數學建模講義

第4章線性規劃模型--運輸問題等數學建模講義

第4章線性規劃模型--運輸問題等1其他費用:450元/千噸

應如何分配水庫供水量，公司才能獲利最多？

若水庫供水量都提高一倍，公司利潤可增加到多少？元/千噸甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理費1運輸問題：自來水輸送(§4.2)收入：900元/千噸

支出A：50B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20丁：10；40水庫供水量(千噸)小區基本用水量(千噸)小區額外用水量(千噸)（以天計）其他費用:450元/千噸應如何分配水庫供水量，公司才能獲2總供水量：160確定送水方案使利潤最大問題分析A：50B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20丁：10；40<總需求量：120+180=300總收入900160=144,000(元)收入：900元/千噸

其他費用:450元/千噸

支出引水管理費其他支出450160=72,000(元)使引水管理費最小總供水量：160確定送水方案使利潤最大問題分析A：50B：63供應限制約束條件需求限制

線性規劃模型(LP)目標函數

水庫i向j區的日供水量為xij（x34=0）決策變量

模型建立確定3個水庫向4個小區的供水量供應限制約束條件需求限制線性規劃模型(LP)目標函數水庫4模型求解

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)24400.00VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.00000030.000000X1250.0000000.000000X130.00000050.000000X140.00000020.000000X210.00000010.000000

X22

50.0000000.000000X230.00000020.000000X24

10.0000000.000000X31

40.0000000.000000X320.00000010.000000X33

10.0000000.000000利潤=總收入-其它費用-引水管理費=144000-72000-24400=47600（元）

A(50)B(60)C(50)甲(30;50)乙(70;70)丙(10;20)丁(10;40)5050401010引水管理費24400(元)模型求解OBJECTIVEFUNCTIONVALUE利5設每月生產小、中、大型汽車的數量分別為x1,x2,x320-1規劃：汽車廠生產計劃(§4.3)模型建立

小型中型大型現有量鋼材1.535600時間28025040060000利潤234線性規劃模型(LP)設每月生產小、中、大型汽車的數量分別為x1,x2,x326模型求解

3）

模型中增加條件：x1,x2,x3

均為整數，重新求解。

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.2581VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X164.5161290.000000

X2167.7419280.000000X30.0000000.946237ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.7311833)0.0000000.003226結果為小數，怎么辦？1）舍去小數：取x1=64，x2=167，算出目標函數值z=629，與LP最優值632.2581相差不大。2）試探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，計算函數值z，通過比較可能得到更優的解。但必須檢驗它們是否滿足約束條件。為什么？模型求解3）模型中增加條件：x1,x2,x3均為7IP可用LINGO直接求解整數規劃(IntegerProgramming,簡記IP)IP的最優解x1=64，x2=168，x3=0，最優值z=632Max=2*x1+3*x2+4*x3;1.5*x1+3*x2+5*x3<600;280*x1+250*x2+400*x3<60000;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.000000-2.000000X2168.000000-3.000000X30.000000-4.000000模型求解

IP結果輸出IP可用LINGO直接求解整數規劃(IntegerProg8其中3個子模型應去掉，然后逐一求解，比較目標函數值，再加上整數約束，得最優解：方法1：分解為8個LP子模型汽車廠生產計劃若生產某類汽車，則至少生產80輛，求生產計劃。x1,x2,,x3=0或80x1=80，x2=150，x3=0，最優值z=610其中3個子模型應去掉，然后逐一求解，比較目標函數值，再加上整9LINGO中對0-1變量的限定：@bin(y1);@bin(y2);@bin(y3);方法2：引入0-1變量，化為整數規劃

M為大的正數，可取1000OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)610.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X180.000000-2.000000

X2150.000000-3.000000

X30.000000-4.000000Y11.0000000.000000Y21.0000000.000000Y30.0000000.000000若生產某類汽車，則至少生產80輛，求生產計劃。x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80最優解同前

LINGO中對0-1變量的限定：方法2：引入0-1變量，化為10NLP雖然可用現成的數學軟件求解(如LINGO,MATLAB)，但是其結果常依賴于初值的選擇。方法3：化為非線性規劃

非線性規劃（Non-LinearProgramming，簡記NLP）

實踐表明，本例僅當初值非常接近上面方法算出的最優解時，才能得到正確的結果。

若生產某類汽車，則至少生產80輛，求生產計劃。x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80NLP雖然可用現成的數學軟件求解(如LINGO,MATLA11丁的蛙泳成績退步到1’15”2；戊的自由泳成績進步到57”5,組成接力隊的方案是否應該調整？如何選拔隊員組成4100米混合泳接力隊?3分配問題：混合泳接力隊的選拔(§4.4)

甲乙丙丁戊蝶泳1’06”857”21’18”1’10”1’07”4仰泳1’15”61’06”1’07”81’14”21’11”蛙泳1’27”1’06”41’24”61’09”61’23”8自由泳58”653”59”457”21’02”45名候選人的百米成績窮舉法：組成接力隊的方案共有5!=120種。丁的蛙泳成績退步到1’15”2；戊的自由泳成績進步到57”512目標函數若選擇隊員i參加泳姿j的比賽，記xij=1,否則記xij=0

0-1規劃模型

cij(秒)~隊員i第j種泳姿的百米成績約束條件每人最多入選泳姿之一

ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.4每種泳姿有且只有1人目標函數若選擇隊員i參加泳姿j的比賽，記xij=1,否則13模型求解

最優解：x14=x21=x32=x43=1,其它變量為0;成績為253.2(秒)=4’13”2MIN=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+……+62.4*x54;x11+x12+x13+x14<=1;……x41+x42+x43+x44<=1;x11+x21+x31+x41+x51=1;……x14+x24+x34+x44+x54=1;@bin(x11);…….;@bin(x54);輸入LINGO求解

甲乙丙丁戊蝶泳1’06”857”21’18”1’10”1’07”4仰泳1’15”61’06”1’07”81’14”21’11”蛙泳1’27”1’06”41’24”61’09”61’23”8自由泳58”653”59”457”21’02”4甲~自由泳、乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳.模型求解最優解：x14=x21=x32=x4314丁蛙泳c43

=69.675.2，戊自由泳c54=62.4

57.5,方案是否調整？敏感性分析？乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳、戊~自由泳IP規劃一般沒有與LP規劃相類似的理論，LINDO輸出的敏感性分析結果通常是沒有意義的。最優解：x21=x32=x43=x51=1,成績為4’17”7c43,c54的新數據重新輸入模型，用LINDO求解指派(Assignment)問題：每項任務有且只有一人承擔，每人只能承擔一項，效益不同，怎樣分派使總效益最大.討論甲~自由泳、乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳.原方案丁蛙泳c43=69.675.2，戊自由泳c54=62.415為了選修課程門數最少，應學習哪些課程？

4多目標規劃：選課策略(§4.4)要求至少選兩門數學課、三門運籌學課和兩門計算機課課號課名學分所屬類別先修課要求1微積分5數學

2線性代數4數學

3最優化方法4數學；運籌學微積分；線性代數4數據結構3數學；計算機計算機編程5應用統計4數學；運籌學微積分；線性代數6計算機模擬3計算機；運籌學計算機編程7計算機編程2計算機

8預測理論2運籌學應用統計9數學實驗3運籌學；計算機微積分；線性代數選修課程最少，且學分盡量多，應學習哪些課程？

為了選修課程門數最少，應學習哪些課程？4多目標規劃：160-1規劃模型

決策變量

目標函數

xi=1~選修課號i的課程（xi=0~不選）

選修課程總數最少約束條件最少2門數學課，3門運籌學課，2門計算機課。

課號課名所屬類別1微積分數學2線性代數數學3最優化方法數學；運籌學4數據結構數學；計算機5應用統計數學；運籌學6計算機模擬計算機；運籌學7計算機編程計算機8預測理論運籌學9數學實驗運籌學；計算機0-1規劃模型決策變量目標函數xi=1~選修課號i17先修課程要求最優解：

x1=x2=x3=x6=x7=x9=1,其它為0；6門課程，總學分210-1規劃模型

約束條件x3=1必有x1=x2=1模型求解（LINGO）課號課名先修課要求1微積分

2線性代數

3最優化方法微積分；線性代數4數據結構計算機編程5應用統計微積分；線性代數6計算機模擬計算機編程7計算機編程

8預測理論應用統計9數學實驗微積分；線性代數先修課程要求最優解：x1=x2=x3=x6=18學分最多多目標優化的處理方法：化成單目標優化。兩目標(多目標)規劃

討論：選修課程最少，學分盡量多，應學習哪些課程？課程最少以學分最多為目標，不管課程多少。以課程最少為目標，不管學分多少。最優解如上，6門課程，總學分21。最優解顯然是選修所有9門課程。學分最多多目標優化的處理方法：化成單目標優化。兩目標(多目標19多目標規劃

在課程最少的前提下以學分最多為目標。最優解：

x1=x2=x3=x5=x7=x9=1,其它為0；總學分由21增至22。注意：最優解不唯一！課號課名學分1微積分52線性代數43最優化方法44數據結構35應用統計46計算機模擬37計算機編程28預測理論29數學實驗3LINGO無法告訴優化問題的解是否唯一。可將x9=1易為x6=1增加約束，以學分最多為目標求解。多目標規劃在課程最少的前提下以學分最多為目標。最優解：20多目標規劃

對學分數和課程數加權形成一個目標，如三七開。最優解：

x1=x2=x3=x4=x5=x6=x7=x9=1，其它為0；總學分28。課號課名學分1微積分52線性代數43最優化方法44數據結構35應用統計46計算機模擬37計算機編程28預測理論29數學實驗3多目標規劃對學分數和課程數加權形成一個目標，如三七開。21討論與思考最優解與1=0，2=1的結果相同——學分最多多目標規劃

最優解與1=1，2=0的結果相同——課程最少討論與思考最優解與1=0，2=1的結果相同——學分最多多22問題1.如何下料最節省?5下料問題：鋼管下料(§4.6)問題2.客戶增加需求：原料鋼管:每根19米4米50根6米20根8米15根客戶需求節省的標準是什么？由于采用不同切割模式太多，會增加生產和管理成本，規定切割模式不能超過3種。如何下料最節省？5米10根問題1.如何下料最節省?5下料問題：鋼管下料(§423按照客戶需要在一根原料鋼管上安排切割的一種組合。

切割模式余料1米4米1根6米1根8米1根余料3米4米1根6米1根6米1根合理切割模式的余料應小于客戶需要鋼管的最小尺寸余料3米8米1根8米1根鋼管下料按照客戶需要在一根原料鋼管上安排切割的一種組合。切割模式余24為滿足客戶需要，按照哪些種合理模式，每種模式切割多少根原料鋼管，最為節省？合理切割模式2.所用原料鋼管總根數最少模式

4米鋼管根數6米鋼管根數8米鋼管根數余料(米)14003231013201341203511116030170023鋼管下料問題1兩種標準1.原料鋼管剩余總余量最小為滿足客戶需要，按照哪些種合理模式，每種模式切割多少根原料鋼25xi~按第i種模式切割的原料鋼管根數(i=1,2,…7)約束滿足需求決策變量

目標1（總余量）按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米

模式4米根數6米根數8米根數余料14003231013201341203511116030170023需求502015最優解：x2=12,x5=15,其余為0；最優值：27。整數約束：xi為整數xi~按第i種模式切割的原料鋼管根數(i=1,2,…7)26當余料沒有用處時，通常以總根數最少為目標目標2（總根數）鋼管下料問題1約束條件不變最優解：x2=15,x5=5,x7=5,其余為0；最優值：25。xi為整數按模式2切割15根，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共25根，余料35米雖余料增加8米，但減少了2根與目標1的結果“共切割27根，余料27米”相比當余料沒有用處時，通常以總根數最少為目標目標2（總根數）鋼27鋼管下料問題2對大規模問題，用模型的約束條件界定合理模式增加一種需求：5米10根；切割模式不超過3種。現有4種需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根，用枚舉法確定合理切割模式，過于復雜。決策變量

xi~按第i種模式切割的原料鋼管根數(i=1,2,3)r1i,r2i,r3i,r4i~第i種切割模式下，每根原料鋼管生產4米、5米、6米和8米長的鋼管的數量鋼管下料問題2對大規模問題，用模型的約束條件界定合理模式增加28滿足需求模式合理：每根余料不超過3米整數非線性規劃模型鋼管下料問題2目標函數（總根數）約束條件整數約束：xi,r1i,r2i,r3i,r4i(i=1,2,3)為整數滿足需求模式合理：每根余料不超過3米整數非線性規劃模型鋼管下29增加約束，縮小可行域，便于求解原料鋼管總根數下界：

特殊生產計劃：對每根原料鋼管模式1：切割成4根4米鋼管，需13根；模式2：切割成1根5米和2根6米鋼管，需10根；模式3：切割成2根8米鋼管，需8根。原料鋼管總根數上界：13+10+8=31模式排列順序可任定

鋼管下料問題2需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根每根原料鋼管長19米增加約束，縮小可行域，便于求解原料鋼管總根數下界：特殊生產30LINGO求解整數非線性規劃模型（代碼見P125

）Localoptimalsolutionfoundatiteration:12211Objectivevalue:28.00000VariableValueReducedCostX110.000000.000000X210.000002.000000X38.0000001.000000R113.0000000.000000R122.0000000.000000R130.0000000.000000R210.0000000.000000R221.0000000.000000R230.0000000.000000R311.0000000.000000R321.0000000.000000R330.0000000.000000R410.0000000.000000R420.0000000.000000R432.0000000.000000模式1：每根原料鋼管切割成3根4米和1根6米鋼管，共10根；模式2：每根原料鋼管切割成2根4米、1根5米和1根6米鋼管，共10根；模式3：每根原料鋼管切割成2根8米鋼管，共8根。原料鋼管總根數為28根。▌LINGO求解整數非線性規劃模型（代碼見P125）Loca31板材規格2：長方形，3228cm，2萬張。例

易拉罐下料每周工作40小時，每只易拉罐利潤0.10元，原料余料損失0.001元/cm2（不能裝配的罐身、蓋、底也是余料）模式1：1.5秒模式2：2秒模式3：1秒模式4：3秒上蓋下底罐身罐身高10cm，上蓋、下底直徑均5cm。

板材規格1：正方形，邊長24cm，5萬張。如何安排每周生產？

板材規格2：例易拉罐下料每周工作40小時，每只易拉罐利潤032

罐身個數底、蓋個數余料損失（cm2）沖壓時間（秒）模式1110222.61.5模式224183.32模式3016261.81模式445169.53模式1:正方形邊長24cm問題分析計算各種模式下的余料損失上、下底直徑d=5cm，罐身高h=10cm。模式1余料損失242-10d2/4-dh=222.6cm2

罐身個數底、蓋余料損失沖壓時間（秒）模式1110222.633問題分析目標:易拉罐利潤扣除原料余料損失后的凈利潤最大

約束：每周工作時間不超過40小時；原料數量：規格1（模式1~3）5萬張，規格2（模式4）2萬張；罐身和底、蓋的配套組裝。注意：不能裝配的罐身、上下底也是余料決策變量

xi~按照第i種模式的生產張數(i=1,2,3,4)；y1~一周生產的易拉罐個數；y2~不配套的罐身個數；y3~不配套的底、蓋個數。模型建立問題分析目標:易拉罐利潤扣除原料余料損失后的凈利潤最大約34目標

約束條件

時間約束原料約束產量余料時間x1222.61.5x2183.32x3261.81x4169.53模型建立y1~易拉罐個數；y2~不配套的罐身；y3~不配套的底、蓋。每只易拉罐利潤0.10元，余料損失0.001元/cm2罐身面積dh=157.1cm2

底蓋面積d2/4=19.6cm2(40小時)目標約束條件時間約束原料約束產量余料時間x1222.35約束條件

配套約束y1~易拉罐個數；y2~不配套的罐身；y3~不配套的底、蓋。罐身底、蓋1102401645產量x1x2x3x4雖然xi和y1，y2，y3應是整數，但是因生產量很大，可以把它們看成實數，從而用線性規劃模型處理。約束條件配套約束y1~易拉罐個數；y2~不配套的36將所有決策變量擴大10000倍（xi~萬張，yi~萬件）

LINDO發出警告信息：“數據之間的數量級差別太大，建議進行預處理，縮小數據之間的差別”模式2生產40125張，模式3生產3750張，模式4生產20000張，共產易拉罐160250個(罐身和底、蓋無剩余)，凈利潤為4298元

模型求解OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)0.4298337VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY116.0250000.000000X10.0000000.000050X24.0125000.000000X30.3750000.000000X42.0000000.000000Y20.0000000.223331Y30.0000000.036484將所有決策變量擴大10000倍（xi~萬張，yi~萬件）37下料問題的建模確定下料模式構造優化模型規格不太多，可枚舉下料模式，建立整數線性規劃模型，否則要構造整數非線性規劃模型，求解困難，可用縮小可行域的方法進行化簡，但要保證最優解的存在。一維問題（如鋼管下料）二維問題（如易拉罐下料）具體問題具體分析（比較復雜）下料問題的建模確定下料模式構造優化模型規格不太多，38數學建模講義

第4章線性規劃模型--運輸問題等數學建模講義

第4章線性規劃模型--運輸問題等39其他費用:450元/千噸

應如何分配水庫供水量，公司才能獲利最多？

若水庫供水量都提高一倍，公司利潤可增加到多少？元/千噸甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理費1運輸問題：自來水輸送(§4.2)收入：900元/千噸

支出A：50B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20丁：10；40水庫供水量(千噸)小區基本用水量(千噸)小區額外用水量(千噸)（以天計）其他費用:450元/千噸應如何分配水庫供水量，公司才能獲40總供水量：160確定送水方案使利潤最大問題分析A：50B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20丁：10；40<總需求量：120+180=300總收入900160=144,000(元)收入：900元/千噸

其他費用:450元/千噸

支出引水管理費其他支出450160=72,000(元)使引水管理費最小總供水量：160確定送水方案使利潤最大問題分析A：50B：641供應限制約束條件需求限制

線性規劃模型(LP)目標函數

水庫i向j區的日供水量為xij（x34=0）決策變量

模型建立確定3個水庫向4個小區的供水量供應限制約束條件需求限制線性規劃模型(LP)目標函數水庫42模型求解

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)24400.00VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.00000030.000000X1250.0000000.000000X130.00000050.000000X140.00000020.000000X210.00000010.000000

X22

50.0000000.000000X230.00000020.000000X24

10.0000000.000000X31

40.0000000.000000X320.00000010.000000X33

10.0000000.000000利潤=總收入-其它費用-引水管理費=144000-72000-24400=47600（元）

A(50)B(60)C(50)甲(30;50)乙(70;70)丙(10;20)丁(10;40)5050401010引水管理費24400(元)模型求解OBJECTIVEFUNCTIONVALUE利43設每月生產小、中、大型汽車的數量分別為x1,x2,x320-1規劃：汽車廠生產計劃(§4.3)模型建立

小型中型大型現有量鋼材1.535600時間28025040060000利潤234線性規劃模型(LP)設每月生產小、中、大型汽車的數量分別為x1,x2,x3244模型求解

3）

模型中增加條件：x1,x2,x3

均為整數，重新求解。

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.2581VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X164.5161290.000000

X2167.7419280.000000X30.0000000.946237ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.7311833)0.0000000.003226結果為小數，怎么辦？1）舍去小數：取x1=64，x2=167，算出目標函數值z=629，與LP最優值632.2581相差不大。2）試探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，計算函數值z，通過比較可能得到更優的解。但必須檢驗它們是否滿足約束條件。為什么？模型求解3）模型中增加條件：x1,x2,x3均為45IP可用LINGO直接求解整數規劃(IntegerProgramming,簡記IP)IP的最優解x1=64，x2=168，x3=0，最優值z=632Max=2*x1+3*x2+4*x3;1.5*x1+3*x2+5*x3<600;280*x1+250*x2+400*x3<60000;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.000000-2.000000X2168.000000-3.000000X30.000000-4.000000模型求解

IP結果輸出IP可用LINGO直接求解整數規劃(IntegerProg46其中3個子模型應去掉，然后逐一求解，比較目標函數值，再加上整數約束，得最優解：方法1：分解為8個LP子模型汽車廠生產計劃若生產某類汽車，則至少生產80輛，求生產計劃。x1,x2,,x3=0或80x1=80，x2=150，x3=0，最優值z=610其中3個子模型應去掉，然后逐一求解，比較目標函數值，再加上整47LINGO中對0-1變量的限定：@bin(y1);@bin(y2);@bin(y3);方法2：引入0-1變量，化為整數規劃

M為大的正數，可取1000OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)610.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X180.000000-2.000000

X2150.000000-3.000000

X30.000000-4.000000Y11.0000000.000000Y21.0000000.000000Y30.0000000.000000若生產某類汽車，則至少生產80輛，求生產計劃。x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80最優解同前

LINGO中對0-1變量的限定：方法2：引入0-1變量，化為48NLP雖然可用現成的數學軟件求解(如LINGO,MATLAB)，但是其結果常依賴于初值的選擇。方法3：化為非線性規劃

非線性規劃（Non-LinearProgramming，簡記NLP）

實踐表明，本例僅當初值非常接近上面方法算出的最優解時，才能得到正確的結果。

若生產某類汽車，則至少生產80輛，求生產計劃。x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80NLP雖然可用現成的數學軟件求解(如LINGO,MATLA49丁的蛙泳成績退步到1’15”2；戊的自由泳成績進步到57”5,組成接力隊的方案是否應該調整？如何選拔隊員組成4100米混合泳接力隊?3分配問題：混合泳接力隊的選拔(§4.4)

甲乙丙丁戊蝶泳1’06”857”21’18”1’10”1’07”4仰泳1’15”61’06”1’07”81’14”21’11”蛙泳1’27”1’06”41’24”61’09”61’23”8自由泳58”653”59”457”21’02”45名候選人的百米成績窮舉法：組成接力隊的方案共有5!=120種。丁的蛙泳成績退步到1’15”2；戊的自由泳成績進步到57”550目標函數若選擇隊員i參加泳姿j的比賽，記xij=1,否則記xij=0

0-1規劃模型

cij(秒)~隊員i第j種泳姿的百米成績約束條件每人最多入選泳姿之一

ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.4每種泳姿有且只有1人目標函數若選擇隊員i參加泳姿j的比賽，記xij=1,否則51模型求解

最優解：x14=x21=x32=x43=1,其它變量為0;成績為253.2(秒)=4’13”2MIN=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+……+62.4*x54;x11+x12+x13+x14<=1;……x41+x42+x43+x44<=1;x11+x21+x31+x41+x51=1;……x14+x24+x34+x44+x54=1;@bin(x11);…….;@bin(x54);輸入LINGO求解

甲乙丙丁戊蝶泳1’06”857”21’18”1’10”1’07”4仰泳1’15”61’06”1’07”81’14”21’11”蛙泳1’27”1’06”41’24”61’09”61’23”8自由泳58”653”59”457”21’02”4甲~自由泳、乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳.模型求解最優解：x14=x21=x32=x4352丁蛙泳c43

=69.675.2，戊自由泳c54=62.4

57.5,方案是否調整？敏感性分析？乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳、戊~自由泳IP規劃一般沒有與LP規劃相類似的理論，LINDO輸出的敏感性分析結果通常是沒有意義的。最優解：x21=x32=x43=x51=1,成績為4’17”7c43,c54的新數據重新輸入模型，用LINDO求解指派(Assignment)問題：每項任務有且只有一人承擔，每人只能承擔一項，效益不同，怎樣分派使總效益最大.討論甲~自由泳、乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳.原方案丁蛙泳c43=69.675.2，戊自由泳c54=62.453為了選修課程門數最少，應學習哪些課程？

4多目標規劃：選課策略(§4.4)要求至少選兩門數學課、三門運籌學課和兩門計算機課課號課名學分所屬類別先修課要求1微積分5數學

2線性代數4數學

3最優化方法4數學；運籌學微積分；線性代數4數據結構3數學；計算機計算機編程5應用統計4數學；運籌學微積分；線性代數6計算機模擬3計算機；運籌學計算機編程7計算機編程2計算機

8預測理論2運籌學應用統計9數學實驗3運籌學；計算機微積分；線性代數選修課程最少，且學分盡量多，應學習哪些課程？

為了選修課程門數最少，應學習哪些課程？4多目標規劃：540-1規劃模型

決策變量

目標函數

xi=1~選修課號i的課程（xi=0~不選）

選修課程總數最少約束條件最少2門數學課，3門運籌學課，2門計算機課。

課號課名所屬類別1微積分數學2線性代數數學3最優化方法數學；運籌學4數據結構數學；計算機5應用統計數學；運籌學6計算機模擬計算機；運籌學7計算機編程計算機8預測理論運籌學9數學實驗運籌學；計算機0-1規劃模型決策變量目標函數xi=1~選修課號i55先修課程要求最優解：

x1=x2=x3=x6=x7=x9=1,其它為0；6門課程，總學分210-1規劃模型

約束條件x3=1必有x1=x2=1模型求解（LINGO）課號課名先修課要求1微積分

2線性代數

3最優化方法微積分；線性代數4數據結構計算機編程5應用統計微積分；線性代數6計算機模擬計算機編程7計算機編程

8預測理論應用統計9數學實驗微積分；線性代數先修課程要求最優解：x1=x2=x3=x6=56學分最多多目標優化的處理方法：化成單目標優化。兩目標(多目標)規劃

討論：選修課程最少，學分盡量多，應學習哪些課程？課程最少以學分最多為目標，不管課程多少。以課程最少為目標，不管學分多少。最優解如上，6門課程，總學分21。最優解顯然是選修所有9門課程。學分最多多目標優化的處理方法：化成單目標優化。兩目標(多目標57多目標規劃

在課程最少的前提下以學分最多為目標。最優解：

x1=x2=x3=x5=x7=x9=1,其它為0；總學分由21增至22。注意：最優解不唯一！課號課名學分1微積分52線性代數43最優化方法44數據結構35應用統計46計算機模擬37計算機編程28預測理論29數學實驗3LINGO無法告訴優化問題的解是否唯一。可將x9=1易為x6=1增加約束，以學分最多為目標求解。多目標規劃在課程最少的前提下以學分最多為目標。最優解：58多目標規劃

對學分數和課程數加權形成一個目標，如三七開。最優解：

x1=x2=x3=x4=x5=x6=x7=x9=1，其它為0；總學分28。課號課名學分1微積分52線性代數43最優化方法44數據結構35應用統計46計算機模擬37計算機編程28預測理論29數學實驗3多目標規劃對學分數和課程數加權形成一個目標，如三七開。59討論與思考最優解與1=0，2=1的結果相同——學分最多多目標規劃

最優解與1=1，2=0的結果相同——課程最少討論與思考最優解與1=0，2=1的結果相同——學分最多多60問題1.如何下料最節省?5下料問題：鋼管下料(§4.6)問題2.客戶增加需求：原料鋼管:每根19米4米50根6米20根8米15根客戶需求節省的標準是什么？由于采用不同切割模式太多，會增加生產和管理成本，規定切割模式不能超過3種。如何下料最節省？5米10根問題1.如何下料最節省?5下料問題：鋼管下料(§461按照客戶需要在一根原料鋼管上安排切割的一種組合。

切割模式余料1米4米1根6米1根8米1根余料3米4米1根6米1根6米1根合理切割模式的余料應小于客戶需要鋼管的最小尺寸余料3米8米1根8米1根鋼管下料按照客戶需要在一根原料鋼管上安排切割的一種組合。切割模式余62為滿足客戶需要，按照哪些種合理模式，每種模式切割多少根原料鋼管，最為節省？合理切割模式2.所用原料鋼管總根數最少模式

4米鋼管根數6米鋼管根數8米鋼管根數余料(米)14003231013201341203511116030170023鋼管下料問題1兩種標準1.原料鋼管剩余總余量最小為滿足客戶需要，按照哪些種合理模式，每種模式切割多少根原料鋼63xi~按第i種模式切割的原料鋼管根數(i=1,2,…7)約束滿足需求決策變量

目標1（總余量）按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米

模式4米根數6米根數8米根數余料14003231013201341203511116030170023需求502015最優解：x2=12,x5=15,其余為0；最優值：27。整數約束：xi為整數xi~按第i種模式切割的原料鋼管根數(i=1,2,…7)64當余料沒有用處時，通常以總根數最少為目標目標2（總根數）鋼管下料問題1約束條件不變最優解：x2=15,x5=5,x7=5,其余為0；最優值：25。xi為整數按模式2切割15根，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共25根，余料35米雖余料增加8米，但減少了2根與目標1的結果“共切割27根，余料27米”相比當余料沒有用處時，通常以總根數最少為目標目標2（總根數）鋼65鋼管下料問題2對大規模問題，用模型的約束條件界定合理模式增加一種需求：5米10根；切割模式不超過3種。現有4種需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根，用枚舉法確定合理切割模式，過于復雜。決策變量

xi~按第i種模式切割的原料鋼管根數(i=1,2,3)r1i,r2i,r3i,r4i~第i種切割模式下，每根原料鋼管生產4米、5米、6米和8米長的鋼管的數量鋼管下料問題2對大規模問題，用模型的約束條件界定合理模式增加66滿足需求模式合理：每根余料不超過3米整數非線性規劃模型鋼管下料問題2目標函數（總根數）約束條件整數約束：xi,r1i,r2i,r3i,r4i(i=1,2,3)為整數滿足需求模式合理：每根余料不超過3米整數非線性規劃模型鋼管下67增加約束，縮小可行域，便于求解原料鋼管總根數下界：

特殊生產計劃：對每根原料鋼管模式1：切割成4根4米鋼管，需13根；模式2：切割成1根5米和2根6米鋼管，需10根；模式3：切割成2根8米鋼管，需8根。原料鋼管總根數上界：13+10+8=31模式排列順序可任定

鋼管下料問題2需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根每根原料鋼管長19米增加約束，縮小可行域，便于求解原料鋼管總根數下界：特殊生產68LINGO求解整數非線性規劃模型（代碼見P125

）Localoptimalsolutionfoundatiteration:12211Objectivevalue:28.00000VariableValueReducedCostX110.000000.000000X210.000002.000000X38.0000001.000000R113.0000000.000000R122.0000000.000000R130.0000000.000000R210.0000000.000000R221.0000000.000000R230.0000000.000000R311.0000000.000000R321.0000000.000000