應(yīng)用題解決的心理學(xué)研究及其對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示內(nèi)容摘要：應(yīng)用題解決的心理學(xué)研究重要集中在問題表征、情境因素、解題策略、形式辨別、元認(rèn)知及非智力因素對應(yīng)用題解決的影響等方面。將相關(guān)研究結(jié)果應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)，能夠提煉出幾點策略：豐富領(lǐng)域知識，構(gòu)成扎實基礎(chǔ)；加強(qiáng)審題訓(xùn)練，提升表征水平；構(gòu)建變式問題，促進(jìn)知識遷移；設(shè)計自我發(fā)問單，提升監(jiān)控技能。本文關(guān)鍵詞語：應(yīng)用題解決領(lǐng)域知識問題表征形式辨別元認(rèn)知應(yīng)用題解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點，因此成為心理學(xué)研究關(guān)注的問題。應(yīng)用題解決的心理學(xué)研究重要集中在問題表征、情境因素、解題策略、形式辨別、元認(rèn)知及非智力因素對應(yīng)用題解決的影響等方面。本文對相關(guān)研究做扼要介紹，并由此提出中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的幾點策略。一、心理學(xué)對應(yīng)用題解決的一些研究〔一〕問題表征問題表征是指通過審題，明確給定的條件、目的和允許的操作，檢索、激活頭腦中與之相關(guān)的知識和經(jīng)歷體驗，將外部的物理刺激轉(zhuǎn)化為內(nèi)部心理符號，構(gòu)成問題空間的經(jīng)過。西蒙以為，問題表征是問題解決的一個中心環(huán)節(jié)，它說明問題在頭腦中是怎樣表現(xiàn)出來的。有時候問題解決的難度并不在問題自己，而在于解題者對問題表征的方式。問題表征是一個逐步深化的經(jīng)過。傅小蘭等就一道應(yīng)用題對34名學(xué)生進(jìn)行測試，通過分析被試的解答，得出被試對問題進(jìn)行表征、建立問題空間的一般經(jīng)過。第一，問題信息的搜索和提取。在這個經(jīng)過中，解題者需要從問題陳述中、長時記憶中提取全部有關(guān)信息；一旦搜索問題信息時遺漏了某些信息，建構(gòu)的問題空間就不完好，也就無法求得問題的正確解。第二，問題信息的理解和內(nèi)化。在這一經(jīng)過中，解題者需要對搜索和提取的問題信息做深加工，進(jìn)而正確地理解和利用問題信息，發(fā)現(xiàn)問題的構(gòu)造，構(gòu)建自己的問題空間。第三，發(fā)展隱喻約束條件與意識化，即對問題規(guī)則〔約束條件〕的理解和把握在構(gòu)建正確的問題空間中起側(cè)重要的作用。問題表征經(jīng)過中的任何環(huán)節(jié)出了錯誤過失，都將導(dǎo)致構(gòu)建出毛病的或不完好的問題空間。因此，正確的問題表征是解決問題的需要前提。Mayer根據(jù)提取信息的不同將問題表征劃分為數(shù)字表征、關(guān)系表征、圖式表征三種類型。數(shù)字表征指根據(jù)問題中的數(shù)字關(guān)系理解問題；關(guān)系表征指根據(jù)問題中的變量關(guān)系理解問題；圖式表征指根據(jù)問題的內(nèi)在構(gòu)造理解問題。有學(xué)者根據(jù)問題的表征形式對問題做分類：〔1〕字面特征分類，即根據(jù)題目的文字描繪敘述而非從數(shù)學(xué)角度做出的分類〔例如，把題目內(nèi)容是食品的歸為一類〕；〔2〕表層構(gòu)造分類，即根據(jù)題目的外表信息而非從數(shù)學(xué)實質(zhì)角度做出的分類〔例如，把題目內(nèi)容是路程問題的歸為一類〕；〔3〕深層構(gòu)造分類，即根據(jù)題目的數(shù)學(xué)實質(zhì)做出的分類〔例如，把有關(guān)路程內(nèi)容的問題分為追擊問題、相遇問題等〕。馮虹等的研究表示清楚，隨著年級的增高，學(xué)生越來越傾向于根據(jù)題目的深層構(gòu)造分類，數(shù)學(xué)成就優(yōu)秀生與差生分類的結(jié)果差別顯著。問題表征離不開對信息的搜索和提取，離不開專門知識〔也就是領(lǐng)域知識〕的支持。有研究表示清楚，領(lǐng)域知識不同的學(xué)生在問題表征經(jīng)過中具有不同的特點：領(lǐng)域知識豐富的學(xué)生更傾向于深條理表征問題，而領(lǐng)域知識貧乏的學(xué)生更傾向于淺條理表征問題。也就是說，假如學(xué)生頭腦中具備豐富的公式、定理、問題原型和應(yīng)用題形式，那么其更傾向于對問題做深條理表征，進(jìn)而正確地解決問題。張維的研究也證明了這個結(jié)論。研究采取“學(xué)習(xí)—再認(rèn)〞范式，研究學(xué)科領(lǐng)域知識豐富性不同的學(xué)生〔根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就分類〕在問題表征條理上的特點。“學(xué)習(xí)—再認(rèn)〞是指讓被試先學(xué)習(xí)一個材料，然后進(jìn)行測試，判定測試題中能否出現(xiàn)了前面學(xué)習(xí)過的東西，包含外表特征和原理特征。結(jié)果表示清楚，“知識豐富組〞表征問題除了采取外表特征外，還會對原理特征進(jìn)行表征；“知識貧乏組〞為避免干擾，會丟棄原理特征，往往用外表特征來辨別問題。〔二〕情境因素應(yīng)用題的表述往往是有情境的，那么情境能否會對問題解決產(chǎn)生影響？不少學(xué)者對此進(jìn)行了研究。Zhang通過“TicTacToe〞式同型游戲問題發(fā)現(xiàn)，問題的外部構(gòu)造與情境不僅僅是對內(nèi)部意識的輸入和刺激，而且具有獨立于內(nèi)部表征的作用，就此提出了問題的外部表征概念。他以為，外部表征是指問題情境的成分和構(gòu)造，外部表征的信息只能被知覺系統(tǒng)發(fā)覺、分析和加工。邢強(qiáng)等通過對相關(guān)文獻(xiàn)的整理、分析，提出數(shù)學(xué)應(yīng)用題的外部表征影響因素重要包含文本外表特征、文本內(nèi)容熟悉水平、符號、插圖、問題與文本的呈現(xiàn)位置、不同的措辭、情境內(nèi)容的現(xiàn)實性等。趙繼源基于一道零分率跨越60%的高考數(shù)學(xué)試題——“冷軋機(jī)〞應(yīng)用題，設(shè)計了6道比照應(yīng)用題，對高二學(xué)生展開測試。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用題背景的熟悉水平對學(xué)生解題有顯著影響；對于背景熟悉的題目，數(shù)據(jù)抽象與否對解題影響不顯著，但在生疏背景下則到達(dá)了顯著水平；對于背景生疏的題目，即便凸顯關(guān)鍵信息，其影響也不明顯。他還進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，對于中等或中下水平的學(xué)生而言，凸顯關(guān)鍵信息對于解題不會有任何幫助，但對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生，凸顯關(guān)鍵信息對于解題有明顯的啟發(fā)作用。章巍將代數(shù)應(yīng)用題的語言描繪敘述特征分解為語量、語境、語序和本文關(guān)鍵詞語的隱蔽水平四個指標(biāo)，通過實驗逐一研究每個指標(biāo)與解題效果的關(guān)系。結(jié)果表示清楚：語量對初二學(xué)生解答代數(shù)應(yīng)用題效果的影響明顯，“學(xué)困生〞相對于“學(xué)優(yōu)生〞更容易受語量的影響；語境對解答代數(shù)應(yīng)用題效果的影響明顯；語序?qū)獯鸫鷶?shù)應(yīng)用題的效果有一定水平的影響，但不夠顯著；本文關(guān)鍵詞語的隱蔽水平對解題結(jié)果有一定水平的影響，但不夠顯著，而對解題時間的影響卻非常顯著，即大多數(shù)學(xué)生面對關(guān)鍵條件隱蔽性較強(qiáng)的代數(shù)應(yīng)用題時，會花費大量時間去尋找和開掘這些條件。情境內(nèi)容的真實性是指數(shù)學(xué)應(yīng)用題的背景是真實存在的。一些學(xué)者據(jù)此定義了規(guī)則應(yīng)用題和不規(guī)則應(yīng)用題：規(guī)則應(yīng)用題即傳統(tǒng)的應(yīng)用題，題目規(guī)范，條件充足，答案:唯一；而不規(guī)則應(yīng)用題由于背景真實，條件可能多余，可以能不足，答案:可能無解，可以能有多解。學(xué)生解決不規(guī)則應(yīng)用題時，不僅要結(jié)合數(shù)學(xué)知識，而且要基于日常生活經(jīng)歷體驗。Sweller等提出的認(rèn)知負(fù)荷理論能夠解釋為何有多余條件的應(yīng)用題對學(xué)生來說是最難的。該理論以為，在解決有多余信息的問題時，解題者必需對兩種信息進(jìn)行加工，即正確解題所需的信息以及多余信息；解題者首先需要集中精神來區(qū)分這兩種信息，然后能力對解題有關(guān)的信息進(jìn)行充足的表征。馮虹等用眼動分析法分析不同年級學(xué)生對不同類型題目〔完好的、有多余條件的、缺少條件的和缺少問題的題目〕的表征條理和解題策略。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：不同年級學(xué)生對“題設(shè)〞的相對凝視次數(shù)〔被試在某個興趣區(qū)的凝視次數(shù)占全部凝視次數(shù)的百分比〕的差別并不顯著，但是對“關(guān)鍵信息〞的相對凝視次數(shù)則表現(xiàn)出了明顯的年級特征；學(xué)生解規(guī)則題目時對“題設(shè)〞的相對凝視次數(shù)非常顯著地小于不規(guī)則題目，解不規(guī)則題目時對“關(guān)鍵信息〞的相對凝視次數(shù)顯著大于規(guī)則題目。實驗還發(fā)現(xiàn)，學(xué)生解缺少條件的題目時正確率最高，原因在于學(xué)生對題目進(jìn)行深度表征后，會添加一些很容易解答的條件或問題；而解有多余條件的題目時正確率最低，說明有多余條件的題目對學(xué)生而言最難解決。〔三〕解題策略解決應(yīng)用問題有一些策略〔最常用的就是畫圖策略〕。信息區(qū)分策略是指在解題經(jīng)過中將題目背景及問題分析成語義單元，對信息類型進(jìn)行檢驗、區(qū)分，找出信息之間的相關(guān)性，目的是對這些信息進(jìn)行比較，進(jìn)而與問題相匹配。Littlefield等通過觀察學(xué)生的眼動軌跡，發(fā)現(xiàn)學(xué)生一共使用了5種區(qū)分策略。〔1〕重讀題目策略：通過反復(fù)地閱讀題目，將部分信息及語義特征儲存到工作記憶中，然后對信息進(jìn)行比較。〔2〕單一比較策略：在數(shù)字及關(guān)系詞之間進(jìn)行簡單、直接的比較，可能會根據(jù)問題部分的要求直接列出方程。〔3〕以特征為基礎(chǔ)策略：在題目中尋找與問題部分的語義特征相匹配的語義特征，通常會將凝視點集中在變量名或與問題部分類似的事件、概念上。〔4〕“問題—引導(dǎo)〞策略：以問題部分的語義特征為指點，對信息進(jìn)行分析。〔5〕初次讀題區(qū)分策略：對語義類型進(jìn)行區(qū)分，找到解題所需的關(guān)鍵信息，將凝視點集中在關(guān)鍵信息和相關(guān)數(shù)字信息上。岳寶霞等以初二學(xué)生為被試，采取眼動分析法討論了題目難度、冗余信息和數(shù)學(xué)成就對學(xué)生采取信息區(qū)分策略的影響，結(jié)果證明了學(xué)生解容許用題存在上述5種策略。人們關(guān)注的另一個問題是，能力水平不同的學(xué)生能否會采取不同的策略解決問題。張錦坤等運用分析法分析初二優(yōu)秀生、中等生和差生對兩道中等偏上難度幾何應(yīng)用題的解答情況，以此討論各條理學(xué)生解容許用題的策略類型。分析發(fā)現(xiàn)，不同水平的學(xué)生在兩道幾何應(yīng)用題的解題經(jīng)過、解題步驟上所使用的策略是不同的：優(yōu)秀生的解題策略為“俯瞰型〞，他們能深刻理解問題，通過不斷創(chuàng)造中間條件靈敏連接條件與問題的關(guān)系；中等生為“經(jīng)歷體驗型〞，表現(xiàn)為過度依靠過去的解題經(jīng)歷體驗，對問題與條件之間關(guān)系的綜合把握不夠靈敏；差生為“盲目型〞，表現(xiàn)為對解題的目的指向性不強(qiáng)，只是試探性地從已經(jīng)知道條件中推導(dǎo)出一些結(jié)果。〔四〕形式辨別數(shù)學(xué)應(yīng)用題存在模型，這是數(shù)學(xué)老師在教學(xué)理論中總結(jié)出來的經(jīng)歷體驗。在問題解決中，解題者調(diào)用頭腦中的模型來解決當(dāng)下問題，就是形式辨別。施鐵如通過對初一年級兩組學(xué)生的比照實驗發(fā)現(xiàn)：能否辨別應(yīng)用題的類型在很大水平上決定著能否迅速、精確地解答問題；要正確辨別應(yīng)用題的類型，需要從詳細(xì)的語義情境中分出確定的、一般的構(gòu)造關(guān)系，這既依靠于對當(dāng)下題目信息的加工，也依靠于對記憶中儲存的有關(guān)信息的搜索；辨別題目類型的訓(xùn)練有利于構(gòu)成解題技能，而這種訓(xùn)練應(yīng)該圍繞模型選擇多種多樣的變式習(xí)題來進(jìn)行。王亞同等將例子的概括化水平稱為圖式化水平。圖式化實質(zhì)上就是一種形式化。他們研究發(fā)現(xiàn)，利用由構(gòu)造類似性構(gòu)成的代數(shù)圖式能夠比較容易地解決目的問題。陸昌勤等做了比照實驗：在實驗班采取解答代數(shù)應(yīng)用題的認(rèn)知經(jīng)過形式教學(xué)——對每道題目，學(xué)生都要填寫表1；在控制班根據(jù)傳統(tǒng)方式教學(xué)。結(jié)果表示清楚，實驗班學(xué)生解題正確率非常顯著地高于控制班，由于實驗班學(xué)生的頭腦中構(gòu)成了解決問題的形式，有優(yōu)良的認(rèn)知構(gòu)造。〔五〕元認(rèn)知及非智力因素很多研究證明，元認(rèn)知及非智力因素對問題解決有顯著影響。童世斌等采取比照實驗，對實驗班進(jìn)行兩個階段的訓(xùn)練。第一階段，訓(xùn)練把握元認(rèn)知知識，即解決問題的有效思維策略。訓(xùn)練內(nèi)容包含：精確理解題意，理清復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，尋找隱含的數(shù)量關(guān)系，總結(jié)解題思路。第二階段，訓(xùn)練元認(rèn)知監(jiān)控。利用“元認(rèn)知監(jiān)控自我發(fā)問單〞訓(xùn)練學(xué)生通過自我監(jiān)視和控制來確保自己在問題解決經(jīng)過中運用所學(xué)的策略性知識。結(jié)果表示清楚：學(xué)生的思維策略訓(xùn)練效果顯著，中等生、差生的效果尤為顯著；在思維策略訓(xùn)練的基礎(chǔ)上加上元認(rèn)知監(jiān)控訓(xùn)練，能夠更有效地提升解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題思維訓(xùn)練的效果。由于數(shù)學(xué)應(yīng)用題的篇幅長、背景生疏，不少學(xué)生對數(shù)學(xué)應(yīng)用題有著與生俱來的畏懼感。數(shù)學(xué)焦慮是情感，也是認(rèn)知方面對數(shù)學(xué)的恐懼，指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)過中由于過度的擔(dān)憂和憂慮而引起的一系列生理上和心理上的消極狀況。宋廣文等通過對初中學(xué)生進(jìn)行測量研究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)焦慮對解容許用題的成就具有一定的負(fù)向作用。二、對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示上述應(yīng)用題解決的一些心理學(xué)研究，能夠給我們一些有益的啟示，進(jìn)而提出如下幾點中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)策略。〔一〕豐富領(lǐng)域知識，構(gòu)成扎實基礎(chǔ)把握基礎(chǔ)知識，構(gòu)成基本技能，是教學(xué)三維目的中的第一維，也是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)。事實上，上述關(guān)于領(lǐng)域知識的豐富的心理學(xué)研究，實質(zhì)上就指向“雙基〞的扎實性。基礎(chǔ)知識的厚實、基本技能的嫻熟，不僅對解決應(yīng)用題有無足輕重的作用，而且對解決所有的數(shù)學(xué)問題都至關(guān)主要，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量高低的一個顯性指標(biāo)。在應(yīng)用題教學(xué)中，要豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)領(lǐng)域知識，可考慮如下兩點：首先，幫助學(xué)生在長時記憶中儲存必須的公式、定理和法則。解決應(yīng)用問題會用到大量的數(shù)學(xué)公式，如速度公式、濃度公式、復(fù)利公式等。不僅如此，解決應(yīng)用題還會用到一些跨領(lǐng)域的知識。一是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的跨領(lǐng)域。比方，很多應(yīng)用題都與間隔有關(guān)，而間隔是線段的長度，因此，大多數(shù)求間隔的應(yīng)用題，可能會與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何的一些公式、定理有關(guān)系。二是跨學(xué)科領(lǐng)域。比方，解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題可能會用到物理、化學(xué)、生物等學(xué)科的相關(guān)公式、法則。因而，記憶主要的知識是解容許用題的需要條件，老師應(yīng)該將知識分門別類，幫助學(xué)生構(gòu)成知識體系，有序儲存知識。其次，幫助學(xué)生總結(jié)題目類型，構(gòu)成解題形式。如前文所述，心理學(xué)的相關(guān)研究表示清楚，對形式進(jìn)行有效的辨別是解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵。波利亞也提倡解題形式的訓(xùn)練，他提出的笛卡兒形式、雙軌跡形式等就是數(shù)學(xué)解題形式的典范。事實上，很多學(xué)生對應(yīng)用題的毛病解答，或者是由于無法辨別題目類型，或者是由于毛病辨別題目類型。因而，老師要幫助學(xué)生養(yǎng)成辨析問題類型的習(xí)慣，提升辨別形式的能力。當(dāng)然，這樣做的前提是學(xué)生頭腦中具備相關(guān)的形式。對此，能夠采取“解題總結(jié)、分門別類、提煉方法、構(gòu)成形式〞的路徑。〔二〕加強(qiáng)審題訓(xùn)練，提升表征水平審題與問題表征直接相關(guān)，審題的質(zhì)量影響問題表征的質(zhì)量。因而，加強(qiáng)對學(xué)生審題的訓(xùn)練特別需要。審題教學(xué)能夠分為下面幾步：分層理解，分類整理，分步反推。首先，引導(dǎo)學(xué)生采取“初次讀題區(qū)分策略〞通讀題目，對題目信息中的問題背景、基本元素的數(shù)量或位置關(guān)系、解題目的進(jìn)行分層理解。第一遍通讀，重要了解問題背景、明確解題目的。其次，引導(dǎo)學(xué)生采取“‘問題—引導(dǎo)’策略〞“以特征為基礎(chǔ)策略〞等進(jìn)行精讀，在問題的引導(dǎo)下借助圖形或表格清楚明晰地表述關(guān)鍵信息，并將文字語言進(jìn)行初步的數(shù)學(xué)表征。第二遍精讀，關(guān)注與解題相關(guān)的數(shù)量或位置關(guān)系。最后，引導(dǎo)學(xué)生分步反推，尋找已經(jīng)知道條件與解題目的之間的聯(lián)絡(luò)、隱含信息以及相關(guān)知識。例1〔2020年高考江蘇數(shù)學(xué)卷第17題〕某地預(yù)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如此圖1所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，OO′為鉛垂線〔O′在AB上〕。經(jīng)測量，左側(cè)曲線AO上任一點D到MN的間隔h1〔米〕與D到OO′的間隔a〔米〕之間知足關(guān)系式h1=140a2；右側(cè)曲線BO上任一點F到MN的間隔h2〔米〕與F到OO′的間隔b〔米〕之間知足關(guān)系式h2=-1800b3+6b。已經(jīng)知道點B到OO′的間隔為40米。〔1〕求橋AB的長度；〔2〕計劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO′的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C、E在AB上〔不包含端點〕。橋墩EF每米造價k〔萬元〕，橋墩CD每米造價32k〔萬元〕〔k0〕，問：O′E為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低？1.分層理解。通讀題目后，可將題目的文字信息初步分為3個條理。第一條理：問題背景——在山谷中建橋梁；第二條理：與橋梁相關(guān)的元素的數(shù)量與位置關(guān)系；第三條理：解題目的——橋的長度、橋墩總造價何時最低。2.分類整理。了解問題背景和解題目的后，采取“問題—引導(dǎo)〞策略精讀基本元素的數(shù)量與位置關(guān)系信息。老師能夠引導(dǎo)學(xué)生借助表格對相關(guān)信息集中整理〔得到下頁表2〕，使學(xué)生比較清楚明晰地捉住關(guān)鍵信息。3.分步反推。〔1〕橋AB的長度。①題目的目的是什么？能夠怎么理解？“橋AB的長度〞，即線段AB的長度，點A與點B之間的間隔。②題目的條件是什么？能夠怎么理解？條件1：“橋AB與MN平行，OO′為鉛垂線〔O′在AB上〕；點B到OO′的間隔為40米〞。結(jié)合圖形，已經(jīng)知道BO′=40，只要再求出AO′的長度，就能夠求出AB=AO′+BO′。條件2：“左側(cè)曲線AO上任一點D到MN的間隔h1〔米〕與D到OO′的間隔a〔米〕之間知足關(guān)系式h1=140a2〞。這里的a、h1都是正數(shù)，而且只要知道其中一個的值，就能夠通過關(guān)系式求出另一個的值。條件3：“右側(cè)曲線BO上任一點F到MN的間隔h2〔米〕與F到OO′的間隔b〔米〕之間知足關(guān)系式h2=-1800b3+6b〞。與條件2的理解一樣。除此之外，還已經(jīng)知道b的一個取值BO′=40，能夠求出h2的一個取值——OO′的長度。③題目的條件和目的有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)絡(luò)？線段AB的長度←AO′的長度←OO′的長度←h2=-1800b3+6b，b=40。〔2〕O′E為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低？①題目的目的是什么？能夠怎么理解？求出O′E的長度，使得橋墩CD與EF的總造價最低。能夠這樣理解：橋墩的總造價與O′E的長度有關(guān)，需要求出二者之間的關(guān)系式。②題目的條件是什么？能夠怎么理解？條件1：“CE為80米〞。結(jié)合圖形，已經(jīng)知道CE=80，那么知道了O′E的長度，也就知道了CO′=CE-O′E。條件2：“橋墩EF每米造價k〔萬元〕，橋墩CD每米造價32k〔萬元〕〔k0〕〞。由此可知，只要求出EF和CD的長度，就能知道總造價。③題目的條件和解題目的有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)絡(luò)？總造價←EF和CD的長度←EF=EF1-FF1，CD=CD1-DD1，且CD1=EF1=OO′←DD1=140CO′2，F(xiàn)F1=-1800O′E3+6O′E←CO′+O′E=CE=80←設(shè)O′E=x。〔D1、E1分別為直線CD、EF與直線MN的垂足〕〔三〕構(gòu)建變式問題，促進(jìn)知識遷移設(shè)計數(shù)學(xué)應(yīng)用題時，能夠考慮對一個起點問題〔稱為源題〕進(jìn)行變式，得到一樣問題、類似問題、同型問題、相異問題。一樣問題是指與源題有一樣的問題情境和解題原理，屬于近遷移題；類似問題是指與源題有一樣的問題情境、不同的解題原理，屬于中遷移題；同型問題是指與源題有不同的問題情境、一樣的解題原理，屬于中遷移題；相異問題是指與源題有不同的問題情境和解題原理，屬于遠(yuǎn)遷移題。對于一樣問題，通過老師對例題的講解，學(xué)生容易實現(xiàn)遷移，由于這是一種模擬性解題行為。對于類似問題，由于問題情境不變而解題原理變了，學(xué)生容易遭到情境的影響產(chǎn)生負(fù)遷移，即還是企圖利用原來的原理解決，因而，解決起來存在一定的困難。對于同型問題，由于問題情境變了而解題原理不變，老師應(yīng)當(dāng)留意引導(dǎo)學(xué)生從不同的情境中概括出一樣的原理，這樣不僅能夠提升學(xué)生解決問題的遷移能力，還能發(fā)展他們的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。例如，有些代數(shù)應(yīng)用題能夠使用“單價×數(shù)量=總價〞“速度×?xí)r間=路程〞“工作效率×工作時間=工作量〞等數(shù)量關(guān)系來解決。假如老師將這一系列同型問題的解答經(jīng)過放在一起，引導(dǎo)學(xué)生歸納出一個更具有概括性的數(shù)量關(guān)系，即“單位量×單位時間=總量〞，就到達(dá)了同型問題的訓(xùn)練目的。例2〔源題〕客車從甲地到乙地需要20小時，貨車從乙地到甲地需要30小時，如今兩車分別從甲乙兩地同時相向開出，多少小時后兩車相遇？120x+130x=1〔一樣問題〕湯姆從自己家開車到比爾家需要4小時，比爾從自己家開車到湯姆家需要3小時。假如他們同時從自己家開車向?qū)Ψ郊荫側(cè)ィ嗑媚芰σ娒妫?4x+13x=1〔同型問題〕①將1400元獎學(xué)金根據(jù)兩種獎項獎勵給22名學(xué)生，其中一等獎每人200元，二等獎每人50元，則獲得一等獎的學(xué)生有多少人？[200x+50〔22-x〕=1400]②買了共138米的兩種布料，花了540元，其中藍(lán)布料每米3元，黑布料每米5元，則兩種布料各買了多少米？[3x+5〔138-x〕=540]〔類似問題〕兩輛汽車從相距84km的兩地同時出發(fā)相向而行，甲車的速度比乙車的速度快20km/h，半小時后兩車相遇，則兩車的速度各是多少？12x+12〔x+20〕=84以上的源題、一樣問題、同型問題、類似問題能夠讓學(xué)生依次解