283，0.3388)T11.74700.92830.328830.58150.30900.1095

3.003710.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法max=++=(3)Aw=(1.7470，0.9283，0.3388)T1和積法：

akj=wk/wjbij=aij/akj=wi/wkMi=bij=(nwi)/wk

歸一化后w即為(w1，w2，…，wn)T同理λmax=n當(dāng)A近似一致陣時(shí)，這些量是近似的。例125

A=1/2131/51/3110.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法和積法：10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法用和積法(1)

1250.58820.60.5556

A=1/213B=0.29410.30.33331/51/310.11770.10.1111(2)行求和M=(1.7438，0.9274，0.3288)T

M1+M2+M3=3

歸一化：w=(0.5813，0.3091，0.1096)T10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法列歸一化用和積法10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法列歸(3)Aw=(1.7475，0.9286，0.3289)T11.74750.92860.328930.58130.30910.1096

3.003810.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法max=++=(3)Aw=(1.7475，0.9286，0.3289)T12.殘缺判斷與群組決策

(1)殘缺判斷及處理方法應(yīng)用AHP進(jìn)行決策時(shí)，每個(gè)準(zhǔn)則應(yīng)有一個(gè)判斷矩陣，需進(jìn)行[n(n－1)]/2次兩兩比較(判斷矩陣的上三角形或下三角形)。當(dāng)層次很多，因素復(fù)雜時(shí)，判斷量很大，可能出現(xiàn)某個(gè)參與決策的專家對(duì)某些判斷缺少把握，或不想發(fā)表意見(jiàn)，使判斷矩陣殘缺。10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法2.殘缺判斷與群組決策10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法1）

可接受的殘缺判斷矩陣若任一殘缺元素都可通過(guò)已給出的元素間接獲得的殘缺判斷矩陣。根據(jù)一致性的條件：間接獲得的元素指，若aij缺少可由aij=aikakj或更一般地aij=aikakkakk…akj得到。10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法11232s1）可接受的殘缺判斷矩陣10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法112）可接受的殘缺矩陣的排序向量計(jì)算常用的有特征根方法、對(duì)數(shù)最小二乘法及最小偏差法等。特征根法：設(shè)A對(duì)應(yīng)λmax的特征向量w=(w1，w2，…，wn)T

由一致性條件知aij=wi/wj，特征根法即把缺少的元素用wi/wj來(lái)替代。10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法2）可接受的殘缺矩陣的排序向量計(jì)算10.2幾個(gè)問(wèn)題的處設(shè)原判斷矩陣A=(aij)n×n,構(gòu)造輔助矩陣

C=(cij)n×n使cij=aij,aij≠0

wi/wj,aij=0例8設(shè)

120

A=1／212是可接受的殘缺矩陣

01／2110.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法設(shè)原判斷矩陣A=(aij)n×n,構(gòu)造輔助矩陣10.2幾輔助矩陣

12w1／w3

C=1/212

w3／w1

1/21解特征根問(wèn)題：Cw=maxw展開(kāi)：左=（2w1+2w2，1/2w1+w2+2w3，1/2w2+2w3)T=max(w1,w2,w3)T解得max=3w=(0.5714，0.2857，0.1429）T10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法輔助矩陣12w1／w310.2可以看出:C的特征值問(wèn)題等價(jià)于

220

ā=1/21201/22

的特征值問(wèn)題（Aw=maxw與Cw=maxw相同）10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法可以看出:C的特征值問(wèn)題等價(jià)于10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方故只需求下列矩陣的特征值及特征向量ā=(aij)n×n

aij當(dāng)aij≠0，i≠j時(shí)

aij=

0當(dāng)aij=0時(shí)

mi+1

當(dāng)i=j時(shí)，mi為第i行中殘缺元素的個(gè)數(shù)求解ā

w=maxw

可得不完整信息下的排列向量。10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法故只需求下列矩陣的特征值及特征向量ā=(aij3）一致性檢驗(yàn)：

max-n

C.I.=

(n-1)-（）

當(dāng)C.R.=C.I./R.I.<0.1時(shí)認(rèn)為有滿意的一致性。10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法3）一致性檢驗(yàn)：10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法

（2）群組決策

為使決策科學(xué)化、民主化，一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)通常是由多個(gè)決策者（專家）或決策部門(mén)參與決策的。群組決策問(wèn)題是指采取一定的方法以使決策者的決策綜合成一個(gè)較合理的結(jié)果的過(guò)程。

10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法（2）群組決策10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法應(yīng)做好如下工作：1）重視并做好專家咨詢工作；①合理選擇咨詢對(duì)象（專長(zhǎng)及熟悉的領(lǐng)域）；②創(chuàng)造適合于咨詢工作的良好環(huán)境（介紹AHP方法，提供信息，獨(dú)立思考）；③正確的咨詢方法（通過(guò)咨詢確定遞階層次結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)好表格）；

10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法應(yīng)做好如下工作：10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法④及時(shí)分析專家咨詢信息，必要時(shí)要進(jìn)行反饋及多輪次咨詢。2）群組決策綜合分析方法：兩類方法①將各專家的判斷矩陣綜合，得到綜合判斷矩陣，再計(jì)算排序。10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法④及時(shí)分析專家咨詢信息，必要時(shí)要進(jìn)行反饋及多輪次咨詢。10.②先求各專家判斷矩陣的排序向量，再綜合成群組排序向量。設(shè)S個(gè)專家的判斷矩陣

Ak=(aij(k)),k=1,2,…，S

分別求出它們各自的排序向量

wk=(w1(k)

，w2(k)

…，wn(k))T

10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法②先求各專家判斷矩陣的排序向量，再綜合成群組排序向量。10再記平均綜合向量為w=(w1,w2,…,wn)T方法1加權(quán)幾何平均綜合排序向量法計(jì)算

wj=wj/

（歸一化）,

其中，λk≥0且其中，λk為第k個(gè)決策者的權(quán)重。j=1,2，…，n10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法再記平均綜合向量為w=(w1,w2,…,wn)Tj=1,對(duì)可采用性的考察：計(jì)算wj的標(biāo)準(zhǔn)差：j=其相應(yīng)于新的總體判斷矩陣A=(aij)

(aij=wi/wj)的總體標(biāo)準(zhǔn)差：①10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法(K)2對(duì)可采用性的考察：①10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法(K)2σij=個(gè)體標(biāo)準(zhǔn)差：σ（k)=

當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差滿足要求時(shí)，這組群組判斷可采用，當(dāng)個(gè)體標(biāo)準(zhǔn)差σ(k)滿足要求時(shí)，認(rèn)為第k個(gè)決策者的決策可通過(guò)，否則將信息反饋給有關(guān)專家，供修改時(shí)參考。②③10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法(K)2σij=當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差滿足要求時(shí)，這組群組判斷可采用，當(dāng)個(gè)體標(biāo)方法2加權(quán)算術(shù)平均綜合向量法計(jì)算

W=λ1Wj(1)+λ2Wj(2)+…+λsWj(s)λk≥0，可類似地根據(jù)式①

~式

③判斷可采用性。10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方法方法2加權(quán)算術(shù)平均綜合向量法10.2幾個(gè)問(wèn)題的處理方1.某工廠有一筆企業(yè)留成利潤(rùn)，要決定如何使用。供選擇方案：作獎(jiǎng)金，集體福利設(shè)施，引入設(shè)備技術(shù)

建立如下層次分析模型：10.3應(yīng)用舉例1.某工廠有一筆企業(yè)留成利潤(rùn)，要決10.3應(yīng)用目標(biāo)層：準(zhǔn)則層C：方案層P：合理使用留成利潤(rùn)A改善職工生活條件C3提高技術(shù)水平C2調(diào)動(dòng)職工積極性C1引進(jìn)設(shè)備技術(shù)P3福利P2獎(jiǎng)金P110.3應(yīng)用舉例合理使用留成利潤(rùn)A改善職工提高技術(shù)調(diào)動(dòng)職工引進(jìn)設(shè)備技術(shù)P3A-C判斷矩陣:

AC1C2C3

w(2)

C111/51/30.105

C25130.637

C331/310.258

λmax=3.038，歸一化特征向量w(2)

C.I.=0.019，

C.R.=0.03276<0.1

滿意的一致性10.3應(yīng)用舉例A-C判斷矩陣:10.3應(yīng)用舉例C1-P:

C1

P1P2

U1(3)

P111/30.25

P2310.75

λmax=2C.I.=0

10.3應(yīng)用舉例C1-P:10.3應(yīng)用舉例C2-P:

C2P2

P3

U2(3)

P211/50.167

P3510.833λmax=2C.I.=010.3應(yīng)用舉例C2-P:10.3應(yīng)用舉例C3-P:

C3

P1P3

U3(3)

P1

120.667

P2

1/210.333

λmax=2C.I.=0

10.3應(yīng)用舉例C3-P:10.3應(yīng)用舉例

0.2500.667U(3)=0.750.1670.33300.8330w(3)=U(3)w(2)=(0.198，0.271，0.531)T得到P3優(yōu)于P2又優(yōu)于P1，從分配上可以用53.1%來(lái)引進(jìn)新設(shè)備、新技術(shù)；用19.8%來(lái)發(fā)獎(jiǎng)金；用27.1%來(lái)改善福利。10.3應(yīng)用舉例0.2502.層次分析法對(duì)于下面幾種情況的優(yōu)化問(wèn)題特別適用：⑴問(wèn)題中除可計(jì)量的量外，還存在不可計(jì)量的量時(shí)，可用AHP通過(guò)對(duì)不可計(jì)量的量與可計(jì)量的量的相對(duì)比較，而獲得相對(duì)的量測(cè)；⑵當(dāng)優(yōu)化問(wèn)題的結(jié)構(gòu)難以事先確定，而在很大程度上取決于決策者的經(jīng)驗(yàn)時(shí)；10.3應(yīng)用舉例2.層次分析法對(duì)于下面幾種情況的優(yōu)化問(wèn)題特別適用：10.3⑶各變量不獨(dú)立，有內(nèi)部相關(guān)性時(shí)；⑷目標(biāo)與約束、約束與約束之間緊密聯(lián)系時(shí)；⑸多目標(biāo)問(wèn)題；10.3應(yīng)用舉例⑶各變量不獨(dú)立，有內(nèi)部相關(guān)性時(shí)；10.3應(yīng)用舉例

在用AHP法解決優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，常用的有兩種方式：⑴當(dāng)模型中涉及不可計(jì)量的量時(shí)，用AHP法的比例標(biāo)度來(lái)確定目標(biāo)函數(shù)，約束函數(shù)的權(quán)重（系數(shù)）；⑵直接采用AHP模型。

AHP法有廣泛的應(yīng)用前景，可以用來(lái)決定其他方面的一些問(wèn)題。下面舉一個(gè)解決優(yōu)化問(wèn)題的例子。10.3應(yīng)用舉例在用AHP法解決優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，常用的有兩種方式：10.3例食品最佳搭配問(wèn)題

假設(shè)某人有3種食品可供選擇：肉、面包、蔬菜它們所含營(yíng)養(yǎng)成分及單價(jià)如下表所示：食品維生素A維生素B2/

熱量/單價(jià)/搭配量

（國(guó)際（mg/g）（kcal/g）

（元/g）單價(jià)/g）肉0.35270.00212.860.0055x1面包00.00062.760.0012x2蔬菜25.00.0020.250.0014x310.3應(yīng)用舉例例食品最佳搭配問(wèn)題10.3應(yīng)用舉例該人體重55kg，每天對(duì)各種營(yíng)養(yǎng)的最小需求為：維生素A：7500國(guó)際單位維生素B2：1.6338mg熱量：2050kcal問(wèn)題：應(yīng)如何搭配食品？（自然的想法是：使在保證營(yíng)養(yǎng)的情況下支出最小）10.3應(yīng)用舉例該人體重55kg，每天對(duì)各種營(yíng)養(yǎng)的最小需求為：10.3應(yīng)

容易建立如下線性規(guī)劃模型：minz=0.0055x1+0.0012x2+0.0014x3s.t.0.3527x1+25.0x3≥7500

0.0021x1+0.0006x2+0.002x3≥1.6338

2.86x1+2.76x2+0.25x3≥2050x1，x2，x3≥0利用單純形法可得解x*=(0,689.44,610.67)Tz*<1.67⑴10.3應(yīng)用舉例容易建立如下線性規(guī)劃模型：⑴10.3應(yīng)用舉例

即不吃肉，面包689.44g，蔬菜610.67g，每日支出1.67元。顯然這個(gè)最優(yōu)方案是行不通的，它沒(méi)有考慮此人對(duì)食品的偏好。我們可根據(jù)偏好加約束:

x1≥140,x2≤450,x3不限得到線性規(guī)劃解：

x*=(245.44,450.00424.19)T

z*=2.48元⑵10.3應(yīng)用舉例即不吃肉，面包689.44g，蔬菜610.67g，每日其次，在這里各營(yíng)養(yǎng)成分被看成同樣重要，起決定因素的是支出。但實(shí)際上，營(yíng)養(yǎng)價(jià)值與支出都需要考慮，只是地位（權(quán)重）不同。這樣無(wú)法建立目標(biāo)函數(shù)。下面用層次分析法來(lái)處理問(wèn)題：層次結(jié)構(gòu)：10.3應(yīng)用舉例其次，在這里各營(yíng)養(yǎng)成分被看成同樣重10.3應(yīng)用舉例每日需求R支出C

營(yíng)養(yǎng)N維生素A維生素B2熱量Q肉

me面包

br蔬菜ve10.3應(yīng)用舉例每日需求R支出C營(yíng)養(yǎng)N維生素A維生素B2熱量Q對(duì)于一個(gè)中等收入的人，滿足營(yíng)養(yǎng)要求比支出更重要。于是

R

NCw(2)

N130.75

C1/310.25

λmax=2C.I.=010.3應(yīng)用舉例對(duì)于一個(gè)中等收入的人，滿足營(yíng)養(yǎng)要求λmax=2

NA

B2Q

w1(3)A1120.4B21120.4

Q1/21/210.2

λmax=3C.I.=010.3應(yīng)用舉例NA

0.40w(3)=0.400.750.200.25=(0.3,0.3,0.15,0.25)T01最底層（方案層）對(duì)準(zhǔn)則層的單排列權(quán)重，只需對(duì)題目給的數(shù)據(jù)歸一化即可。由于要支出最小價(jià)格倒數(shù)，價(jià)格倒數(shù)歸一：(181.818，833.333，714.286)T

于是得到10.3應(yīng)用舉例0.4010.3應(yīng)用舉A

B2QC(價(jià)格)

me

0.01390.44680.48720.1057U(4)

br

0.00000.12770.47020.4819

ve

0.98610.42550.04260.4310合成權(quán)重w(4)=U(4)w(3)=(0.24,0.23,0.53)T10.3應(yīng)用舉例A設(shè)x1=0.24k,x2=0.23k,x3=0.53k則

Minz=0.002338ks.t.13.3346k

≥7500(2)0.0017k

≥1.63381.4537k≥2050

k≥0

解得k

=1410.20⑴變?yōu)?0.3應(yīng)用舉例設(shè)x1=0.24k,x2=0.23k,x3=0.x1=338.45g，x2=324.35g，x3=749.41gz=3.30元滿足式⑵此時(shí)各營(yíng)養(yǎng)成分含量如下：維生素A：18804.52國(guó)際單位維生素B2：2.400mg熱量Q：2050.01kcal若認(rèn)為總支出太大，可適當(dāng)降低第二層中營(yíng)養(yǎng)的權(quán)重。10.3應(yīng)用舉例x1=338.45g，x2=324.35g，x3=749.4若改為

RNC

w(2)

N110.5

C110.5λmax=2C.I.=010.3應(yīng)用舉例若改為10.3應(yīng)用舉例

其余不變：

0.40w(3)=0.400.5=(0.2,0.2,0.1,0.5)T

0.200.501

w(4)=U(4)w(3=(0.193,0.314,0.493)T10.3應(yīng)用舉例其余不變：10.3應(yīng)用舉

類似上面可解得：設(shè)x1=0.193k,x2=0.314k,x3=0.493kMinz=0.0021285k

則s.t.12.3931k≥75000.0016k≥1.63381.54187k≥20500.193k≥140,0.314k≤450,k≥0式⑴、式⑵變?yōu)?0.3應(yīng)用舉例類似上面可解得：設(shè)式⑴、式⑵10.3得解

k=1329.56于是x1=256.61g，x2=419.48g，

x3=655.47g，z=2.83元即每日肉256.61g，面包419.48g，蔬菜655.47g，總支出2.83元。10.3應(yīng)用舉例得解k=1329.5610.3應(yīng)用舉例各營(yíng)養(yǎng)成分