第六章數(shù)列第1講數(shù)列的看法與簡單表示法一、填空題1．已知數(shù)列，1，3，5，7，，2n－1，，則35是它的第_______項．剖析35＝45＝2×23－1.答案23．已知函數(shù)＝n2n≠0，n∈N*)的圖象在n－1＋1(n≥2，2yax(ax＝1處的切線斜率為2a∈*)，且當n＝時其圖象過點7的值為________．nN1(2,8)，則a剖析由題知y′＝2a，∴＝－＋1(n≥，∈*)，∴－an－＝1，又nnx2an2an12nNan12＝1時其圖象過點1×22＝，得1＝，∴n是首項為1(2,8)，∴a8a2{a}223等差數(shù)列，an＝2＋2，得a7＝5.答案53．已知數(shù)列n滿足1＝1，且an＝n(an＋1－an∈*)，則2＝________；an＝{a}a)(nNa________.剖析由an＝n＋1－n，可得an＋1n＋1，n(aa)annanaaa2nn－1n－22則n＝n－1n－2×××××1＝n，∴a2＝，·aaan－1n－2n－3121a＝n.n答案2；n4．數(shù)列n的通項n＝2n，則數(shù)列{an中的最大值是________．{a}an＋90}剖析由于an＝1，運用基本不等式得，1≤1，由于∈*，不9090290nNn＋nn＋n難發(fā)現(xiàn)當n＝9或10時，an＝1最大．19答案119．設函數(shù)f(x)3－ax－3x≤7，數(shù)列{an滿足n＝f(n)，n∈N*，且數(shù)列{an5ax6x>7，}a}是遞加數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是________．剖析∵數(shù)列{an是遞加數(shù)列，又n*)，}a＝f(n)(n∈N3－a>0，∴a>1，?2<a<3.f8>f7答案(2,3)．若Sn為數(shù)列{a的前n項和，且＝n，則1＝________.6n}Snn＋1a5剖析當n≥2時，an＝n－n－1＝n－n－1，因此1＝×＝SSn＋1nnn＋15630.a5答案307．數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2＋kn＋2，若對所有的n∈N*，都有an＋1＞an成立，則實數(shù)k的取值范圍是________．剖析an＋1＞n，即＋1)2＋＋＋＞2＋＋，則k＞－＋1)對所有a(nk(n1)2nkn2(2n的n∈N*都成立，而當n＝1時，－(2n＋1)獲取最大值－3，因此k＞－3.答案(－3，＋∞)8．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－1(n≥2)，則a16＝________.2an剖析由題可知a2＝－1＝－，3＝－1＝，4＝－1＝1，∴此數(shù)列是以1a1a1a2a1a212313為周期的周期數(shù)列，a16＝a3×5＋1＝a1＝2.答案

129．已知{an}的前n項和為Sn，且滿足log2(Sn＋1)＝n＋1，則an＝________.剖析由已知條件可得Sn＋1＝2n＋1.∴Sn＝2n＋1－1，當n＝1時，a1＝S1＝3，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，3n＝1，n＝1時不適合an，∴an＝n≥2.2n3n＝1答案n≥22n10．已知5×5數(shù)字方陣aa12a13a14a1511a21a22a23a24a251，j是i的整數(shù)倍，a31a32a33a34a35中，aij＝41a42a43a44a45－1，j不是i的整數(shù)倍，aaa52a53a54a555154則a3j＋ai4＝________.j＝2i＝2剖析由條件可知a32＝－1，a33＝1，a34＝－1，a35＝－1，a24＝1，a34＝－1，a44＝1，從而原式＝－1.答案－1二、解答題11．數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2－7n＋6.(1)這個數(shù)列的第4項是多少？(2)150可否是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？(3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)？解(1)當n＝4時，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是這個數(shù)列的第16項．(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．∴從第7項起各項都是正數(shù)．12．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)設bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．解(1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，∴{Sn－3n}是等比數(shù)列，因此，所求通項公式為bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.①nn－1*，n于是，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2n23n2＝2－12·－＋a－3，當n≥2時，an＋1≥an?12·3n－2＋a－3≥0?a≥－9.2又a2＝a1＋3>a1.綜上，所求的a的取值范圍是[－，＋∞．9)13．設數(shù)列{bn}滿足：b1＝1，bn＋1＝bn2＋bn，2(1)求證：1＝1－1；bb(2)若Tn＝111n,3Tn－log2m－5>0恒1＋1＋2＋1＋＋n＋1，對任意的正整數(shù)bbb成立．求m的取值范圍．解(1)∵b1＝1，bn＋1＝bn2＋bn＝bn(bn＋1)，2∴對任意的n∈N*，bn>0.∴1＝1＝1－1，即1＝1－1.n＋1nn＋1bnn＋1n＋1bnbn＋1bbbbbn＝1－11－11－111＝2－1＋＋＋＝－.b1b2b2b3bnbn＋1b1bbn＋1n＋1∵bn＋1－bn＝b2n>0，∴bn＋1>bn，∴數(shù)列{bn}是單調遞加數(shù)列．∴數(shù)列{Tn關于n遞加．∴n≥T1}T.∵b1＝1，∴b2＝b11＋1)＝3∴1＝2－1＝22(b4.Tb23.2∴Tn≥3.∵3Tn－log2m－5>0恒成立．1log2m<－3，∴0<m<8.n＋1an14．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝，且a1＝1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)令bn＝lnan，可否存在k(k≥2，且k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比數(shù)列．若存在，求出所有吻合條件的k值；若不存在，請說明原由．n＋1annan－1nan－1(1)法一當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝a解2－2，即n＝－n1anaa*1n(n≥2)．因此n是首項為1＝1的常數(shù)數(shù)列，因此n＝1，即an＝n(n∈N)．法二同上，得(n－1)an＝nan－1.同理得nan＋1＝(n＋1)an，因此2nan＝n(an－1＋an＋1)，即2an＝an－1＋an＋1，因此{an}成等差數(shù)列．又由a1＝1，得a2＝S2－a1，得a2＝2，得an＝1＋(n－1)＝n(n∈N*)．a(chǎn)nn法三同上，得＝(n≥2)，因此an＝anan－1an－2a3a21＝nn－1321＝1，·n－1n－2n－3····a····1＝n，當n＝1時aa2a1－－221aaan1n也滿足an＝n，因此an＝n(n∈N*)．(2)假設存在k(k≥2，k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比