韋達定理韋達定理1.他是十六世紀法國著名的數學家；2.我們曾學過以他的名字命名的定理；3.這個定理研究的是一元二次方程中根與系數的關系.韋達1.他是十六世紀法國著名的數學家；2.我們曾學過以他的名字一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：X1,2=一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)X1,2=一.定理的內容設一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)兩個根為x1,x2，

那么（⊿≥0）一.定理的內容設一元二次方程ax2+bx+c=0(a二.定理的由來∵x1,x2為一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根∴∴簡而言之，由來于“求根公式”二.定理的由來∵x1,x2為一元二次方程ax2+算一算（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3)2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：341271-3-4-4-1--2算一算（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3一元二次方程的根與系數的關系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=-（韋達定理）注：能用韋達定理的前提條件為△≥0一元二次方程的根與系數的關系：如果方程ax2+bx+c=0(如果方程x2+px+q=0的兩根是X1，X2，那么X1+X2=,X1X2=－Pq推論如果方程x2+px+q=0的兩根是－Pq推論說一說：說出下列各方程的兩根之和與兩根之積：1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2=4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-說一說：說出下列各方程的兩根之和與兩根之積：1、x2-典型題講解：例1、已知3x2+2x-9=0的兩根是x1,x2。

求：(1)

(2)x12+x22解：由題意可知x1+x2=-,x1·x2=

-3(1)=

==(2)∵(x1＋x2)2＝x12+x22＋2x1x2∴x12+x22＝(x1＋x2)2-2x1x2＝(-)2

-2×(-3)＝6典型題講解：例1、已知3x2+2x-9=0的兩根是x1典型題講解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,

求它的另一個根及k的值。解1：設方程的另一個根為x1.答：方程的另一個根是－3,k的值是－2。由韋達定理，得x1＋2=k+1x1

*2=3k解這方程組，得x1=－3k=－2典型題講解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個典型題講解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,

求它的另一個根及k的值。解2：設方程的另一個根為x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解這方程，得k=-2由韋達定理，得x1*2＝3k即2x1＝－6∴x1＝－3答：方程的另一個根是－3,k的值是－2。典型題講解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個你會做嗎？你會做嗎？已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的兩個根，分別根據下列條件求出p和q的值:(1)x1=

1,x2=2

(2)x1=

3,x2=-6(3)x1=

-,x2=(4)x1=

-2+

,x2=-2-你會做嗎？你會做嗎？已知x1,x2是方程3x2+px+q=0試一試1、已知方程3x2－19x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值。2、設x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的兩個根，求(x1+1)(x2+1)的值。試一試1、已知方程3x2－19x+m=0的一個根2、設x1,今天我學會了......1、韋達定理及其推論2、利用韋達定理解決有關一元二次方程根與系數問題時，注意兩個隱含條件：（1）二次項系數a≠0（2）根的判別式△≥0今天我學會了......1、韋達定理及其推論2、利用韋達定理1、當k為何值時，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為1。解：設方程兩根分別為x1,x2(x1>x2)，則x1-x2=1∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2由韋達定理得x1+x2=,x1x2=∴解得k1=9,k2=-3∴當k=9或-3時，由于△≥0，∴k的值為9或-3。1、當k為何值時，方程2x2-(k+1)x+k+3=0解：設2、設x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個實數根，且x12+x22=4，求k的值。拓廣探索解：由方程有兩個實數根，得即-8k+4≥0由韋達定理得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+4＝4解得k1=0,k2=4經檢驗，k2=4不合題意，舍去。∴k=02、設x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個實二個核心和為積為三個體驗A分類性

B整體性C探索性四個注意一個定理

(表述根與系數關系)①韋達喜歡一般式②

韋達重視關系式③韋達要求△≥0④韋達可以逆著用四.回顧與思考說一說二個核心和為積為三個體驗A分類性B整體性韋達定理韋達定理1.他是十六世紀法國著名的數學家；2.我們曾學過以他的名字命名的定理；3.這個定理研究的是一元二次方程中根與系數的關系.韋達1.他是十六世紀法國著名的數學家；2.我們曾學過以他的名字一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：X1,2=一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)X1,2=一.定理的內容設一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)兩個根為x1,x2，

那么（⊿≥0）一.定理的內容設一元二次方程ax2+bx+c=0(a二.定理的由來∵x1,x2為一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根∴∴簡而言之，由來于“求根公式”二.定理的由來∵x1,x2為一元二次方程ax2+算一算（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3)2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：341271-3-4-4-1--2算一算（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3一元二次方程的根與系數的關系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=-（韋達定理）注：能用韋達定理的前提條件為△≥0一元二次方程的根與系數的關系：如果方程ax2+bx+c=0(如果方程x2+px+q=0的兩根是X1，X2，那么X1+X2=,X1X2=－Pq推論如果方程x2+px+q=0的兩根是－Pq推論說一說：說出下列各方程的兩根之和與兩根之積：1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2=4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-說一說：說出下列各方程的兩根之和與兩根之積：1、x2-典型題講解：例1、已知3x2+2x-9=0的兩根是x1,x2。

求：(1)

(2)x12+x22解：由題意可知x1+x2=-,x1·x2=

-3(1)=

==(2)∵(x1＋x2)2＝x12+x22＋2x1x2∴x12+x22＝(x1＋x2)2-2x1x2＝(-)2

-2×(-3)＝6典型題講解：例1、已知3x2+2x-9=0的兩根是x1典型題講解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,

求它的另一個根及k的值。解1：設方程的另一個根為x1.答：方程的另一個根是－3,k的值是－2。由韋達定理，得x1＋2=k+1x1

*2=3k解這方程組，得x1=－3k=－2典型題講解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個典型題講解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,

求它的另一個根及k的值。解2：設方程的另一個根為x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解這方程，得k=-2由韋達定理，得x1*2＝3k即2x1＝－6∴x1＝－3答：方程的另一個根是－3,k的值是－2。典型題講解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個你會做嗎？你會做嗎？已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的兩個根，分別根據下列條件求出p和q的值:(1)x1=

1,x2=2

(2)x1=

3,x2=-6(3)x1=

-,x2=(4)x1=

-2+

,x2=-2-你會做嗎？你會做嗎？已知x1,x2是方程3x2+px+q=0試一試1、已知方程3x2－19x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值。2、設x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的兩個根，求(x1+1)(x2+1)的值。試一試1、已知方程3x2－19x+m=0的一個根2、設x1,今天我學會了......1、韋達定理及其推論2、利用韋達定理解決有關一元二次方程根與系數問題時，注意兩個隱含條件：（1）二次項系數a≠0（2）根的判別式△≥0今天我學會了......1、韋達定理及其推論2、利用韋達定理1、當k為何值時，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為1。解：設方程兩根分別為x1,x2(x1>x2)，則x1-x2=1∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2由韋達定理得x1+x2=,x1x2=∴解得k1=9,k2=-3∴當k=9或-3時，由于△≥0，∴k的值為9或-3。1、當k為何值時，方程2x2-(k+1)x+k+3=0解：設2、設x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個實數根，且x12+x22=4，求k的值。拓廣探索解：由方程有兩個實數根，得即-8k+4≥0由韋達定理得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2