波函數和算符1第一頁，共23頁。上講內容(nèiróng)：德布羅意公式不確定(quèdìng)關系2第二頁，共23頁。求解(qiújiě)問題的思路：一般,t時刻,到達空間r(x,y,z)處附近某體積dV內的粒子數微觀粒子的基本屬性不能用經典語言確切地表達，建立關于振幅函數(x)的方程——振幅方程德布羅意、薛定諤：波動力學理論3)建立包含粒子性特征量的概率波波動方程——薛定諤方程。I大電子到達該處概率大I大處到達光子數多一維定態薛定諤方程(fāngchéng)由于受不確定關系約束(yuēshù)，需突破經典描述方法：同理可得動量的其它(qítā)兩個分量算符為：t時刻，出現在空間(x,y,z)點附近單位體積內的粒子數與總粒子數之比。亦即，微觀粒子的力學量只能用算符表示。非自由粒子，能量=動能+勢能I=0電子到達該處概率為零這是建立在基本假設之上的構造性理論，其正確性由實踐檢驗。微觀粒子的基本屬性不能用經典語言確切地表達，“波粒二象性”——借用經典語言進行互補性描述。對微觀客體(kètǐ)的數學描述可以脫離日常生活經驗，避免借用經典語言引起的表觀矛盾。量子力學在“波粒二象性”概念基礎上，建立了包含一套計算(jìsuàn)規則及對數學程式的物理解釋。這是建立在基本假設之上的構造性理論，其正確性由實踐檢驗。第三節波動性和粒子(lìzǐ)性量子力學德布羅意、薛定諤：波動力學理論海森堡、約當：矩陣力學理論3第三頁，共23頁。一、波動性經典理論(lǐlùn)：波動即是振動狀態在空間的傳播波動方程：波動方程表示了如下特征：

1)描述波動的特征量為波長、頻率、波速。

2)波動滿足疊加原理，即如果1、2是方程的解，其線性組合C11+C22也是方程的解。

3)邊界條件約束下得到相應的方程解，對應于各自的運動狀態，駐波對應于定態。

4)平面單色波的解表示波在x從-∞到+∞傳播的行波特征。4第四頁，共23頁。二、粒子(lìzǐ)性經典力學表示的粒子具有如下特征：1)描述粒子運動的基本(jīběn)物理量是質量、大小、位置、速度、能量、動量。2)粒子整體運動遵從牛頓定律。三、微觀粒子波粒二象性的描述由于受不確定關系約束(yuēshù)，需突破經典描述方法：1)“波長、頻率”作為描述波動性的特征量。2)“能量、動量”作為描述粒子性的特征量。

3)建立包含粒子性特征量的概率波波動方程——薛定諤方程。5第五頁，共23頁。量子力學用波函數描述微觀粒子的運動狀態，波函數所遵從的方程——薛定諤方程是量子力學的基本(jīběn)方程。波函數和薛定諤方程都是量子力學的基本(jīběn)假設。第六章波函數和薛定諤方程(fāngchéng)第一節波函數與算符一、微觀粒子的運動狀態描述----波函數波函數：描述微觀客體的運動狀態，是概率波的數學表達形式。一般表示為復指數函數形式6第六頁，共23頁。例：一維自由粒子的波函數經典描述(miáoshù)：沿x軸勻速直線運動量子描述：類比：單色平面波一定沿直線傳播自由粒子：不受任何(rènhé)其它勢場或粒子的作用以坐標原點為參考點，7第七頁，共23頁。（取實部）推廣：三維自由粒子波函數意義：波函數確定了微觀粒子運動的全部力學性質。8第八頁，共23頁。二、力學(lìxué)量的確定由于(yóuyú)波粒二象性，微觀粒子的能量和動量只能通過相應的算符作用于波函數得到。自由粒子動量將波函數對x求偏導數，再乘以–i?，則有將波函數對t求偏導數，再乘以i?，則有可見E、px對應著算符作用于波函數，相應的算符為：9第九頁，共23頁。同理可得動量的其它(qítā)兩個分量算符為：可以推知自由粒子的非相對論動能算符為：其中為拉普拉斯算符用算符表示力學量：力學量與其相應(xiāngyīng)的算符對應亦即，微觀粒子的力學量只能用算符表示。這是微觀粒子波粒二象性的結果。非自由粒子，能量=動能+勢能對應算符即哈密頓算符10第十頁，共23頁。光柵衍射電子衍射類比第二節波函數的統計(tǒngjì)解釋經典物理中波函數具有描述空間(kōngjiān)振動狀態的確切意義對于微觀客體，其狀態由波函數完全確定。問題：波函數有什么樣的物理意義？11第十一頁，共23頁。I大處到達光子數多I小處到達光子數少I=0無光子到達各光子起點、終點、路徑均不確定用I對屏上光子數分布作概率性描述各電子起點、終點、路徑均不確定對屏上電子數分布作概率性描述I大電子到達該處概率大I=0電子到達該處概率為零I小電子到達該處概率小光柵衍射電子衍射12第十二頁，共23頁。

t時刻，出現在空間(x,y,z)點附近單位體積內的粒子數與總粒子數之比。

t時刻，粒子出現在空間(x,y,z)點附近單位體積內的概率。

t

時刻，粒子在空間的概率密度分布。一般,t時刻,到達空間r(x,y,z)處附近某體積dV內的粒子數的物理意義：13第十三頁，共23頁。物質波的波函數不描述介質中運動狀態(相位)傳播(chuánbō)的過程

概率密度，描述粒子在空間的統計分布概率幅注意干涉項14第十四頁，共23頁。4.波函數的歸一化條件(tiáojiàn)和標準條件(tiáojiàn)粒子在整個空間出現的概率為1

歸一化條件對微觀客體的量子力學描述：脫離日常生活經驗，避免借用經典語言引起的表觀矛盾(máodùn)，將波粒二象性統一到一起。

標準條件15第十五頁，共23頁。第三節薛定諤方程(fāngchéng)是量子力學的基本假設之一，其正確性由實驗檢驗。一、薛定諤方程一維自由(zìyóu)粒子的薛定諤方程由經典波動方程設微觀粒子波函數滿足代入上式得16第十六頁，共23頁。薛定諤方程對于質量為m的自由粒子，三維自由粒子薛定諤方程

三維粒子薛定諤方程——存在勢場17第十七頁，共23頁。式中，振幅函數與駐波類比1.一維自由粒子的定態薛定諤方程二、定態薛定諤方程(fāngchéng)定態：勢函數不隨時間(shíjiān)變化18第十八頁，共23頁。要求波函數(x,t)的模方，只需求振幅函數(x)的模方。建立關于振幅函數

(x)的方程——振幅方程*振幅函數19第十九頁，共23頁。非相對論考慮自由粒子：勢函數*代入得即一維自由粒子的振幅方程20第二十頁，共23頁。一維定態薛定諤方程(fāngchéng)粒子在力場中運動，且勢能不隨時間變化即一維定態薛定諤方程得*代入21第二十一頁，共23頁。2.三維定態薛定諤方程(fāngchéng)拉普拉斯算符即三維定態薛定諤方程振幅函數22第二十二頁，共23頁。求解(