高中數學學案高中數必五知識匯第一章解三角形一、知點總結正弦定:ac1．正弦定理:(R三角形外接圓的半徑).sinsinBC步驟1.證明：在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作⊥AB垂足為點HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到

asinin

同理，在△ABCc中，sinsinb步驟2.ac證明：RsinsinBC如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為徑圓周角是直,所∠DAB=90°因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.c所sin2Rac故RsinsinBC2.弦定理的一些變式：aciiiA,sinB；2R2RbRbsin）3．兩類正弦定理解三角形的問題：

bcsinB

R已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角已知兩邊和其中一邊的對角，求其他邊角.（可能有一解，兩解，無解）4.ABC中，已知a,b及A時，解得情況：解法一：利用正弦定理計算解法二：分析三角形解的情況，可用余弦定理做，已知和角A，則由余弦定理得即可得出關于c的方程

2

bAc

2

2

分析該方程的解的情況即三角形解的情況△=0,則三角形有一解△>0則三角形有兩解△<0則三角形無解余弦定:第頁共頁1111高中數學學案22bccosA1．余弦定理：

accos

c

C222bca22.推論：Bac

.

cos

2

ab

2角C對邊，則：①a

2

2

2

，C；a2，C；a22，．3.兩類余弦定理解三角形的問題）已知三邊求三角.（2）已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.面積公:已知三角形的三邊為a,b,c,1.Sabr(a)（其r為三角形內切圓半徑）222.設p

(ab),S

p(pa)()()(倫公式1例：已知三角形的三邊為、、cp()，求證：2（1）三角形的面積S

p(p)(p)(p)；（2r為三角形的內切圓半徑，r

(p)p（3）把邊BC、CA、AB上的高分別記、hhaa

2a

p)(p)hbhc

2b2c

p)(p)p)(p)證明）根據余弦定理的推論cosC

2

2由同角三角函數之間的關系sinC

2

2

2ab

2

)

2第頁共頁記p)，則可得到b)p，記p)，則可得到b)p，c)p，(p11，p()(p)a，高中數學學案代入

1，得SabC2a2S2ab

2

)

2

(2ab

2

a

2

2

2

)

2(2ab22)(2ab2)(aa)(c)(c)11222代入可證得公式（2）三角形的面S

與三角形內切圓半徑r

之間有關系式

1Spr2其中a)2

，所r

S()()()注：連圓心和三角三個頂，構成三個三角形則大三角形面積就三個小三角1形面積和故得：Sarbrcrpr2（3）根據三角形面積公式2a所以a

S22p()(p)(p)a同b

)(p)p(pp)【三角中的常見結】（1）ABC

(2)))C)

ABC,cossin;2A,22若CcAsinCsinBsinCacAC（大邊對大角，小邊對小角）三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊（5）三角形中最大角大于等

，最小角小于等

(6)銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方鈍角三形最大角是鈍最大角的余弦值為負值（7中，A,B,C成等差數列的充要條件60第頁共頁

.高中數學學案(8)ABC為正三角形的充要條件是A,B,C成等差數列，且a,b,c成等比數列.二、題匯總題型1:定三角形狀判斷三角形的類型（1）利用三角形的邊角關系判斷三角形的形:判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現邊角轉化，統一成邊的形式或角的形式a2（2）ABC，由余弦定理可知:aa2

2

A直角是角三角形A鈍角是角三角形是角是銳角三角（注意A是銳角是銳角三角形）(3)sinAsin，則或B

.例中ccosA，(b)(a)，試判形狀.題型2:三角形求面積一般地，把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做三角形例中1

，求的值例中，內角A對邊的邊長分別b,c已c2C（Ⅰ）的面積等于3，求ab（Ⅱ）Csin(A)2sinA，ABC的面積．

．題型3:明等式立證明等式成立的方法））左）左右互相推.第頁共頁高中數學學案例4.已中，角BC的對邊分別bc求證abcosCcosB.題型4:三角在實際的應考察仰角、俯角、方向角、方位角、視角）例．如圖所示，貨輪在海上以40km/h速度沿著方位角（從指北方向順時針轉到目標方向線的水平轉角）為的方向航行，為了確定船位，船在B點觀測燈塔方位角為110°，航行半小時到達C點觀測燈塔A的方位角是65°，則貨輪到達C點時，與燈塔A距離是多少？三、解角形的應用1.角和坡度坡面與水平面的銳二面角叫做坡角面的垂直高和水平寬l的比叫做坡度i表示，根據定義可知：坡度是坡角的正切，i

.α

l2.角和仰角如圖所示，在同一鉛垂面內，在目標視線與水平線所成的夾角中，目標視線在水平視線的上方時叫做仰角，目標視線在水平視線的下方時叫做俯角第頁共頁高中數學學案3.方位角從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如點的方位角為.注：仰角、俯角、方位角的區別是：三者的參照不同。仰角與俯角是相對于水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的。4.方向角：相對于某一正方向的水平角.5.角：第頁共頁高中數學學案第二章數列一、數的概念1數列的概念一般地，按一定次序排列成一列數叫數列，數列中的每一個數叫做個數列項數列的一般形式可以寫,a,a,a,2n數列的n項，也叫做數列的通項.

，簡記為數列一也成為首項a是1n數列可看作是定義域為正整數N

（或它的子集）的函數，當自變量從小到大取值時，該函數對應的一列函數值就是這個數列2數列的分類按數列中項的多數分為：有窮數數列中的項為有限個，即項數有限；無窮數數列中的項為無限個，即項數無限3通項公式：如果數a與項n間的函數關系可以用一個式子表示af么這個式子就叫做這個數列的項公式數列的通項公式就是相應函數的解析式4數列的函數征：一般地，一個數如果從第二項起，每一項都大于它前面的一項，如果從第二項起，每一項都小于它前面的一項，

，那么這個數列叫做遞增數列;a，那么這個數列叫做遞減數列如果數列

都相等，那么這個數列叫做常數列.5遞推公式：某些數列相鄰的兩項（或幾項）有關系，這個關系用一個公式來表示，叫做推公式二、等數列1等差數列的念：如果一個數列從第二項起，每一項與前一項的差是同一個常數，那么這個數列久叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差a

d（常數也是證或判斷一個列是否等差數列的據第頁共頁n11n11高中數學學案2等差數列的項公式設等差數a，公差d，則通項公式為：a13等差中項：（1）a、、b成等差數列，則A叫的等差中項，且A;（2）若數列，an

成等差數列，

n

aa

的等差中項，且=n

ann；反之若數列a滿a=n2

n，則數列4等差數列的質：（1）等差數列p，，nq；mp（2）若數，則數差數列；nnn（3）等差數，則列列n5等差數列的n項和：（1）數項和=an2

,

；（2）數列的通項與前n項和S的關系nn

SS,

（3）設等差數,差，則前n項=n6等差數列前n的性質

n1nad.22（1等差數m項的和仍組成等差數列a12

m

m

2

m

,仍為等差數列（即mm

2

m

3m

,2

成等差數列（2）等差數=1

d=

2

da時S可看作關于n的二次函數，且不含常數項；第頁共頁偶奇aS2nnnn2nn偶奇aS2nnnn2nn高中數學學案（3）若等差數2n+1（奇數）項，=奇偶

n

Sn且奇=Sn偶Sa若等差數列共有（偶數）項，偶=n.Sa奇an()111（4）等差數{}前n項和T(n為奇數2bbn(b)1n12（5）在等差數{}中.=aSSnnm

n

nn

(a，特別地，當時，Snm

n

，=mS=nn

n

)S（6）為等差數{}的前n項和，則數{}也為等差數列.n7等差數列前n和S的最值題：設等差數列

a,差，則1且d即首正遞減）時S有最大值S的最大值為所有非負數項之和；n且d即首負遞增）時，有最小值的最小值為所有非正數項之和n三、等數列1等比數列的念：如果一個數列從第二項起，每一項與前一項的比是同一個不為零的常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字q示）.a即nq為非零常數，這也是證明或判斷一個數列是否為等比數列的依據an2等比數列的項公式設等比數列

的首項為，公比為q，則通項公式為：1aq,、13等比中項：（1）a、、b成等比數列，則A叫ab的等比中項，且A2=ab;（2）若數列，an

成等比數列，

n

aa

的等比中項，且2=an

；反之若數列

2n

，則數列

數列.第頁共頁nnnb1111n11annnb1111n11a高中數學學案4等比數列的質：1（1）若數{}等比數列，則數列{}{a}{an

n

2

}{2n

a}{}{n}(knn為非零常數)均為等比數列.（2）等比數列pN，若mnqn

2p

；（3）若數，則數比數列；nnn（4）等比數列

，公比，則1為遞增數列qq.n5等比數列的n項和：

列，n（1）數項和=an2

,

；（2）數列的通項與前n項和S的關系nn

SS,

（3）設等比數，公比n

q由等比數列的通項公式及前項和公式可知，已,qn中任意三個，便可建立方程組n求出另外兩個.6等比數列的n項和性質設等比數a，公比（1）連續m項的和仍組成等比數列，1

m

m

2

m

,仍為等比數列（S,Smm

2

m

3m

,2

成等差數列（2）q時Sn

a11

n

aaaa1n1，11a設1，則tqq

.第10頁共頁a1aa1a高中數學學案四、遞數列求通項方法總1遞推數列的念：一般地，把數列的若干連續項之間的關系叫做遞推關系，把表達遞推關系的式子叫做遞推公式，而把由遞推公式和初始條件給出的數列叫做遞推數列2兩個恒等式對于任意的數（1aan22

n

n

a（224a3

,an

3遞推數列的型以及通項方法總：類型（公式：已S（即f(n)用作差法：2n

,(,(2)類型二累加法知：數a,1

f

，通項a.給遞推公a

f

中的n依次取1,2,3…n-1,可得到下面n-1個式子：af13n

f利用公aan

2

3

2

43

n

n

可得：an1類型三累乘法知：數,且nf.給遞推公式f次取1,2,3，……，n-1,可得到下面個式子：aa2f,faa1

a,4fa3

,

a,fan

a利用公24a3

,an可得：afn1類型四構造法：形如a

n

an

n

n,q為常數）的遞推數列都可以n第11頁共頁nqqpannnq11nnqqpannnq11n高中數學學案用待定系數法轉化為公為的等比數列后，再a。n①

n

解法：把原遞推公式轉化為：an

pa，其中

q1p

，再利用換元法轉化為等比數列求解。②

n

n

n

解法：該類型較要復雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除

n

apa1，得：n引入輔助數列b（其bqnq

nn

p得：b再應

n

方法解決。n類型五倒數法知：數,n.1qana

n

1r1r1nrapapaapnnnb

11r,則，apnrpbn

qq=，即數列pp

為公差的等差數列prp

r（轉換成類型四①）.五、數常用求和方第一類公式法利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法。1、等差數列的項和公式na)(nd1n22、等比數列的項和公式(n)aq(11n3、常用幾個數列的求和公式（1

n(n第12頁共頁1bn1bn高中數學學案（2

2

16

n(nn（33n(n2第二類乘公比錯項減（等比）

這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列a{}{}的前n項和，其{}{}分別是等差數列和比數列。nnn例：求數{n}(q常數)的前n項和。解：Ⅰ、q=0，=0Ⅱ、若q=1，Ⅲ、若q≠0≠，

n則qq

①qSq2q

②①式—②式)31(11

2

3

n

n

)n

1(

nq

n

)1nqnS(11綜上所述Snnq

n(1)

nq(q且q第三類裂項相消法這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用。裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的通項分解（裂項）如：1、乘積形式，如：第13頁共頁nnnnnn高中數學學案（1annan

1n(nnn(2)11()n22nn111[n(n2n((2)

]（4a

n2(n111,則n(n(nn(nn(n

2、根式形式，如an

1nn

nn例：求數列解：由于：

111，，，…，，…的和S1n(1=(）nn

n則：n

1111(1)))32n111(1)2

314n2n第四類倒序相加法這是推導等差數列的和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序再把它與原數列相加，就可以得()。例：若函數)對任意x有f()(1)。12（1）af(0)f()f()(nnn結論；

)f(1)數{a}等差數列嗎？是證明你的（2）求數{

1a

}的的項。n12解ff()f()f(nn

)f(1)倒序相加）(n

n1)()f)nn1n2n1nnnn第14頁共頁nn高中數學學案則，由條件：對任意x有f()(1。22na

a

從而：數{}a2,的等差數列。1（2

1an

n

111(nnT=n

11234（2)11111nT=2334故T=n

n2第五類分組求和法等差+等比）有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可。1例：求數列{+nn

}的n項S

n解：a

1n(n

b

(a)a)n1223naan1313nn

111)2

2

n

)n

1n

)

2

n

)2n

①①式—②式T2

②

222)第15頁共頁nnnnnn高中數學學案

1n1

)Tn故：Sn

11)nn2nnn

n第六類拆項求和法在這類方法中我們先研究通項通項可以分解成幾個等差或等比數列的和或差的形式，再代入公式求和。例：求數列9，99，999，…的前n項和

n分析：此數列也既不是等差數列也不是等比數列啟發學生先歸納出通項公式a可轉化為一個等比數列與一個常數列。分別求和后再相加。解：由于a

則：99999S

(10

(10

(10

)S

10n1

S

109

1例8S=12482n1解：由于an2n211則S=(1)差+等比，利用公式求和）2821=(2

1(1)21

)11=(n)22

n第16頁共頁aaaaaaaa高中數學學案第三章不等一．不式的性質：同向不等式可相加；向不等式可相減：若d，則ab（若a,cd，異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；．左右同不等式：同的不等可以相乘，但不相除異向不等可以相，但不a能相乘：a則acbd（a0,0則c3．左右同不等式：兩可以同乘方或開方：a，

n

n

或

n

11114．則；，a，則。abab例（1）對于實數,,c中，給出下列命題：若aba2；ac2,；122；若則；若b則；則ab；若ca則

abcc

1；若,，ab。b其中正確的命題是______（答：②③⑥⑦⑧（2）已知x，xy，3x的值范圍是______（答：x二．不式大小比較常用方：．作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；．作商（常用于分數指數冪的代數式．分析法；．平方法；．分子（或分母）有理化；．利用函數的單調性；．尋找中間量或放縮法；．圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。例（1）已a，m，試比較與的大小ababamm(答：aaa)(a)maam(a)a()從而得到結論，糖水加糖甜更甜。t（2）a且t0，比較t和log的大小tt（答：時，logtt取等號當0a時，logtlog2t取等號第17頁共頁xxx2a2xxx2a2高中數學學案（3）2，aq

，試比較的大小1（答：pqa

a

故（4）比較loglog2(0x的大小x4（答：當x或時log2log；1時log＜2log；當34x時，log2log3（5）比較與10的大小2（答：提示：

13

2(3

2

10)

2

）三．利用重要不等求函數值，你是否注意到正二定三相等，定積最，積定和最小”這17字方針。例）下列命題中正確的是1A、yx的最小值是2xB、y的最大值是2C、y(x0)的最大值34D、y(的最小值3x（答：C（2）y，

的最小值是______（答：提示

2y

21（3）正數,y滿足xy，則的最小值為______xy（答3四．常不等式有：（1）

ab(根據目標不等式左右的運算結構選用；b（2）a、、c

R，ab（當且僅a時，取等號（3）若m

，則

b（糖水的濃度問題a例如果正a

b

滿ab，

的取值范圍是_________（答：提示：ab,29,）五．證不等式的方：比較法、分析法、綜合法和放縮(比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與的大小，然后作出結論。).1常用的放縮技巧有：nnn第18頁共頁高中數學學案

1kkkk六、不式的解法1不等式的同原理：原理1不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得不等式與原不等式是同解不等式；原理2不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數或同一個大于零的整式，所得不等式與原不等式是同解不等式；原理3不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數或同一個小于零的整式，并把不等式改變方向后所得不等式與原不等式是同解不等式。2一元二次不式的解：一元二次不等式的解集的端點值是對應二次方程的根，是對應二次函數的圖像與x軸交點的橫坐標。二次函數（的圖象

）有兩相異實根

有兩相等實根無實根注意：（1）一元二次方x的兩根x是相應的不等ax20(0)的解集的端點的取值，是拋物線y(a0)與x軸的交點的橫坐標；（2）表中不等式的二次系數均為正，如果不等式的二次項系數為負，應先利用不等式的性質轉化為二次項系數為正的形式，然后討論解決；3分式ax20)解集。3、簡的一元高次等式的法：

0(0)與標根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中高次的系數正；（2）將每一個一次因式的根標在數軸上，從最大根的右上方依次通過每一第19頁共頁aa高中數學學案點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據曲線顯現(x)符號變化規律，寫出不等式的解集。例（1）解不等2)

。（2）解不等x

2

x2)(4)（3）解不等2)(2x(x04、分式不等式解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中高次項系數為正，最后用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。

ffx0;ggffx0;.g例解不等式

x

（答(5絕對值不等的解法：（1）分段討論法（最后結果應各段的集3例解不等x|42（2）利用絕對值的定義；例解不等式ax（3）數形結合；例解不等|x（4）兩邊平方：

（答：x（答ax（答((2,例若不等3x2對x恒成立，則實的取值范圍為______4（答{}）36、含參等式的法求解的通法定義域為前提函數增減性為基礎類討論是關鍵注意解完之后要寫上綜上，原不等式的解集是…注意：按參數討論，最后應按參數取值分別說明其解集；但若按未數討論，最后應求并例（1）log，的取值范圍是__________2（答03（2）解不等式

2

x(a)1（答{xx{或x0}時|0}xa提醒（）不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；（2不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值。第20頁共頁2min2min高中數學學案7指數、對數等式的法：（1）

ff

f（2）

logfgfalogfg1)0a七、基不等式1、基本不等式：ab，ab，當且僅，等號成立．2

稱為正ab的算術平均數，ab稱為正a的何平均數．變形應用：

ab

僅時等號成立．2、基本不等式推廣形式：a如,則≥≥≥，當且僅時，等號成立．21b3、基本不等式的應用：設、y都為正數，則有：⑴若y（和為定則x時，積xy

s2取得最大值．⑵若p（積為定則x時，和xy取得最小p．注意：在應用的時候，必須注意一正二三相等”三個條件同時成立。4、常用不等式：若a、R則a

2ab2ab；2

八、含對值不等式性質b號或有0aa

||aba

；b號或有0

a|ab|

||a|

.九、不式的恒成立能成立成立等問：不等式恒成立問題的常規處理式？（常應用函數方程思想和“分離變量法”轉化為最值問題，也可抓住所給不等式的結構特征，利用數形結合法）1).成立問若不等式fD恒成立,則等價于在區間D上若不等式fD恒成立,則等價于在區間D上例（）實數x,y滿y2，時的取值范圍是______（答：提示：設acos，xysincossin(

)第21頁共頁高中數學學案c2

（2）不等式對一切實數x

恒成立，求實數的取值范圍_____（答2).能成立題若在區間存在實數x不等式價于在區間上A若在區間存在實數x不等式立,則等價于在區間上的f.min例已知不等式x在實數集R上的解集不是空集，求實a的取值范圍___（答）3).恰成立題若不等式D恰成立,則等價于不等式D；若不等式fD上恰成立則等價于不等式D.十、簡的線性規劃題1、二元一次不等式表示平面區域:在平面直角坐標系