Proceedingsofthe1998IEEEInternationalConferenceonRobotics&AutomationLeuven,ApracticalapproachtofeedbackcontrolforamobilerobotwithtrailerF.LamirauxandJ.P.LaumondLAAS-CNRSToulouseAbstractThispaperpresentsarobustmethodtocontrolamobilerobottowingatrailer.Bothproblemsoftrajectorytrackingandsteeringtoagivenconfigurationareaddressed.Thissecondissueissolvedbyaniterativetrajectorytracking.Perturbationsaretakenintoaccountalongthemotions.ExperimentalresultsonthemobilerobotHilareillustratethevalidityofourapproach.1IntroductionMotioncontrolfornonholonomicsystemshavegivenrisetoalotofworkforthepast8years.Brockett’scondition[2]madestabilizationaboutagivenconfigurationachallengingtaskforsuchsystems,provingthatitcouldnotbeperformedbyasimplecontinuousstatefeedback.Alternativesolutionsastime-varyingfeedback[l0,4,11,13,14,15,18]ordiscontinuousfeedback[3]havebeenthenproposed.See[5]forasurveyinmobilerobotmotioncontrol.Ontheotherhand,trackingatrajectoryforanonholonomicsystemdoesnotmeetBrockett’sconditionandthusitisaneasiertask.Alotofworkhavealsoaddressedthisproblem[6,7,8,12,16]fortheparticularcaseofmobilerobots.Allthesecontrollawsworkunderthesameassumption:theevolutionofthesystemisexactlyknownandnoperturbationmakesthesystemdeviatefromitstrajectory.Fewpapersdealingwithmobilerobotscontroltakeintoaccountperturbationsinthekinematicsequations.[l]howeverproposedamethodtostabilizeacaraboutaconfiguration,robusttocontrolvectorfieldsperturbations,andbasedoniterativetrajectorytracking.Thepresenceofobstaclemakesthetaskofreachingaconfigurationevenmoredifficultandrequireapathplanningtaskbeforeexecutinganymotion.Inthispaper,weproposearobustschemebasedoniterativetrajectorytracking,toleadarobottowingatrailertoaconfiguration.Thetrajectoriesarecomputedbyamotionplannerdescribedin[17]andthusavoidobstaclesthataregivenininput.Inthefollowing.Wewon’tgiveanydevelopmentaboutthisplanner,werefertothisreferencefordetails.Moreover,weassumethattheexecutionofagiventrajectoryissubmittedtoperturbations.Themodelwechosefortheseperturbationsisverysimpleandverygeneral.Itpresentssomecommonpointswith[l].Thepaperisorganizedasfollows.Section2describesourexperimentalsystemHilareanditstrailer:twohookingsystemswillbeconsidered(Figure1).Section3dealswiththecontrolschemeandtheanalysisofstabilityandrobustness.InSection4,wepresentexperimentalresults.2DescriptionofthesystemHilareisatwodrivingwheelmobilerobot.Atrailerishitchedonthisrobot,definingtwodifferentsystemsdependingonthehookingdevice:onsystemA,thetrailerishitchedabovethewheelaxisoftherobot(Figure1,top),whereasonsystemB,itishitchedbehindthisaxis(Figurel,bottom).AistheparticularcaseofB,forwhich=0.Thissystemishoweversingularfromacontrolpointofviewandrequiresmorecomplexcomputations.Forthisreason,wedealseparatelywithbothhookingsystems.Twomotorsenabletocontrolthelinearandangularvelocities（，)oftherobot.Thesevelocitiesaremoreovermeasuredbyodometricsensors,whereastheanglebetweentherobotandthetrailerisgivenbyanopticalencoder.Thepositionandorientation（,,）oftherobotarecomputedbyintegratingtheformervelocities.Withthesenotations,thecontrolsystemofBis:（1）Figure1:Hilarewithitstrailer3Globalcontrolscheme3.1MotivationWhenconsideringrealsystems,onehastotakeintoaccountperturbationsduringmotionexecution.Thesemayhavemanyoriginsasimperfectionofthemotors,slippageofthewheels,inertiaeffects...Theseperturbationscanbemodeledbyaddingaterminthecontrolsystem(l),leadingtoanewsystemoftheformwheremaybeeitherdeterministicorarandomvariable.Inthefirstcase,theperturbationisonlyduetoabadknowledgeofthesystemevolution,whereasinthesecondcase,itcomesfromarandombehaviorofthesystem.Wewillseelaterthatthissecondmodelisabetterfitforourexperimentalsystem.Tosteerarobotfromastartconfigurationtoagoal,manyworksconsiderthattheperturbationisonlytheinitialdistancebetweentherobotandthegoal,butthattheevolutionofthesystemisperfectlyknown.Tosolvetheproblem,theydesignaninputasafunctionofthestateandtimethatmakesthegoalanasymptoticallystableequilibriumoftheclosedloopsystem.Now,ifweintroducethepreviouslydefinedterminthisclosedloopsystem,wedon'tknowwhatwillhappen.Wecanhoweverconjecturethatiftheperturbationissmallanddeterministic,theequilibriumpoint(ifthereisstillone)willbeclosetothegoal,andiftheperturbationisarandomvariable,theequilibriumpointwillbecomeanequilibriumsubset.Butwedon'tknowanythingaboutthepositionofthesenewequilibriumpointorsubset.Moreover,timevaryingmethodsarenotconvenientwhendealingwithobstacles.Theycanonlybeusedintheneighborhoodofthegoalandthisneighborhoodhastobeproperlydefinedtoensurecollision-freetrajectoriesoftheclosedloopsystem.Letusnoticethatdiscontinuousstatefeedbackcannotbeappliedinthecaseofrealrobots,becausediscontinuityinthevelocityleadstoinfiniteaccelerations.Themethodweproposetoreachagivenconfigurationtnthepresenceofobstaclesisthefollowing.Wefirstbuildacollisionfreepathbetweenthecurrentconfigurationandthegoalusingacollision-freemotionplannerdescribedin[17],thenweexecutethetrajectorywithasimpletrackingcontrollaw.Attheendofthemotion,therobotdoesneverreachexactlythegoalbecauseofthevariousperturbations,butaneighborhoodofthisgoal.Ifthereachedconfigurationistoofarfromthegoal,wecomputeanothertrajectorythatweexecuteaswehavedonefortheformerone.Wewillnowdescribeourtrajectorytrackingcontrollawandthengiverobustnessissuesaboutourglobaliterativescheme.3.2ThetrajectorytrackingcontrollawInthissection,wedealonlywithsystemA.ComputationsareeasierforsystemB(seeSection3.4).Figure2:TrackingcontrollawforasinglerobotAlotoftrackingcontrollawshavebeenproposedforwheeledmobilerobotswithouttrailer.Oneofthem[16],althoughverysimple,giveexcellentresults.Ifarethecoordinatesofthereferencerobotintheframeoftherealrobot(Figure2),andifaretheinputsofthereferencetrajectory,thiscontrollawhasthefollowingexpression: （2）Thekeyideaofourcontrollawisthefollowing:whentherobotgoesforward,thetrailerneednotbestabilized(seebelow).Soweapply(2)totherobot.Whenitgoesbackward,wedefineavirtualrobot(Figure3)whichissymmetricaltotherealonewithrespecttothewheelaxisofthetrailer:Then,whentherealrobotgoesbackward,thevirtualrobotgoesforwardandthevirtualsystemiskinematicallyequivalenttotherealone.Thusweapplythetrackingcontrollaw(2)tothevirtualrobot.Figure3:VirtualrobotAquestionarisesnow:isthetrailerreallyalwaysstablewhentherobotgoesforward?Thefollowingsectionwillanswerthisquestion.3.3StabilityanalysisofthetrailerWeconsiderherethecaseofaforwardmotion,thebackwardmotionbeingequivalentbythevirtualrobottransformation.Letusdenotebyareferencetrajectoryandbytherealmotionofthesystem.Weassumethattherobotfollowsexactlyitsreferencetrajectory:andwefocusourattentiononthetrailerdeviation.Theevolutionofthisdeviationiseasilydeducedfromsystem(1)with(SystemA):isthusdecreasingiff（3）Oursystemismoreoverconstrainedbytheinequalities（4）sothatand(3)isequivalentto（5）Figure4showsthedomainonwhichisdecreasingforagivenvalueof.Wecanseethatthisdomaincontainsallpositionsofthetrailerdefinedbythebounds(4).Moreover,thepreviouscomputationspermiteasilytoshowthat0isanasymptoticallystablevalueforthevariable.Thusiftherealorvirtualrobotfollowsitsreferenceforwardtrajectory,thetrailerisstableandwillconvergetowarditsownreferencetrajectory.Figure4:Stabilitydomainfor3.4VirtualrobotforsystemBWhenthetrailerishitchedbehindtherobot,theformerconstructionisevenmoresimple:wecanreplacethevirtualrobotbythetrailer.Inthiscaseindeed,thevelocitiesoftherobotandofthetrailerareconnectedbyaone-to-onemapping.Theconfigurationofthevirtualrobotisthengivenbythefollowingsystem:andthepreviousstabilityanalysiscanbeappliedaswell,byconsideringthemotionofthehitchingpoint.Thefollowingsectionaddressestherobustnessofouriterativescheme.3.5RobustnessoftheiterativeschemeWearenowgoingtoshowtherobustnessoftheiterativeschemewehavedescribedabove.Forthis,weneedtohaveamodeloftheperturbationsarisingwhentherobotmoves.[l]modeltheperturbationsbyabadknowledgeofconstantsofthesystem,leadingtodeterministicvariationsonthevectorfields.Inourexperimentweobservedrandomperturbationsdueforinstancetosomeplayinthehitchingsystem.Theseperturbationsareverydifficulttomodel.Forthisreason,wemakeonlytwosimplehypothesesaboutthem:wheresisthecurvilinearabscissaalongtheplannedpath,andarerespectivelytherealandreferenceconfigurations,isadistanceovertheconfigurationspaceofthesystemand,arepositiveconstants.Thefirstinequalitymeansthatthedistancebetweentherealandthereferenceconfigurationsisproportionaltothedistancecoveredontheplannedpath.Thesecondinequalityisensuredbythetrajectorytrackingcontrollawthatpreventsthesystemtogotoofarawayfromitsreferencetrajectory.Letuspointoutthatthesehypothesesareveryrealisticandfitalotofperturbationmodels.Weneednowtoknowthelengthofthepathsgeneratedateachiteration.Thesteeringmethodweusetocomputethesepathsverifiesatopologicalpropertyaccountingforsmall-timecontrollability[17].Thismeansthatifthegoalissufficientlyclosetothestartingconfiguration,thecomputedtrajectoryremainsinaneighborhoodofthestartingconfiguration.In[9]wegiveanestimateintermsofdistance:ifandaretwosufficientlycloseconfigurations,thelengthoftheplannedpathbetweenthemverifieswhereisapositiveconstant.Thus,ifisthesequenceofconfigurationsreachedafterimotions,wehavethefollowinginequalities:TheseinequalitiesensurethatdistCSisupperboundedbyasequenceofpositivenumbersdefinedbyandconvergingtowardafterenoughiterations.Thus,wedonotobtainasymptoticalstabilityofthegoalconfiguration,butthisresultensurestheexistenceofastabledomainaroundthisconfiguration.Thisresultessentiallycomesfromtheverygeneralmodelofperturbationswehavechosen.Letusrepeatthatincludingsuchaperturbationmodelinatimevaryingcontrollawwouldundoubtedlymakeitloseitsasymptoticalstability.Theexperimentalresultsofthefollowingsectionshowhowever,thattheconvergingdomainofourcontrolschemeisverysmall.

4ExperimentalresultsWepresentnowexperimentalresultsobtainedwithourrobotHilaretowingatrailer,forbothsystemsAandB.Figures5and6showexamplesoffirstpathscomputedbythemotionplannerbetweentheinitialFigure5:SystemA:theinitialandgoalconfigurationsandthefirstpathtobetrackedFigure6:SystemB:theinitialandgoalconfigurations,thefirstpathtobetrackedandthefinalmaneuverconfigurations(inblack)andthegoalconfigurations(ingrey),includingthelastcomputedmaneuverinthesecondcase.Thelengthsofbothhookingsystemisthefollowing:,cmforAandcm,cmforB.Tables1and2givethepositionofinitialandfinalconfigurationsandthegapsbetweenthegoalandthereachedconfigurationsafteronemotionandtwomotions,for3differentexperiments.Inbothcases,thefirstexperimentcorrespondstothefigure.Emptycolumnsmeanthattheprecisionreachedafterthefirstmotionwassufficientandthatnomoremotionwasperformed.CommentsandRemarks:Theresultsreportedinthetables1and2leadtotwomaincomments.First,theprecisionreachedbythesystemisverysatisfyingandsecondlythenumberofiterationsisverysmall(between1and2).Infact,theprecisiondependsalotonthevelocityofthedifferentmotions.Herethemaximallinearvelocityoftherobotwas50cm/s.5ConclusionWehavepresentedinthispaperamethodtosteerarobotwithonetrailerfromitsinitialconfigurationtoagoalgivenininputoftheproblem.Thismethodisbasedonaniterativeapproachcombiningopenloopandcloseloopcontrols.Ithasbeenshownrobustwithrespecttoalargerangeofperturbationmodels.Thisrobustnessmainlycomesfromthetopologicalpropertyofthesteeringmethodintroducedin[17].Evenifthemethoddoesnotmaketherobotconvergeexactlytothegoal,theprecisionreachedduringrealexperimentsisverysatisfying.Table1:SystemA:initialandfinalconfigurations,gapsbetweenthefirstandsecondreachedconfigurationsandthegoalTable2:SystemB:initialandfinalconfigurations,gapsbetweenthefirstandsecondreachedconfigurationsandthegoalReferences[1]M.K.BennanietP.Rouchon.Robuststabilizationofflatandchainedsystems.inEuropeanControlConference,1995.[2]R.W.Brockett.Asymptoticstabilityandfeedbackstabilization.inDifferentialGeometricControlTheory,R.W.Brockett,R.S.MillmanetH.H.SussmannEds,1983.[3]C.CanudasdeWit,O.J.Sordalen.Exponentialstabilizationofmobilerobotswithnonholonomicconstraints.IEEETransactionsonAutomaticControl,Vol.37,No.11,1992.[4]J.M.Coron.Globalasymptoticstabilizationforcontrollablesystemswithoutdrift.inMathematicsofControl,SignalsandSystems,Vol5,1992.[5]A.DeLuca,G.OrioloetC.Samson.Feedbackcontrolofanonholonomiccar-likerobot,"Robotmotionplanningandcontrol".J.P.LaumondEd.,LectureNotesinControlandInformationSciences,Springer'Verlag,toappear.[6]R.M.DeSantis.Path-trackingforatractor-trailerlikerobot.inInternationalJournalofRoboticsResearch,Vol13,No6,1994.[7]A.Hemami,M.G.MehrabietR.M.H.Cheng.Syntheszsofanoptimalcontrollawpathtrackanganmobilerobots.inAutomatica,Vol28,No2,pp383-387,1992..Astabletrackingcontrolmethodforanautonomousmobilerobot.inIEEEInternationalConferenceonRoboticsandAutomation,Cincinnati,Ohio,1990.[9]F.Lamiraux.Robotsmobilesciremorque:delaplanificationdecheminsd:l'exhtiondemouuements,PhDThesisN7,LAAS-CNRS,Toulouse,September1997.[l0]P.MorinetC.Samson.Applicationofbacksteppingtechniquestothetime-varyingexponentialstabitisationofchainedformsystems.EuropeanJournalofControl,Vol3,No1,1997.[11]J.B.Pomet.Explicitdesignoftime-varyingstabilizangcontrollawsforaclassofcontrollablesystemswithoutdrift.inSystemsandControlLetters,North[12]M.Sampei,T.Tamura,T.ItohetM.Nakamichi.Pathtrackingcontroloftrailer-likemobilerobot.inIEEEInternationalWorkshoponIntelligentRobotsandSystemsIROS,Osaka,Japan,pp193-198,1991.[13]C.Samson.Velocityandtorquefeedbackcontrolofanonholonomiccart.InternationalWorkshopinAdaptativeandNonlinearControl:IssuesinRobotics,Grenoble,[14]C.Samson.Time-varyingfeedbackstabilizationofcarlikewheeledmobilerobots.inInternationalJournalofRoboticsResearch,12(1),1993.[15]C.Samson.Controlofchainedsystems.Applicationtopathfollowingandtime-varyingpoznt-stabilization.inIEEETransactionsonAutomaticControl,Vol40,No1,1995.[16]C.SamsonetK.Ait-Abderrahim.Feedbackcontrolofanonholonomicwheeledcartzncartesaanspace.inIEEEInternationalConferenceonRoboticsandAutomation,Sacramento,[17]S.Sekhavat,F.Lamiraux,J.P.Laumond,G.BauzilandA.Ferrand.MotionplanningandcontrolforHilarepullingatrader:experzmentalissues.IEEEInt.Conf.onRob.andAutom.,pp3306-3311,1997.[18]O.J.Splrdalenet0.Egeland.Exponentialstabzlzsationofnonholonomicchainedsystems.inIEEETransactionsonAutomaticControl,Vol40,No1,1995.Bolland,Vol18,pp147-158,1992.

1998年的IEEE國際會議上機器人及自動化Leuven，比利時1998年5月一種實用的辦法--帶拖車移動機器人的反饋控制F.LamirauxandJ.P.Laumond拉斯，法國國家科學研究中心法國圖盧茲摘要本文提出了一種有效的方法來控制帶拖車移動機器人。軌跡跟蹤和路徑跟蹤這兩個問題已經得到解決。接下來的問題是解決迭代軌跡跟蹤。并且把擾動考慮到路徑跟蹤內。移動機器人Hilare的實驗結果說明了我們方法的有效性。1引言過去的8年，人們對非完整系統的運動控制做了大量的工作。布洛基[2]提出了關于這種系統的一項具有挑戰性的任務，配置的穩定性，證明它不能由一個簡單的連續狀態反饋。作為替代辦法隨時間變化的反饋[10,4,11,13,14,15,18]或間斷反饋[3]也隨之被提出。從[5]移動機器人的運動控制的一項調查可以看到。另一方面，非完整系統的軌跡跟蹤不符合布洛基的條件，從而使其這一個任務更為輕松。許多著作也已經給出了移動機器人的特殊情況的這一問題[6,7,8,12,16]。所有這些控制律都是工作在相同的假設下：系統的演變是完全已知和沒有擾動使得系統偏離其軌跡。很少有文章在處理移動機器人的控制時考慮到擾動的運動學方程。但是[1]提出了一種有關穩定汽車的配置，有效的矢量控制擾動領域，并且建立在迭代軌跡跟蹤的基礎上。存在的障礙使得達到規定路徑的任務變得更加困難，因此在執行任務的任何動作之前都需要有一個路徑規劃。在本文中，我們在迭代軌跡跟蹤的基礎上提出了一個健全的方案，使得帶拖車的機器人按照規定路徑行走。該軌跡計算由規劃的議案所描述[17]，從而避免已經提交了輸入的障礙物。在下面，我們將不會給出任何有關規劃的發展，我們提及這個參考的細節。而且，我們認為，在某一特定軌跡的執行屈服于擾動。我們選擇的這些擾動模型是非常簡單，非常一般。它存在一些共同點[1]。本文安排如下：第2節介紹我們的實驗系統Hilare及其拖車：兩個連接系統將被視為（圖1）。第3節處理控制方案及分析的穩定性和魯棒性。在第4節，我們介紹本實驗結果。圖1帶拖車的Hilare2系統描述Hilare是一個有兩個驅動輪的移動機器人。拖車是被掛在這個機器人上的，確定了兩個不同的系統取決于連接設備：在系統A的拖車拴在機器人的車輪軸中心線上方（圖1，頂端），而對系統B是栓在機器人的車輪軸中心線的后面（圖1，底部)。A對B來說是一種特殊情況，其中=0。這個系統不過單從控制的角度來看，需要更多的復雜的計算。出于這個原因，我們分開處理掛接系統。兩個馬達能夠控制機器人的線速度和角速度（，)。除了這些速度之外，還由傳感器測量，而機器人和拖車之間的角度，由光學編碼器給出。機器人的位置和方向（,,）通過整合前的速度被計算。有了這些批注，控制系統B是：（1）3全球控制方案目的當考慮到現實的系統，人們就必須要考慮到在運動的執行時產生的擾動。這可能有許多的來源，像有缺陷的電機，輪子的滑動，慣性的影響...這些擾動可以被設計通過增加一個周期在控制系統（1），得到一個新的系統的形式在上式中可以是確定性或隨機變量。在第一種情況下，擾動僅僅是由于系統演化的不規則，而在第二種情況下，它來自于該系統一個隨機行為。我們將看到后來，這第二個模型是一個更適合我們的實驗系統。為了引導機器人，從一開始就配置了目標，許多工程認為擾動最初只是機器人和目標之間的距離，但演變的系統是完全眾所周知的。為了解決這個問題，他們設計了一個可輸入的時間-狀態函數，使目標達到一個漸近穩定平衡的閉環系統。現在，如果我們介紹了先前定義周期在這個閉環系統，我們不知道將會發生什么。但是我們可以猜想，如果擾動很小、是確定的、在平衡點（如果仍然還有一個）將接近目標，如果擾動是一個隨機變數，平衡點將成為一個平衡的子集。但是，我們不知道這些新的平衡點或子集的位置。此外，在處理障礙時，隨時間變化的方法不是很方便。他們只能使用在附近的目標，這附近要適當界定，以確保無碰撞軌跡的閉環系統。請注意連續狀態反饋不能適用于真實情況下的機器人，因為間斷的速度導致無限的加速度。我們建議達成某一存在障礙特定配置的方法如下。我們首先在當前的配置和使用自由的碰撞議案所描述[17]目標之間建立一個自由的碰撞路徑，然后，我們以一個簡單的跟蹤控制率執行軌跡。在運動結束后，因為這一目標的各種擾動機器人從來沒有完全達到和目標的軌跡一致，而是這一目標的左右。如果達到配置遠離目標，我們計算另一個我們之前已經執行過的一個軌跡。現在我們將描述我們的軌跡跟蹤控制率，然后給出我們的全球迭代方法的魯棒性問題。軌跡跟蹤控制率在這一節中，我們只處理系統A。對系統B容易計算（見第節）。圖2單一機器人的跟蹤控制率很多帶拖車輪式移動機器人的跟蹤控制律已經被提出。其中[16]雖然很簡單,但是提供了杰出的成果。如果是模擬機器人的坐標構成真實機器人（圖2），如果（）是輸入的參考軌跡，這種控制律表示如下： （2）我們控制律的關鍵想法如下：當機器人前進，拖車不需要穩定（見下文）。因此，我們對機器人使用公式（2）。當它后退時，我們定義一個虛擬的機器人（圖3）這是對稱的真實一對拖車的車輪軸：然后，當真正的機器人退后，虛擬機器人前進和虛擬系統在運動學上是等同于真正的一個。因此，我們對虛擬機器人實行跟蹤控制法（2）。圖3虛擬機器人現在的問題是：當機器人前進時，拖車是否真的穩定？下一節將回答這個問題。3.3拖車穩定性分析在這里我們考慮的向前運動情況下,虛擬機器人向后的運動被等值轉變。讓我們把坐標作為參考軌跡并且把坐標作為實際運動的系統。我們假設機器人完全跟隨其參考軌跡：并且我們把我們的注意力放在拖車偏差。這一偏差的變化很容易從系統（1）推導出（系統A）：盡管是減少的（3）我們的系統而且被不等量限制了（4）因此和式（3）等價于（5）圖4顯示的范圍隨著給定的的值正在減少。我們可以看到，這個范圍包含了拖車的所有的位置，包括式（4）所界定的范圍。此外，以前的計算許可輕松地表明對于變量，0是一個漸近穩定值的變量。因此，如果實際或虛擬的機器人按照它的參考軌跡前進，拖車是穩定的，并且將趨于自己的參考軌跡。圖4的穩定范圍虛擬機器人系統B當拖車掛在機器人的后面，之前的結構甚至更簡單：我們可以用拖車取代虛擬的機器人。在這種實際情況下，機器人的速度和拖車一對一映射的連接。然后虛擬的機器人系統表示為如下：和以前的穩定性分析可以被很好的使用通過考慮懸掛點的運動。下面一節討論了我們迭代計劃的魯棒性。迭代計劃的魯棒性我們現在正在顯示上文所提到的迭代計劃的魯棒性。為此，我們需要有一個當機器人的運動時產生擾動的模型。[1]擾動的模型系統是一個不規則，從而導致矢量場確定性的變化。在我們的實驗中，我們要看到由于隨機擾動導致的例如在一些懸掛系統中發揮作用。這些擾動對模型是非常困難的。出于這個原因，我們只有兩個簡單的假說有：其中s是沿曲線橫坐標設計路徑，和分別是真正的和參考的結構，是結構空間系統的距離并且，是正數。第一個不等量意味著實際和參考結構之間的距離成正比的距離覆蓋計劃路徑。第二個不等量是確保軌跡跟蹤控制率，防止系統走得太遠遠離其參考軌跡。讓我們指出，這些假設是非常現實的和適合大量的擾動模型。我們現在需要知道在每個迭代路徑的長度。我們使用指導的方法計算這些路徑驗證拓撲短時間的可控性[17]。這個也就是說，如果我們的目標是充分接近起初的結構，軌跡的計算依然是起初的結構的附近。在[9]我們給出的估算方面的距離：如果和是兩種不夠緊密的結構，規劃路徑的長度驗證它們之間的關系這里是一個正數。因此，如果是配置依次獲得的，我們有以下不等式：這些不等式確保distCS是上界序列的正數和趨近于足夠反復后的。因此，我們沒有獲得漸近穩定性配置的目標，但這一結果確保存在一個穩定的范圍處理這個配置。這一結果基本上是來自我們選擇非常傳統擾動的模型。讓我們重復這包括諸如擾動模型的時間不同的控制律無疑將使其失去其漸近穩定。實驗結果如下節顯示，收斂域的控制計劃是非常小的。4實驗結果現在，我們目前獲得的帶拖車機器人Hilare系統A和B的實驗結果。圖5和圖6顯示第一路徑計算的例子所規劃初始配置（黑色）和目標配置（灰色）之間的運動。在第二種情況下包括上一次計算結果。連接系統的長度如下：系統A中，厘米，系統B厘米，厘米。表1和表2提供的初始和最后配置位置以及目標和期望配置在第一次動作和第二次動作之間的不足，3個不同的實驗。在這兩種情況下，第一次試驗相當于圖表。意味著，在第一動作后精度十分充足，沒有更多可進行的動作。評論和意見：表1和表2的報告結果顯示了兩個主要的見解。首先，系統達成非常令人滿意的精密程度，其次迭代次數是非常小的（介于1和2之間）。事實上，精密程度取決于很多的速度和不同的動作。在這里，機器人的最大線速度是50厘米/秒5結論我們已經提出了一種方法來控制機器人與拖車從初始結構到一個已知輸入問題的目標。這種方法是以迭代于開環和閉環控制相結合為前提的辦法。它對大范圍的擾動模型已經顯示出健全的一面。這個魯棒性主要來自拓撲性能指導方法介紹[17]。即使該方法不完全趨于機器人的最終目標，但是在真正實驗期間達到的精度程度是非常令人滿意的。圖5：系統A：初始、目標配置跟蹤第一路徑圖6：系統B：初始、目標配置跟蹤第一路徑和最終結果表1：系統A：目標和期望配置在第一次動表2：系統B：目標和期望配置在第一次動作和第二次動作之間的差距作和第二次動作之間的差距參考文獻[1]M.K.BennanietP.Rouchon.Robuststabilizationofflatandchainedsystems.inEuropeanControlConference,1995.[2]R.W.Brockett.Asymptoticstabilityandfeedbackstabilization.inDifferentialGeometricControlTheory,R.W.Brockett,R.S.MillmanetH.H.SussmannEds,1983.[3]C.CanudasdeWit,O.J.Sordalen.Exponentialstabilizationofmobilerobotswithnonholonomicconstraints.IEEETransactionsonAutomaticControl,Vol.37,No.11,1992.[4]J.M.Cor