同角關系及誘導公式一、同角三角函數基本關系式1.倒數關系2.商數關系3.平方關系tan·cot=1sin2+cos2=1tan=cot=sincoscossin二、誘導公式奇變偶不變,符號看象限.3.本質通過不相等的兩個角的同名三角函數或兩個互為余函數的三角函數值相等或互為相反數,

反映了三角函數的周期性及各種對稱性.1.定義2.口訣用自變量

的三角函數表示自變量為(kZ)的三角函數的公式叫誘導公式.2k1.已知

cot(-)=2,求

sin(

+)的值.32解:

∵cot(-)=2,又

cot(-)=-cot,∴cot=-2.∴

是第二或第四象限角,且

tan=-.12∴cos2==.1+tan2

145又

sin(

+)=-cos,32255,

是第二象限角,255,

是第四象限角.-∴sin(

+)=

32∴cos=255,

是第四象限角.255,

是第二象限角,-典型例題2.已知

cot=m(m0),求

cos.

解:

∵cot=m(m0),∴角

的終邊不在坐標軸上.若

是第一或第二象限角,則

csc=

1+cot2

=

1+m2.∴sin=csc11+m21=.∴cos=sincot=

.m1+m21+m2若

是第三或第四象限角,則

csc=-

1+cot2

=-

1+m2.∴sin=csc11+m21=-.∴cos=sincot=-.m1+m21+m23.已知

sin+cos=(0<<),求

tan

的值.23解法1將已知等式兩邊平方得

sincos=-

<0,187∵0<<,∴sin>0.∴由

sincos<0

知

cos<0.∴sin-cos=(sin-cos)2=

1-2sincos

=.43sin+cos=,sin-cos=,4323解方程組得sin=,cos=.2

+462

-46∴tan==

.sincos-9-4

27解法2將已知等式兩邊平方得

sincos=-

<0,187∵0<<,∴sin>0.∴由

sincos<0

知

cos<0.∴tan==

.sincos-9-4

27∴sin,cos

是方程

x2-x-=0

的根,且

cos

為小根.

18723∴cos=,sin=.2

+462

-463.已知

sin+cos=(0<<),求

tan

的值.23解法3由已知

sin,

,cos

成等差數列,設其公差為

d,則26∴sin=

-d,26cos=

+d.26∴由

sin2+cos2=1得:(

-d)2+(

+d)2=1.2626解得

d=-或.2323∴tan==

.sincos-9-4

27∴cos=,sin=.2

+462

-46當

d=

時,sin

=

<0,與

0<<

時

sin>0矛盾,232

-46∴d=-.233.已知

sin+cos=(0<<),求

tan

的值.234.已知

f()=

.(1)化簡

f();sin(-)cos(2-)tan(-+

)32cot(--)sin(--)(2)若

是第三象限角,且

cos(-)=,求

f()

的值;3215(3)若

=-

,求

f()

的值;331解:(1)f()=sincoscot

-cotsin

=-cos;(2)∵cos(-)=-sin,32∴由已知可得

sin=-.15∵

是第三象限角,∴cos<0.∴cos=-

1-sin2

=-256.256∴f()=-cos=.(3)∵

=-

=-62+

,33153∴f(-

)=-cos(-

)33133153=-cos(-62+

)=-cos

53=-cos=-.123

5.已知

0<<

,tan

+cot

=

,求sin(-

)的值.522

2

2

3

解:

∵tan

+cot

=

,2

2

sin

2∴由已知可得

sin=

.45∵0<<

,2

cos=

1-sin235∴=

.∴sin(-

)=sincos

-cossin3

3

3

=

×-×12354532=(4-33

).1016.已知

為銳角,且

tan=

,求的值.sin2cos-sin

sin2cos212解:

∵tan=

,12又∵

為銳角,1+tan2

1∴cos2==

.45∴cos=

.52∴原式=2sincos2-sin

2sincoscos2

sincos2

2sincoscos2

=1

2cos

==.547.已知

tan(-)=2,求:(1);(2)2sin(3+)cos(+)+sin(-)sin(-).4cos2-3sin2+1sin2-2sincos-cos2

3252解:(1)∵tan(-)=2,又

tan(-)=-tan,∴tan=-2.∴原式=

5cos2-2sin2

sin2-2sincos-cos2

1+tan2

2tan2-tan

=5-2tan2

tan2-2tan-1==-.73(2)由(1)知tan=-2,∴原式=2(-sin)(-sin)+(-cos)sin

=2sin2-sincos

=cos2(2tan2-tan)=2.8.角

的終邊上的點

P

與

A(a,

b)

關于

x

軸對稱(a0,

b0),角

的終邊上的點

Q

與

A

點關于直線

y=x

對稱,求

sinsec+tan

?cot+seccsc

的值.解法1依題意

P(a,-b),Q(b,a),設

r=

a2+b2,則:sin=-,sec=

,tan=-,cot=

,sec=,csc=.brrbbabarara∴原式=-

+(-)

+brrbbabarara=-1-

+=0.a2+b2a2b2a2解法2依題意

-=2k+

(kZ),即

=2k+

+.2

2

∴原式=sin+tancot(2k+

+)+

cos(2k+

+)2

12

cos

1sin(2k+

+)2

1=sin+tan(-tan)+-sin

1cos

1cos

1=-1-tan2+sec2

=0.課后練習1.已知

sin+sin2=1,求

cos2+cos4的值.解:由

sin+sin2=1

得sin=1-sin2=cos2.∴cos2+cos4=sin+sin2=1.2.已知

cos=(m≤-1),求

sin,cot.

m2+12m

解:由已知

cos<0,

∴角

的終邊在第二或第三象限或為

x

軸的非正半軸.當角

的終邊在第二象限或為

x

軸的非正半軸時,sin=

1-cos2=

,m2+1m2-12m

tan==.sincosm2-1當角

的終邊在第三象限時,sin=-

1-cos2=

,1+m21-m22m

tan==.sincos1-m2已知cotx=m,x(2k-,2k)(kZ),求cosx的值.tan==.∴sin(cos)<0,cos(sin)>0.解得d=-或.=-1-tan2+sec2∴sin,cos是方程x2-x-=0的根,且cos為小根.tan==.∴sec(+)=-∴由sincos<0知cos<0.已知tan(-)=2,求:(1);=sin45ocos60o+cos45osin60o∴cos=sincot=-.∵0<<,∴sin>0.∴cos=,sin=.∴()2=1+2.sin2+cos2=13.設

sin,cos

是方程

2x2-(

3

+1)x+m=0

的兩根,求:(1)

+及

m

的值;(2)方程兩根

sin,cos

及此時

的值.1-cot

sin1-tan

cos解:(1)由已知

sin+cos=

,sincos=.

3

+122m1-cot

sin1-tan

cos∴

+=+1-

sin1-

coscossinsincos=cos-sin

cos2-sin2

=+cos-sin

cos2

sin-cos

sin2

=sin+cos=

.

3

+12∵(sin+cos)2=1+2sincos,2m∴()2=1+2

.

3

+12解得

m=.32解:(2)由(1)知原方程為

2x2-(

3

+1)x+

=0.

32∴

=2k+或

=2k+(kZ).3

6

3.設

sin,cos

是方程

2x2-(

3

+1)x+m=0

的兩根,求:(1)

+及

m

的值;(2)方程兩根

sin,cos

及此時

的值.1-cot

sin1-tan

cos解得

x1=

,x2=.1232sin=

,cos=,12sin=,cos=,12∴或3232∴由sincos<0知cos<0.且tan=-.(1)+及m的值;(2)方程兩根sin,cos及此時的值.∴=.∴角的終邊在第二或第三象限或為x軸的非正半軸.∴sec(+)=-奇變偶不變,符號看象限.∴cos=,sin=.∴由sin2+cos2=1得:(-d)2+(+d)2=1.csc=-1+cot2∴sin與cos異號.cos2-sin2∴-<cos<0,0<sin<.解:∵=sinA+cosA=2sin(A+45o),∴|cos|=-cos.5.已知

tan(-)=a2,|cos(-)|=-cos,求

sec(+)

的值;4.已知

cos(-)=a(|a|≤1),求

cos(

+)+sin(-)

的值;566

23解:

∵cos(-)=a(|a|≤1),6

∴cos(

+)=cos[-(-)]566

=-cos(-)=-a,6

=cos(-)=a,6

sin(

-)=sin[

+(-)]236

2

∴cos(

+)+sin(-)5623=-a+a=0.解:∵tan(-)=a2,又

tan(-)=-tan,∴tan=-a2.∵|cos(-)|=-cos,又

|cos(-)|=|cos|,∴|cos|=-cos.∴cos<0.∴sec(+)=-

cos1=

1+tan2

=

1+a4.6.若

+

=0,試判斷

cos(sin)sin(cos)

的符號;1-cos2

sin

1-sin2

cos|cos|sin

|sin|cos解:

由已知+

=0,∴sin

與

cos

異號.∴

是第二或第四象限角.當

是第二象限角時,-1<cos<0,0<sin<1.∴sin(cos)<0,cos(sin)>0.∴cos(sin)sin(cos)<0.故

cos(sin)sin(cos)

的符號為“

-

”號.當

是第四象限角時,同理可得

cos(sin)sin(cos)>0.故

cos(sin)sin(cos)

的符號為“

+

”號.∵-<-1,1<,2

2

∴-<cos<0,0<sin<.2

2

解:

∵

是第二象限角,7.已知

sin=

,cos=,若

是第二象限角,求實數

a

的值.1+a

3a-11+a

1-a

∴0<sin<1,-1<cos<0.

1+a

3a-11+a

1-a

0<<1,-1<<0,∴解得

0<a<.13又

sin2+cos2=1,

1+a

3a-11+a

1-a

∴()2+()2=1.整理得

9a2-10a+1=0.解得

a=

或

a=1(舍去).19故實數

a

的值為.198.在

△ABC

中,sinA+cosA=

,AC=2,AB=3,求

tanA

的值和

△ABC

的面積.22解:

∵

=sinA+cosA=2

sin(A+45o),22∴sin(A+45