2025年統計學期末考試數據分析題庫：概率分布與期望值計算測試試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共20分）1.若隨機變量X的分布律為：X1234P0.10.30.20.4則X的期望值為（）。A.2.2B.2.6C.3.2D.3.62.若隨機變量X服從參數為λ的泊松分布，其分布律為：X01234Pe^-λλe^-λ/1!λ^2e^-λ/2!λ^3e^-λ/3!λ^4e^-λ/4!則當λ=2時，X的方差為（）。A.2B.4C.6D.83.若隨機變量X服從標準正態分布，其概率密度函數為f(x)=(1/√(2π))*e^(-x^2/2)，則P(-1≤X≤1)的值為（）。A.0.6826B.0.9544C.0.9973D.0.99874.若隨機變量X與Y相互獨立，且X～N(1,2)，Y～N(3,4)，則X+Y的分布為（）。A.N(4,6)B.N(4,8)C.N(5,6)D.N(5,8)5.若隨機變量X～B(5,0.4)，則X的方差為（）。A.0.8B.1.2C.1.6D.2.06.若隨機變量X～U(1,5)，則P(X≤3)的值為（）。A.0.6B.0.8C.0.9D.1.07.若隨機變量X～P(3)，則P(X≥2)的值為（）。A.0.5B.0.6C.0.7D.0.88.若隨機變量X～E(λ)，則P(X≤1)的值為（）。A.1/2B.1/3C.1/4D.1/59.若隨機變量X～χ^2(3)，則P(X≤6)的值為（）。A.0.9B.0.95C.0.99D.0.99510.若隨機變量X～F(2,5)，則P(X≤1)的值為（）。A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4二、計算題（每題10分，共30分）1.已知隨機變量X的分布律為：X1234P0.10.30.20.4求X的期望值、方差和標準差。2.若隨機變量X服從參數為λ=2的泊松分布，求P(X=3)、P(X≥4)和P(X≤2)。3.若隨機變量X～N(5,4)，求P(X≤7)、P(X≥3)和P(3≤X≤7)。四、填空題（每題2分，共10分）1.若隨機變量X～N(μ,σ^2)，則X的期望值為______，方差為______，標準差為______。2.若隨機變量X～U(a,b)，則X的期望值為______，方差為______。3.若隨機變量X～P(λ)，則X的期望值為______，方差為______。4.若隨機變量X～E(λ)，則X的期望值為______，方差為______。5.若隨機變量X～χ^2(n)，則X的期望值為______，方差為______。五、解答題（每題10分，共30分）1.設隨機變量X～N(0,1)，求P(X≤0.5)和P(X≥-0.5)。2.設隨機變量X～U(1,3)，求P(X≤2)和P(X>2)。3.設隨機變量X～P(3)，求P(X=2)和P(X≥3)。六、簡答題（每題5分，共15分）1.簡述離散型隨機變量的分布律和概率密度函數的概念。2.簡述連續型隨機變量的概率密度函數和分布函數的概念。3.簡述隨機變量的期望值、方差和標準差的概念及其計算方法。本次試卷答案如下：一、選擇題（每題2分，共20分）1.答案：B解析：期望值E(X)=Σ[x*P(X=x)]，將分布律代入得E(X)=1*0.1+2*0.3+3*0.2+4*0.4=2.2。2.答案：B解析：泊松分布的方差等于其參數λ，故方差D(X)=λ=2。3.答案：B解析：標準正態分布的累積分布函數在均值兩側對稱，故P(-1≤X≤1)≈0.9544。4.答案：C解析：X+Y服從兩個正態分布隨機變量和的正態分布，均值為兩個均值的和，方差為兩個方差的和，故X+Y～N(5+3,2+4)=N(8,6)。5.答案：C解析：二項分布的方差D(X)=np(1-p)，代入得D(X)=5*0.4*(1-0.4)=1.6。6.答案：A解析：均勻分布的累積分布函數在區間內線性增加，故P(X≤3)=(3-1)/(5-1)=0.6。7.答案：B解析：Poisson分布的累積分布函數為Σ[i=0tok](λ^i*e^-λ/i!)，代入得P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-e^-3-3e^-3=0.6。8.答案：B解析：指數分布的累積分布函數為1-e^(-λx)，故P(X≤1)=1-e^(-λ)=1-e^(-1/3)。9.答案：C解析：χ^2分布的累積分布函數為(1/2)^(n/2)*Γ(n/2)/Γ(n/2-k/2)，查表或使用計算器可得P(X≤6)≈0.99。10.答案：B解析：F分布的累積分布函數為(1/2)^(m/2)*Γ(m+n/2)/Γ(m/2)*Γ(n/2)/Γ((m+n)/2)，查表或使用計算器可得P(X≤1)≈0.2。二、計算題（每題10分，共30分）1.答案：E(X)=2.2，D(X)=0.96，σ(X)=0.98解析：期望值E(X)=Σ[x*P(X=x)]=1*0.1+2*0.3+3*0.2+4*0.4=2.2。方差D(X)=Σ[(x-E(X))^2*P(X=x)]=(1-2.2)^2*0.1+(2-2.2)^2*0.3+(3-2.2)^2*0.2+(4-2.2)^2*0.4=0.96。標準差σ(X)=√D(X)=√0.96≈0.98。2.答案：P(X=3)=0.1812，P(X≥4)=0.0067，P(X≤2)=0.7188解析：P(X=3)=e^-2*2^3/3!=0.1812。P(X≥4)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)=1-e^-2*(2^0+2^1+2^2+2^3)/(0!+1!+2!+3!)=0.0067。P(X≤2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-0.1812-0.0067=0.7188。3.答案：P(X≤7)=0.5，P(X≥3)=0.1587，P(3≤X≤7)=0.8413解析：P(X≤7)=Φ(7/2)≈0.5。P(X≥3)=1-Φ(3/2)≈0.1587。P(3≤X≤7)=P(X≤7)-P(X<3)=Φ(7/2)-Φ(3/2)≈0.8413。四、填空題（每題2分，共10分）1.答案：μ，σ^2，σ解析：正態分布的期望值為μ，方差為σ^2，標準差為σ。2.答案：(a+b)/2，(b-a)^2/12解析：均勻分布的期望值為(a+b)/2，方差為(b-a)^2/12。3.答案：λ，λ解析：泊松分布的期望值為λ，方差也為λ。4.答案：1/λ，1/λ^2解析：指數分布的期望值為1/λ，方差為1/λ^2。5.答案：2n，2n-2解析：χ^2分布的期望值為2n，方差為2n-2。五、解答題（每題10分，共30分）1.答案：P(X≤0.5)=Φ(0.5)≈0.6915，P(X≥-0.5)=1-Φ(-0.5)≈0.6915解析：使用標準正態分布表查得P(X≤0.5)和P(X≥-0.5)。2.答案：P(X≤2)=2/3，P(X>2)=1-P(X≤2)=1-2/3=1/3解析：均勻分布的累積分布函數在區間內線性增加，故P(X≤2)=(2-1)/(3-1)=2/3。P(X>2)=1-P(X≤2)。3.答案：P(X=2)=P(X=3)=3^2*e^-3/2!=0.1404，P(X≥3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=1-e^-3*(1+3+3^2)/(0!+1!+2!)=0.0067解析：P(X=2)和P(X=3)的計算公式為泊松分布的分布律。P(X≥3)=1-Σ[i=0to2](3^i*e^-3/i!)。六