專題6利用導數證明不等式A組基礎鞏固1．（2021·湖南高三月考）當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據時判斷出，再根據在處取最大值可求的值.【詳解】令，∵時，∴不合條件.令，故恒成立，又，∴要在處取最大值，故為在上的極大值點，故，又，故∴，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：對于不等式的恒成立問題，注意觀察其等號成立的條件，從而把恒成立問題轉化為函數的最值問題.2．（2021·全國高三其他模擬）已知函數若關于的不等式在上恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】不等式在上恒成立的兩個臨界狀態是與相切和與相切時，故求兩種狀態下的值，即可得的取值范圍．【詳解】畫出函數的圖像如圖所示.在上恒成立即函數的圖像恒在直線的圖像的下方，且直線過定點，當直線與相切時，設切點，，可得，解得，則直線斜率為，即；當直線與相切時，此時由，得，令，得或（舍），所以由圖像可知故選：A【點睛】方法點睛：已知不等式能恒成立求參數值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數法：討論參數范圍，借助函數單調性求解；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域或最值問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解．3．（2021·全國高三其他模擬）已知函數，，若對恒成立，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，求導，分析導函數的正負，得所函數的單調性和最值，由不等式恒成立思想可得選項．【詳解】令，則，令，則，令，解得，令，解得，故在上單調遞減，在上單調遞增，故．令，解得，令，解得，故在上單調遞減，在上單調遞增，故，解得，故選：A．【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題常見方法：①分離參數恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數形結合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立.4．（2020·湖北武漢市·武鋼三中高二期中）已知冪函數在的圖像如圖所示，對任意的給出下列結論：①；②；③④正確的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．③④【答案】D【分析】由函數的圖象，我們可根據（圖象上任意兩點之間的斜率）與1的大小判斷①的對錯；根據與（圖象上任意兩點與原點連線的斜率）的大小判斷②的正誤；再根據函數圖象是凹增的，我們可判斷③的真假；得到在遞增，由得：，，從而判斷正誤．【詳解】解：由，可得，即兩點，與，連線的斜率大于1，顯然①不正確；由，得，即表示兩點，、，與原點連線的斜率的大小，可以看出結論②錯誤；結合函數圖象，容易判斷③的結論是正確的，結合圖象函數遞增的速度增大，故在遞增，由得：，即，，所以，故④正確；故選：．【點睛】本題考查的知識點是函數的圖象和直線的斜率，解答的關鍵是結合函數圖象分析結論中式子的幾何意義，然后進行判斷．5．（2021·全國高三專題練習（理））已知函數，若不等式在上恒成立，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得在上恒成立，從而有在上恒成立，構造函數，利用導數求其最大值，進而可求出實數a的取值范圍【詳解】由得：，即，∴在上恒成立；∵在上單調遞增，且，所以，，∴在上恒成立；∴在上恒成立，構造函數，，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.∴，∴，解得.故選：C.【點睛】方法點睛：（1）根據同構式構造新函數，利用導數判斷函數單調性，是導數的常考題型之一；（2）利用單調性解不等式通常用于：①分段函數型不等式；②復合函數型不等式；③抽象函數型不等式；④解析式較復雜的不等式．解題的一般策略是：利用函數的單調性，將函數值的的大小關系轉化為自變量的關系，解不等式即可．6．（2021·浙江高三其他模擬）“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】令函數，求導，研究其單調性，即可得到充分性成立，取特殊值證明必要性不成立，即可得出結果．【詳解】令函數，當時，，所以函數在區間上單調遞增，則，即，故充分；但是反之未必成立，比如取，易知，滿足，但是不滿足，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A．【點睛】方法點睛：充分條件和必要條件的三種判斷方法：①定義法，即根據，進行判斷；②集合法，即由，成立的對象構成的集合之間的包含關系進行判斷；③等價轉化法，即根據一個命題與其逆否命題真假的等價性，把要判斷的命題轉化為其逆否命題，再進行判斷．7．（2021·全國高三月考（理））若關于的不等式在上恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】不等式可化為，構造函數，然后利用導數求函數的最小值，使最小值大于零，可求出實數的取值范圍【詳解】依題意，，設，，易知在上單調遞增，．①當時，，，所以單調遞增，則，即．②當時，，可知存在，使得，單調遞減，，所以存在，，故不成立．綜上所述，．故選：D8．（2021·全國高三專題練習）設實數t＞0，若不等式對x＞0恒成立，則t的取值范圍為（）A．[，) B．[，) C．(0，] D．(0，]【答案】B【分析】先將不等式化成，構造，即得，再求解函數的最大值，得到即可.【詳解】t＞0，不等式即，因為，則，即，令，則，而，即在上遞增，故，即，令，則，令得，故在上遞增，在上遞減，即，故.故選：B．【點睛】關鍵點點睛：本題的解題關鍵在于將不等式轉化為，構造函數轉化成，才能再分離參數突破難點.9．（2021·浙江高三專題練習）已知，曲線在點處切線的斜率為______；若恒成立，則a的取值范圍為______【答案】0【分析】求出導函數，進而可得，由導數的幾何意義可得切線的斜率；利用導數判斷函數在單減，單增，只需，解不等式組即可求解.【詳解】，，由得，得.在單減，單增，恒成立，，.故答案為：0；.【點睛】本題考查了導數的幾何意義、利用導數研究不等式恒成立問題，考查了基本知識的掌握情況，屬于基礎題.18．（2021·浙江高二課時練習）已知函數.（1）函數的最大值等于________；（2）若對任意，都有成立，則實數a的最小值是________.【答案】1【分析】（1）求出導函數，由導函數確定單調性，極值，得最大值；（2）若對任意，都有成立，等價于當時，，而由（1）在上，因此只要當時，即可得，由此可得的取值范圍，從而得的最小值．【詳解】（1）函數定義域是，，時，，遞增，時，，遞減，∴時，取得極大值也是最大值；（2）若對任意，都有成立，等價于當時，，由（1）當時，，且，滿足題意；當，在上遞增，，在遞減，，只要即可，∴，綜上，的最小值是1.．故答案為：；1．【點睛】本題考查用導數求函數最值，研究不等式恒成立問題，恒成立問題的解題關鍵轉化為函數的最小值，由單調性易得結論．10．（2020·山東菏澤市·高二期中）若，當時，的極大值為______；關于的方程在上有根，則實數的取值范圍是______．【答案】2【分析】將代入，對函數進行求導，結合單調性可得極值；由題意可得，，利用導數判斷函數的單調性，由此求得的范圍.【詳解】當時，，，令，得或；令，得；即函數在和上單調遞增，在上單調遞減；所以的極大值為.關于的方程在上有根，即在上成立，由于，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；而，，，所以的值域為，即實數的取值范圍是，故答案為：2，.【點睛】本題主要考查了導數與函數單調性和極值的關系，學生對一元三次方程的圖象的認識，屬于中檔題.B組能力提升11．（2020·湖南常德市一中高三月考）已知函數是定義在上的奇函數，當時，．則下列結論正確的是（）．A．當時，B．函數有五個零點C．若關于的方程有解，則實數的取值范圍是D．對，恒成立【答案】AD【分析】根據函數是奇函數，求出時的解析式，可判斷A；利用導數求出函數在上的單調區間及極值，再結合是奇函數，可作出函數在上的大致圖象，從而可逐項判斷B、C、D．【詳解】設，則，所以，又函數是定義在上的奇函數，所以，所以，即故A正確．當時，，所以，令，解得，當時，；當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，函數取得極小值，當時，，又，故函數在僅有一個零點．當時，，所以函數在沒有零點，所以函數在上僅有一個零點，函數是定義在上的奇函數，故函數在上僅有一個零點，又，故函數是定義在上有3個零點．故B錯誤．作出函數的大致圖象，由圖可知若關于的方程有解，則實數的取值范圍是.故C錯誤．由圖可知，對，故D正確．故選：AD．【點睛】本題主要考查利用函數奇偶性求函數解析式；利用導數研究函數的單調性及最值；同時也考查函數的零點，綜合性較強．12．（2021·山東泰安市·高三一模）已知函數是定義在上的奇函數，當時，.則下列結論正確的是（）.A．當時，B．函數在上有且僅有三個零點C．若關于的方程有解，則實數的取值范圍是D．，【答案】BD【分析】根據函數的性質結合圖象，逐項判斷，即可得到本題答案.【詳解】令，則，所以，得，所以選項A錯誤；觀察在時的圖象，令，得，可知在上單調遞減，在上遞增，且在上，，在上，，由此可判斷在僅有一個零點，由函數的對稱性可知在上也有一個零點，又因為，故該函數有三個零點，所以選項B正確；由圖可知，若關于的方程有解，則，所以選項C錯誤；由圖可知，的值域為，所以對，恒成立，所以選項D正確.故選：BD【點睛】本題主要考查函數的性質和導數在研究函數中的應用，體現了數形結合的數學思想，綜合性較強.13．（2021·山東高三專題練習）函數，則下列說法正確的是（）A． B．C．若有兩個不相等的實根，則 D．若均為正數，則【答案】BD【分析】求出導函數，由導數確定函數日單調性，極值，函數的變化趨勢，然后根據函數的性質判斷各選項．由對數函數的單調性及指數函數單調性判斷A，由函數性質判斷BC，設，且均為正數，求得，再由函數性質判斷D．【詳解】由得：令得，當x變化時，變化如下表：x0單調遞增極大值單調遞減故，在上遞增，在上遞減，是極大值也是最大值，時，時，，且時，時，，，A．，故A錯B．，且在單調遞增，故：B正確C．有兩個不相等的零點不妨設要證：，即要證：在單調遞增，∴只需證：即：只需證：……①令，則當時，在單調遞增，即：這與①矛盾，故C錯D．設，且均為正數，則且，故D正確．故選：BD．【點睛】關鍵點點睛：本題考查用導數研究函數的單調性、極值，函數零點等性質，解題關鍵是由導數確定函數的性質．其中函數值的大小比較需利用單調性，函數的零點問題中有兩個變量，關鍵是進行轉化，利用零點的關系轉化為一個變量，然后引入新函數進行證明．14．（2021·山東）已知定義在R上的函數滿足，則下列式子成立的是（）A． B．C．是R上的增函數 D．，則有【答案】AD【分析】由題意得，即為增函數，可得，即可判斷，舉出反例可判斷C，根據單調性可判斷D.【詳解】由，得，即，所以函數為增函數，故，所以，故A正確，B不正確；函數為增函數時，不一定為增函數，如是增函數，但是減函數，所以C不正確；因為函數為增函數，所以時，有，故有成立，所以D正確.故選：AD.【點睛】本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性，構造函數是解題的關鍵，屬于中檔題.15．（2020·開原市第二高級中學高三月考）定義在上的函數滿足，，則下列說法正確的是（）A．在處取得極小值，極小值為B．只有一個零點C．若在上恒成立，則D．【答案】BCD【分析】對A，根據，，求，求出，根據極值定義進行判斷；對B，根據單調性和零點定義，結合圖象判斷；對C，要保證在上恒成立，即，通過構造函數求其最值，進行判斷；對D，根據單調性，和對數比較大小，進行判斷.【詳解】對A，，且可得：可得：故(為常數)又可得：求得：故：整理可得：，當，即解得：，，此時單調遞增當，即解得：，，當，即解得：，，此時單調遞減，取得極大值，，故A說法錯誤；對B，，，，畫出草圖：如圖根據圖象可知：只有一個零點，故B說法正確；對C，要保證在上恒成立即：保證在上恒成立，可得在上恒成立故：只需令當時，當時，當時，即,故C說法正確；對D，根據，單調遞增，，單調遞減，，可得又由根據故：，故D說法正確.綜上所述，正確的說法是：BCD故選：BCD.【點睛】本題主要考查了根據導數求函數的單調性和極值，及其最值問題，解題關鍵是掌握導數求極值的方法和構造函數解決不等式恒成立的步驟，考查了分析能力和計算能力，屬于難題.16．（2021·全國高三專題練習（理））已知函數．（1）討論的單調性；（2）若存在兩個極值點，證明：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【詳解】分析：(1)首先確定函數的定義域，之后對函數求導，之后對進行分類討論，從而確定出導數在相應區間上的符號，從而求得函數對應的單調區間；(2)根據存在兩個極值點，結合第一問的結論，可以確定，令，得到兩個極值點是方程的兩個不等的正實根，利用韋達定理將其轉換，構造新函數證得結果.詳解：（1）的定義域為，.（i）若，則，當且僅當，時，所以在單調遞減.（ii）若，令得，或.當時，；當時，.所以在單調遞減，在單調遞增.（2）由（1）知，存在兩個極值點當且僅當.由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設，則.由于，所以等價于.設函數，由（1）知，在單調遞減，又，從而當時，.所以，即.點睛：該題考查的是應用導數研究函數的問題，涉及到的知識點有應用導數研究函數的單調性、應用導數研究函數的極值以及極值所滿足的條件，在解題的過程中，需要明確導數的符號對單調性的決定性作用，再者就是要先保證函數的生存權，先確定函數的定義域，要對參數進行討論，還有就是在做題的時候，要時刻關注第一問對第二問的影響，再者就是通過構造新函數來解決問題的思路要明確.17．（2021·全國高三專題練習（文））（2018年新課標I卷文）已知函數．（1）設是的極值點．求，并求的單調區間；（2）證明：當時，．【答案】(1)a=；f（x）在（0，2）單調遞減，在（2，+∞）單調遞增．(2)證明見解析.【詳解】分析：(1)先確定函數的定義域，對函數求導，利用f′（2）=0，求得a=，從而確定出函數的解析式，之后觀察導函數的解析式，結合極值點的位置，從而得到函數的增區間和減區間；(2)結合指數函數的值域，可以確定當a≥時，f（x）≥，之后構造新函數g（x）=，利用導數研究函數的單調性，從而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的傳遞性，證得結果.詳解：（1）f（x）的定義域為，f′（x）=aex–．由題設知，f′（2）=0，所以a=．從而f（x）=，f′（x）=．當0<x<2時，f′（x）<0；當x>2時，f′（x）>0．所以f（x）在（0，2）單調遞減，在（2，+∞）單調遞增．（2）當a≥時，f（x）≥．設g（x）=，則當0<x<1時，g′（x）<0；當x>1時，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值點．故當x>0時，g（x）≥g（1）=0．因此，當時，．點睛：該題考查的是有關導數的應用問題，涉及到的知識點有導數與極值、導數與最值、導數與函數的單調性的關系以及證明不等式問題，在解題的過程中，首先要保證函數的生存權，先確定函數的定義域，之后根據導數與極值的關系求得參數值，之后利用極值的特點，確定出函數的單調區間，第二問在求解的時候構造新函數，應用不等式的傳遞性證得結果.18．（2021·全國高三專題練習（文））已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：當時，．【答案】（1）切線方程是（2）證明見解析【分析】（1）求導，由導數的幾何意義求出切線方程．（2）當時，,令，只需證明即可．【詳解】（1），．因此曲線在點處的切線方程是．（2）當時，．令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所以．因此．【點睛】本題考查函數與導數的綜合應用，由導數的幾何意義可求出切線方程，第二問構造很關鍵，本題有難度．19．（2020·平羅中學高三期中（文））設函數.（I）討論函數的單調性；（II）當時，，求實數的取值范圍.【答案】（I）函數在和上單調遞減，在上單調遞增.（II）.【詳解】試題分析：（1）先求函數導數，再求導函數零點，列表分析導函數符號確定單調區間；（2）對分類討論，當a≥1時，，滿足條件；當時，取，當0＜a＜1時，取，.試題解析：解（1）f’(x)=(1-2x-x2)ex令f’(x)=0得x=-1-，x=-1+當x∈（-∞，-1-）時，f’(x)<0；當x∈（-1-，-1+）時，f’(x)>0；當x∈（-1+，+∞）時，f’(x)<0所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）單調遞減，在（-1-，-1+）單調遞增(2)f(x)=(1+x)（1-x）ex當a≥1時，設函數h(x)=（1-x）ex，h’(x)=-xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)單調遞減，而h