一、函數的1、集集合：具有某種特定性質的事物的總體.如：實數集合區間：abR，abab

axb

[a,b]

axb [a,b)(a,b]

axb axb

3R(,) x[a, (,b)

ax+ xb

同理有(a, (,b3)鄰域∪(a,) axa xaa(

a

a—鄰域中心,—鄰域半徑U(U(a,)

0 x

左鄰域 (a,a), 右鄰域 (a,a).4一、函數的2、函 設有兩個變量x與y，數集DR,若變量x在D內任取一個確定的數值時，變量y按照一定的對應法則f總有唯一值與之對應，則稱y是x的函數，記 yf(x), xx—函數的自變 y—函數的因變D—

yyfx),xD5(1)定義域例如,反正弦函 yf(x)arcsin定義域D[1,1] 值域f(D)[, 函數的兩要素：定義域、對應法f(x)x2-1 g(x)xx-對應法則相當于數值轉換器6f(x) x21

f(x) x0 x

f3(x) x2 1確定了一個多值函11

C{(x,y)yf(x),x7二、函數幾種表列表法、圖形法、解（函數y在x的不同取值范圍內有不同的表達式例1. x x

y

yf(x)

xx

x（x=0為分段點 8例2.符號函ysgnx注：xxsgn

1，當x>y1ox0y1ox-1，當x<例3.取整函數 y[x]（[x]為不超過x的最大整數yy21 x1o9函數的隱式表Fx,y)（y與x的函數關系由一個二元方程F(x,y)=所確定—可顯化：x+y →y=1-—不可顯化：xyex 例4.星形線（內擺線的一種）：x3y a3（當小圓在大圓內沿圓周滾動時 小圓上的定點的軌跡 aa例5.雙扭線 雙紐線x2y22a2x2y2（設線段AB長度為2a，滿足：MA*MB=a2的動點M的軌跡 ay(t xy(t（通過引入第三個變量ttxty關系，間接地確定y與x之間的函數關系例6.

xacos3aayasin32注：x

y a3例7.擺線（旋輪線y1cosxty1cos

（t表示圓滾動的角度2（圓沿直線滾動時圓上一定點的運動軌跡 在平面內任取一定點O，稱為極點從O出發引線Ox，稱為極軸，系

設M線段OM的長度為rM的極徑Ox到OMM的極角有序數組（r,）稱為MrxMMrxO一一對r0,023 3 3,4C3,4

6CEA3 3 6E3, 6

B 注2：xrcosMrx yrsinMrxx2x2 arctany

例 求圓心是(R,0)，半徑為R的圓的極坐標方程解：該圓的直角坐標方程為（x-R)2y2M即：x2y2設M(r,)OM OA在直角三角形OAM

OM

OA r=

xryr

x2y22Rx，r2=2R r=Oxx2+y2= r=OxOx2°圓心是(0,R)，半徑為R的圓的方程：x2+y2=2Ry r=2RsinOxOx3°圓心是(0,0)，半徑為R的圓Oxx2+y2= r=示θ=常示 螺線（等速螺線動點P的軌跡：點P沿動射線OP等速率運動的同時，射線OP以等角速度繞點O旋轉.

ra(a例 雙紐線 a

r cos2(ax2y22a2x2y2

(ara(1cos ra(1cosra(1sin ra(1sinrsin2sin5四、復合函數與反復合函定義3.設函數y=f(u)的定義域為U,u=g(x)的定義域為D,且其值域是U的子集，則y=f[g(x)]為定義在Dy=f(u)，u=g(x)的復合u稱為中間變量yf(u),uug( x

g(D) yf[g(x)],xggDf注:1°構成復合函數的條件g(DU不可少1 yarcsinu,1

yarcsin

xD[1,3]∪[3,111 yarcsinu,u2x2不能構成復合函數2°兩個以上函數也可構成復合函數u y ,u0；ucotv,vk(k0,1,uvx,x(,)

coox2y x(2k,(2kcoox23°

f(x)x

x

g(x)x x2 x求f[g(x)]和g[f(x解：f[g(x)]gx

g(x)1x1

x1g2(

g(x)

(x1)2

x1 x g[f(x)]=f(x)-

x xx2

x

y arctan(e2x1u解 y1 uarctan(e2x1u

ve2xvew w2x函數由y1 uarctan vew w2xu 設函數y=f(x)的定義域為D, 值域為Y，若對Y中任一值y,都可以通過關系式y=f(x)在D中唯一確定一個x與它對應，則得一定義在Y上的以y為自變量，x為因變量的函數，稱為y=f(x)xf1(y