專題10集合論的創立與發展教育碩士林清峰專題10集合論的創立與發展教育碩士林清峰1

19世紀,由德國數學家康托（G.Cantor，1845～1918）建立的集合論是關于無窮集合與超窮數的數學理論，是人類思想史上最偉大的創造之一。

19世紀,由德國數學家康托（G.Cantor，182一、無窮是什么？神秘莫測的，無邊無際的，蒼穹一樣的迷人的，……詩人，作家，藝術家，神學家，科學家數學家

一、無窮是什么？神秘莫測的，無邊無際的，蒼穹一樣的3從一粒沙子看世界，從一朵野花看蒼穹，把無窮掌握在你的手中，把永恒掌握在頃刻之中。威廉?布萊克（WilliamBlake）英國著名詩人詩作《天真的預言》（節選）無窮是什么？從一粒沙子看世界，無窮是什么？4

5數的概念演進經歷四次飛躍：區別一與多區別少數與大數區別有窮數與無窮數區別無窮數的不同層次每一次飛躍代表對數、對無窮的新認識。

無窮是什么？數的概念演進經歷四次飛躍：無窮是什么？6阿基米德（Archimedes287-212B.C.）在《數沙者》（TheSandReckoner）中定出一種計算地球上所有海灘上的沙粒數目的方法，從而糾正了認為海灘上的沙粒數目是無窮的想法。

無窮是什么？阿基米德（Archimedes287-212B.C.）在7二、關于無窮集合的早期認識希臘人通常認為無窮是不能接受的概念，它是一個不著邊際且不確定的東西。亞里士多德（Aristotle，384～322B.C.）

潛無窮與實無窮地球的年齡正整數整數二、關于無窮集合的早期認識希臘人8兩種無窮觀亞里士多德在他的《物理學》中得出的結論是：“可選擇的是無限具有潛性的存在……不會存在實無限。”他堅持認為數學中不需要后者。

關于無窮集合的早期認識兩種無窮觀關于無窮集合的早期認識9

無限——悖論棲身之處亞里士多德只承認有窮數的存在。他和經院哲學家們使用的一個典型論據是，如果承認無窮，就會導致有窮數的“湮滅”。

普洛克魯（Proclus，410～485A.D.）伽利略（Galileo，1564～1642）

《兩門新科學》(1638）“所有無窮大量都一樣，不能比較大小。”關于無窮集合的早期認識

無限——悖論棲身之處亞里士多德只承認有窮數的存在。他和10

許多數學家像談論數一樣談論無窮，卻并沒有弄清它的概念或確定它的性質。歐拉《代數學》(1770年)1/0是無窮大（而他并沒有定義無窮，只是用符號表示它）2/0關于無窮集合的早期認識許多數學家像談論數一樣談論無窮，卻并沒有弄清它的概念或確定11

笛卡爾說過：“無窮可以被認知，但不能被理解。”高斯在1831年寫給舒馬赫的信中說：“我反對把無窮量作為現實的實體來用，在數學中這是永遠不能允許的，無限只不過是一種說話方式，我們所說的極限是指，某些比可以隨意地接近它，而其他的則被允許無界地增加。”關于無窮集合的早期認識笛卡爾說過：“無窮可以被認知，但不能被理解。”關于無窮集合12

柯西（Cauchy,Augustin-Louis1789—1857）拒絕承認完成的無限集合的存在，其根據就是有這類悖論：一個完成的無限集合能與其本身的真正部分建立一一對應。

柯西（Cauchy,Augustin-Louis178913

有限集合大小的比較“整體大于部分”《歐幾里得》十條公設最后一條計數的根據波呂斐摩斯的故事利用一一對應概念作為計數根據的最早的文字記載之一。《荷馬史詩》記載荷馬（Homeros)約9-8B.C.古希臘詩人有限集合的早期認識有限集合有限集合的早期認識14當俄底修斯刺瞎獨眼巨人波呂斐摩斯并離開庫克羅普斯國以后，那個不幸的盲目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出來一只，他就從一堆石子中撿起一顆石子。晚上母羊返回山洞，每進去一只，他就扔掉一顆石子。當他把早晨撿起的石子都扔光時，他就確信所有的母羊全返回了山洞。

當俄底修斯刺瞎獨眼巨人波呂斐摩斯并離開庫克羅普斯國以后，那個15結繩記數成為人類早期表示記數的方法圖：日本琉球群島的結繩結繩記數成為人類早期表示記數的方法16三、無窮集合論的創立波爾查諾（B.Bolzano，1781～1848，捷克）

《無窮的悖論》（1851）三、無窮集合論的創立波爾查諾（B.Bolzano，178117實無窮集合兩個集合等價的概念，即后來叫做兩個集合元素之間的一一對應關系，適用于有限集合，也適用于無限集合無窮集合中部分或子集可以等價于整體對于無窮集合同樣可以指定一個數叫超限數，使不同的無窮集合有不同的超限數，但他認為對于超限數無需計算，所以不用深入研究它們。無窮集合論的創立實無窮集合無窮集合論的創立18為了說明這種等價關系的真實存在，他舉出了大量實例.例如，在實數集[0，5]與實數集[0,12]之間可以建立1—1對應關系無窮集合論的創立為了說明這種等價關系的真實存在，他舉出了大量實例.無窮集合19直到19世紀上半葉，雖然數學家要處理無窮集合，例如無窮級數、實數、自然數，等等；但是，他們一般都避開存在完成的集合的假定后面的麻煩問題。無窮集合論的創立直到19世紀上半葉，雖然數學家要處理無窮集合，例如無窮級數、20康托集合論的起源19世紀,分析的嚴密化使人們必須考慮，收斂的無窮級數（有一個有限和）和那些發散級數的區別。在這些級數中，三角函數的無窮級數，即以傅立葉命名的傅立葉級數，起了極其重要的作用。無窮集合論的創立康托集合論的起源無窮集合論的創立21傅立葉（J.B.J.Fourier，1768～1830，法國）

1807年“對任意給定的函數都可以用一具有特殊類型的系數的三角級數表示”被稱為傅立葉級數成為數學分析與數學物理中強有力的工具,但在當時被認為是缺乏嚴格性的。無窮集合論的創立傅立葉（J.B.J.Fourier，1768～1830，法22“集合論，至少部分是起源于黎曼（Riemann）等人對于三角級數豐富的研究以及對不連續函數的分析。狄里克萊（Dirichlet）,李普希茲（Lipschitz），漢凱爾（Hankel）等人都對探索三角級數問題時引進例外點集，但主要是因為他們大體上是在三角級數的范圍內考慮問題，雖然所作的大量工作包含了集合論的思想，只是在對函數分析時充當輔助性手段”無窮集合論的創立“集合論，至少部分是起源于黎曼（Riemann）等人對于三23柯西（A.L.Cauchy，1789～1857）1823年，試圖建立更嚴格的傅立葉級數理論，但他的許多論證是不充分的。狄里希雷（P.G.L.Dirichlet，1805～1859）1829年，發表了一篇關于傅立葉級數的論文，其中證明，對于一個給定的函數，只要它是連續的，就完全可以由它的傅立葉級數表示，端點可能除外，而在不連續點和端點（－π和π）處，函數僅當滿足某些附加條件時才可由傅立葉級數表示。柯西（A.L.Cauchy，1789～1857）24康托（G.Cantor，1845～1918）1870年-1872年“函數展開為三角級數的唯一性”無窮集合論的創立康托（G.Cantor，1845～1918）無窮集合論的創立25數學分析里間斷函數求積分問題和三角級數收斂性問題的研究都要求對于產生各種不連續情形的函數定義域之上的點集進行特殊的考察，一般是要求能夠從某一區間的所有點中分離出另一無窮點集。這個分離出的無窮集的性質在很大程度上影響著對有關問題的討論。“無窮的各種關系弄得完全明朗”無窮集合論的創立無窮集合論的創立26

“在建立三角級數表達式的唯一性定理時，他改造了他的前輩和同事的舊思想，表現出一種獨創精神。康托在整個研究中將無窮集合作為一個獨立于函數理論的對象進行考察，并在這一過程中大膽開創了數學的一個全新領域——超窮集合論.”無窮集合論的創立無窮集合論的創立27《論所有實代數數的一個性質》（1874)

1873年11月29日，康托在給戴德金的一封信中明確提出了后來導致集合論產生的問題：正整數的集合（n）與實數的集合（x）之間能否建立一一對應？無窮集合論的創立無窮集合論的創立28“取所有正整數n的集體，表示為（n)，然后考慮所有實數x的集體，表示為(x）；簡單說來，問題就是（n)和（x)是否能夠對應起來，使得一個集體中的每一個個體只對應另一個集體中一個且唯一一個個體？乍一看，我們可以說答案是否定的，這種對應不可能，因為（n)由離散的部分構成，而（x)構成一個連續統；但是從這種說法我們什么結果也得不到.雖然我非常傾向于認為（n)和（x)不能有這樣一個一意對應，但是我找不出理由，我對這事極為關注，也許這理由非常簡單。”

“取所有正整數n的集體，表示為（n)，然后考慮所有實數29歷史性發現：盡管有理數具有稠密性，但是它們是可數的！戴德金在《連續性和無理數》（1872年出版）

稠密性與連續性康托在1895年給出的第二個證明是現在普遍采用的。

無窮集合論的創立歷史性發現：盡管有理數具有稠密性，但是它們是可數的！無窮集合30證明有理數集Q是可列集（采用對角線的對應方法）

證明有理數集Q是可列集（采用對角線的對應方法）31“上面把有理數域比作直線，結果認識到前者充滿了間隙，它是不完備的、不連續的，而我們則把直線看成是沒有間隙的、完備的和連續的。……”專題10集合論的創立與發展課件32“連續性公理”實數就其數目和特性而言，要比有理數更豐富，因為無理數竟然能不可思議地填滿了有理數以外的所有空隙，從而在連續性和完備性上完全超過了有理數。

專題10集合論的創立與發展課件331873年12月7日，康托在給戴德金的信中斷言實數是可數的，全體實數可以排成一個序

列。但他很快發現所給出的證明太繁，兩天后當他企圖修改它時，偶然發現對任意包含在（0，1）中的區間（a，b）,他能夠證明存在一個數m\in(a，b)，沒有列在上面的序列中。無窮集合論的創立1873年12月7日，康托在給戴德金的信中斷言實數是可數的，34由此，康托在一個星期之內戲劇性地改變了自己的主張，獲得一個全新的、先前幾乎不太令人注意的方法突然涌現在他頭腦中，康托得到了意外的收獲，他立即補上了兩個證明：代數數是可數的，實數是不可數的。無窮集合論的創立由此，康托在一個星期之內戲劇性地改變了自己的主張，獲得一個全35康托這第一步的主要成就在于在混沌一片的無窮劃出一首線，在無窮當中區分開來可數的與不可數的兩類，這成為研究無窮的出發點。康托第一次把可數性概念這詞引進數學，并且給出明確的含義，判定的方法對于凡是能和正整數構成一一對應的任何一個集合都稱為可列集合（可數集合）。這是最小的無窮集合。無窮集合論的創立康托這第一步的主要成就在于在混沌一片的無窮劃出一首線，在無窮36“康托1874年的論文中，不但證明了實數的不可數性，而且還把這一性質應用于一個長期困擾數學家的難題——超越數的存在。……這是一個真正引起爭論的定理，因為人們畢竟只知道極少數幾個非代數數的存在。而康托卻十分自信地說，絕大多數實數是超越數，但他在作出這種推斷的時候卻沒有展示出任何一個具體的超越數實例！”無窮集合論的創立“康托1874年的論文中，不但證明了實數的不可數性，而且還把37

“點綴在平面上的代數數猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數構成。”——數學史作家埃里克·坦普爾·貝爾專題10集合論的創立與發展課件38

1877年6月20日，康托證明了：不僅由平面到直線可以建立一一對應，而且由任意維空間到直線都可以建立一一對應。

“我看到了，但我簡直不能相信它！”----G.Cantor無窮集合論的創立無窮集合論的創立39

康托《集合論》(1878)(直譯應為《對流形學說的一個貢獻》)：兩個集合稱為等勢的，如果它們之間能夠建立一一對應。

無窮集合論的創立

康托《集合論》(1878)(直譯應為《對流形學說的一個貢獻40

康托的兩個基本前提：①可以通過一一對應的方法來確定相同基數；②實無窮是一個確實的概念。

無窮集合論的創立康托的兩個基本前提：①可以通過一一對應的方法來確定相同基數411879年-1884年間，康托相繼發表了六篇系列文章，匯集成《關于無窮的線性點集》1879年這篇，康托闡明了點集的另一個重要問題：按照集合的勢對點集進行分類

無窮集合論的創立1879年-1884年間，康托相繼發表了六篇系列文章，匯集成42《集合論基礎》的出版（1883年）康托數學研究的里程碑。其主要成果是引進了作為自然數系的獨立和系統擴充的超窮數。康托通過對無窮集的研究，創造了一種新的數字和一種新的數字類型。

無窮集合論的創立《集合論基礎》的出版（1883年）無窮集合論的創立43康托清醒地認識到，他這樣做是一種大膽的冒進。“我很了解這樣做將使我自己處于某種與數學中關于無窮和自然數性質的傳統觀念相對立的地位，但我深信，超窮數終將被承認是對數概念最簡單、最適當和最自然的擴充。”無窮集合論的創立康托清醒地認識到，他這樣做是一種大膽的冒進。無窮集合論的創立44《基礎》中康托關于無窮的哲學第一次公開地為實無窮這一大多數神學家，哲學家和神學家長期反對的概念提供了辯護。無窮集合論的創立《基礎》中康托關于無窮的哲學第一次公開地為實無窮這一大多數神45康托認為，無論數學家們過去曾經作過什么假定，我們都不應認為有窮的性質可以適用于無窮的各種情況，而又正是這種不加限制的推廣導致了種種矛盾和誤解。無窮集合論的創立康托認為，無論數學家們過去曾經作過什么假定，我們都不應認為有46波爾查諾是實無窮的堅定擁護者實無窮可以無矛盾地引進數學的思想。《無窮的悖論》（1821年）是對數學和哲學的重要貢獻。著作的特色之一是關于實無窮和潛無窮的區分。

數學上“實無窮”的概念；勢及序數的概念；無窮集合論的創立波爾查諾是實無窮的堅定擁護者無窮集合論的創立47第一，肯定實無窮是數學理論發展的需要。第二，無窮有其固有的本質，不能把有窮所具有的一切性質都強加于無窮。第三，有窮的認識能力可以認識無窮。

無窮集合論的創立第一，肯定實無窮是數學理論發展的需要。無窮集合論的創立48“正象每個特例所表明的那樣，我們可以從更一般的角度引出這樣的結論：所有反對實無窮可能性的所謂證明都是站不住腳的，他們一開始就期望無窮數具有有窮數的所有特性，甚至把有窮數的性質強加到無窮數上；與此相反，如果我們能以任何方式理解無窮數的話，倒是由于它們（就其與有窮數的對立而言）構成了全新的一個數類，它們的性質完全依賴于事物本身的性質，這是研究的對象，而并不從屬于我們的主觀臆想和偏見。”“正象每個特例所表明的那樣，我們可以從更一般的角度引出這樣49《超窮數理論的奠基性貢獻》，于1895年和1897年先后發表了兩篇對超限基數理論具有決定意義的論文。“序型”的概念，相應的序數。集合超限基數和超限序數的定義，符號；排成一個“序列”；加法，乘法和乘方。無窮集合論的創立《超窮數理論的奠基性貢獻》，于1895年和1897年先后發表50《貢獻》的第一段話是那個關于集合的經典定義定義：集合M是能夠明確區分的思維或感知的對象m（稱為M的元素）的總體。無窮集合論的創立《貢獻》的第一段話是那個關于集合的經典定義無窮集合論的創立51四、集合論悖論1．康托悖論（1895年發現，1899年公布）2．布拉里-弗蒂悖論（1897）3．羅素悖論（1902）4．理查德悖論（1905）5．佩利悖論（1906）6．格里靈悖論（1908)

四、集合論悖論1．康托悖論（1895年發現，1899年公布）52羅素悖論（1902）集合分成兩類：集合是它本身的元素，稱為“非正常集合”；集合不是它本身的元素，稱為“正常集合”。設“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。”問：“Ｒ包含不包含Ｒ自身？”

集合論悖論羅素悖論（1902）集合論悖論53理發師悖論（1918）“在薩維爾村，理發師掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理發的人理發。”有人問他：“你給不給自己理發？”理發師頓時無言以對。集合論悖論理發師悖論（1918）集合論悖論54五、有關集合論的爭論克羅內克（Kronecker）他在許多場合大罵康托是“敗類、臭蟲”，“我們科學的敵人”。他對外爾斯特拉斯的學生柯瓦列夫斯卡婭（1850～1891）說，康托的集合論同任何一門數學毫無共同之處，同另外一些人說康托的集合論空洞無物。五、有關集合論的爭論55龐加萊（Poincare，1905）：“Cantor給科學引入了考慮數學無窮的新方法……但是發生了這樣的事，我們遇到了會使愛利亞學派的Zeno和麥加拉哲學學派高興的一些悖論，一些明顯的矛盾。所以每一個人都必須尋找補救的方法。就我來說—而我并不是單獨一人—我認為重要的是永遠不要采用一些不能用有限的文字完全定義的東西。不論采用什么樣的療法，我們一定可以請來一位治療一個極好的病理學病例的醫生，并為此而感到喜悅。”1908年他又說：“今后的幾代人將把集合論當做一種人們已經從中恢復過來了的疾病.”龐加萊（Poincare，1905）：56數學知識來源于人的直覺，而數學的確定性僅限于有限論證的嚴格界限內，要證明什么東西存在，那就要具體造出來.反對把無窮當作確實的概念數學知識來源于人的直覺，而數學的確定性僅限于有限論證的嚴格界57“我的理論堅如磐石；射向它的每一支箭都會迅速反彈.我何以得知呢？因為我用了許多年時間，研究了它的各個方面；我還研究了針對無窮數的所有反對意見；最重要的是，因為我曾窮究它的根源，可以說，我探索了一切造物的第一推動力。”——G.Cantor“我的理論堅如磐石；射向它的每一支箭都會迅速反彈.我何以得58六、集合論的歷史地位康托創立的超窮集合論賦予實無窮的觀念以數學內容，為抽象集合論奠定了基礎，并為微積分的基本原理和實數連續統的分析作出了重大貢獻。康托的最引人注目的成就是從數學上嚴密地證明了“無窮”并不是鐵板一塊的不可分的概念。并非所有的無窮集合都具有相同的大小，因而它們之間是可以互相比較的。

六、集合論的歷史地位康托創立的超窮集合論賦予實無窮的觀念以數59如今，“集合”這個詞已經成為數學中最重要和最基本的術語之一，大部分數學的相容性已經被奠基于集合論的相容性之上，集合論在某種意義上已經成為整個數學最堅實的基礎。

如今，“集合”這個詞已經成為數學中最重要和最基本的術語之一60

七、悖論的解決和集合論的發展所有的人都渴望能解決悖論的問題以重建先前對數學相容性、嚴格性和確定性的信念，但他們為達到這一目標所選擇的道路則是很不相同的。20世紀初數理邏輯：羅素的類型論；《數學原理》形式公理化：公理集合論

七、悖論的解決和集合論的發展所有的人都渴望能解決悖論的問61策梅羅（德國數學家，1908年）采取希爾伯特的公理化方法回避悖論，把集合論變成一個完全抽象的公理化理論。在這樣一個公理化理論中，集合這個概念一直不加定義，而它的性質就由公理反映出來。引進了七條公理：決定性公理（外延公理），初等集合公理，分離公理組，冪集合公理，并集合公理，選擇公理，無窮公理。悖論的解決和集合論的發展策梅羅（德國數學家，1908年）悖論的解決和集合論的發展62實際上策梅羅德公理系統是把集合限制得使之不要太大，即不只簡單地將集合看成一些集團或集體。它是滿足7條公理條件的對象。這樣就排除了一些不適當的集合，從而消除了已知悖論產生的條件。

現代標準的“策梅羅——弗蘭克爾公理系統（簡稱ZF系統）”。悖論的解決和集合論的發展實際上策梅羅德公理系統是把集合限制得使之不要太大，即不只簡單63

在20世紀初，集合論的基本概念和方法不僅滲透到現代數學的各個部門（如分析、代數和拓撲等），而且滲透到一些自然科學（如物理學和質點力學等等）領域，為這些學科的奠基提供了基礎，改變了這些學科的面貌。幾乎可以說，如果沒有集合論的觀點，很難對現代數學獲得一個深刻的理解。悖論的解決和集合論的發展悖論的解決和集合論的發展64參考及推薦書目[美]周·道本《康托的無窮的數學和哲學》鄭毓信、劉曉力譯江蘇教育出版社1989[美]M·克萊因《古今數學思想》上海科學技術出版社2002年

胡作玄《引起紛爭的金蘋果》福建教育出版社1993

W·Dunhan（鄧納姆）《天才引導的歷程》苗鋒譯中國對外翻譯出版社1994

[美]M·克萊因《數學：確定性的喪失》李宏魁譯湖南科學技術出版社1997

胡作玄第三次數學危機

參考及推薦書目[美]周·道本《康托的無窮的數學和哲學》鄭65（德）格奧格爾·康托，《超窮數理論基礎文稿》，陳杰、劉曉力譯，內蒙古大學出版社，1995年9月吳文俊主編《世界著名數學家傳記》（上下集），科學出版社，1995年10月

王憲鈞，《數理邏輯引論》，北京大學出版社，1982黃耀樞，《數學基礎引論》，北京大學出版社，1987張錦文，王雪生著《連續統假設》遼寧教育出版社1989年4月

《科學美國人》編輯部編著《從驚訝到思考——數學悖論奇景》李思一、白葆林譯科學技術文獻出版社1986年10月

（德）格奧格爾·康托，《超窮數理論基礎文稿》，陳杰、劉曉66專題10集合論的創立與發展教育碩士林清峰專題10集合論的創立與發展教育碩士林清峰67

19世紀,由德國數學家康托（G.Cantor，1845～1918）建立的集合論是關于無窮集合與超窮數的數學理論，是人類思想史上最偉大的創造之一。

19世紀,由德國數學家康托（G.Cantor，1868一、無窮是什么？神秘莫測的，無邊無際的，蒼穹一樣的迷人的，……詩人，作家，藝術家，神學家，科學家數學家

一、無窮是什么？神秘莫測的，無邊無際的，蒼穹一樣的69從一粒沙子看世界，從一朵野花看蒼穹，把無窮掌握在你的手中，把永恒掌握在頃刻之中。威廉?布萊克（WilliamBlake）英國著名詩人詩作《天真的預言》（節選）無窮是什么？從一粒沙子看世界，無窮是什么？70

71數的概念演進經歷四次飛躍：區別一與多區別少數與大數區別有窮數與無窮數區別無窮數的不同層次每一次飛躍代表對數、對無窮的新認識。

無窮是什么？數的概念演進經歷四次飛躍：無窮是什么？72阿基米德（Archimedes287-212B.C.）在《數沙者》（TheSandReckoner）中定出一種計算地球上所有海灘上的沙粒數目的方法，從而糾正了認為海灘上的沙粒數目是無窮的想法。

無窮是什么？阿基米德（Archimedes287-212B.C.）在73二、關于無窮集合的早期認識希臘人通常認為無窮是不能接受的概念，它是一個不著邊際且不確定的東西。亞里士多德（Aristotle，384～322B.C.）

潛無窮與實無窮地球的年齡正整數整數二、關于無窮集合的早期認識希臘人74兩種無窮觀亞里士多德在他的《物理學》中得出的結論是：“可選擇的是無限具有潛性的存在……不會存在實無限。”他堅持認為數學中不需要后者。

關于無窮集合的早期認識兩種無窮觀關于無窮集合的早期認識75

無限——悖論棲身之處亞里士多德只承認有窮數的存在。他和經院哲學家們使用的一個典型論據是，如果承認無窮，就會導致有窮數的“湮滅”。

普洛克魯（Proclus，410～485A.D.）伽利略（Galileo，1564～1642）

《兩門新科學》(1638）“所有無窮大量都一樣，不能比較大小。”關于無窮集合的早期認識

無限——悖論棲身之處亞里士多德只承認有窮數的存在。他和76

許多數學家像談論數一樣談論無窮，卻并沒有弄清它的概念或確定它的性質。歐拉《代數學》(1770年)1/0是無窮大（而他并沒有定義無窮，只是用符號表示它）2/0關于無窮集合的早期認識許多數學家像談論數一樣談論無窮，卻并沒有弄清它的概念或確定77

笛卡爾說過：“無窮可以被認知，但不能被理解。”高斯在1831年寫給舒馬赫的信中說：“我反對把無窮量作為現實的實體來用，在數學中這是永遠不能允許的，無限只不過是一種說話方式，我們所說的極限是指，某些比可以隨意地接近它，而其他的則被允許無界地增加。”關于無窮集合的早期認識笛卡爾說過：“無窮可以被認知，但不能被理解。”關于無窮集合78

柯西（Cauchy,Augustin-Louis1789—1857）拒絕承認完成的無限集合的存在，其根據就是有這類悖論：一個完成的無限集合能與其本身的真正部分建立一一對應。

柯西（Cauchy,Augustin-Louis178979

有限集合大小的比較“整體大于部分”《歐幾里得》十條公設最后一條計數的根據波呂斐摩斯的故事利用一一對應概念作為計數根據的最早的文字記載之一。《荷馬史詩》記載荷馬（Homeros)約9-8B.C.古希臘詩人有限集合的早期認識有限集合有限集合的早期認識80當俄底修斯刺瞎獨眼巨人波呂斐摩斯并離開庫克羅普斯國以后，那個不幸的盲目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出來一只，他就從一堆石子中撿起一顆石子。晚上母羊返回山洞，每進去一只，他就扔掉一顆石子。當他把早晨撿起的石子都扔光時，他就確信所有的母羊全返回了山洞。

當俄底修斯刺瞎獨眼巨人波呂斐摩斯并離開庫克羅普斯國以后，那個81結繩記數成為人類早期表示記數的方法圖：日本琉球群島的結繩結繩記數成為人類早期表示記數的方法82三、無窮集合論的創立波爾查諾（B.Bolzano，1781～1848，捷克）

《無窮的悖論》（1851）三、無窮集合論的創立波爾查諾（B.Bolzano，178183實無窮集合兩個集合等價的概念，即后來叫做兩個集合元素之間的一一對應關系，適用于有限集合，也適用于無限集合無窮集合中部分或子集可以等價于整體對于無窮集合同樣可以指定一個數叫超限數，使不同的無窮集合有不同的超限數，但他認為對于超限數無需計算，所以不用深入研究它們。無窮集合論的創立實無窮集合無窮集合論的創立84為了說明這種等價關系的真實存在，他舉出了大量實例.例如，在實數集[0，5]與實數集[0,12]之間可以建立1—1對應關系無窮集合論的創立為了說明這種等價關系的真實存在，他舉出了大量實例.無窮集合85直到19世紀上半葉，雖然數學家要處理無窮集合，例如無窮級數、實數、自然數，等等；但是，他們一般都避開存在完成的集合的假定后面的麻煩問題。無窮集合論的創立直到19世紀上半葉，雖然數學家要處理無窮集合，例如無窮級數、86康托集合論的起源19世紀,分析的嚴密化使人們必須考慮，收斂的無窮級數（有一個有限和）和那些發散級數的區別。在這些級數中，三角函數的無窮級數，即以傅立葉命名的傅立葉級數，起了極其重要的作用。無窮集合論的創立康托集合論的起源無窮集合論的創立87傅立葉（J.B.J.Fourier，1768～1830，法國）

1807年“對任意給定的函數都可以用一具有特殊類型的系數的三角級數表示”被稱為傅立葉級數成為數學分析與數學物理中強有力的工具,但在當時被認為是缺乏嚴格性的。無窮集合論的創立傅立葉（J.B.J.Fourier，1768～1830，法88“集合論，至少部分是起源于黎曼（Riemann）等人對于三角級數豐富的研究以及對不連續函數的分析。狄里克萊（Dirichlet）,李普希茲（Lipschitz），漢凱爾（Hankel）等人都對探索三角級數問題時引進例外點集，但主要是因為他們大體上是在三角級數的范圍內考慮問題，雖然所作的大量工作包含了集合論的思想，只是在對函數分析時充當輔助性手段”無窮集合論的創立“集合論，至少部分是起源于黎曼（Riemann）等人對于三89柯西（A.L.Cauchy，1789～1857）1823年，試圖建立更嚴格的傅立葉級數理論，但他的許多論證是不充分的。狄里希雷（P.G.L.Dirichlet，1805～1859）1829年，發表了一篇關于傅立葉級數的論文，其中證明，對于一個給定的函數，只要它是連續的，就完全可以由它的傅立葉級數表示，端點可能除外，而在不連續點和端點（－π和π）處，函數僅當滿足某些附加條件時才可由傅立葉級數表示。柯西（A.L.Cauchy，1789～1857）90康托（G.Cantor，1845～1918）1870年-1872年“函數展開為三角級數的唯一性”無窮集合論的創立康托（G.Cantor，1845～1918）無窮集合論的創立91數學分析里間斷函數求積分問題和三角級數收斂性問題的研究都要求對于產生各種不連續情形的函數定義域之上的點集進行特殊的考察，一般是要求能夠從某一區間的所有點中分離出另一無窮點集。這個分離出的無窮集的性質在很大程度上影響著對有關問題的討論。“無窮的各種關系弄得完全明朗”無窮集合論的創立無窮集合論的創立92

“在建立三角級數表達式的唯一性定理時，他改造了他的前輩和同事的舊思想，表現出一種獨創精神。康托在整個研究中將無窮集合作為一個獨立于函數理論的對象進行考察，并在這一過程中大膽開創了數學的一個全新領域——超窮集合論.”無窮集合論的創立無窮集合論的創立93《論所有實代數數的一個性質》（1874)

1873年11月29日，康托在給戴德金的一封信中明確提出了后來導致集合論產生的問題：正整數的集合（n）與實數的集合（x）之間能否建立一一對應？無窮集合論的創立無窮集合論的創立94“取所有正整數n的集體，表示為（n)，然后考慮所有實數x的集體，表示為(x）；簡單說來，問題就是（n)和（x)是否能夠對應起來，使得一個集體中的每一個個體只對應另一個集體中一個且唯一一個個體？乍一看，我們可以說答案是否定的，這種對應不可能，因為（n)由離散的部分構成，而（x)構成一個連續統；但是從這種說法我們什么結果也得不到.雖然我非常傾向于認為（n)和（x)不能有這樣一個一意對應，但是我找不出理由，我對這事極為關注，也許這理由非常簡單。”

“取所有正整數n的集體，表示為（n)，然后考慮所有實數95歷史性發現：盡管有理數具有稠密性，但是它們是可數的！戴德金在《連續性和無理數》（1872年出版）

稠密性與連續性康托在1895年給出的第二個證明是現在普遍采用的。

無窮集合論的創立歷史性發現：盡管有理數具有稠密性，但是它們是可數的！無窮集合96證明有理數集Q是可列集（采用對角線的對應方法）

證明有理數集Q是可列集（采用對角線的對應方法）97“上面把有理數域比作直線，結果認識到前者充滿了間隙，它是不完備的、不連續的，而我們則把直線看成是沒有間隙的、完備的和連續的。……”專題10集合論的創立與發展課件98“連續性公理”實數就其數目和特性而言，要比有理數更豐富，因為無理數竟然能不可思議地填滿了有理數以外的所有空隙，從而在連續性和完備性上完全超過了有理數。

專題10集合論的創立與發展課件991873年12月7日，康托在給戴德金的信中斷言實數是可數的，全體實數可以排成一個序

列。但他很快發現所給出的證明太繁，兩天后當他企圖修改它時，偶然發現對任意包含在（0，1）中的區間（a，b）,他能夠證明存在一個數m\in(a，b)，沒有列在上面的序列中。無窮集合論的創立1873年12月7日，康托在給戴德金的信中斷言實數是可數的，100由此，康托在一個星期之內戲劇性地改變了自己的主張，獲得一個全新的、先前幾乎不太令人注意的方法突然涌現在他頭腦中，康托得到了意外的收獲，他立即補上了兩個證明：代數數是可數的，實數是不可數的。無窮集合論的創立由此，康托在一個星期之內戲劇性地改變了自己的主張，獲得一個全101康托這第一步的主要成就在于在混沌一片的無窮劃出一首線，在無窮當中區分開來可數的與不可數的兩類，這成為研究無窮的出發點。康托第一次把可數性概念這詞引進數學，并且給出明確的含義，判定的方法對于凡是能和正整數構成一一對應的任何一個集合都稱為可列集合（可數集合）。這是最小的無窮集合。無窮集合論的創立康托這第一步的主要成就在于在混沌一片的無窮劃出一首線，在無窮102“康托1874年的論文中，不但證明了實數的不可數性，而且還把這一性質應用于一個長期困擾數學家的難題——超越數的存在。……這是一個真正引起爭論的定理，因為人們畢竟只知道極少數幾個非代數數的存在。而康托卻十分自信地說，絕大多數實數是超越數，但他在作出這種推斷的時候卻沒有展示出任何一個具體的超越數實例！”無窮集合論的創立“康托1874年的論文中，不但證明了實數的不可數性，而且還把103

“點綴在平面上的代數數猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數構成。”——數學史作家埃里克·坦普爾·貝爾專題10集合論的創立與發展課件104

1877年6月20日，康托證明了：不僅由平面到直線可以建立一一對應，而且由任意維空間到直線都可以建立一一對應。

“我看到了，但我簡直不能相信它！”----G.Cantor無窮集合論的創立無窮集合論的創立105

康托《集合論》(1878)(直譯應為《對流形學說的一個貢獻》)：兩個集合稱為等勢的，如果它們之間能夠建立一一對應。

無窮集合論的創立

康托《集合論》(1878)(直譯應為《對流形學說的一個貢獻106

康托的兩個基本前提：①可以通過一一對應的方法來確定相同基數；②實無窮是一個確實的概念。

無窮集合論的創立康托的兩個基本前提：①可以通過一一對應的方法來確定相同基數1071879年-1884年間，康托相繼發表了六篇系列文章，匯集成《關于無窮的線性點集》1879年這篇，康托闡明了點集的另一個重要問題：按照集合的勢對點集進行分類

無窮集合論的創立1879年-1884年間，康托相繼發表了六篇系列文章，匯集成108《集合論基礎》的出版（1883年）康托數學研究的里程碑。其主要成果是引進了作為自然數系的獨立和系統擴充的超窮數。康托通過對無窮集的研究，創造了一種新的數字和一種新的數字類型。

無窮集合論的創立《集合論基礎》的出版（1883年）無窮集合論的創立109康托清醒地認識到，他這樣做是一種大膽的冒進。“我很了解這樣做將使我自己處于某種與數學中關于無窮和自然數性質的傳統觀念相對立的地位，但我深信，超窮數終將被承認是對數概念最簡單、最適當和最自然的擴充。”無窮集合論的創立康托清醒地認識到，他這樣做是一種大膽的冒進。無窮集合論的創立110《基礎》中康托關于無窮的哲學第一次公開地為實無窮這一大多數神學家，哲學家和神學家長期反對的概念提供了辯護。無窮集合論的創立《基礎》中康托關于無窮的哲學第一次公開地為實無窮這一大多數神111康托認為，無論數學家們過去曾經作過什么假定，我們都不應認為有窮的性質可以適用于無窮的各種情況，而又正是這種不加限制的推廣導致了種種矛盾和誤解。無窮集合論的創立康托認為，無論數學家們過去曾經作過什么假定，我們都不應認為有112波爾查諾是實無窮的堅定擁護者實無窮可以無矛盾地引進數學的思想。《無窮的悖論》（1821年）是對數學和哲學的重要貢獻。著作的特色之一是關于實無窮和潛無窮的區分。

數學上“實無窮”的概念；勢及序數的概念；無窮集合論的創立波爾查諾是實無窮的堅定擁護者無窮集合論的創立113第一，肯定實無窮是數學理論發展的需要。第二，無窮有其固有的本質，不能把有窮所具有的一切性質都強加于無窮。第三，有窮的認識能力可以認識無窮。

無窮集合論的創立第一，肯定實無窮是數學理論發展的需要。無窮集合論的創立114“正象每個特例所表明的那樣，我們可以從更一般的角度引出這樣的結論：所有反對實無窮可能性的所謂證明都是站不住腳的，他們一開始就期望無窮數具有有窮數的所有特性，甚至把有窮數的性質強加到無窮數上；與此相反，如果我們能以任何方式理解無窮數的話，倒是由于它們（就其與有窮數的對立而言）構成了全新的一個數類，它們的性質完全依賴于事物本身的性質，這是研究的對象，而并不從屬于我們的主觀臆想和偏見。”“正象每個特例所表明的那樣，我們可以從更一般的角度引出這樣115《超窮數理論的奠基性貢獻》，于1895年和1897年先后發表了兩篇對超限基數理論具有決定意義的論文。“序型”的概念，相應的序數。集合超限基數和超限序數的定義，符號；排成一個“序列”；加法，乘法和乘方。無窮集合論的創立《超窮數理論的奠基性貢獻》，于1895年和1897年先后發表116《貢獻》的第一段話是那個關于集合的經典定義定義：集合M是能夠明確區分的思維或感知的對象m（稱為M的元素）的總體。無窮集合論的創立《貢獻》的第一段話是那個關于集合的經典定義無窮集合論的創立117四、集合論悖論1．康托悖論（1895年發現，1899年公布）2．布拉里-弗蒂悖論（1897）3．羅素悖論（1902）4．理查德悖論（1905）5．佩利悖論（1906）6．格里靈悖論（1908)

四、集合論悖論1．康托悖論（1895年發現，1899年公布）118羅素悖論（1902）集合分成兩類：集合是它本身的元素，稱為“非正常集合”；集合不是它本身的元素，稱為“正常集合”。設“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。”問：“Ｒ包含不包含Ｒ自身？”

集合論悖論羅素悖論（1902）集合論悖論119理發師悖論（1918）“在薩維爾村，理發師掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理發的人理發。”有人問他：“你給不給自己理發？”理發師頓時無言以對。集合論悖論理發師悖論（1918）集合論悖論120五、有關集合論的爭論克羅內克（Kronecker）他在許多場合大罵康托是“敗類、臭蟲”，“我們科學的敵人”。他對外爾斯特拉斯的學生柯瓦列夫斯卡婭（1850～1891）說，康托的集合論同任何一門數學毫無共同之處，同另外一些人說康托的集合論空洞無物。五、有關集合論的爭論121龐加萊（Poincare，1905）：“Cantor給科學引入了考慮數學無窮的新方法……但是發生了這樣的事，我們遇到了會使愛利亞學派的Zeno和麥加拉哲學學派高興的一些悖論，一些明顯的矛盾。所以每一個人都必須尋找補救的方法。就我來說—而我并不是單獨一人—我認為重要的是永遠不要采用一些不能用有限的文字完全定義的東西。不論采用什么樣的療法，