第十六章

拉格朗日方程分析力學(xué)篇1第十六章拉格朗日方程分析力學(xué)篇1應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理求解復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題并不方便，由于約束的限制，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)不獨(dú)立，解題時(shí)必須用約束方程消去多余的坐標(biāo)變分。如果先考慮約束條件，采用廣義坐標(biāo)表示動(dòng)力學(xué)普遍方程，就可得到與廣義坐標(biāo)數(shù)目相同的一組獨(dú)立的微分方程，從而使復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，這就是著名的拉格郎日方程。第十六章拉格朗日方程2應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理求解復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，受s個(gè)完整雙側(cè)約束§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件廣義虛位移第十六章拉格朗日方程則該質(zhì)點(diǎn)系有N

個(gè)自由度(N=3n-s)

，可由N個(gè)廣義坐標(biāo)q1，q2，...，qN確定其位置。質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)Mi的矢徑可表示為固定時(shí)間t，對(duì)ri取變分，可得Mi的虛位移——廣義虛位移3設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，受s個(gè)完整雙側(cè)約虛功方程：廣義力令則§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程——與廣義坐標(biāo)qk相對(duì)應(yīng)的廣義力4虛功方程：廣義力令則§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平——廣義坐標(biāo)表示的虛功方程以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程由于廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性（δqk可任意取值）則必需質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是系統(tǒng)所有的廣義力都等于零5——廣義坐標(biāo)表示的虛功方程以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件§以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程勢(shì)力場(chǎng)中各有勢(shì)力投影在勢(shì)力場(chǎng)中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是系統(tǒng)勢(shì)能在平衡位置處一階變分為零——?jiǎng)菽芎瘮?shù)6以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件§16-1以廣義坐標(biāo)表示以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程勢(shì)力場(chǎng)中，以廣義坐標(biāo)表示勢(shì)能函數(shù)在勢(shì)力場(chǎng)中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是系統(tǒng)勢(shì)能對(duì)于每個(gè)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。7以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件§16-1以廣義坐標(biāo)表示保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程保守系統(tǒng)的平衡條件：保守系統(tǒng)在平衡位置處勢(shì)能取得極值8保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程9穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程10穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程11穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的不穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程12不穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示不穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程13不穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示隨遇平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程14隨遇平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程保守系統(tǒng)的平衡條件：保守系統(tǒng)在平衡位置處勢(shì)能取得極值在穩(wěn)定平衡的平衡位置處，系統(tǒng)勢(shì)能具有極小值在不穩(wěn)定平衡的平衡位置處，系統(tǒng)勢(shì)能具有極大值單自由度系統(tǒng)：平衡條件穩(wěn)定性判據(jù)15保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平據(jù)廣義力定義廣義力的計(jì)算方法其中，令則§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程利用廣義虛位移任意性對(duì)于保守系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)據(jù)廣義力定義廣義力的計(jì)算方法其中，令則§16-1以廣義

兩均質(zhì)桿，均長(zhǎng)2l，均重P，用鉸鏈連接，跨過(guò)半徑為r的光滑圓柱體上，并位于同一鉛直面內(nèi)，求桿的平衡位置。解：由于兩桿等長(zhǎng)等重，平衡時(shí)他們的位置必對(duì)稱(chēng)，這樣系統(tǒng)就只有一個(gè)自由度。以θ為廣義坐標(biāo)，C1、C2距O點(diǎn)的垂直距離：以過(guò)O點(diǎn)的水平面為零勢(shì)面，則系統(tǒng)的平衡條件為：例題16-1例題第十六章拉格朗日方程17兩均質(zhì)桿，均長(zhǎng)2l，均重P，由此解出θ。例題16-1例題第十六章拉格朗日方程18由此解出θ。例題16-1例題18

圖示系統(tǒng)，A重2P，B重P。不計(jì)滑輪重及O、E處摩擦，求平衡時(shí)C的重量W及A與水平面之間的摩擦系數(shù)f。解：系統(tǒng)具有2自由度。以sA、sB為廣義坐標(biāo)（1）當(dāng)sA改變?chǔ)膕A而δsB=0（B不動(dòng)），此時(shí)δsC=δsA/2例題16-2例題第十六章拉格朗日方程19圖示系統(tǒng)，A重2P，B重P。不計(jì)滑輪重及O

（2）當(dāng)sB改變?chǔ)膕B而δsA=0，此時(shí)δsC=δsB/2系統(tǒng)平衡時(shí)有QA=QB=0由QB=0得W=2P由QA=0得F=W/2=P例題16-2例題第十六章拉格朗日方程20（2）當(dāng)sB改變?chǔ)膕B而δsA=0，此時(shí)δsC=§16-2第二類(lèi)拉格朗日方程第二類(lèi)拉格朗日方程（拉格朗日方程）第十六章拉格朗日方程——質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能其中——廣義坐標(biāo)——廣義坐標(biāo)qk對(duì)應(yīng)的廣義速度——廣義坐標(biāo)qk對(duì)應(yīng)的廣義力21§16-2第二類(lèi)拉格朗日方程第二類(lèi)拉格朗日方程（拉格朗保守系統(tǒng)的拉格朗日方程第十六章拉格朗日方程引入拉格朗日函數(shù)保守系統(tǒng)中，主動(dòng)力都是有勢(shì)力即則§16-2第二類(lèi)拉格朗日方程22保守系統(tǒng)的拉格朗日方程第十六章拉格朗日方程引入拉格朗

應(yīng)用拉格朗日方程解題的步驟1.判定質(zhì)點(diǎn)系的自由度k，選取適宜的廣義坐標(biāo)。必須注意：不能遺漏獨(dú)立的坐標(biāo)，也不能有多余的（不獨(dú)立）坐標(biāo)。2.計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能T，表示為廣義速度和廣義坐標(biāo)的函數(shù)。3.計(jì)算廣義力（三種方法）4.建立拉氏方程并加以整理，得出k個(gè)二階常微分方程。5.求出上述一組微分方程的積分。第十六章拉格朗日方程§16-2第二類(lèi)拉格朗日方程23應(yīng)用拉格朗日方程解題的步驟4.建立拉氏方程并加以在水平面運(yùn)動(dòng)的行星齒輪機(jī)構(gòu)如圖所示。勻質(zhì)桿

OA

質(zhì)量是

m1

，可繞鉛直軸

O

轉(zhuǎn)動(dòng)，桿端

A

借鉸鏈裝有一質(zhì)量是

m2，半徑是

r

的勻質(zhì)小齒輪，此小齒輪沿半徑是

R

的固定大齒輪滾動(dòng)。當(dāng)桿

OA

上作用著轉(zhuǎn)矩

MO時(shí)，求此桿的角加速度。MOROAxyC例題16-3例題第十六章拉格朗日方程24在水平面運(yùn)動(dòng)的行星齒輪機(jī)構(gòu)如圖所示。勻質(zhì)桿例題16-3例題第十六章拉格朗日方程25例題16-3例題25解：系統(tǒng)的動(dòng)能為MOROAxyC例題16-3例題第十六章拉格朗日方程

此機(jī)構(gòu)只有一個(gè)自由度。取桿OA

的轉(zhuǎn)角

為廣義坐標(biāo)，點(diǎn)A的速度為vA=(R+r)。小齒輪在固定的大齒輪上的嚙合點(diǎn)C

是其速度瞬心，故小輪的角速度26解：系統(tǒng)的動(dòng)能為MOROAxyC例題16-3例題廣義力為得從而解得桿OA

的角加速度將上兩式代入拉格朗日方程MOROAxyC例題16-3例題第十六章拉格朗日方程27廣義力為得從而解得桿OA的角加速度將上兩式代入拉格朗日方如圖所示的橢圓擺，由滑塊

A，細(xì)桿

AB

和擺錘

B

構(gòu)成。滑塊

A具有質(zhì)量

m1，可沿光滑水平面自由滑動(dòng)。擺錘

B

可看成質(zhì)點(diǎn)且具有質(zhì)量

m2

，由長(zhǎng)l的無(wú)重細(xì)桿鉸接在滑快上。桿可在鉛直面內(nèi)繞

A軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。試寫(xiě)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。AB例題16-4例題第十六章拉格朗日方程28如圖所示的橢圓擺，由滑塊A，細(xì)桿A例題16-4例題第十六章拉格朗日方程29例題16-4例題29解：

此系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，取滑塊A

的坐標(biāo)

x

和桿的轉(zhuǎn)角

為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)能為ABm1gm2gvrvexyxO例題16-4例題第十六章拉格朗日方程30解：此系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，取滑塊A的求出各有關(guān)導(dǎo)數(shù)ABm1gm2gvrvexyxO例題16-4例題第十六章拉格朗日方程31求出各有關(guān)導(dǎo)數(shù)ABm1gm2gvrvexyxO例題求廣義力。考慮到主動(dòng)力只有重力，分別給出系統(tǒng)的虛位移x

和

，則有將以上結(jié)果代入拉格朗日方程例題16-4例題第十六章拉格朗日方程ABm1gm2gvrvexyxO32求廣義力。考慮到主動(dòng)力只有重力，分別給出系統(tǒng)的式(a)和(b)就是此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。即得ABm1gm2gvrvexyxO例題16-4例題第十六章拉格朗日方程33式(a)和(b)就是此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。即一不可伸長(zhǎng)的繩子跨過(guò)小滑輪

D

，繩的一端系于勻質(zhì)圓輪

A

的輪心

C

處，另一端繞在勻質(zhì)圓柱體

B

上。輪A

重

W1

，半徑是

R。圓柱

B重

W2，

半徑是r

。輪

A

沿傾角為

的斜面作純滾動(dòng)，繩子傾斜段與斜面平行。滑輪

D

和繩子的質(zhì)量不計(jì)，試求輪心

C和圓柱B

的中心

E

的加速度。CW1W2REDABryxAB例題16-5例題第十六章拉格朗日方程34一不可伸長(zhǎng)的繩子跨過(guò)小滑輪D，繩的一端例題16-5例題第十六章拉格朗日方程35例題16-5例題35解:

系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。我們選取

x1=DC

和

y=yE作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。于是系統(tǒng)的動(dòng)能為式中

A和

B分別是圓輪

A和圓柱體

B的角速度。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知將

A和

B代入動(dòng)能表達(dá)式，并考慮到CW1W2REDABryxABx1yE例題16-5例題第十六章拉格朗日方程36解:系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。我們選取x1=則有

圓輪A作純滾動(dòng)，摩擦力不做功。系統(tǒng)的主動(dòng)力只有重力

W1

和

W2，因此，系統(tǒng)的勢(shì)能為寫(xiě)出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)CW1W2REDABryxABx1yE例題16-5例題第十六章拉格朗日方程37則有圓輪A作純滾動(dòng)，摩擦力不做功。系統(tǒng)的求解式(a)和(b)，得即得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程它們分別是輪心

C和圓柱

B的中心

E的加速度。將

L代入拉氏方程例題16-5例題第十六章拉格朗日方程38求解式(a)和(b)，得即得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程它們

作業(yè)第十六章拉格朗日方程下冊(cè)3-123-1339作業(yè)第十六章拉格朗日方程下冊(cè)39第十六章

拉格朗日方程分析力學(xué)篇40第十六章拉格朗日方程分析力學(xué)篇1應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理求解復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題并不方便，由于約束的限制，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)不獨(dú)立，解題時(shí)必須用約束方程消去多余的坐標(biāo)變分。如果先考慮約束條件，采用廣義坐標(biāo)表示動(dòng)力學(xué)普遍方程，就可得到與廣義坐標(biāo)數(shù)目相同的一組獨(dú)立的微分方程，從而使復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，這就是著名的拉格郎日方程。第十六章拉格朗日方程41應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理求解復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，受s個(gè)完整雙側(cè)約束§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件廣義虛位移第十六章拉格朗日方程則該質(zhì)點(diǎn)系有N

個(gè)自由度(N=3n-s)

，可由N個(gè)廣義坐標(biāo)q1，q2，...，qN確定其位置。質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)Mi的矢徑可表示為固定時(shí)間t，對(duì)ri取變分，可得Mi的虛位移——廣義虛位移42設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，受s個(gè)完整雙側(cè)約虛功方程：廣義力令則§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程——與廣義坐標(biāo)qk相對(duì)應(yīng)的廣義力43虛功方程：廣義力令則§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平——廣義坐標(biāo)表示的虛功方程以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程由于廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性（δqk可任意取值）則必需質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是系統(tǒng)所有的廣義力都等于零44——廣義坐標(biāo)表示的虛功方程以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件§以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程勢(shì)力場(chǎng)中各有勢(shì)力投影在勢(shì)力場(chǎng)中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是系統(tǒng)勢(shì)能在平衡位置處一階變分為零——?jiǎng)菽芎瘮?shù)45以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件§16-1以廣義坐標(biāo)表示以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程勢(shì)力場(chǎng)中，以廣義坐標(biāo)表示勢(shì)能函數(shù)在勢(shì)力場(chǎng)中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是系統(tǒng)勢(shì)能對(duì)于每個(gè)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。46以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件§16-1以廣義坐標(biāo)表示保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程保守系統(tǒng)的平衡條件：保守系統(tǒng)在平衡位置處勢(shì)能取得極值47保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程48穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程49穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程50穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的不穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程51不穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示不穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程52不穩(wěn)定平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示隨遇平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程53隨遇平衡保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程保守系統(tǒng)的平衡條件：保守系統(tǒng)在平衡位置處勢(shì)能取得極值在穩(wěn)定平衡的平衡位置處，系統(tǒng)勢(shì)能具有極小值在不穩(wěn)定平衡的平衡位置處，系統(tǒng)勢(shì)能具有極大值單自由度系統(tǒng)：平衡條件穩(wěn)定性判據(jù)54保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平據(jù)廣義力定義廣義力的計(jì)算方法其中，令則§16-1以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第十六章拉格朗日方程利用廣義虛位移任意性對(duì)于保守系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)據(jù)廣義力定義廣義力的計(jì)算方法其中，令則§16-1以廣義

兩均質(zhì)桿，均長(zhǎng)2l，均重P，用鉸鏈連接，跨過(guò)半徑為r的光滑圓柱體上，并位于同一鉛直面內(nèi)，求桿的平衡位置。解：由于兩桿等長(zhǎng)等重，平衡時(shí)他們的位置必對(duì)稱(chēng)，這樣系統(tǒng)就只有一個(gè)自由度。以θ為廣義坐標(biāo)，C1、C2距O點(diǎn)的垂直距離：以過(guò)O點(diǎn)的水平面為零勢(shì)面，則系統(tǒng)的平衡條件為：例題16-1例題第十六章拉格朗日方程56兩均質(zhì)桿，均長(zhǎng)2l，均重P，由此解出θ。例題16-1例題第十六章拉格朗日方程57由此解出θ。例題16-1例題18

圖示系統(tǒng)，A重2P，B重P。不計(jì)滑輪重及O、E處摩擦，求平衡時(shí)C的重量W及A與水平面之間的摩擦系數(shù)f。解：系統(tǒng)具有2自由度。以sA、sB為廣義坐標(biāo)（1）當(dāng)sA改變?chǔ)膕A而δsB=0（B不動(dòng)），此時(shí)δsC=δsA/2例題16-2例題第十六章拉格朗日方程58圖示系統(tǒng)，A重2P，B重P。不計(jì)滑輪重及O

（2）當(dāng)sB改變?chǔ)膕B而δsA=0，此時(shí)δsC=δsB/2系統(tǒng)平衡時(shí)有QA=QB=0由QB=0得W=2P由QA=0得F=W/2=P例題16-2例題第十六章拉格朗日方程59（2）當(dāng)sB改變?chǔ)膕B而δsA=0，此時(shí)δsC=§16-2第二類(lèi)拉格朗日方程第二類(lèi)拉格朗日方程（拉格朗日方程）第十六章拉格朗日方程——質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能其中——廣義坐標(biāo)——廣義坐標(biāo)qk對(duì)應(yīng)的廣義速度——廣義坐標(biāo)qk對(duì)應(yīng)的廣義力60§16-2第二類(lèi)拉格朗日方程第二類(lèi)拉格朗日方程（拉格朗保守系統(tǒng)的拉格朗日方程第十六章拉格朗日方程引入拉格朗日函數(shù)保守系統(tǒng)中，主動(dòng)力都是有勢(shì)力即則§16-2第二類(lèi)拉格朗日方程61保守系統(tǒng)的拉格朗日方程第十六章拉格朗日方程引入拉格朗

應(yīng)用拉格朗日方程解題的步驟1.判定質(zhì)點(diǎn)系的自由度k，選取適宜的廣義坐標(biāo)。必須注意：不能遺漏獨(dú)立的坐標(biāo)，也不能有多余的（不獨(dú)立）坐標(biāo)。2.計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能T，表示為廣義速度和廣義坐標(biāo)的函數(shù)。3.計(jì)算廣義力（三種方法）4.建立拉氏方程并加以整理，得出k個(gè)二階常微分方程。5.求出上述一組微分方程的積分。第十六章拉格朗日方程§16-2第二類(lèi)拉格朗日方程62應(yīng)用拉格朗日方程解題的步驟4.建立拉氏方程并加以在水平面運(yùn)動(dòng)的行星齒輪機(jī)構(gòu)如圖所示。勻質(zhì)桿

OA

質(zhì)量是

m1

，可繞鉛直軸

O

轉(zhuǎn)動(dòng)，桿端

A

借鉸鏈裝有一質(zhì)量是

m2，半徑是

r

的勻質(zhì)小齒輪，此小齒輪沿半徑是

R

的固定大齒輪滾動(dòng)。當(dāng)桿

OA

上作用著轉(zhuǎn)矩

MO時(shí)，求此桿的角加速度。MOROAxyC例題16-3例題第十六章拉格朗日方程63在水平面運(yùn)動(dòng)的行星齒輪機(jī)構(gòu)如圖所示。勻質(zhì)桿例題16-3例題第十六章拉格朗日方程64例題16-3例題25解：系統(tǒng)的動(dòng)能為MOROAxyC例題16-3例題第十六章拉格朗日方程

此機(jī)構(gòu)只有一個(gè)自由度。取桿OA

的轉(zhuǎn)角

為廣義坐標(biāo)，點(diǎn)A的速度為vA=(R+r)。小齒輪在固定的大齒輪上的嚙合點(diǎn)C

是其速度瞬心，故小輪的角速度65解：系統(tǒng)的動(dòng)能為MOROAxyC例題16-3例題廣義力為得從而解得桿OA

的角加速度將上兩式代入拉格朗日方程MOROAxyC例題16-3例題第十六章拉格朗日方程66廣義力為得從而解得桿OA的角加速度將上兩式代入拉格朗日方如圖所示的橢圓擺，由滑塊

A，細(xì)桿

AB

和擺錘

B

構(gòu)成。滑塊

A具有質(zhì)量

m1，可沿光滑水平面自由滑動(dòng)。擺錘

B

可看成質(zhì)點(diǎn)且具有質(zhì)量

m2

，由長(zhǎng)l的無(wú)重細(xì)桿鉸接在滑快上。桿可在鉛直面內(nèi)繞

A軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。試寫(xiě)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。AB例題16-4例題第十六章拉格朗日方程67如圖所示的橢圓擺，由滑塊A，細(xì)桿A例題16-4例題第十六章拉格朗日方程68例題16-4例題29解：

此系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，取滑塊A

的坐標(biāo)

x

和桿的轉(zhuǎn)角

為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)能為ABm1gm2gvrvexyxO例題16-4例題第十六章拉格朗日方程69解：此系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，取滑塊A的求出各有關(guān)導(dǎo)數(shù)ABm1gm2gvrvexyxO例題16-4例題第十六章拉格朗日方程70求出各有關(guān)導(dǎo)數(shù)ABm1gm2gvrvexyxO例題求廣義力。考慮到主動(dòng)力只有重力，分別給出系統(tǒng)的虛位移x

和

，則有將以上結(jié)果代入拉格朗日方程例題16-4例題第十六章拉格朗日方程ABm1gm2gvrvexyxO71求廣義力。考慮到主動(dòng)力只有重力，分別給出系統(tǒng)的式(a)和(b)就是此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)