江蘇省鎮江市2022-2023學年度鎮江市高三上學期期中試卷數學一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，,則（）A. B. C. D.2.命題：“”的否定是（）A. B.C. D.3.已知復數滿足，則（）A. B. C. D.4.云臺閣，位于鎮江西津渡景區，全全落于云臺山北峰，建筑形式具有宋?元古建特征.如圖，小明同學為測量云臺閣的高度，在云臺閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為12，在它們的地面上的點M（B，M，D三點共線）測得樓頂A，云臺閣頂部C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測得閣頂部C的仰角為30°，則小明估算云臺閣的高度為（）（，，精確到1）A42 B.45 C.51 D.575.已知等比數列中，，其前項和為，前項積為，且，，則使得成立的正整數的最小值為（）A.9 B.10 C.11 D.126.中，M，N分別為AC，BC的中點，AN與BM交于點O，下列表達正確的是（）A. B.C. D.7.某種卷筒衛生紙繞在圓柱形盤上，空盤時盤芯直徑為40，滿盤時直徑為120，已知衛生紙的厚度為0.1，則滿盤時衛生紙的總長度大約（）（π≈3.14，精確到1）A.60 B.80 C.100 D.1208.已知函數記函數為的導函數，函數的圖象在處的切線與x軸相交的橫坐標為，則（）A. B.C. D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知a，b，c，d∈R，下列命題正確的是（）A.若a<b<0，則a2<ab<b2 B.若a>b，則ac2≥bc2C.不等式恒成立 D.若，且，則10.下列判斷正確的有（）A.當時，方程存在唯一實數解B當時，C.D.11.設為單位向量，滿足，設的夾角為，下列說法正確的是（）AB.的最小值為2C.最小值為D.當時，使方程成立一定是負數12.設函數，已知在有且僅有5個零點．下面論述正確的是（）．A.在有且僅有3個極大值點 B.在有且僅有2個極小值點C.在單調遞增 D.的取值范圍是三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.“m＞1”是“函數的最大值小于1”的___________條件.(在“充分不必要”?“必要不充分”?“充要”?“既不充分也不必要”中選擇一個填空)14.已知向量，若，則___________.15.已知，則___________，___________16.已知，若有且僅有三個整數解，則a的取值范圍是___________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知向量.（1）若，求的值；（2）記，求函數的圖象向右平移個單位，縱坐標不變橫坐標變為原來的2倍，得到函數的圖象，求函數的值域.18.已知數列首項為2，滿足，求：（1）數列的通項公式；（2）數列的前n項和.19.在中，角的對邊分別為已知.（1）求角的大小；（2）邊上有一點，滿足，且，求周長的最小值.20.“春節”期間，某商場進行如下優惠促銷活動：優惠方案1：一次購買商品的價格，每滿60元立減5元；優惠方案2：在優惠1之后，再每滿400元立減40元．例如，一次購買商品的價格為130元，則實際支付額元，其中表示不大于x的最大整數．又如，一次購買商品的價格為860元，則實際支付額元．（1）小明計劃在該商場購買兩件價格分別是250元和650元的商品，他是分兩次支付好，還是一次支付好？請說明理由；（2）已知某商品是小明常用必需品，其價格為30元/件，小明趁商場促銷，想多購買幾件該商品，其預算不超過500元，試求他應購買多少件該商品，才能使其平均價格最低？最低平均價格是多少？21.已知函數是定義在上的奇函數.（1）求函數的解析式，判斷函數在定義域上的單調性并證明；（2）令，若對，使得，求實數的取值范圍.22.已知函數.（1）求函數f（x）的單調區間；（2）若對任意的x>1，f（x）>0恒成立，求實數a的取值范圍；（3）證明：若函數f（x）有極值點，則f（x）必有3個不同的零點.2022-2023學年度鎮江市高三上學期期中試卷數學一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，,則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據對數和指數的性質解出集合M和N，從而可求得答案.【詳解】，，故，，∴.故選：B.2.命題：“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據特稱命題的否定為全稱命題即可求解.【詳解】“”的否定是“”，故選：C.3.已知復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復數的運算可求得實數的值，再利用共軛復數的定義以及復數的模長公式可求得結果.【詳解】由已知可得，所以，，所以，，故，因此，.故選：A4.云臺閣，位于鎮江西津渡景區，全全落于云臺山北峰，建筑形式具有宋?元古建特征.如圖，小明同學為測量云臺閣的高度，在云臺閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為12，在它們的地面上的點M（B，M，D三點共線）測得樓頂A，云臺閣頂部C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測得閣頂部C的仰角為30°，則小明估算云臺閣的高度為（）（，，精確到1）A.42 B.45 C.51 D.57【答案】D【解析】【分析】利用直角三角形的正弦公式及解三角形的正弦定理，依次求得即可.【詳解】因為，所以在中，，故，在中，，則，所以由正弦定理得，故，所以在中，，故.故選：D.5.已知等比數列中，，其前項和為，前項積為，且，，則使得成立的正整數的最小值為（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】D【解析】【分析】根據等數列的通項關系，求得，從而得，于是有，解不等式【詳解】解：因為，，所以即，則，或，又，，則，則，得，則.選選：D.6.中，M，N分別為AC，BC的中點，AN與BM交于點O，下列表達正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】取中點，連,根據三角形重心定理，結合向量的線性運算，即可得到結果.【詳解】取中點，連,則點為的重心，，即，故選：D.7.某種卷筒衛生紙繞在圓柱形盤上，空盤時盤芯直徑為40，滿盤時直徑為120，已知衛生紙的厚度為0.1，則滿盤時衛生紙的總長度大約（）（π≈3.14，精確到1）A.60 B.80 C.100 D.120【答案】C【解析】【分析】將衛生紙的長度近似看成400個直徑成等差數列的圓周長的和，利用等差數列前n項和公式即可求得滿盤時衛生紙的總長度大約為100【詳解】空盤直徑是，半徑是，周長是滿盤直徑是，半徑是，周長是，則每一圈周長成等差數列，共400項，，故選：C.8.已知函數記函數為的導函數，函數的圖象在處的切線與x軸相交的橫坐標為，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由導數的幾何意義可求出切線方程，再利用裂項相消法即可求解.【詳解】，切點，，切線方程為：，令，即，切點，，切線方程為：，令，所以，故選：B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知a，b，c，d∈R，下列命題正確的是（）A.若a<b<0，則a2<ab<b2 B.若a>b，則ac2≥bc2C.不等式恒成立 D.若，且，則【答案】BC【解析】【分析】對于AD，舉反例即可排除；對于B，利用不等式的性質即可判斷；對于C，利用基本不等式即可判斷.【詳解】對于A，令，則，但，故A錯誤；對于B，因為，，所以，當時取“，故B正確；對于C，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以恒成立，故C正確；對于D，令，則，，且，所以由的單調性可知，故D錯誤.故選：BC.10.下列判斷正確的有（）A.當時，方程存在唯一實數解B.當時，C.D.【答案】BCD【解析】【分析】(1)將方程轉化為在上無解，(2)構造根據函數的導數討論單調性和最值即可判斷，(3)由(2)可確定，再構造函數利用導數和單調性最值的關系可確定，(4)根據可判斷.【詳解】時，,即在上無解，故A錯誤；時令，在單調遞減，所以即故B正確；因為令令，所以在單調遞減，所以，即則在上單調遞減，，即，即故C正確；故D正確；故選：BCD.11.設為單位向量，滿足，設的夾角為，下列說法正確的是（）A.B.的最小值為2C.最小值為D.當時，使方程成立的一定是負數【答案】ACD【解析】【分析】利用向量的數量積運算律以及夾角公式，模長公式即可求解.【詳解】，故A正確；故B錯誤；故C正確；，因為，所以即一定是負數，故D正確；故選:ACD.12.設函數，已知在有且僅有5個零點．下面論述正確是（）．A.在有且僅有3個極大值點 B.在有且僅有2個極小值點C.在單調遞增 D.的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】結合正弦函數的圖像和性質可判斷A，B選項，根據在有且僅有5個零點，可得，解出，可判斷D，由，得，而要在單調遞增，從而可得，進而可求出的范圍，可判斷C【詳解】解：當時，，因為在有且僅有5個零點，所以在上有且僅有3個極大值點，而極小值點有2個或3個，所以A正確，B錯誤；因為，所以，所以D正確；當時，，若在單調遞增，則，得，而，所以C正確，故選：ACD【點睛】此題考查了三角函數的圖像與性質，考查計算能力，屬于中檔題三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.“m＞1”是“函數的最大值小于1”的___________條件.(在“充分不必要”?“必要不充分”?“充要”?“既不充分也不必要”中選擇一個填空)【答案】充分不必要【解析】【分析】根據m＞1利用基本不等式求出f(x)最大值可判斷充分性；利用導數判斷f(x)的單調性，求出其最大值，令最大值小于1求出m的范圍，由此可判斷必要性．【詳解】①時，，即；②對于函數，，若，則，f(x)在x>0時單調遞減，沒有最大值；若，則時，，單調遞增；時，，單調遞減；∴，若，則．故“m＞1”是“函數的最大值小于1”的“充分不必要”條件．故答案為：充分不必要．14.已知向量，若，則___________.【答案】【解析】【分析】由已知，根據已知條件，先表示出坐標形式，然后再根據，直接列式求解即可.【詳解】由已知，，所以，由可知：，解得.故答案為：.15.已知，則___________，___________【答案】①.②.【解析】【分析】利用結合和角公式可求；利用結合和角公式可求【詳解】故答案為：；16.已知，若有且僅有三個整數解，則a的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】，令，利用導數求出函數單調區間，再根據函數的單調性結合已知即可得解.【詳解】解：，令，令，則，所以函數在上遞減，又，當時，，當時，，所以函數在上遞增，在上遞減，因為有且僅有三個整數解，所以，即，所以a的取值范圍是.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知向量.（1）若，求的值；（2）記，求函數的圖象向右平移個單位，縱坐標不變橫坐標變為原來的2倍，得到函數的圖象，求函數的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量坐標的線性運算得的坐標，根據的坐標關系可得，從而可得，，即可求解的值；（2）求解化成余弦型函數，再由三角函數圖象變化得，根據余弦函數圖象性質求函數的值域即可.【小問1詳解】解：，，，即，.【小問2詳解】解：由圖象向右平移，橫坐標變為2倍得，在單調遞增，單調遞減，即值域為.18.已知數列首項為2，滿足，求：（1）數列的通項公式；（2）數列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題設可得，即可得為等比數列，寫出通項公式，即可得的通項公式；（2）應用錯位相減法及等比數列前n項和公式求.【小問1詳解】已知數列滿足，則，則是首項為，公比為2的等比數列，故，即.【小問2詳解】，①②①②可得：19.在中，角的對邊分別為已知.（1）求角的大小；（2）邊上有一點，滿足，且，求周長的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角公式得到，即可求出角的大小；（2）利用數量積的定義得到，求出.由面積相等得到.整理出周長，令，，得到，利用單調性法求出的周長最小值.【小問1詳解】，由正弦定理得：..【小問2詳解】，化簡得：周長令，即又由復合函數單調性知在時單調遞增當時，.即的周長最小值為.20.“春節”期間，某商場進行如下的優惠促銷活動：優惠方案1：一次購買商品的價格，每滿60元立減5元；優惠方案2：在優惠1之后，再每滿400元立減40元．例如，一次購買商品的價格為130元，則實際支付額元，其中表示不大于x的最大整數．又如，一次購買商品的價格為860元，則實際支付額元．（1）小明計劃在該商場購買兩件價格分別是250元和650元的商品，他是分兩次支付好，還是一次支付好？請說明理由；（2）已知某商品是小明常用必需品，其價格為30元/件，小明趁商場促銷，想多購買幾件該商品，其預算不超過500元，試求他應購買多少件該商品，才能使其平均價格最低？最低平均價格是多少？【答案】（1）一次支付好，理由見解析（2）購買15件或16件時，該生活日用品的平均價格最低，最低平均價格為25元/件【解析】【分析】（1）計算兩種支付方式的支付額，比較可得答案；（2）先確定在優惠條件下最多可以購買的件數，然后依據優惠方案2進行分類討論，比較每種情況下的平均價格，可得答案.【小問1詳解】分兩次支付：支付額為元;一次支付：支付額為元,因為，所以一次支付好；【小問2詳解】設購買件，平均價格為y元/件．由于預算不超過500元，但算上優惠，最多購買19件，當時，不能享受每滿400元再減40元的優惠當時，，，當時，，；當時，，．所以當時，購買偶數件時，平均價格最低，為27.5元/件．當時，能享受每滿400元再減40元的優惠當時，，當，時，;當時，，y隨著n的增大而增大，所以當，時，．綜上，購買15件或16件時，該生活日用品的平均價格最低，最低平均價格為25元/件．21.已知函數是定義在上的奇函數.（1）求函數的解析式，判斷函數在定義域上的單調性并證明；（2）令，若對，使得，求實數的取值范圍.【答案】（1），在上單調遞減，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據函數是定義在上的奇函數，利用奇函數的性質求解，即可得函數的解析式；判斷函數在上的單調性，利用單調性定義任取，且，作差變形，判斷差的符號即可證明單調性；（2）根據不等式，參變分離轉化為函數最值問題，