空間向量專題一：求角求異面直線所成的角分別在直線上取兩個定向量則異面直線所成的角等于向量所成的角或其補角，則特殊情形：,即異面直線a垂直于b。【例1】如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，求異面直線AC與BC1NNB1AA1DBCC1D1M【例2】已知：正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為AA1，BB1求CM和D1N所成角的余弦值。【例3】已知長方體直線與平面所成的角為，垂直于，為的中點.（Ⅰ）求異面直線與所成的角；（II）求平面與平面所成的二面角；分析：在長方體中，以A為原點以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標系。由已知可得。又平面，從而與平面所成的角為，又，，，從而易得則，再利用向量定義式求異面直線的夾角。二、求直線與平面所成的角特殊情形：當，則直線a與平面垂直。一般情形：在直線上取定（或與直線Ｌ共線的），求平面的法向量（如圖所示），再求則注：，且【例4】如圖，在三棱椎P-ABC中，平面ABC，D，E，F分別是棱AB、BC、CP的中點，AB=AC=1，PA=2，（Ⅰ）求直線PA與平面DEF所成角的正弦值；解：（Ⅰ）以A為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系易知：A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），，，設是平面DEF的一個法向量，則即，取x=1,則，設PA與平面DEF所成的角為，則評注：求線面角關鍵在于：找到平面的一個法向量，法向量與直線所在的向量夾角的互余的角，即為所求的角。PPCABD【例5】如圖,在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PA⊥底面ABCD，二面角P-BC-A等于45°。（Ⅰ）求的值（Ⅱ）求PD與截面PAC所成的角大小求二面角的大小方法1：轉化為分別是在二面角的兩個半平面內且與棱都垂直的兩條直線上的兩個向量的夾角（注意：要特別關注兩個向量的方向）．例題略方法2：先求出二面角一個面內一點到另一個面的距離及到棱的距離，然后通過解直角三角形求角．例題略方法3：（法向量法）構造二面角的兩個半平面的法向量（都取向上的方向，如圖所示）1）若二面角是“鈍角型”的如圖甲所示，那么其大小等于兩法向量的夾角的補角，圖甲即圖甲2）若二面角是“銳角型”如圖乙所示，那么其大小等于兩法向量的夾角圖乙即圖乙【例6】如圖，在正三棱柱A1B1C1—ABC中，D，E分別是棱BC、的中點，（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求二面角的大小；解：（Ⅱ）由圖易知：，，設是平面的一個法向量，則，令則，，設是平面一個法向量，則，令則設二面角為，則【例7】在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點。（Ⅰ）證明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；分析：本題若想利用向量的方法解答，首先要先建立適當的直角坐標系，而所給的圖形沒有現成的垂直關系，但考慮到正三角形自身的對稱性，不妨取AC中點O，連結OS、OB.這樣就可以建立如圖所示空間直角坐標系O-xyz.要想證明AC⊥SB，只須證明·=0，由已知不難推得證明：（Ⅰ）A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).∴=（-4，0，0），=（0，2，2），則·=（-4，0，0）·（0，2，2）=0由此命題得證證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（-1，0，）.設=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，有：·=3x+y=0，取z=1，則x=，y=-，·=-x+z=0，∴=(，-，1)，又=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量，∴cos(，)==.∴二面角N-CM-B的大小為arccos.評注：1）應用空間向量法解此類題避開了找二面角的平面角及復雜的邏輯推理，只須求出兩個半平面的兩個法向量，應用向量內積即可求二面角。所以求二面角的關鍵在于找到兩個半平面各自的一個法向量，在利用公式即可。2）大多數情況下，兩個半平面的兩個法向量一個是顯向量，一個是隱向量。顯向量可直接寫結果，而隱向量需要求。3）如果能用常規法較容易求出二面角的平面角，則用常規法求解。三．如何建立空間直角坐標系就如何建立空間直角坐標系，我們再來看2005年某地高考模擬試題的立幾問題。【例】在三棱錐中，是邊長為4的等邊三角形。平面平面，為的中點（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值；（Ⅲ）求點到平面的距離。解：（Ⅰ）易知是，以為原點，建立如圖空間直角坐標系，則……【例】如圖，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求證AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；（Ⅲ）求點D到平面ACE的距離.分析：以線段AB的中點為原點O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過O點平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標系O—xyz，如圖.評注：建系原則：1）直接運用現有的垂直關系建系，如正方體、長方體、直棱柱等。2）利用幾何體本身的對稱關系建系，如等腰三角形、菱形對角線、正棱錐等。3）利用題中的已知條件建系，如點在平面內的射影在某條直線上。4）若沒有以上三種關系，則選擇已知直線為坐標軸，某些直線的公共點為坐標原點建立適當的空間直角坐標系。總之：一定要選取適當的坐標原點及坐標軸，使得數值計算更簡潔，有利于提高解題效率。四、那些題目比較適合用空間向量解【例】如圖,在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中,點E在PD上,且PE:ED=2:1.(Ⅰ)證明PA⊥平面ABCD;(Ⅱ)求以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角θ的大小:(Ⅲ)在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC?證明你的結論.證明：如圖，以A為坐標原點,直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點垂