學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE15-學必求其心得，業必貴于專精模塊質量檢測一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是（）A．圓柱B．圓錐C．球體D．圓柱、圓錐、球體的組合體解析：當用過高線的平面截圓柱和圓錐時，截面分別為矩形和三角形，只有球滿足任意截面都是圓面．答案：C2．已知直線x－eq\r(3）y－2＝0，則該直線的傾斜角為()A．30°B．60°C．120°D．150°解析:直線x－eq\r(3）y－2＝0的斜率k＝eq\f（\r（3)，3），故傾斜角為30°,故選A。答案：A3．點P（2，m)到直線l：5x－12y＋6＝0的距離為4，則m的值為（）A．1B．－3C．1或eq\f（5,3）D．－3或eq\f(17，3)解析：利用點到直線的距離公式．答案：D4．圓（x＋2）2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關系為（）A．內切B．相交C．外切D．相離解析:兩圓的圓心分別為（－2，0)，(2,1),半徑分別為r＝2,R＝3兩圓的圓心距離為eq\r(－2－22＋0－12)＝eq\r（17)，則R－r<eq\r（17)〈R＋r,所以兩圓相交，選B。答案:B5．在空間給出下面四個命題(其中m，n為不同的兩條直線,α，β為不同的兩個平面)：①m⊥α,n∥α?m⊥n②m∥n，n∥α?m∥α③m∥n，n⊥β,m∥α?α⊥β④m∩n＝A，m∥α,m∥β，n∥α，n∥β?α∥β。其中正確的命題個數有（)A．1個B．2個C．3個D．4個解析:②中m也可能在平面α內，②錯,①③④正確，故選C.答案:C6．點P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD,則PA與BD所成角的度數為()A．30°B．45°C．60°D．90°解析:利用正方體求解，如圖所示：PA與BD所成的角,即為PA與PQ所成的角，因為△APQ為等邊三角形，所以∠APQ＝60°，故PA與BD所成角為60°，故選C。答案:C7．若直線（1＋a）x＋y＋1＝0與圓x2＋y2－2x＝0相切,則a的值為（）A．1或－1B．2或－2C．1D．－1解析：圓x2＋y2－2x＝0的圓心（1,0），半徑為1，依題意得eq\f（｜1＋a＋0＋1|,\r(1＋a2＋1))＝1，即|a＋2|＝eq\r(a＋12＋1)，平方整理得a＝－1，故選D。答案：D8．已知三點A（－1,0,1），B（2,4,3)，C(5，8，5)，則()A．三點構成等腰三角形B．三點構成直角三角形C．三點構成等腰直角三角形D．三點構不成三角形解析:∵|AB|＝eq\r（29）,｜AC｜＝2eq\r（29)，|BC｜＝eq\r（29)，而｜AB|＋｜BC|＝｜AC|，∴三點A，B，C共線,構不成三角形．答案：D9．已知圓(x－2)2＋（y＋1)2＝16的一條直徑通過直線x－2y＋3＝0被圓所截弦的中點，則該直徑所在的直線方程為（)A．3x＋y－5＝0B．x－2y＝0C．x－2y＋4＝0D．2x＋y－3＝0解析:直線x－2y＋3＝0的斜率為eq\f(1,2)，已知圓的圓心坐標為（2，－1），該直徑所在直線的斜率為－2，所以該直徑所在的直線方程為y＋1＝－2（x－2),即2x＋y－3＝0，故選D.答案：D10．在四面體A－BCD中，棱AB，AC，AD兩兩互相垂直，則頂點A在底面BCD上的投影H為△BCD的()A．垂心B．重心C．外心D．內心解析:因為AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，因為AB⊥平面ACD,所以AB⊥CD.因為AH⊥平面BCD，所以AH⊥CD，AB∩AH＝A，所以CD⊥平面ABH,所以CD⊥BH.同理可證CH⊥BD，DH⊥BC,則H是△BCD的垂心．故選A。答案:A11．若過點A（4,0)的直線l與曲線(x－2）2＋y2＝1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為(）A．［－eq\r(3)，eq\r(3)］B．（－eq\r(3），eq\r（3)）C.eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))）D.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(\r（3）,3),\f（\r(3)，3）)）解析：設直線方程為y＝k(x－4），即kx－y－4k＝0,因為直線l與曲線(x－2）2＋y2＝1有公共點，所以圓心到直線的距離d小于或等于半徑，∴d＝eq\f(｜2k－4k｜，\r(k2＋1））≤1，解得－eq\f(\r(3),3）≤k≤eq\f(\r(3）,3）.答案：C12．設A，B,C，D是一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D－ABC體積的最大值為（)A．12eq\r（3)B．18eq\r(3)C．24eq\r（3)D．54eq\r（3）解析：由于△ABC為等邊三角形且面積為9eq\r(3),故當三棱錐D－ABC體積最大時，點D到平面ABC的距離最大．設等邊△ABC的邊長為a，則eq\f（\r（3），4)a2＝9eq\r（3），得a2＝36，解得a＝6.設△ABC的中心為點E,連接AE，BE，CE，由正三角形的性質得AE＝BE＝CE＝2eq\r(3)，設球心為點O，連接OA，OB，OC，OE,OD，則OA＝OB＝OC＝4,則OE＝eq\r（42－2\r(3）2）＝2，故D到平面ABC的距離的最大值為OE＋OD＝2＋4＝6,則(VD－ABC）max＝9eq\r（3）×6×eq\f(1，3)＝18eq\r(3）。答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．如圖所示，Rt△A′B′C′為水平放置的△ABC的直觀圖,其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，則△ABC的面積為________．解析:由直觀圖畫法規則將△A′B′C′還原為△ABC，如圖所示，則有BO＝OC＝1，AO＝2eq\r(2)。故S△ABC＝eq\f（1,2）BC·AO＝eq\f（1，2)×2×2eq\r（2)＝2eq\r(2）。答案：2eq\r（2）14．已知點P（0，－1），點Q在直線x－y＋1＝0上，若直線PQ垂直于直線x＋2y－5＝0，則點Q的坐標是________．解析:設Q（x0，y0)，因為點Q在直線x－y＋1＝0上,所以x0－y0＋1＝0①又直線x＋2y－5＝0的斜率k＝－eq\f（1，2）,直線PQ的斜率kPQ＝eq\f（y0＋1,x0),所以由直線PQ垂直于直線x＋2y－5＝0，得eq\f(y0＋1,x0)·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1,2)))＝－1②由①②解得x0＝2,y0＝3，即點Q的坐標是（2，3）．答案：(2,3)15．若直線y＝ax＋b通過第一、二、四象限，則圓（x＋a)2＋（y＋b）2＝1的圓心位于第________象限．解析：（－a，－b）為圓的圓心,由直線經過一、二、四象限，得到a〈0，b>0,即－a>0,－b〈0，故圓心位于第四象限．答案：四16．如圖所示，半徑為R的半圓內的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉一周得到一幾何體，∠BAC＝30°,則此幾何體的體積為________．解析:半圓旋轉一周形成一個球體，其體積V球＝eq\f(4，3）πR3,內部兩個圓錐的體積之和為V錐＝eq\f（1，3）πCD2·AB＝eq\f(1,3）π·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r(3)，2)R)）2·2R＝eq\f(π，2)R3，所以所求幾何體的體積為eq\f(4，3)πR3－eq\f(π，2)R3＝eq\f（5,6)πR3。答案:eq\f(6,5）πR3三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分）［2019·廣州高一檢測]三棱錐S－ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC＝2，BC＝eq\r(13)，SB＝eq\r（29).(1)證明：SC⊥BC.(2)求三棱錐的體積VS－ABC。解析：(1）證明：因為SA⊥AB，SA⊥AC,AB∩AC＝A，所以SA⊥平面ABC,所以AC為SC在平面ABC內的射影，又因為BC⊥AC，所以SC⊥BC.（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝eq\r(13），所以AB＝eq\r（4＋13）＝eq\r(17),因為SA⊥AB，所以△SAB為直角三角形,SB＝eq\r(29)，所以SA＝eq\r(29－17）＝2eq\r（3)，因為SA⊥平面ABC，所以SA為棱錐的高,所以VS。ABC＝eq\f（1,3)×eq\f（1,2)×AC×BC×SA＝eq\f（1，6)×2×eq\r(13）×2eq\r（3）＝eq\f（2\r（39）,3).18．(12分)求經過直線x＋y＝0與圓x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交點，且經過點P（－1,－2)的圓的方程．解析：解方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y＝0，，x2＋y2＋2x－4y－8＝0，)）得x＝1，y＝－1或x＝－4,y＝4，即直線與圓交于點A(1，－1)和點B（－4,4)．設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,分別將A，B，P的坐標代入，得方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(1＋1＋D－E＋F＝0，,16＋16－4D＋4E＋F＝0，，1＋4－D－2E＋F＝0，）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（D＝3，,E＝－3,,F＝－8，))所求圓的方程為x2＋y2＋3x－3y－8＝0.19．（12分）已知圓的方程為x2＋y2＝8，圓內有一點P(－1，2），AB為過點P且傾斜角為α的弦．（1)當α＝135°時,求AB的長；(2）當弦AB被點P平分時，寫出直線AB的方程．解析：有兩種方法．（1)方法一(幾何法)如圖所示，過點O作OC⊥AB。由已知條件得直線AB的斜率為k＝tan135°＝－1，所以直線AB的方程為y－2＝－(x＋1），即x＋y－1＝0.因為圓心為(0，0）,所以｜OC｜＝eq\f(|－1｜，\r（2))＝eq\f(\r(2），2)。因為r＝2eq\r（2），所以|BC｜＝eq\r（8－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r(2）,2）))2）＝eq\f（\r(30),2)，所以|AB|＝2｜BC｜＝eq\r(30)。方法二(代數法）當α＝135°時，直線AB的方程為y－2＝－（x＋1)，即y＝－x＋1,代入x2＋y2＝8，得2x2－2x－7＝0。所以x1＋x2＝1，x1x2＝－eq\f（7,2），所以|AB|＝eq\r（1＋k2）|x1－x2｜＝eq\r（1＋1[x1＋x22－4x1x2］)＝eq\r（30)。（2)如圖，當弦AB被點P平分時,OP⊥AB，因為kOP＝－2，所以kAB＝eq\f(1，2）,所以直線AB的方程為y－2＝eq\f（1，2)（x＋1），即x－2y＋5＝0。20．(12分)如圖,四棱錐P。ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于低面ABCD，AB＝BC＝eq\f（1,2）AD,∠BAD＝∠ABC＝90°.（1)證明：直線BC∥平面PAD;(2）若△PCD的面積為2eq\r（7），求四棱錐P。ABCD的體積．解析：（1）證明：在平面ABCD內，因為∠BAD＝∠ABC＝90°,所以BC∥AD，又BC?平面PAD,AD?平面PAD，故BC∥平面PAD。（2)取AD的中點M,連接PM，CM，由AB＝BC＝eq\f（1，2）AD及BC∥AD，∠ABC＝90°，得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD，因為側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥平面ABCD，因為CM?平面ABCD，所以PM⊥CM，設BC＝x，則CM＝x，CD＝eq\r（2）x，PM＝eq\r（3)x，PC＝PD＝2x，取CD中點N,連接PN，則PN⊥CD，所以PN＝eq\f（\r（14),2）x，因為△PCD的面積為2eq\r（7)，所以eq\f（1，2）×eq\r（2）x×eq\f（\r（14），2）x＝2eq\r（7)，解得x＝－2（舍去)，x＝2，于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2eq\r（3）,所以四棱錐P。ABCD的體積V＝eq\f(1,3）×eq\f（2×2＋4，2）×2eq\r（3）＝4eq\r（3）。21．（12分）［2019·上饒縣校級月考］已知圓C1:x2＋y2－6x－6＝0，圓C2：x2＋y2－4y－6＝0(1)試判斷兩圓的位置關系；（2）求公共弦所在的直線的方程；(3）求公共弦的長度．解析：(1）圓C1：x2＋y2－6x－6＝0,化為（x－3）2＋y2＝15，圓心坐標為(3，0），半徑為eq\r(15);圓C2：x2＋y2－4y－6＝0化為x2＋(y－2）2＝10，圓心坐標(0，2），半徑為eq\r（10）.圓心距為：eq\r（32＋22)＝eq\r(13)，因為eq\r(15）－eq\r(10）＜eq\r(13）＜eq\r(15)＋eq\r(10)，所以兩圓相交．(2)將兩圓的方程相減，得－6x＋4y＝0，化簡得：3x－2y＝0,∴公共弦所在直線的方程是3x－2y＝0;(3)由(2)知圓C1的圓心(3，0）到直線3x－2y＝0的距離d＝eq\f（9，\r（9＋4））＝eq\f(9，\r(13)),由此可得，公共弦的長l＝2eq\r(15－\f（81，13）)＝eq