第三章倒格子與布里淵區(qū)1第三章倒格子與布里淵區(qū)1

目錄3.1引入倒格子的意義3.2倒格子的定義3.3倒格子的性質(zhì)3.4布里淵區(qū)3.5晶體的X射線(xiàn)衍射2目錄23.1引入倒格子的物理意義描述固體的周期性結(jié)構(gòu)中的微觀(guān)粒子的物理行為可以利用二種類(lèi)型的格子。一種是正格子，即，布拉菲格子，是周期性結(jié)構(gòu)在坐標(biāo)空間的描述；另一種是倒格子，它是周期性結(jié)構(gòu)在波矢空間(k空間)的描述。由坐標(biāo)空間變換到波矢空間更有利于表達(dá)周期性結(jié)構(gòu)中微粒的物理行為的特征。在本課程后續(xù)內(nèi)容中有很多例子，如：晶體X射線(xiàn)衍射，晶體原子振動(dòng)，晶體中電子能量。初學(xué)倒格子概念比較抽象和困難，但倒格子概念是深入學(xué)習(xí)固體物理學(xué)的不能缺少的必要工具。33.1引入倒格子的物理意義描述固體的周期性結(jié)構(gòu)中的微觀(guān)粒子設(shè)，布拉菲格子基矢為a1,a2,a3，將由矢量決定的格子，稱(chēng)為正格子，將滿(mǎn)足下述關(guān)系：的b1,b2,b3，定義為倒格子基矢，將由決定的格子，稱(chēng)為Rl的倒格子。3.2倒格子的定義3.2.1倒格子定義之一4設(shè)，布拉菲格子基矢為a1,a2,a3，3.2倒格子的定根據(jù)以上定義，每個(gè)倒格子基矢必與兩個(gè)正格子基矢正交，顯然，倒格子基矢，也即倒格矢的量綱是[長(zhǎng)度]-1，與波矢的量綱一致。3.2倒格子的定義3.2.2倒格子定義之二如：？應(yīng)有：由此，可以直接定義倒格子基矢為：且有：5根據(jù)以上定義，每個(gè)倒格子基矢必與兩個(gè)正格子基矢正交，采用波函數(shù)定義倒格子設(shè)有以a1,a2,a3為基矢的布拉菲格子并有平面波。定義，具有給定布拉菲格子周期性的那些平面波，其波矢Kh所代表點(diǎn)的集合稱(chēng)為Rl的倒格子。其數(shù)學(xué)表達(dá)為，如有對(duì)于任何r和Rl

成立，那么Kh決定的格子就是布拉菲格子Rl的倒格子。3.2倒格子的定義3.2.3倒格子定義之三6采用波函數(shù)定義倒格子3.2倒格子的定義3.2.3倒格子定其中b1,b2,b3由確定，則以上條件成立。驗(yàn)證：可以驗(yàn)證，當(dāng)波矢Kh取為倒格子定義之三驗(yàn)證由以上定義，要求Kh滿(mǎn)足，3.2倒格子的定義這是因?yàn)椋?其中b1,b2,b3可以驗(yàn)證，當(dāng)波矢Kh取為倒格子定義之三3.3倒格子的性質(zhì)3.3.1倒格子原胞體積*與正格子原胞體積的關(guān)系可以證明，分解，83.3倒格子的性質(zhì)3.3.1倒格子原胞體積*與正格子3.3.2倒格子的倒格子是原布拉菲格子按倒格子基矢定義構(gòu)造基矢c1,

c2,c3，可以證明ci

=ai，i=1,2,3。Rl，Kh所代表點(diǎn)的集合都是布拉菲格子，且互為正倒格子。事實(shí)上在中Rl，Kh地位全同。3.3倒格子的性質(zhì)93.3.2倒格子的倒格子是原布拉菲格子按倒格子基矢定義構(gòu)造3.3.3晶體中物理量的傅里葉變換關(guān)系設(shè)，晶體任一r處有物理量(r)，由晶格的周期性，應(yīng)有(r)=(r+Rl)，Rl為任意正格矢，周期性函數(shù)可作傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)如下：即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示滿(mǎn)足傅氏變換關(guān)系；正空間周期性物理量的傅氏空間就是其倒空間；正格子和倒格子互為傅氏變換。F(Kh)是物理量(r)在傅氏空間的表示形式3.3倒格子的性質(zhì)103.3.3晶體中物理量的傅里葉變換關(guān)系設(shè)，晶體任一r處0a1a3a23.3.4倒格矢與正格子中晶面系(h1h2h3)正交因?yàn)橐阎嫦?h1h2h3)中最靠近原點(diǎn)的晶面ABC在基矢a1,a2,a3上的截距分別為a1/h1,a2/h2,a3/h3，如下圖，Gh1h2h3為晶面ABC的法線(xiàn)，a2/h2a1/h1a3/h3CBAGh1h2h33.3倒格子的性質(zhì)110a1a3a23.3.4倒格矢3.3.5倒格矢的長(zhǎng)度是晶面系(h1h2h3)面間距的2倍0a1a3a2CBAa1/h1a3/h3a2/h2Gh1h2h33.3倒格子的性質(zhì)123.3.5倒格矢3.4布里淵區(qū)3.4.1布里淵區(qū)定義定義：在倒格子中，以某一格點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，作所有倒格矢的垂直平分面，倒格子空間被這些平面分成許多包圍原點(diǎn)的多面體區(qū)域，這些區(qū)域稱(chēng)為布里淵區(qū)。第一布里淵區(qū)：最靠近原點(diǎn)的平面所圍的區(qū)域。第二布里淵區(qū)：第一布里淵區(qū)界面與次遠(yuǎn)垂直平分面所圍的區(qū)域。第三布里淵區(qū)示意。第n個(gè)布里淵區(qū)是從原點(diǎn)出發(fā)，跨過(guò)(n-1)個(gè)垂直平分面達(dá)到的所有點(diǎn)的集合。133.4布里淵區(qū)3.4.1布里淵區(qū)定義定義：在倒格子中，3.4.2布里淵區(qū)界面方程令，Kh為倒格矢，如下圖，

A為Kh的垂直平分面

k為倒空間的矢量則，A上所有點(diǎn)都應(yīng)滿(mǎn)足k0Khk’證明：由圖可見(jiàn)，3.4布里淵區(qū)A143.4.2布里淵區(qū)界面方程令，Kh為倒格矢，如下圖，k0K4、布里淵區(qū)的形狀完全由晶體布拉菲格子決定(倒格矢由正格矢定義)，所以不管晶體的基元代表什么，只要布拉菲格子相同，布里淵區(qū)形狀就相同。5、簡(jiǎn)約布里淵區(qū)----第一布里淵區(qū)3.4.3布里淵區(qū)性質(zhì)1、各布里淵區(qū)的形狀都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。2、各布里淵區(qū)都可通過(guò)平移倒格矢到達(dá)第一布里淵區(qū)，且與之完全重合。3、每個(gè)布里淵區(qū)的體積都相等，且等于倒格子原胞體積。3.4布里淵區(qū)G154、布里淵區(qū)的形狀完全由晶體布拉菲格子決定(倒格矢由正格矢定3.4.4面心立方(FCC)的第一布里淵區(qū)可見(jiàn)FCC倒格子是一個(gè)邊長(zhǎng)為4/a的BCC格子。倒格子原點(diǎn)最近鄰有八個(gè)格點(diǎn)。所以FCC晶格第一布里淵區(qū)是一個(gè)截頂十四面體。3.4布里淵區(qū)163.4.4面心立方(FCC)的第一布里淵區(qū)可見(jiàn)FCC倒格3.4.5體心立方(BCC)的第一布里淵區(qū)可見(jiàn)BCC倒格子是一個(gè)邊長(zhǎng)為4/a的FCC格子。倒格子原點(diǎn)最近鄰有十二個(gè)格點(diǎn)。所以BCC晶格第一布里淵區(qū)是一個(gè)正十二面體。3.4布里淵區(qū)173.4.5體心立方(BCC)的第一布里淵區(qū)可見(jiàn)BCC倒3.5晶體的X射線(xiàn)衍射引言X射線(xiàn)衍射是研究晶體結(jié)構(gòu)的最重要的手段之一。本小節(jié)討論X射線(xiàn)衍射，主要是作為倒格子的應(yīng)用，特別是布里淵區(qū)的應(yīng)用的例子。我們將證明，布里淵區(qū)邊界是滿(mǎn)足晶體衍射極大條件的點(diǎn)的集合。以后我們還會(huì)看到，布里淵區(qū)邊界的意義，如：在周期場(chǎng)中傳播的波，除了X射線(xiàn)波以外，還有晶體中電子波、晶格振動(dòng)波等，都在布里淵區(qū)邊界上發(fā)生相長(zhǎng)干涉。183.5晶體的X射線(xiàn)衍射引言183.5.1布拉格(Bragg)定律布拉格首先(1933年)給出了晶體產(chǎn)生X射線(xiàn)衍射的極大條件。他認(rèn)為：(a)視晶體的原子平面，晶面為鏡面，(b)X射線(xiàn)被平行的原子面(晶面)做鏡面反射，(c)間距為d的一系列平行晶面產(chǎn)生的X射線(xiàn)發(fā)生相長(zhǎng)干涉，晶面間距d反射角入射角入射波波長(zhǎng)3.5晶體的X射線(xiàn)衍射193.5.1布拉格(Bragg)定律布拉格首先(193入射角入射波波長(zhǎng)反射角dsindsin由圖可以得到，反射線(xiàn)和入射線(xiàn)的光程差為2dsin，根據(jù)光學(xué)衍射理論，發(fā)生相長(zhǎng)干涉的條件為2dsin=n，n為整數(shù)上式即為晶體衍射的布拉格定律。布拉格將面間距為d的平行晶面運(yùn)用為間隔為d的光柵，成功解釋了晶體的x射線(xiàn)衍射現(xiàn)象。3.5晶體的X射線(xiàn)衍射3.5.1布拉格(Bragg)定律20入射角入射波波長(zhǎng)反射角dsindsin布拉格定律只是晶體結(jié)構(gòu)的周期性特征的結(jié)果，不涉及不反映基元中所包含的具體內(nèi)容。即，布拉菲格子相同，布拉格衍射結(jié)果相同。布拉格衍射與晶面間距d和有關(guān)，常見(jiàn)晶體d在納米(nm)量級(jí)。因sin1，故只當(dāng)2d~nm時(shí)，才能發(fā)生晶體布拉格衍射。X射線(xiàn)波長(zhǎng)，如：CuK

=0.154nm，因此，適合晶體衍射。可見(jiàn)光波長(zhǎng)在390-770nm，因此。不可能在晶體中發(fā)生衍射。入射角入射波波長(zhǎng)反射角布拉格定律2dsin=nn為整數(shù)3.5晶體的X射線(xiàn)衍射3.5.1布拉格(Bragg)定律21布拉格定律只是晶體結(jié)構(gòu)的周期性特征的結(jié)果，不涉及不反映基元中3.5.2勞厄(Laue)方程勞厄認(rèn)為晶體X射線(xiàn)衍射是晶體中具有平移周期性的格點(diǎn)上，各原胞中對(duì)應(yīng)原子對(duì)X射線(xiàn)彈性散射的相長(zhǎng)干涉結(jié)果。k=2/n入射波矢和波長(zhǎng)kk’=2/’n’散射波矢‘和波長(zhǎng)k'相距為d的二個(gè)原胞中的對(duì)應(yīng)原子d3.5晶體的X射線(xiàn)衍射注意，這二個(gè)原子是晶體中任意二個(gè)具有晶格平移周期性的格點(diǎn)上的二個(gè)原胞中的對(duì)應(yīng)原子。n入射波矢單位矢量n'散射波矢單位矢量223.5.2勞厄(Laue)方程勞厄認(rèn)為晶體X射線(xiàn)衍射是計(jì)算在相距d的二個(gè)等價(jià)原子(散射體)上，其入射波和散射波的光程差。等價(jià)原子距離矢量d3.5晶體的X射線(xiàn)衍射3.5.2勞厄(Laue)方程由圖可得入射波和散射波光程差為，k=2/n，入射波矢和波長(zhǎng)k’=2/’n’，散射波矢和波長(zhǎng)’nn'23計(jì)算在相距d的二個(gè)等價(jià)原子(散射體)上，其入射波和散射波因?yàn)閺椥陨⑸洌?’。由此得到，光程差滿(mǎn)足相長(zhǎng)干涉，產(chǎn)生衍射極大的條件：3.5晶體的X射線(xiàn)衍射3.5.2勞厄(Laue)方程k’=2/’n’，散射波矢和波長(zhǎng)k=2/n，入射波矢和波長(zhǎng)’等價(jià)原子距離矢量dnn'24因?yàn)閺椥陨⑸洌?’。3.5晶體的X射線(xiàn)衍射3k=2/nk’=2/’n’對(duì)于三維晶體，任何格點(diǎn)中的對(duì)應(yīng)原子的相對(duì)距離都可用晶格平移周期矢量Rl來(lái)表示。所以相長(zhǎng)干涉衍射極大條件的一般表達(dá)式應(yīng)為：對(duì)于所有布拉菲格矢Rl都成立，因此，k-k’必為Rl的倒格矢Kh。X射線(xiàn)波矢的改變等于倒格矢，則相長(zhǎng)干涉，出現(xiàn)衍射極大。3.5晶體的X射線(xiàn)衍射3.5.2勞厄(Laue)方程d

Rl由此，得出晶體X射線(xiàn)衍射極大的勞厄方程25k=2/nk’=2/’n’對(duì)于三維晶體，任何3.5.3勞厄方程和布里淵區(qū)邊界方程根據(jù)勞厄方程即，布里淵區(qū)邊界方程。其物理意義：當(dāng)入射波波矢k落在晶體布里淵區(qū)邊界上時(shí)，產(chǎn)生相長(zhǎng)干涉。3.5晶體的X射線(xiàn)衍射263.5.3勞厄方程和布里淵區(qū)邊界方程根據(jù)勞厄方程即，布里淵由勞厄方程作矢量關(guān)系圖。根據(jù)倒格矢與晶面的關(guān)系，已知：’’P3.5.4勞厄方程和布拉格定律的一致性kk’-k?Kh(2)當(dāng)Kh方向最短倒格矢的長(zhǎng)度記作Kh0，應(yīng)有Kh0=2/d，因?yàn)镵h=nKh0，所以應(yīng)有，3.5晶體的X射線(xiàn)衍射倒格矢Kh代表了一個(gè)晶面系的法向，即，圖中垂直于Kh的平面P，令其晶面間距為d。27由勞厄方程’’P3.5.4勞厄方程和布拉格定律的一結(jié)論：X射線(xiàn)波矢改變?yōu)榈垢袷窴h的勞厄衍射極大條件，完全等價(jià)于垂直于倒格矢Kh的正格子晶面的布拉格反射衍射極大條件。布拉格定律是晶體衍射極大條件在正空間的描述。勞厄方程是晶體衍射極大條件在倒空間的描述。3.5晶體的X射線(xiàn)衍射3.5.4勞厄方程和布拉格定律的一致性28結(jié)論：3.5晶體的X射線(xiàn)衍射3.5.4勞厄方程和布拉格定3.5.5厄瓦爾構(gòu)圖晶體衍射勞厄方程的反射球表示。取一倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，以原點(diǎn)為矢端作k0(入射波波矢)，以k0未端為球心，k0為半徑作球面。Ok1k2k3k0kGk0=2

/因?yàn)閗=k0=2/，所以，從球面上任何倒格點(diǎn)向球心作矢量k都滿(mǎn)足勞厄方程

k0–k=G因此，落在反射球面上的倒格點(diǎn)到球心的矢量，均為在給定入射波k0下，晶體產(chǎn)生衍射極大的方向。3.5晶體的X射線(xiàn)衍射293.5.5厄瓦爾構(gòu)圖晶體衍射勞厄方程的反射球表示。Ok1k3.5.6X射線(xiàn)衍射實(shí)驗(yàn)方法通常由于晶體倒格點(diǎn)離散分布，對(duì)于給定k0(給定入射方向和入射波長(zhǎng))，在所作反射球面上很少有倒格點(diǎn)存在。因此，晶體產(chǎn)生衍射極大的可能也很少。(1)勞厄法單晶試樣，固定不動(dòng)----倒格子確定不變。連續(xù)波長(zhǎng)X射線(xiàn)----反射球半徑連續(xù)改變。二個(gè)球面之間所有的倒格點(diǎn)都滿(mǎn)足勞厄方向，產(chǎn)生衍射極大。Ok1k2k3kmaxG2

/min2

/maxkmin3.5晶體的X射線(xiàn)衍射303.5.6X射線(xiàn)衍射實(shí)驗(yàn)方法通常由于晶體倒格點(diǎn)離散分布，對(duì)(2)轉(zhuǎn)晶法單色X射線(xiàn)----反射球只有一個(gè)，球面確定。單晶試樣繞一軸轉(zhuǎn)動(dòng)----倒格子繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，每個(gè)倒格點(diǎn)劃圓，凡與反射球面相交的點(diǎn)的方向都是發(fā)生衍射極大方向。Ok1k2k3k0kG3.5晶體的X射線(xiàn)衍射3.5.6X射線(xiàn)衍射實(shí)驗(yàn)方法31(2)轉(zhuǎn)晶法Ok1k2k3k0kG3.5晶體的X射線(xiàn)衍射Ok1k2k3(3)粉末法單色X射線(xiàn)----反射球只有一個(gè)，球面確定。粉末試樣----試樣中單晶體在整個(gè)立體角內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，每個(gè)倒格點(diǎn)都畫(huà)球面，凡與反射球相交的園上所有點(diǎn)的方向都是衍射極大方向。3.5晶體的X射線(xiàn)衍射3.5.6X射線(xiàn)衍射實(shí)驗(yàn)方法32Ok1k2k3(3)粉末法3.5晶體的X射線(xiàn)衍射3.5.第三章倒格子與布里淵區(qū)33第三章倒格子與布里淵區(qū)1

目錄3.1引入倒格子的意義3.2倒格子的定義3.3倒格子的性質(zhì)3.4布里淵區(qū)3.5晶體的X射線(xiàn)衍射34目錄23.1引入倒格子的物理意義描述固體的周期性結(jié)構(gòu)中的微觀(guān)粒子的物理行為可以利用二種類(lèi)型的格子。一種是正格子，即，布拉菲格子，是周期性結(jié)構(gòu)在坐標(biāo)空間的描述；另一種是倒格子，它是周期性結(jié)構(gòu)在波矢空間(k空間)的描述。由坐標(biāo)空間變換到波矢空間更有利于表達(dá)周期性結(jié)構(gòu)中微粒的物理行為的特征。在本課程后續(xù)內(nèi)容中有很多例子，如：晶體X射線(xiàn)衍射，晶體原子振動(dòng)，晶體中電子能量。初學(xué)倒格子概念比較抽象和困難，但倒格子概念是深入學(xué)習(xí)固體物理學(xué)的不能缺少的必要工具。353.1引入倒格子的物理意義描述固體的周期性結(jié)構(gòu)中的微觀(guān)粒子設(shè)，布拉菲格子基矢為a1,a2,a3，將由矢量決定的格子，稱(chēng)為正格子，將滿(mǎn)足下述關(guān)系：的b1,b2,b3，定義為倒格子基矢，將由決定的格子，稱(chēng)為Rl的倒格子。3.2倒格子的定義3.2.1倒格子定義之一36設(shè)，布拉菲格子基矢為a1,a2,a3，3.2倒格子的定根據(jù)以上定義，每個(gè)倒格子基矢必與兩個(gè)正格子基矢正交，顯然，倒格子基矢，也即倒格矢的量綱是[長(zhǎng)度]-1，與波矢的量綱一致。3.2倒格子的定義3.2.2倒格子定義之二如：？應(yīng)有：由此，可以直接定義倒格子基矢為：且有：37根據(jù)以上定義，每個(gè)倒格子基矢必與兩個(gè)正格子基矢正交，采用波函數(shù)定義倒格子設(shè)有以a1,a2,a3為基矢的布拉菲格子并有平面波。定義，具有給定布拉菲格子周期性的那些平面波，其波矢Kh所代表點(diǎn)的集合稱(chēng)為Rl的倒格子。其數(shù)學(xué)表達(dá)為，如有對(duì)于任何r和Rl

成立，那么Kh決定的格子就是布拉菲格子Rl的倒格子。3.2倒格子的定義3.2.3倒格子定義之三38采用波函數(shù)定義倒格子3.2倒格子的定義3.2.3倒格子定其中b1,b2,b3由確定，則以上條件成立。驗(yàn)證：可以驗(yàn)證，當(dāng)波矢Kh取為倒格子定義之三驗(yàn)證由以上定義，要求Kh滿(mǎn)足，3.2倒格子的定義這是因?yàn)椋?9其中b1,b2,b3可以驗(yàn)證，當(dāng)波矢Kh取為倒格子定義之三3.3倒格子的性質(zhì)3.3.1倒格子原胞體積*與正格子原胞體積的關(guān)系可以證明，分解，403.3倒格子的性質(zhì)3.3.1倒格子原胞體積*與正格子3.3.2倒格子的倒格子是原布拉菲格子按倒格子基矢定義構(gòu)造基矢c1,

c2,c3，可以證明ci

=ai，i=1,2,3。Rl，Kh所代表點(diǎn)的集合都是布拉菲格子，且互為正倒格子。事實(shí)上在中Rl，Kh地位全同。3.3倒格子的性質(zhì)413.3.2倒格子的倒格子是原布拉菲格子按倒格子基矢定義構(gòu)造3.3.3晶體中物理量的傅里葉變換關(guān)系設(shè)，晶體任一r處有物理量(r)，由晶格的周期性，應(yīng)有(r)=(r+Rl)，Rl為任意正格矢，周期性函數(shù)可作傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)如下：即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示滿(mǎn)足傅氏變換關(guān)系；正空間周期性物理量的傅氏空間就是其倒空間；正格子和倒格子互為傅氏變換。F(Kh)是物理量(r)在傅氏空間的表示形式3.3倒格子的性質(zhì)423.3.3晶體中物理量的傅里葉變換關(guān)系設(shè)，晶體任一r處0a1a3a23.3.4倒格矢與正格子中晶面系(h1h2h3)正交因?yàn)橐阎嫦?h1h2h3)中最靠近原點(diǎn)的晶面ABC在基矢a1,a2,a3上的截距分別為a1/h1,a2/h2,a3/h3，如下圖，Gh1h2h3為晶面ABC的法線(xiàn)，a2/h2a1/h1a3/h3CBAGh1h2h33.3倒格子的性質(zhì)430a1a3a23.3.4倒格矢3.3.5倒格矢的長(zhǎng)度是晶面系(h1h2h3)面間距的2倍0a1a3a2CBAa1/h1a3/h3a2/h2Gh1h2h33.3倒格子的性質(zhì)443.3.5倒格矢3.4布里淵區(qū)3.4.1布里淵區(qū)定義定義：在倒格子中，以某一格點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，作所有倒格矢的垂直平分面，倒格子空間被這些平面分成許多包圍原點(diǎn)的多面體區(qū)域，這些區(qū)域稱(chēng)為布里淵區(qū)。第一布里淵區(qū)：最靠近原點(diǎn)的平面所圍的區(qū)域。第二布里淵區(qū)：第一布里淵區(qū)界面與次遠(yuǎn)垂直平分面所圍的區(qū)域。第三布里淵區(qū)示意。第n個(gè)布里淵區(qū)是從原點(diǎn)出發(fā)，跨過(guò)(n-1)個(gè)垂直平分面達(dá)到的所有點(diǎn)的集合。453.4布里淵區(qū)3.4.1布里淵區(qū)定義定義：在倒格子中，3.4.2布里淵區(qū)界面方程令，Kh為倒格矢，如下圖，

A為Kh的垂直平分面

k為倒空間的矢量則，A上所有點(diǎn)都應(yīng)滿(mǎn)足k0Khk’證明：由圖可見(jiàn)，3.4布里淵區(qū)A463.4.2布里淵區(qū)界面方程令，Kh為倒格矢，如下圖，k0K4、布里淵區(qū)的形狀完全由晶體布拉菲格子決定(倒格矢由正格矢定義)，所以不管晶體的基元代表什么，只要布拉菲格子相同，布里淵區(qū)形狀就相同。5、簡(jiǎn)約布里淵區(qū)----第一布里淵區(qū)3.4.3布里淵區(qū)性質(zhì)1、各布里淵區(qū)的形狀都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。2、各布里淵區(qū)都可通過(guò)平移倒格矢到達(dá)第一布里淵區(qū)，且與之完全重合。3、每個(gè)布里淵區(qū)的體積都相等，且等于倒格子原胞體積。3.4布里淵區(qū)G474、布里淵區(qū)的形狀完全由晶體布拉菲格子決定(倒格矢由正格矢定3.4.4面心立方(FCC)的第一布里淵區(qū)可見(jiàn)FCC倒格子是一個(gè)邊長(zhǎng)為4/a的BCC格子。倒格子原點(diǎn)最近鄰有八個(gè)格點(diǎn)。所以FCC晶格第一布里淵區(qū)是一個(gè)截頂十四面體。3.4布里淵區(qū)483.4.4面心立方(FCC)的第一布里淵區(qū)可見(jiàn)FCC倒格3.4.5體心立方(BCC)的第一布里淵區(qū)可見(jiàn)BCC倒格子是一個(gè)邊長(zhǎng)為4/a的FCC格子。倒格子原點(diǎn)最近鄰有十二個(gè)格點(diǎn)。所以BCC晶格第一布里淵區(qū)是一個(gè)正十二面體。3.4布里淵區(qū)493.4.5體心立方(BCC)的第一布里淵區(qū)可見(jiàn)BCC倒3.5晶體的X射線(xiàn)衍射引言X射線(xiàn)衍射是研究晶體結(jié)構(gòu)的最重要的手段之一。本小節(jié)討論X射線(xiàn)衍射，主要是作為倒格子的應(yīng)用，特別是布里淵區(qū)的應(yīng)用的例子。我們將證明，布里淵區(qū)邊界是滿(mǎn)足晶體衍射極大條件的點(diǎn)的集合。以后我們還會(huì)看到，布里淵區(qū)邊界的意義，如：在周期場(chǎng)中傳播的波，除了X射線(xiàn)波以外，還有晶體中電子波、晶格振動(dòng)波等，都在布里淵區(qū)邊界上發(fā)生相長(zhǎng)干涉。503.5晶體的X射線(xiàn)衍射引言183.5.1布拉格(Bragg)定律布拉格首先(1933年)給出了晶體產(chǎn)生X射線(xiàn)衍射的極大條件。他認(rèn)為：(a)視晶體的原子平面，晶面為鏡面，(b)X射線(xiàn)被平行的原子面(晶面)做鏡面反射，(c)間距為d的一系列平行晶面產(chǎn)生的X射線(xiàn)發(fā)生相長(zhǎng)干涉，晶面間距d反射角入射角入射波波長(zhǎng)3.5晶體的X射線(xiàn)衍射513.5.1布拉格(Bragg)定律布拉格首先(193入射角入射波波長(zhǎng)反射角dsindsin由圖可以得到，反射線(xiàn)和入射線(xiàn)的光程差為2dsin，根據(jù)光學(xué)衍射理論，發(fā)生相長(zhǎng)干涉的條件為2dsin=n，n為整數(shù)上式即為晶體衍射的布拉格定律。布拉格將面間距為d的平行晶面運(yùn)用為間隔為d的光柵，成功解釋了晶體的x射線(xiàn)衍射現(xiàn)象。3.5晶體的X射線(xiàn)衍射3.5.1布拉格(Bragg)定律52入射角入射波波長(zhǎng)反射角dsindsin布拉格定律只是晶體結(jié)構(gòu)的周期性特征的結(jié)果，不涉及不反映基元中所包含的具體內(nèi)容。即，布拉菲格子相同，布拉格衍射結(jié)果相同。布拉格衍射與晶面間距d和有關(guān)，常見(jiàn)晶體d在納米(nm)量級(jí)。因sin1，故只當(dāng)2d~nm時(shí)，才能發(fā)生晶體布拉格衍射。X射線(xiàn)波長(zhǎng)，如：CuK

=0.154nm，因此，適合晶體衍射。可見(jiàn)光波長(zhǎng)在390-770nm，因此。不可能在晶體中發(fā)生衍射。入射角入射波波長(zhǎng)反射角布拉格定律2dsin=nn為整數(shù)3.5晶體的X射線(xiàn)衍射3.5.1布拉格(Bragg)定律53布拉格定律只是晶體結(jié)構(gòu)的周期性特征的結(jié)果，不涉及不反映基元中3.5.2勞厄(Laue)方程勞厄認(rèn)為晶體X射線(xiàn)衍射是晶體中具有平移周期性的格點(diǎn)上，各原胞中對(duì)應(yīng)原子對(duì)X射線(xiàn)彈性散射的相長(zhǎng)干涉結(jié)果。k=2/n入射波矢和波長(zhǎng)kk’=2/’n’散射波矢‘和波長(zhǎng)k'相距為d的二個(gè)原胞中的對(duì)應(yīng)原子d3.5晶體的X射線(xiàn)衍射注意，這二個(gè)原子是晶體中任意二個(gè)具有晶格平移周期性的格點(diǎn)上的二個(gè)原胞中的對(duì)應(yīng)原子。n入射波矢單位矢量n'散射波矢單位矢量543.5.2勞厄(Laue)方程勞厄認(rèn)為晶體X射線(xiàn)衍射是計(jì)算在相距d的二個(gè)等價(jià)原子(散射體)上，其入射波和散射波的光程差。等價(jià)原子距離矢量d3.5晶體的X射線(xiàn)衍射3.5.2勞厄(Laue)方程由圖可得入射波和散射波光程差為，k=2/n，入射波矢和波長(zhǎng)k’=2/’n’，散射波矢和波長(zhǎng)’nn'55計(jì)算在相距d的二個(gè)等價(jià)原子(散射體)上，其入射波和散射波因?yàn)閺椥陨⑸洌?’。由此得到，光程差滿(mǎn)足相長(zhǎng)干涉，產(chǎn)生衍射極大的條件：3.5晶體的X射線(xiàn)衍射3.5.2勞厄(Laue)方程k’=2/’n’，散射波矢和波長(zhǎng)k=2/n，入射波矢和波長(zhǎng)’等價(jià)原子距離矢量dnn'56因?yàn)閺椥陨⑸洌?’。3.5晶體的X射線(xiàn)衍射3k=2/nk’=2/’n’對(duì)于三維晶體，任何格點(diǎn)中的對(duì)應(yīng)原子的相對(duì)距離都可用晶格平移周期矢量Rl來(lái)表示。所以相長(zhǎng)干涉衍射極大條件的一般表達(dá)式應(yīng)為：對(duì)于所有布拉菲格矢Rl都成立，因此，k-k’必為Rl的倒格矢Kh。X射線(xiàn)波矢的改變等于倒格矢，則相長(zhǎng)干涉，出現(xiàn)衍射極大。3.5晶體的X射線(xiàn)衍射3.5.2勞厄(Laue)方程d

Rl由此，得出晶體X射線(xiàn)衍射極大的勞厄方程57k=2/nk’=2/’n’對(duì)于三維晶體，任何3.5.3勞厄方程和布里淵區(qū)邊界方程根據(jù)勞厄方程即，布里淵區(qū)邊界方程。其物理意義：當(dāng)入射波波矢k落在晶體布里淵區(qū)邊界上時(shí)，產(chǎn)生相長(zhǎng)干涉。3.5晶體的X射線(xiàn)衍射583.5.3勞厄方程和布里淵區(qū)邊界方程根據(jù)勞厄方程即，布里淵由勞厄方程作矢量關(guān)系圖。根據(jù)倒格矢與晶