平面的法向量學習目標1．理解平面的法向量的概念，會求平面的法向量．2．會用平面的法向量證明平面與平面平行、垂直．重點難點平面的法向量的求法．知識鏈接1．平面的法向量：已知平面α，如果________________________，則向量n叫做平面α的法向量或說向量n與平面α正交．2．設n1，n2分別是平面α、β的法向量，則α∥β或α與β重合?________________.α⊥β?________?__________.學習過程一、課內探究探究點一平面的法向量問題1平面的法向量有何作用？是否唯一．探究點二根據下列條件，判斷相應的直線與平面、平面與平面的位置關系．(1)直線l的方向向量、平面α的法向量分別是a＝(3,2,1)，n＝(－1,2，－1)；(2)平面α、β的法向量分別是n1＝(1,3,0)，n2＝(－3，－9,0)；(3)平面α、β的法向量分別是n1＝(1，－3，－1)，n2＝(8,2,2)．二、典例剖析例1已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一個法向量．跟蹤訓練1已知平面α經過三點A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，試求平面α的一個法向量．例2.在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分別是AC、AD的中點，求證：平面BEF⊥平面ABC.跟蹤訓練2已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是BB1、DD1的中點，求證：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1三、小結反思在證明過程中，體會向量法與幾何法證明的不同之處．從不同的角度闡明數學證明的原理，培養我們善于探索、獨立思考、集體交流的好習慣.四、當堂檢測1．若平面α、β的法向量分別為u＝(2，－3,5)，v＝(－3，1，－4)，則()A．α∥β B．α⊥βC．α、β相交但不垂直 D．以上均不正確2．若直線l的一個方向向量為a＝(2,5,7)，平面α的一個法向量為u＝(1,1，－1)，則()A．l∥α B．l⊥αC．l?α D．A、C都有可能3．已知平面α內有一個點A(2，－1,2)，α的一個法向量為n＝(3,1,2)，則下列點P中，在平面α內的是()A．(1，－1,1) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3，\f(3,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－3，\f(3,2))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3，－\f(3,2)))4．若n1，n2分別是平面α，β的法向量，且α⊥β，n1＝(1,2，x)，n2＝(x，x＋1，x)，則x的值為 ()A．1或2 B．－1或－2C．－1 D．－25．設平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k等于()A．2B．－4C．4D．－26．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，則平面ABC的一個單位法向量是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))7．已知平面α和平面β的法向量分別為a＝(1,1,2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，則x＝________.五、課后鞏固1．下列命題中：①若u，v分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?u·v＝0；②若u是平面α的法向量且向量a與α共面，則u·a＝0；③若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直．正確的命題序號是________．2．已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．對于結論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；其中正確的是________．(填序號)3．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F分別是棱AB，BC的中點，試在棱BB1上找一點M，使得D1M⊥平面EFB4.如圖所示，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點．求證：平面DEA⊥平面ECA.5.如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AD＝eq\f(2\r(3),3)AB，E是PC的中點．證明：PD⊥平面ABE.