2019屆內蒙古包頭市高三二模考試數學（理）試題一、單選題111.已知i是虛數單位，復數-的共軛復數是（）-i1+iA.iB.—iC.1D.—1解：因為+i-(l-i)因為所以共軛復數就是—i.故選：B.點評：本題主要考查復數的運算及共軛復數的求解，把復數化到最簡形式是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.2.已知集合A=（1x2+x=0,xeR｝，則滿足AUB=｛0,—1,1｝的集合b的個數是()A.4B.3C.2D.1解：因為A={xIx2+x=0,xeR}={o,-1}，AUB={0,—l,l}，所以集合B可能是{1},{o，l},{-l,l},{o，-l,l}.故選：A.點評：本題主要考查集合的運算，化簡求解集合是解決這類問題的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.r3.設向量r3.設向量a，rrrb滿足a+b=J3rr則a-b=(A.-2B.1C.-1D.2解：rrrr廠rrj—因為向量a，b滿足Ia+b1=，Ia—b1=P7，rrrr所以a2+2a-b+b2=3，①

rrrra2一2a-b+b2=7，由①一②得：rr4a-b=-4，rr即a-b=-1,故選：C.點評：本題主要考查了平面向量模和數量積的運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬基礎題．1根據題意得，f(x)=x-smx且函數f(x)為奇函數，排除b、D；f(0)=0；當0當0<x<n時,f'(x)=-一cosx2兀令f'(x)>0n—<x<K兀令f(x)<0n0<x<-3?-函數f(x)在(0,兀)上是先遞減再遞增的，排除選項C；故選：A．點評：本題主要考查了函數的奇偶性與單調性的判斷，考查根據解析式找圖象，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題．

5.已知圓C:x2+y2二1,定點P（x0,y）直線l:x0x+y0y二1,貝“點p在圓C外”是''直線I與圓C相交”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解：若點p在圓C外’則耆+叮>1，圓心到直線1:冒+F二1的距離<1，此時直線1與圓C相交;若直線1與圓若直線1與圓C相交,則"=占2+y200即x02+y02>1，此時點p在圓C外-故選：C.點評：本題主要考查以直線和圓的位置關系為背景的條件的判定，明確直線和圓位置關系的代數表示是求解的關鍵，側重考查邏輯推理的核心素養.6.某程序框圖如圖所示，若輸入的N=6,貝輸出的值是（）6.某程序框圖如圖所示，若輸入的N=6,貝輸出的值是（）6A57C6B.D.5667解：經過第一次循環得到s=k=22112經過第二次循環得到s=-+-=k=3263213經過第三次循環得到s=-+—=k=43124

314經過第四次循環得到s=4+2o=5,k=5TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"15經過第五次循環得到s=-+—=k=6306\o"CurrentDocument"經過第六次循環得到s=-+￡=6>6427此時，不滿足判斷框中的條件，執行輸出6故輸出結果為7故選：D.點評：本題主要考查解決程序框圖中的循環結構，常按照程序框圖的流程，采用寫出前幾次循環的結果，找規律．TOC\o"1-5"\h\z在公差不等于零的等差數列怠｝中，a廣4，且aa3,a°成等比數列，則%=()n21398A.4B.18C.24D.16【答案】D根據ai，a3，a9成等比數列可求公差，然后可得a8.1398解：設等差數列怠｝的公差為d，n因為a1，a3，a9成等比數列，所以a2二aa，139319即有(4+d)2二(4-d)(4+7d)，解得d=2，d=0(舍)，所以a=a+6d=16.82故選：D.點評：本題主要考查等差數列的通項公式，根據已知條件構建等量關系是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.D.已知F1，F2為橢圓E的左右焦點，點M在E上(不與頂點重合)，為等腰直角三角形，則E的離心率為()D.A.2+1B.2—1【答案】B先根據amf;f2為等腰直角三角形可得lMFJ，lMF2l，結合橢圓的定義可求離心率.

解：由題意AMFF為等腰直角三角形，不妨設MF丄FF，則12112|MF|二|FF|二2c,|MF|二2屈,由橢圓的定義可得2\2c+2c=2a，解得~—遼十】=72-1.故選：B.點評：本題主要考查橢圓離心率的求解，離心率問題的求解關鍵是構建a，b,c間的關系式，側重考查數學運算的核心素養.9．若三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）正住覷圖醐左咂國A．C．80T503B．D．60正住覷圖醐左咂國A．C．80T503B．D．60T40【答案】D由三視圖知該幾何體是一個三棱錐，由三視圖求出幾何元素的長度，由錐體的體積公式求出幾何體的體積．解：解：根據三視圖可知幾何體是一個三棱錐，由俯視圖和側視圖知，底面是一個直角三角形，兩條直角邊分別是2+3、4,

由正視圖知，三棱錐的高是4，?-該幾何體的體積V=-X丄X4X(2+3)X4=40,323故選：D.點評：本題主要考查三視圖求幾何體的體積，由三視圖正確復原幾何體是解題的關鍵，考查空間想象能力．10.若ax210.若ax2-的展開式中的各項系數的和為1，則該展開式中的常數項為(X丿A．672B．-672C．5376D．-5376【答案】A(1先根據ax2-—的展開式中的各項系數的和為1,求解a，然后利用通項公式可得常Ix丿數項.解：(1(1)9因為ax2——Ix丿的展開式中的各項系數的和為1，所以(a—1》=1，即a=2；的通項公式為T+129—rCrx18—3r9=Cr(2X2)-r的通項公式為T+129—rCrx18—3r99令18—3r=0得r=6，所以展開式中的常數項為23xC6=672.9點評：本題主要考查二項式定理展開式的常數項，利用通項公式是求解特定項的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.11.已知函數f(x)=2cos2—+sin2X+3sinx，則f(x)的最大值為()2253A.1B.C?D.22【答案】B先化簡函數f(x)，然后利用f(x)解析式的特點求解最大值.解：

3+2'?-（兀）sinx二sinx+—I6丿f（x）=2COS2-+sin2蘭3+2'?-（兀）sinx二sinx+—I6丿222222故選：B.點評：本題主要考查三角函數的最值問題，三角函數的最值問題主要是先化簡為最簡形式，結合解析式的特點進行求解.12.將邊長為2的正方形AAOO（及其內部）繞00-旋轉一周形成圓柱，點BC分別是圓0是圓0和圓01上的點，Ab長為弓，年長為辛,且B與C在平面AAO-O的同）兀兀C.—D.42側，則Ag與BC所成角的大小為（TOC\o"1-5"\h\zA兀，兀A.B.—36【答案】C由弧長公式可得ZAOC=?，ZAOB二石，由異面直線所成角的作法可得ZCBD為1133異面直線A1O1與BC所成角，再求解即可.解：2兀兀由弧長公式可知ZAOC=，ZAOB二牙，11332兀在底面圓周上去點D且ZAOD二亍，則CD丄面AOD，連接CD，BC，BD，則BD//A011即ZCBD為異面直線A1O1與BC所成角，又DB=2，DC=2，兀所以ZCBD一,4故選：C.點評：本題主要考查了弧長公式及異面直線所成角的作法，考查了空間位置關系的證明，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．二、填空題13.向平面區域?x，y）|0§x§1,0§y§1｝內隨機投入一點，則該點落在曲線y=J1—x2下方的概率為.兀【答案】4由題意畫出圖形，分別求出正方形及陰影部分的面積，再由幾何概型概率面積比得答案解：作出平面區域｛（x,y）io剟xi，o剟y1｝及曲線y=<T—"X2（x厖）,yo）如圖，1兀S=1x1=1，S=—兀X12=.正方形OABC陰影???向平面區域｛（x，丁）10剟1，0剟1｝內隨機投入一點，則該點落在曲線y=J1-X2下方的概率為P=].兀故答案為：4-點評：

本題主要考查幾何概型概率的求法，考查數形結合的解題思想方法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．'x+y-1>014.設x,y滿足約束條件｛y―x―1<0，則z二2x+3y的取值范圍是.x<1【答案】b，8〕作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識，通過平移即可求z的取值范圍.解：x+y—1.?0作出x,y滿足約束條件，則p-x-1?0對應的平面區域(陰影部分),兀，1得y二一-x+-32z2z平移直線y二—-x+-，由圖象可知當直線y二—-x+-經過點A(l,2)時，直線y二-3x+-的截距最大，此時z最大.此時z的最大值為z=2X1+3X2=8，由圖象可知當直線y二-3x+-經過點B(1,0)時，直線y二--x+1的截距最小，此時z最小.此時z的最小值為z=2X1+3X0=2,???2剟z8故答案為：[2，8]故答案為：[2，8].匕S/y-2O/-27、點評：本題主要考查線性規劃的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，利用數形結合是解決線性規劃題目的常用方法．設等差數列｛a｝的前n項和為S，若S—S—3，S=—,S—22，則n—.nn5432n【答案】8根據等差數列的通項公式及求和公式可得.解：因為S5一S4—3，所以a5—3,54593因為S—，所以a2—,222a+4d—3i「1設等差數列的公差為d，則13，解得a—1,d-A，a+d=—12〔i2由S—22得n+"機Dx；—22，解得n—8.n22故答案為：8.點評：本題主要考查等差數列的基本量的運算，熟記相關的求解公式是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.若直線y—kx既是曲線y—ex-1的切線，又是曲線y—In(x+b)的切線，則b—.【答案】1分別設出兩個切點，根據導數的幾何意義可求.解：設直線y—kx與曲線y—ex-1相切于點(x1,ex1-1)，直線y—kx與曲線y—In(x+b)相切于點(x,ln(x+b))，22則k—ex1且ex1-1—，解得k=1,=0；同理可得k=且ln(x+b)—kx，解得b—1,x—0；x十b2222故答案為：1.點評：本題主要考查導數的幾何意義，設出切點建立等量關系式是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.

三、解答題17.在AABC中，內角A,b,C的對邊分別為a,b,c，已知b+2ccosA=0.（1）若b=c=1，求a和S；AABC（2）求cosB的最小值.【答案】（1）a=、込，S=上3（2）3AABC42（1）利用已知條件求出A的余弦函數值，然后求解A的值，然后求解三角形的面積;（2）通過余弦定理結合三角形的面積轉化求解即可.解：1（1）因為b=c=1，代入b+2ccosA=0，得cosA=—，2abTOC\o"1-5"\h\z所以A=120。，C=B=30。，由正弦定理得=「；，sinAsinBsin120。片11l73所以a==\：3，S=acsinB=-x、；3xlxsin30°=sm30。aabc224⑵把余弦定理代入b+2ccosA=0，得b+2c-PL=解得b2=寧?再由余弦定理得a2+3c2>4aca2+3c2>4ac加a23c2=3?當且僅當4ac2a2+c2—廠a2+c2—b22cosB==一2ac2ac73a2=3c2，即a=、￡3c時，cosB取最小值“.2點評：本題主要考查三角形的解法、正余弦定理的應用、三角形的面積以及基本不等式的應用意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，是中檔題.18.一只紅玲蟲的產卵數y和溫度t有關?現收集了7組觀測數據如下表:溫度t/°C21232527293235產卵數y/個711212466115325為了預報一只紅玲蟲在40。時的產卵數，根據表中的數據建立了y與t的兩個回歸模型.模型①:先建立y與t的指數回歸方程$⑴=eo.27213.849，然后通過對數變換U二lny，把指數關系變為u與t的線性回歸方程:U（1）=0.272t-3.849;模型②:先建立y與t的二次回歸方程$⑵=0.367t2-202.543，然后通過變換x二12，把二次關系變為y與x的線性回歸方程：$⑵=0.367x-202.543.（1）分別利用這兩個模型，求一只紅玲蟲在40。時產卵數的預測值;（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠?并說明理由.（參考數據:模型①的殘差平方和Q廣1550.538，模型①的相關指數R2二0.98；模型②的殘差平方和11Q二15448.431，模型②的相關指數R2=0.8；e7.031二1131，e=1096，e8二2981；22ln7=1.946，ln11=2.398，ln21=3.045，ln24=3.178，ln66=4.190，ln115=4.745，ln325=5.784）【答案】（1）$（1）=1131，車⑵=384.657（2）模型①得到的預測值更可靠，理由見解析（1）把t=40。分別代入兩個模型求解即可；（2）通過殘差及相關指數的大小進行判定比較.解：⑴當t=40。時，根據模型①，得U⑴=0.272x40-3.849=7.031，$（1）=e7.031=1131，根據模型②，得車⑵=0.367x402-202.543=384.657.（2）模型①得到的預測值更可靠.理由1:因為模型①的殘差平方和Q1=1550-538小于模型②的殘差平方和Q2=15448.431，所以模型①得到的預測值比模型②得到的預測值更可靠；理由2:模型①的相關指數R2=0.98大于模型②的相關指數R2=0.80，所12以模型①得到的預測值比模型②得到的預測值更可靠；理由3:因為由模型①，根據變換后的線性回歸方程U（1）=0.272t-3.849計算得到的樣本點分布在一條直線的附近；而由模型②，根據變換后的線性回歸方程$⑵=0.367x-202.543得到的樣本點不分布在一條直線的周圍，因此模型②不適宜用來擬合y與t的關系；所以模型①得到的預測值比模型②得到的預測值更可靠.（注：以上給出了3種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得）點評：本題主要考查回歸分析，模型擬合程度可以通過兩個指標來判別，一是殘差，殘差平方和越小，擬合程度越高；二是相關指數，相關指數越接近1，則擬合程度越高.19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PC丄底面ABCD,ab丄AD,AB//CD,AB=2,AD=CD=1,E是PB上一點.（1）求證:平面EAC丄平面PBC；（2）若E是PB的中點，且二面角P-AC-E的余弦值是還，求直線PA與平面EAC3所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）'-3（1）先證明AC丄平面PBC，然后可得平面EAC丄平面PBC；（2）建立坐標系，根據二面角P-AC-E的余弦值是乞6可得PC的長度，然后可求3直線PA與平面EAC所成角的正弦值.解：（1）PC丄平面ABCD，ACu平面ABCD，得AC丄PC.又AD=CD=1，在Rt^ADC中，得AC=邁，設AB中點為G，連接CG，則四邊形ADCG為邊長為1的正方形，所以CG丄AB，且BC=邁，因為AC-+BC-=AB-，所以AC丄BC，又因為BCnPC=C，所以AC丄平面PBC，又ACu平面EAC，所以平面EAC丄平面PBC.（2）以C為坐標原點，分別以射線CD射線CP為y軸和z軸的正方向，建立如圖空間直角坐標系，

則C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,—1,0).又設P(0,0,a)(a>0),(又設P(0,0,a)(a>0),則E-，+卞，廳，CA=(1,1,0)，CP=(0,0,a),j222丿uuurCEuuurCE二uuur,PA=(1,1,-a).uruuur由BC丄AC且BC丄PC知，m=CB=(1,—1,0)為平面pac的一個法向量.rruuurruuur設n=(x,y,z丿為平面EAC的一個法向量，則n-CA=n-CE=0,即j即j%+歹—o0,取x=色Ix+y+az=0y=—a，則n=(a,—a,—2)，有cos=，得a=cos=，得a=2，從而n=(2,+2,+2),a2+23uuurPA=(1,1,—2).設直線PA與平面EAC所成的角為0，則sin0<6"邁3即直線PA與平面sin0<6"邁3即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為X點評：本題主要考查空間平面與平面垂直及線面角的求解，平面與平面垂直一般轉化為線面垂直來處理，空間中的角的問題一般是利用空間向量來求解.20.設F為拋物線C:y2=2px的焦點，A是C上一點，FA的延長線交y軸于點B，A為FB的中點，且FB=3.求拋物線C的方程；過F作兩條互相垂直的直線l1，12，直線11與C交于M，N兩點，直線12與C交于D,E兩點，求四邊形MDNE面積的最小值.【答案】(1)y2二4x(2)32(1)由題意畫出圖形，結合已知條件列式求得P，則拋物線C的方程可求；(2)由已知直線1］的斜率存在且不為0，設其方程為y=k(x-1)，與拋物線方程聯立，求出IMNI，IDEI，可得四邊形MDNE的面積，利用基本不等式求最值.解：p(1)如圖，QA為FB的中點，???A到y軸的距離為4，.?」af|=JP=如=型=3，解得p二2.42422?拋物線C的方程為y2二4x；(2)由已知直線(的斜率存在且不為0,設其方程為y=k(x-1).fy=k(x—1)由彳，得k2x2—(2k2+4)x+k2=0.Iy2=4xQ△>0，設M(x，y)、N(x，y)112241TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"??x+x=2+，則IMNI=x+x+2=4(1+)；12k212k2同理設D(x3，y3)、E(x4，y)，3344二x+x=2+4k2，則IDEI=x+x+2=4(1+k2).\o"CurrentDocument"3434?四邊形MDNE的面積S=11MNIgDEI=8(2+k2+丄)??32.\o"CurrentDocument"2k2當且僅當k=±1時，四邊形BCDE的面積取得最小值32.點評：本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交弦長問題、一元二次方程的根與系數的關系、基本不等式的性質、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.21.e是自然對數的底數，已知函數fxxx2ex,xR.求函數yfx的最小值；函數gxfxf<2在R上能否恰有兩個零點?證明你的結論.【答案】(1)f'巨21邁e、2(2)能夠恰有兩個零點，證明見解析先求導數，再求極值。然后可得最小值；結合零點存在定理進行判定.解：(1)求導f'x2x2exx22xexx22ex，由f'x0，得xv2.列表如下：x，返V2,f'x+°°+fx單調遞增有極大值f近單調遞減有極小值f邁單調遞增知f<2為極大值，fv'2為極小值.又因為fxXX26%當且僅當ox2時，fX°,并且在區間0邁上yfx為減函數，在區間<'2,2上yfx為增函數，故yfX在，上的最小值為fv221、遼ed.(2)函數gxfxfv'2在R上能夠恰有兩個零點；證明如下:由g邁f邁f邁°，知x^2是一個零點.又由(1)知，f、豆是函數的一個極大值，gx在單調區間，邁和'払罷都不會再有零點了.考慮單調區間'遼,，由g2f221J2e咕21<2e°,

2）＞o,恰有一個零點.所以，函數gC+■；2)=fC+邁)-2C+可見，函數g(x)=f(x)—fCj2)在單調區間g(x)=f(x)—fJ邁)在2）＞o,恰有一個零點.所以，函數點評：本題主要考查導數的應用，利用導數求解最值問題一般是先求解極值，利用導數研究零點問題一般也是借助函數的單調性來處理，側重考查推理論證的能力.[x二3—t22.在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為＜[,(t為參數)，在以坐標原〔y二1+1I—(兀、點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C:P=2j2cos^——.k4丿求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；求曲線C上的點到直線l的距離的最大值.【答案】(1)x+y—4=0，(x—1)2+(y—1)2二2(2)2邁分析：(1)消去