§6.3三重積分的計算一、在直角坐標系中的計算與二重積分類似，三重積分也可以化為三次積分來進行計算。下面我們通過計算物體的質量來得到三重積分的計算公式.設空間閉區(qū)域V的邊界曲面的直線交點不多于兩個，將V投影到xoy面上，得投影閉Dxy，以Dxy的邊界曲線為準線，作母線平行于z軸的柱面，該柱面與區(qū)域V的邊界曲面的交線把V的邊界曲面分成上、下兩部分，其方程分別是與平行于z軸穿過V的內(nèi)部連續(xù)，在Dxy上假設V中分布有體密度為f(x,y,z)的某種物質，在Dxy上點(x,y)處取面積元素以的邊界曲線為準線，作母線平行于z

軸的細長柱體，分割該細長柱體可以看成以z為變量的細桿，它通過曲面S1:進入?yún)^(qū)域V，然后，通過曲面穿出區(qū)域V外，其進入點與穿出點的豎坐標分別是與因此，該細桿的質量為：f(x,y,z)只看作z的函數(shù).這里對z

積分時，先將x,y看成常數(shù)，此時于是總質量為：以上將三重積分化為三次積分是先計算一個定積分再計算一個二重積分，稱之為“先一后二法”。類似地，可以將區(qū)域V投影到y(tǒng)oz、zox

平面上，可得三重積分按其它順序的三次積分。空間立體的體積大立體是由小立體連續(xù)三次疊加形成，故三重積分實際上可以看成連續(xù)的三次積分。思考：下面這種疊加順序，該如何化為三次積分？DxyDxyy=1-x11

解在Dxy內(nèi)任取一點，作平的點在平面z=0,離開區(qū)域V的點在平面z=1-x-y上.例1

計算三重積分，其中V為三個坐標面及平面所圍成的閉區(qū)域.行于z軸的直線，進入?yún)^(qū)域Vz=y解1解例2化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域為由曲面及所圍成的閉區(qū)域.得交線投影區(qū)域

Dxy1故V：

以上將三重積分化為三次積分是先計算一個定積分再計算一個二重積分，稱之為“先一后二法”。事實上，我們也可以先計算一個二重積分，再作一個定積分，我們稱之為“先二后一法”。選擇平行平面切片分割立體點的體密度是橢球體選擇平行平面切片，過的平面切片D的質量空間立體的質量是先二后一法其結果為z的函數(shù)；

積分步驟:解

例4

解二、三重積分在柱坐標系中的計算規(guī)定：柱面坐標與直角坐標的關系為1.柱面坐標：圓柱面；半平面；平面．2.在柱面坐標系下的三族坐標面為：下面考慮一下在柱面坐標系下被分割出來的小立體的體積微元。在直角坐標系下的分割法在極坐標系下的薄片分割法用柱坐標系中的三組坐標面來分割閉區(qū)域V，所以，柱坐標系中三重積分的計算公式為：與直角坐標系中一樣，在柱坐標系中三重積分同樣可化為對的三次積分，一般總是先對z

積分，余下的二重積分就是極坐標系中的二重積分，有時也可以先計算極坐標系中的二重積分，再對z積分。解知交線為例2計算z=0例3計算解解zz=rz=aaDxyz144分析：如果采用先一后二法，對z積分的上下限情況怎樣？xyz14xyz14思考：能否采用先對r后對z最后對積分？xyz144三、三重積分在球面坐標系中的計算柱面坐標直角坐標回顧規(guī)定：有向線段軸正向所成的角2.直角坐標與球面坐標的關系球面；圓錐面；半平面．CMPyz

x03.球面坐標的坐標面4.球面坐標下的體積元素回顧直角坐標柱面坐標特點:都用坐標面來分割空間立體dxzy0體積元素區(qū)域由六個坐標面圍成的六面體d圓錐面半平面及+d

；

半徑為

及的球面；圓錐面及+d球面坐標下的體積元素圓錐面+d

于是體積元素dv

在球坐標系為：去掉高階無窮小后，可將這個六面體當作長方體,其長為寬為高為5.球面坐標系中三重積分的計算公式思考：在什么情況下選擇球坐標計算較簡？答案：

當積分區(qū)域V由球面、圓錐面（或其部分）所圍成，被積函數(shù)為的