概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)報(bào)告2500字

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)報(bào)告應(yīng)物12班郭帥2110903026一、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：用蒙特卡洛方法估計(jì)積分值?2??1用蒙特卡洛方法估計(jì)積分xsinxdx，edx和00?1?x2x2?y2?1??ex2?y2并將估計(jì)值與真dxdy的值，值進(jìn)行比較。2用蒙特卡洛方法估計(jì)積分edx和0?x2x2?y2???的值，并對(duì)誤差進(jìn)行估計(jì)。二、要求：（1）針對(duì)要估計(jì)的積分選擇適當(dāng)?shù)母怕史植荚O(shè)計(jì)蒙特卡洛方法；（2）利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生所選分布的隨機(jī)數(shù)以估計(jì)積分值；（3）進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，通過計(jì)算樣本均值以評(píng)價(jià)估計(jì)的無偏性；通過計(jì)算均方誤差（針對(duì)第1類題）或樣本方差（針對(duì)第2類題）以評(píng)價(jià)估計(jì)結(jié)果的精度。三、目的：（1）能通過MATLAB或其他數(shù)學(xué)軟件了解隨機(jī)變量的概率密度、分布函數(shù)及其期望、方差、協(xié)方差等；（2）熟練使用MATLAB對(duì)樣本進(jìn)行基本統(tǒng)計(jì)，從而獲取數(shù)據(jù)的基本信息；（3）能用MATLAB熟練進(jìn)行樣本的一元回歸分析。蒙特卡洛方法：當(dāng)所求解問題是某種隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值時(shí)，通過某種“實(shí)驗(yàn)”的方法，以這種事件出現(xiàn)的頻率估計(jì)這一隨機(jī)事件的概率，或者得到這個(gè)隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問題的解。四、實(shí)驗(yàn)步驟：?2（1）xsinxdx0?方法：x在0至pi/2區(qū)間上隨機(jī)取10000個(gè)數(shù)為均勻分布的簡單隨機(jī)樣本,然后計(jì)算y的值一共計(jì)算二十次,即可用樣本均值作為積分的估計(jì)值.Y=pi/2*x.*sin(x)y*f(x)即為被積函數(shù)??2?,x?[0,]f(x)???2?其他?0,clcclearx=rand(20,10000)*pi/2y=(pi/2)*x.*sin(x)a=sum(y,2)/10000u=sum(a,1)/20H=1E=abs(H-u)b=abs(H-u)^2D=sum(b,1)/19結(jié)果樣本均值為u=0.9987E=0.0013D=8.971e-008=0.00000008971真值計(jì)算:clcclearsymsxf='x*sin(x)'int(f,x,0,pi/2)結(jié)果真值為1??(2)?0exdx2方法:x在負(fù)無窮到正無窮之間按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布取10000個(gè)樣本，然后計(jì)算y值二十次，即可用樣本均值估計(jì)積分值。clcclearx=randn(20,10000)y=exp((-x.^2)/2)*sqrt(2*pi)a=sum(y,2)/10000b=sum(a,1)/20u=b/2H=1/2*pi^(1/2)E=abs(H-u)c=abs(H-u)^2D=sum(c,1)/19結(jié)果樣本均值為：0.8870誤差=0.00076131樣本方差=3.0505e-008=0.0000000.0505真值：symsxf='exp(-x^2)'int(f,x,0,inf)真值為：1/2*pi^(1/2)(3)x2?y2?12?1??ex2?y2dxdy原積分=?00??e?d?d?2方法:把?看做x,使x在0到1之間取10000個(gè)值坐在0至1區(qū)間上的均勻分布的隨機(jī)簡單樣本,計(jì)算樣本對(duì)應(yīng)的y值,因?yàn)閥與?無關(guān),所以第二重積分可直接乘以2?得樣本均值,一共計(jì)算二十次,即可用樣本均值作為積分的估計(jì)值.y=exp(x^2)*xf(x)??clcclear1,x?[0,1]0,其他x=rand(20,10000)g=x.*exp(x.^2)a=sum(g,2)/10000b=sum(a,1)/20u=2*pi*bH=pi*(exp(1)-1)E=abs(H-u)c=abs(H-u)^2D=sum(c,1)/19結(jié)果樣本均值為5.4140誤差=0.0159樣本方差=1.3294e-005=0.000013294真值計(jì)算:clcclearsymsxyf='exp(x^2)*x'int(int(f,x,0,1),y,0,2*pi)結(jié)果pi*(exp(1)-1)=5.3981二1(1)?e0x2dx方法：x在0至1區(qū)間上隨機(jī)取10000個(gè)數(shù)為均勻分布的簡單隨機(jī)樣本,然后計(jì)算y的值一共計(jì)算二十次,即可用樣本均值作為積分的估計(jì)值.Y=exp(x^2)f(x)??clcclear1,x?[0,1]0,其他x=rand(20,10000)y=exp(x.^2)a=sum(y,2)/10000u=sum(a,1)/20b=(a-u).^2D=sum(b,1)/19U為樣本均值,計(jì)算結(jié)果樣本均值=1.4627D為樣本方差,樣本方差=1.0156e-005=0.000010156（2）x2?y2???方法:隨機(jī)產(chǎn)生20組數(shù)據(jù)每組10000個(gè),保證這些數(shù)據(jù)為均勻分布在單位園內(nèi)的簡單隨機(jī)樣本,然后計(jì)算z的值,即可用z在單位圓上均勻分布的期望值對(duì)積分制進(jìn)行估計(jì).Z=pi/(sqrt(1+x^4+y^4))?122?,x?y?1f(x)?????0,其他clcclearm=rand(20,10000)n=rand(20,10000)a=rand(20,10000)*2*pib=rand(20,10000)*2*pix=m.*cos(a)y=n.*sin(b)z=pi./(sqrt(1+x.^4+y.^4))b=sum(z,2)/10000u=sum(b,1)/20c=(b-u).^2D=sum(c,1)/19計(jì)算結(jié)果,U為樣本均值,u=2.9621D為樣本方差,D=2.6849e-006=0.0000026849

第二篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)報(bào)告2400字概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)報(bào)告——使用Mathematica工具軟件實(shí)驗(yàn)人：郭鵬院系專業(yè)班級(jí)：物理學(xué)院應(yīng)用物理系0801學(xué)號(hào)：U200810167試驗(yàn)時(shí)間：2009.12.23——2010-01-18實(shí)驗(yàn)題目：實(shí)驗(yàn)主題：使用mathematic工具研究非線性回歸問題下面的數(shù)據(jù)來自對(duì)某種遺傳特征的研究結(jié)果,一共有2723對(duì)數(shù)據(jù),把它們分成846620.9117719.379819.36類后歸納為下表.頻率分類變量x遺傳性指標(biāo)y579138.081021229.7607325.42324423.15120521.79研究者通過散點(diǎn)圖認(rèn)為y和x符合指數(shù)關(guān)系:y?aebx?c,其中a,b,c是參數(shù).求參數(shù)a,b,c的最小二乘估計(jì).實(shí)驗(yàn)前分析：因?yàn)閥和x的關(guān)系不是能用Fit命令擬合的線性關(guān)系,也不能轉(zhuǎn)換為線性回歸模型.因此考慮用(1)多元微積分的方法求a,b,c的最小二乘估計(jì);(2)非線性擬合命令NonlinearFit求a,b,c的最小二乘估計(jì).實(shí)驗(yàn)過程：方法(1)微積分方法：輸入Off[Genera1::spe11]Off[Genera1::spe111]Clear[x,y,a,b,c]dataset={{579,1,38.08},{1021,2,29.70},{607,3,25.42},{324,4,23.15},{120,5,21.79},{46,6,20.91},{17,7,19.37},{9,8,19.36}};y[x_]:=aExp[bx]+c下面一組命令先定義了曲線y?aebx?c與2723個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的垂直方向的距離平方和,記為g(a,b,c).再求g(a,b,c)對(duì)a,b,c的偏導(dǎo)數(shù)?g?g?g,,,?a?b?c分別記為ga,gb,gc.用FindRoot命令解三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)等于零組成的方程組(求解a,b,c).其結(jié)果就是所要求的a,b,c的最小二乘估計(jì).輸入Clear[a,b,c,f,fa,fb,fc]g[a_,b_,c_]:=Sum[dataset[[i,1]]*(dataset[[i,3]]-a*Exp[dataset[[i,2]]*b]-c)^2,{i,1,Length[dataset]}]ga[a_,b_,c_]=D[g[a,b,c],a];gb[a_,b_,c_]=D[g[a,b,c],b];gc[a_,b_,c_]=D[g[a,b,c],c];Clear[a,b,c]oursolution=FindRoot[{ga[a,b,c]==0,gb[a,b,c]==0,gc[a,b,c]==0},{a,40.},{b,-1.},{c,20.}](*40是a的初值,-1是b的初值,20是c的初值*)則輸出{a->33.2221,b->-0.626855,c->20.2913}再輸入yhat[x_]=y[x]/.oursolution則輸出20.2913+33.2221e?0.626855x這就是y和x的最佳擬合關(guān)系.輸入以下命令可以得到擬合函數(shù)和數(shù)據(jù)點(diǎn)的圖形:p1=Plot[yhat[x],{x,0,12},PlotRange->{15,55},DisplayFunction->Identity];pts=Table[{dataset[[i,2]],dataset[[i,3]]},{i,1,Length[dataset]}];p2=ListPlot[pts,PlotStyle->PointSize[.01],DisplayFunction->Identity];Show[p1,p2,DisplayFunction->$DisplayFunction];則輸出圖2.4.如圖一方法(2)直接用非線性擬合命令NonlinearFit方法輸入data2=Flatten[Table[Table[{dataset[[j,2]],dataset[[j,3]]},{i,dataset[[j,1]]}],{j,1,Length[dataset]}],1];(*把數(shù)據(jù)集恢復(fù)成2723個(gè)數(shù)對(duì)的形式*)<<Statistics`w=NonlinearFit[data2,a*Exp[b*x]+c,{x},{{a,40},{b,-1},{c,20}}]則輸出?0.626855x20.2913?33.2221e這個(gè)結(jié)果與(1)的結(jié)果完全相同.這里同樣要注意的是參數(shù)a,b,c必須選擇合適的初值.?i)2.輸入如果要評(píng)價(jià)回歸效果,則只要求出2723個(gè)數(shù)據(jù)的殘差平方和?(yi?yyest=Table[yhat[dataset[[i,2]]],{i,1,Length[dataset]}];yact=Table[dataset[[i,3]],{i,1,Length[dataset]}];w