-.z.函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性◆知識(shí)點(diǎn)梳理〔一〕函數(shù)的奇偶性：1、定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義，則；2、是奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；3、是偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；4、一些判斷奇偶性的規(guī)律:①奇±奇=奇，偶±偶=偶②奇×/÷奇=偶，奇×/÷偶=奇，偶×/÷偶=偶〔二〕函數(shù)的單調(diào)性方法：①導(dǎo)數(shù)法；②規(guī)律判斷法；③圖像法。1、單調(diào)性的定義：在區(qū)間上是增〔減〕函數(shù)當(dāng)時(shí)2、采用單調(diào)性的定義判定法應(yīng)注意：一般要將式子化為幾個(gè)因式作積或作商的形式，以利于判斷正負(fù)；3、對(duì)于單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍，一般有以下兩種方法：①轉(zhuǎn)化為恒成立問題，接著用求最值的視角去解決；②先求出該函數(shù)的完整單調(diào)區(qū)間，根據(jù)此區(qū)間比單調(diào)區(qū)間大去求解。4、一些判斷單調(diào)性的規(guī)律:①減+減=減，增+增=增；②的單調(diào)性相反；〔三〕復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：定義域優(yōu)先考慮1、首先將原函數(shù)分解為根本初等函數(shù)：與；2、分別研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性；3、根據(jù)"同增異減〞來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性?！菜摹澈瘮?shù)的周期性1、周期性的定義：假設(shè)有，則稱函數(shù)為周期函數(shù)，為它的一個(gè)周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。2、三角函數(shù)的周期①，②3、與周期有關(guān)的結(jié)論：①或的周期為；②的周期為；③的周期為；◆考點(diǎn)剖析〔一〕考察一般函數(shù)的奇偶性例1、設(shè)函數(shù)f(*)是定義在R上的奇函數(shù)，假設(shè)當(dāng)*∈(0,+∞)時(shí)，f(*)＝lg*，則滿足f(*)＞0的*的取值范圍是.變式1、假設(shè)函數(shù)為偶函數(shù)，則a=〔〕A． B． C． D．變式2、函數(shù)的圖像關(guān)于〔〕A．軸對(duì)稱B．直線對(duì)稱C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D．直線對(duì)稱〔二〕考察函數(shù)奇偶性的判別例2、判斷下以下函數(shù)的奇偶性〔1〕〔2〕變式3、函數(shù)，常數(shù)．〔1〕討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；變式4、判斷下以下函數(shù)的奇偶性〔1〕〔2〕〔三〕考察抽象函數(shù)的奇偶性例3、函數(shù)f(*),當(dāng)*,y∈R時(shí)，恒有f(*+y)=f(*)+f(y).求證：f(*)是奇函數(shù)；變式5A、假設(shè)定義在R上的函數(shù)f(*)滿足：對(duì)任意R有，則以下說法一定正確的選項(xiàng)是()(A)f(*)為奇函數(shù) 〔B〕f(*)為偶函數(shù)(C)f(*)+1為奇函數(shù) 〔D〕f(*)+1為偶函數(shù) 變式5B、函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有，求證是偶函數(shù)。〔三〕考察一般函數(shù)的單調(diào)區(qū)間〔暫不講〕例4、設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；變式6、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是〔〕A.B.(0,3)C.(1,4)D.〔四〕考察復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例5、判斷函數(shù)f(*)=在定義域上的單調(diào)性.變式7、求函數(shù)y=〔4*-*2〕的單調(diào)區(qū)間.〔五〕考察函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用例6A、定義在R上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，有.則〔〕(A)(B)(C)(D)變式8、(2008全國)設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為〔〕A． B．C． D．例6B、函數(shù)在區(qū)間上遞增，求的取值范圍。變式9、函數(shù)，常數(shù)．〔1〕略〔2〕假設(shè)函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍．〔六〕考察函數(shù)周期性的應(yīng)用例7、函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，假設(shè)則__________。變式10、函數(shù)滿足：，，則=_____________.變式11、定義在R上的奇函數(shù)f(*)滿足f(*+2)=－f(*),則,f(6)的值為()(A)－1(B)0(C)1(D)2◆方法小結(jié)1、注意：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間一定要在定義域內(nèi)，且不可以有"〞，只能用"和〞，"，〞.2、含有參量的函數(shù)的單調(diào)性問題，可分為兩類：一類是由參數(shù)的范圍判定其單調(diào)性；一類是給定單調(diào)性求參數(shù)范圍，其解法是由定義或?qū)?shù)法得到恒成立的不等式，結(jié)合定義域求出參數(shù)的取值范圍.3、判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)首先檢驗(yàn)函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后根據(jù)奇偶性的定義判斷〔或證明〕函數(shù)是否具有奇偶性.如果要證明一個(gè)函數(shù)不具有奇偶性，可以在定義域內(nèi)找到一對(duì)非零實(shí)數(shù)a與－a，驗(yàn)證f(a)±f(－a)≠0.4、函數(shù)的周期性：第一應(yīng)從定義入手，第二應(yīng)結(jié)合圖象理解.◆課后強(qiáng)化1.假設(shè)函數(shù)，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕A．，在上是增函數(shù)B．，在上是減函數(shù)C．，是偶函數(shù)D．，是奇函數(shù)2.以下函數(shù)中，滿足"對(duì)任意，〔0，〕，當(dāng)<時(shí)，都有>的是〔〕A．=B.=C.=D3.偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，則滿足＜的*取值范圍是〔〕〔A〕〔，〕(B)［，〕(C)〔，〕(D)［，〕4.函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則的值是〔〕A.0B.C.1D.5.定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則().A.B.C.D.6、在R上是奇函數(shù)，且〔〕A.—2B.2C.—98D.987、設(shè)f(*)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)*≥0時(shí)，f(*)=+2*+b(b為常數(shù))，則f(-1)=〔〕(A)3(B)1(C)-1(D)-38、給定函數(shù)①，②，③，④，其中在區(qū)間〔0，1〕上單調(diào)遞減的函數(shù)序號(hào)是〔〕〔A〕①②〔B〕②③〔C〕③④〔D〕①④9、假設(shè)函數(shù)f〔*〕=3*+3-*與g〔*〕=3*-3-*的定義域均為R，則〔〕A．f〔*〕與g〔*〕均為偶函數(shù)B.f〔*〕為偶函數(shù)，g〔*〕為奇函數(shù)C．f〔*〕與g〔*〕均為奇函數(shù)D.f〔*〕為奇函數(shù)，g〔*〕為偶函數(shù)10、11、設(shè)函數(shù)f(*)=*(e*+ae-*)(*R)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=________________12、以下4個(gè)函數(shù):①;②;③;④.其中既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù)的是()A.①②B.②③C.③④D.①②③13、函數(shù)假設(shè)f(a)＝M,則f(－a)等于()A.B.C.D.14、A.B.C.D.15．函數(shù)〔是減函數(shù)，則的取值范圍是〔〕A．B．C．D．16．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是〔〕A．B．C．D．17．是上的減函數(shù)，則的取值范圍是() 〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕18．假設(shè)f(*)=-*2+2a*與在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則a的值范圍是〔〕 A． B． C．〔0，1〕 D．19．假設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是〔〕 A． B． C． D．20．函數(shù)是〔〕A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．是奇函數(shù)也是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)21．函數(shù)是〔〕A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．是奇函數(shù)也是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)22．函數(shù)是〔〕A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．是奇函數(shù)也是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)23．定義在R上的偶函數(shù)f(*)滿足f(*)=f(*+2)，當(dāng)*∈[3，5]時(shí)，f(*)=2－|*－4|，則〔〕 A．f(sin)<f(cos) B．f(sin1)>f(cos1) C．f(cos)<f(sin) D．f(cos2)>f(sin2)24．定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù).假設(shè)的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，，則的值為〔〕 A． B． C． D．25．定義在R上的奇函數(shù)f(*)滿足f(*+3)=－f(*),則,f(6)的值為()(A)－1(B)0(C)1(D)226．是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且，則方程=0在區(qū)間〔0，6〕內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是〔〕 A．5 B．4 C．3 D．227．以下函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕28．假設(shè)函數(shù)f(*)=,則該函數(shù)在(-∞,+∞)上是()(A)單調(diào)遞減無最小值(B)單調(diào)遞減有最小值(C)單調(diào)遞增無最大值(D)單調(diào)遞增有最大值29．以下函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()A.B.C.D.30．，函數(shù)為奇函數(shù)，則a＝〔〕〔A〕0〔B〕1〔C〕－1〔D〕±131．假設(shè)函數(shù)f(*)是定義在R上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且f(2)0，則使得f(*)<0的*的取值范圍是 () (A)(￥,2)(B)(2,￥)(C)(￥,2)è(2,￥)(D)(2,2)32．設(shè)是R上的任意函數(shù),則以下表達(dá)正確的選項(xiàng)是〔〕(A)是奇函數(shù)(B)是奇函數(shù)(C)是偶函數(shù)(D)是偶函數(shù)33．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是___________,減區(qū)間是______________.34.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是___________,減區(qū)間是______________.35.設(shè)f(*)是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f(*)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=______________.36．假設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，則a=.37、函數(shù)f(*)=的圖象()A.關(guān)于*軸對(duì)稱 B.關(guān)于y軸對(duì)稱C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D.關(guān)于直線*=1對(duì)稱38、函數(shù)f(*)在R上為增函數(shù)，則y=f(|*+1|)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是_________.39、假設(shè)f(*)為奇函數(shù)，且在(0，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(－3)=0,則*f(*)<0的解集為_________.40、如果函數(shù)f(*)在R上為奇函數(shù)，在(－1，0)上是增函數(shù)，且f(*+2)=－f(*),試比擬f(),f(),f(1)的大小關(guān)系______41、函數(shù)y=f(*)=(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函數(shù)，當(dāng)*>0時(shí)，f(*)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)試求函數(shù)f(*)的解析式；(2)問函數(shù)f(*)圖象上是否存在關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱的兩點(diǎn)，假設(shè)存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由.42、函數(shù)．〔1〕判斷的奇偶性；〔2〕當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性，并證明．43、函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集是．44、函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．45、假設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為．46、假設(shè)函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)、的取值范圍分別是．47、對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足，假設(shè)方程有2009個(gè)實(shí)數(shù)解，則這2009個(gè)實(shí)數(shù)解之和為．◆詳細(xì)解析例1、變式1、C變式2、C例2、解：〔1〕故為偶函數(shù)。〔2〕的定義域由確定，解得∴定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱∴∵故為奇函數(shù)變式3、解：〔1〕當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意，，為偶函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，取，得，，函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．變式4、解：〔1〕由解得，則定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?！摺酁槠婧瘮?shù)〔2〕，故為偶函數(shù)。例3、證明：∵函數(shù)定義域?yàn)镽，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.∵f〔*+y〕=f〔*〕+f〔y〕，令y=-*,∴f(0)=f(*)+f(-*).令*=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f〔*〕+f〔-*〕=0，得f(-*)=-f(*),∴f(*)為奇函數(shù).變式5A、C變式5B、證明：令，可得；令，可得即又∴∴是偶函數(shù)例4、解：其中假設(shè)則，此時(shí)單調(diào)遞減，故減區(qū)間為；假設(shè)則，此時(shí)單調(diào)遞增，故增區(qū)間為；變式6、解析】,令,解得,應(yīng)選D例5、解：函數(shù)的定義域?yàn)閧*|*≤-1或*≥1},則f(*)=,可分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù).f(*)==*2-1的形式.當(dāng)*≥1時(shí)，u(*)為增函數(shù)，為增函數(shù).∴f〔*〕=在［1，+∞)上為增函數(shù).當(dāng)*≤-1時(shí)，u〔*)為減函數(shù)，為減函數(shù)，∴f(*)=在〔-∞,-1］上為減函數(shù).變式7、解：由4*-*2＞0，得函數(shù)的定義域是〔0，4〕.令t=4*-*2，則y=t.∵t=4*-*2=-〔*-2〕2+4，∴t=4*-*2的單調(diào)減區(qū)間是［2，4〕，增區(qū)間是〔0，2］.又y=t在〔0，+∞〕上是減函數(shù)，∴函數(shù)y=〔4*-*2〕的單調(diào)減區(qū)間是〔0，2］，單調(diào)增區(qū)間是［2，4).例6、答案:A.解析:由等價(jià)，于則在上單調(diào)遞增,又是偶函數(shù),故在單調(diào)遞減.且滿足時(shí),,,得,應(yīng)選A.變式8、D例6B、解：∵在區(qū)間上遞增∴在區(qū)間上恒成立即在區(qū)間上恒成立∵∴在區(qū)間上恒成立只要滿足∵∴變式9、〔2〕解：∵在上為增函數(shù)∴在上恒成立即在上恒成立，故只要滿足顯然的取值范圍是．例7、解析：由得，所以，則。變式10、解析：取*=1y=0得法一：通過計(jì)算，尋得周期為6法二：取*=ny=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)聯(lián)立得f(n+2)=—f(n-1)所以T=6故=f(0)=變式11、解析：由由是定義在R上的奇函數(shù)得，∴，應(yīng)選擇B。1、答案：C【解析】對(duì)于時(shí)有是一個(gè)偶函數(shù)2、[解析]依題意可得函數(shù)應(yīng)在上單調(diào)遞減，故由選項(xiàng)可得A正確。3、【答案】A【解析】由于f(*)是偶函數(shù),故f(*)＝f(|*|)∴得f(|2*－1|)＜f(),再根據(jù)f(*)的單調(diào)性得|2*－1|＜解得＜*＜4、【答案】A【解析】假設(shè)≠0，則有，取，則有：〔∵是偶函數(shù)，則〕由此得于是，5、【解析】:因?yàn)闈M足,所以,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),則,,,又因?yàn)樵赗上是奇函數(shù)，,得,,而由得,又因?yàn)樵趨^(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以,所以,即,應(yīng)選D.6、選A7、【答案】D8、答案：B9、D．．10、11、[解析]g(*)=e*+ae-*為奇函數(shù)，由g(0)=0，得a=－1。12、A13、A14、B15、B16、D17、C18、D19.B20.A21.C22