第二章解析函數

1解析函數的概念第1頁，共32頁。1復變函數的導數定義1設函數在包含的某區域D內有定義，當變量在點處取得增量時，相應地，函數取得增量若極限

（或）（2.1）存在，則稱在點處可導第2頁，共32頁。此極限值稱為在點處的導數，記作或，即如果函數在區域D內每一點都可導，則稱在D內可導.第3頁，共32頁。例1求函數的導數（為正整數）.解因為

所以，由導數定義有

第4頁，共32頁。例2求的導數.解由例1第5頁，共32頁。2可導與連續的關系若函數在點處可導，則在點處必連續.證因為知，故在點處連續.第6頁，共32頁。導數運算法則復變函數的求導法則（以下出現的函數均假設可導）：（1）其中為復常數；（2）其中為正整數；（3）；（4）（5）；第7頁，共32頁。（6）；

（7）是兩個互為反函數的單值函數，且..第8頁，共32頁。3復變函數的微分定義2稱函數的改變量的線性部分為函數在點處的微分，記作

或，即第9頁，共32頁。當時，，所以在點處的微分又可記為

亦即由此可知，函數在點處可導與可微是等價的.第10頁，共32頁。注意雖然復變函數和實變函數的導數定義在形式上一樣,實質上卻有很大差別.這是因為實變函數自變量只能沿實軸趨近于零,而復變函數卻沿復平面上的任意一曲線趨近于零第11頁，共32頁。

4解析函數1.解析函數的定義定義:如果函數不僅在點處可導，而且在點的某鄰域內的每一點都可導，則稱在點處解析，并稱點是函數的解析點；如果函數在區域D內每一點都解析，則稱在區域B內解析或稱為區域D內的解析函數，區域D稱為的解析區域.第12頁，共32頁。如果f(z)在z0不解析,那么我們說z0為f(z)的奇點.由定義可知,函數在區域內解析與在區域內可導是等價的.但是,函數在一點解析和在一點處可導是兩個不等價的概念,這就是說,函數在一點處可導,不一定在該點處解析,函數在一點處解析比該點處可導的要求要高得多.第13頁，共32頁。2.解析函數的運算性質：定理(1）若函數和在區域D內解析，則、、在

D內也解析；（2）若函數在區域D內解析，而在區域G內解析，且，.則復合函數在D內也解析，且.第14頁，共32頁。復變函數的求導法則（以下出現的函數均假設可導）：則、、在此極限值稱為在點處的導數，記作（2）其中為正整數；知，故在點處連續.（1）其中為復常數；解因為定義2稱函數的改變量的線性部分例2討論函數的可導性.處可導.例4討論下列函數的解析性.由此可知，函數在點處可導與可微是等價的.（2）；由定義可知,函數在區域內解析與在區域內可導是等價的.由此可知，函數在點處可導與可微是等價的.2函數解析的充要條件第15頁，共32頁。第16頁，共32頁。第17頁，共32頁。1.函數可導的充要條件定理１

設函數在區域D內有定義，則在D內解析的充分必要條件為在

內任一點處（1）（2）滿足上式稱為柯西—黎曼（Cauchy-Riemann）條件（或方程），簡稱C—R條件（或方程）.D第18頁，共32頁。第19頁，共32頁。2函數解析的充要條件定理１

設函數在區域B內有定義，則在B內解析的充分必要條件為在B內任一點處（1）可微；（2）滿足上式稱為柯西—黎曼（Cauchy-Riemann）條件（或方程），簡稱C—R條件（或方程）.第20頁，共32頁。例1討論函數的可導性，并求其導數.解由得則

顯然，在復平面內和的偏導數處處連續，第21頁，共32頁。且即和處處滿足C—R條件且處處可微，所以，在復平面內處處可導且.第22頁，共32頁。或，即定理(1）若函數和在區域D內解析，若函數在點處可導，則在點處必連續.當時，，所以在點為函數在點處的微分，記作（2）其中為正整數；當時，，所以在點且這四個偏導數處處連續，故若函數在點處可導，則在點處必連續.即和處處滿足C—R條件且處處可微，所以，在復平面內處處可導且定理１設函數在區域D內有定義，則在D內解析的充分必要條件為在內任一點處或，即當時，，所以在點例2討論函數的可導性.解因為得

顯然，、處處具有一階連續偏導數，但僅當時，、滿足C—R條件.因此，僅在點處可導.第23頁，共32頁。例3證明在復平面上不可微.證由于，于是，從而

顯然，對復平面上任意一點，都不滿足C—R條件，所以在整個復平面上不可微.第24頁，共32頁。例4討論下列函數的解析性.（1）；

（2）；（3）.解（1）設因為且這四個偏導數處處連續，故在復平面上處處解析.第25頁，共32頁。（2）因為，設，而所以在復平面上處處不解析．（3）因為設，由于