3/3利用結構相同構造函數在冪函數、指數函數、對數函數的學習過程中，為了比較冪值的大小，同底的構造指數函數、同指的構造冪函數，對數值大小比較也如此.究其實質，都是找到數式中的“結構”相同之處，將變數視為“變量”，從而構造出函數.【例】(1)(2020·全國卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，則()A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0(2)已知實數a，b∈(0,2)，且滿足a2－b2－4＝eq\f(4,2b)－2a－4b，則a＋b的值為________．(1)A(2)2[(1)由2x－2y＜3－x－3－y移項變形為2x－3－x＜2y－3－y.設f(x)＝2x－3－x，因為f(x)＝2x－3－x單調遞增，易知f(x)是定義在R上的增函數，故由2x－3－x＜2y－3－y，可得x＜y，所以y－x＞0?y－x＋1＞1，從而ln(y－x＋1)＞0，故選A．(2)由a2－b2－4＝eq\f(4,2b)－2a－4b，變形得：a2＋2a＝22－b＋(b－2)2，即a2＋2a＝(2－b)2＋22－設f(x)＝x2＋2x，則f(x)在(0,2)上遞增，因為a，b∈(0,2)，所以2－b∈(0,2)，且f(a)＝f(2－b)，所以a＝2－b，即a＋b＝2.]構造函數的策略(1)直接構造：如果關系式的左右形式相當，一邊一個變量，取左或取右，構造函數妥當．(2)變形構造：如果關系式的左右形式少有差異，可適當變形后得到已知中出現的“兩個變量”，然后利用結構相同，構造出一個函數，最后利用函數的性質解題．eq\o([跟進訓練])1．若2－x－2y＞lnx－ln(－y)(其中x＞0)，則()A．y－x＞0 B．x－y＞0C．x＋y≤0 D．x＋y＞0B[顯然－y＞0，又x＞0，則x－y＞0，故A錯誤，B正確．由2－x－2y＞lnx－ln(－y)移項變形為2－x－lnx＞2y－ln(－y)，設f(x)＝2－x－lnx(x＞0)，易知f(x)是定義在(0，＋∞)上的減函數，2－x－lnx＞2y－ln(－y)，即f(x)＞f(－y)，可得x＜－y，故x＋y＜0.故C、D錯誤，故選B．]2．(2021·廣東佛山市二模)已知不相等的兩個正實數x，y滿足x2－y＝4(log2y－log4x)，則下列不等式中不可能成立的是()A．x＜y＜1 B．y＜x＜1C．1＜x＜y D．1＜y＜xB[由已知x2－y＝4(log2y－log4x)，因為2log4x＝log2x，所以原式可變形x2＋2log2x＝y＋4log2y令f(x)＝x2＋2log2x，g(x)＝x＋4log2x，函數f(x)與g(x)均為(0，＋∞)上的增函數，且f(x)＝g(y)，且f(1)＝g(1)，當x＞1時，由f(x)＞1，則g(y)＞1，可得y＞1，當x＜1時，由f(x)＜1，則g(y)＜1，可得y＜1，要比較x與y的大小，只需比較g(x)與g(y)的大小，g(x)－g(y)＝g(x)－f(x)＝x＋4log2x－x2－2log2x＝x－x2＋2log2x，設h(x)＝x－x2＋2log2x(x＞0)，則h′(x)＝1－2x＋eq\f(2,xln2)，h″(x)＝－2－eq\f(2,x2ln2)＜0，故h′(x)在(0，＋∞)上單調遞減，又h′(1)＝－1＋eq\f(2,ln2)＞0，h′(2)＝－3＋eq\f(1,ln2)＜0，則存在x0∈(1,2)使得h′(x)＝0，所以當x∈(0，x0)時，h′(x)＞0，當x∈(x0，＋∞)時，h′(x)＜0，又因為h(1)＝0，h(x0)＞h(1)＝0，h(4)＝－12＋4＝－8＜0，所以當x＜1時，h(x)＜0，當x＞1時，h(x)正負不確定，故當x＜1，y＜1時，h(x)＜0，所以g(x)＜g(y)＜g(1)，故x＜y＜1，當x＞1，y＞1時，h(x)正負不定，所以g(x)與g(y)的正負不定，所以x＞y＞1，x＜y＜1，y＞x＞1均有可能，即選項A，C，D均有可能，選項B不可能．故選B．]3．等式eq\f(8,x＋13)＋eq\f(10,x＋1)－x3－5x＞0的解集是________．{x|x＜－2或－1＜x＜1}[原不等式可化為：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x＋1)))eq\s\up12(3)＋5×eq\f(2,x＋1)＞x3＋5x.構造函數f(x)＝x3＋5x，因為x3、5x均為單調遞增，故f(x)在R上單調遞增，所以eq\f(2,x＋1)＞x，解之得x＜－2或－1＜x＜1.所以原不等式解集是{x|x＜－2或－1＜x＜1}．]4．已知函數f(x)＝3x－3－x，f(1－2log3t)＋f(3log3t－1)≥logeq\s\do16(eq\f(1,3))t，則t的取值范圍是_______________．[1，＋∞)[∵logeq\s\do16(eq\f(1,3))t＝－log3t＝－(1－2log3t)－(3log3t－1)，∴f(1－2log3t)＋f(3log3t－1)≥loeq\s\do16(eq\f(1,3))t可變形為：f(3log3t－1)＋(3log3t－1)≥(2log3t－1)－f(1－2log3t)．∵f(x)＝3x－3－x是奇函數，∴－f(1－2log3t)＝f(2log3t－1)，∴f(3log3t－1)＋(3log3t－1)≥f(2l