從行列式的定義知道，n階行列式是n!項的代數和，其中每一項是位于不

不同列的n個元素的乘積，當n增大時，n!將極其迅速地增大。例如5!=120, 10!=3

628

800如果用行列式的定義計算n階行列式，計算量相當大！因此

須研究行列式的性質，利用行列式的性質簡化行列式的計算。2一、行列式的性質性質1

行列式與它的轉置行列式相等,即D

DT

.定義:

將

n階行列式

D的行與列互換后所得到的行列式DT

稱為行列式

D

的轉置行列式.

annan1

an2a11

a12

a1na

a

aD

21

22

2nDT

anna11a21a22an1an23a1n

a2n

a124如a11a12a1na11000a22a2n=a12a22000anna1na2nann

a11a22

ann行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式有關行的性質對列也同樣成立.

今后我們只研究行列式有關行的性質。說明ka

aannann21

aa1na1211aa1naa

aannann21

k1211

性質2

行列式一行(列)的公因子可以提出去。nj

naaj2

j

kaij

)(a21

ijjjn證明左邊=

1

121

k

1

j1

j2

jn

a

a

a

a1

j1

2

j2

iji

nj

n=右邊5推論

如果行列式中的某一行元素全為零，那么行列式等于零。性質3

兩行(列)互換,行列式反號.ainannak1

ak

2

akna11

a12

a1nai1

ai

2an1

an2………………

=aknanna11

a12ai1

ai

2

aina1nak1

ak

2an1

an2……6…………證明注意上式右邊行列式的第i行元素的第一個下標是k，而第k行元素的第一個下標是i

,由行列式定義，有右邊

=kk1

j1k

nnjna

a

a

a1

i1

j1

kji

ijk

j

j

j

j

1k1

j1iijka

1

1

1

j1=左邊7推論

兩行(列)相

列式的值為零.證明互換i

與k

兩行，有

D

D

0annan1

an2b1

b2

bnb1

b2

bna11

a12………………ann

aan1

an2b1

b2

bnb1

b2

bna1na1n

11

a12………………行i

k

行D=8性質４兩行(列)成比例，行列式的值為零．證明akaan1

an2

anna11

a12

a1nnn21

k1211

aa1naa

0.a

aanna910行列式中若有某一行(列)是兩組數的和,則此行列式可以寫成兩個行列式的和,這兩個行列式的這一行(列)分別是第一組數和第二組數，而其余各行與原來行列式的相應各行相同。即性質5a11

a12

a1n

b1

c1

b2

c2

bn

cn

an1

an2

anna11

a12

a1na11a12

a1nb1b2

bn

c1c2

cni

行an1

an2

annan1an2

anni

行i行11證明左邊=2jjjn1

1111

1

1

a

a

(b

c

)a

a2jjjn1

21

jjnj21

jjnj1

21

jjnj=右邊aab1

j11

1121

jjnjaac1

j11

11推論：若行列式某一行(列)是m組數(m為大于2的整數)的和,則此行列式可以寫成m個行列式的和.1213性質６把一行(列)的倍數加到另一行(列)上，行列式的值不變．nnnj

a

aan1a

aa

a

aa

2n2

j211n1

ja1ia2iani11a1na2nanna1

ja2

janj

(ania11a21an1(a1i(a2ika1

j

)

ka2

j

)

kanj

)

ci

kcjk

注用ci

kcj

(ri

krj

)表示第j

列（行）的元素乘以k

加到第i

列（行）。14計算行列式基本方法之一：利用行列式的性質，把行列式化為上(下)三角形行列式的非零數倍，算得行列式的值．例１計算五階行列式1

323

D二、行列式的計算D

23

3解112

3100

10

224

213

57

1464

410

102

2r2

3r10

2

0

5

74

10

3r2

2r1

41

120

10

212

3

1r4

4r1r

3r17r2

r41

12

310

21

530204

100

10

20022

210

1

221

3

513001

120000

1202

2

2r3

r2r4

r3

21

12

310

21

53001

12000

100022

21

1

20

2

1

0

0

10

0

00

0

2

5

4r

4r

12.001

4000000r5

2r3例2

計算3階行列式1

3

2D

23

1解

203300

1051D

2

200

3

3

23

1300

0

100

519100

3

0

01125201

3

2

1

3

2D

2

3

1

2

3

1

200

300

0

51

3

2

3

50

91

3

30

0

4

0

0

1

(3)

(4)

12例3

計算n

階行列式解將第

2，3，···

，n列都加到第一列，得abD

bbabbbabbb

bbb

aa

n

1ba

n

1ba

n

1bbabbbabbb

a

n

1bbb

aDn21c

c

c21

a

(n

1)ba

(n

1)ba

b0ba

bb0b0000000a

b

a

(n

1)b(a

b)n1

.

(1)1bbb1abb···1bab1bba122r2

r1

,

r3

r1

,,

rn

r證明：1b2

c2

cb3

c3

ca1

b1

b1

2例4證明a1

b1

a2

b2

a3

b3

23c1c2

c3

1a1a1

b1

c1b2

c2

0

0b3

c3a1

b1

c1

a1

c1

a2

b2

c2

a2

c2a3

b3

c3

a3

c324例5

試證

0a12

a13

a14

a150

a23

a24

a25

a23

0

a34

a35

a24

a34

0

a45

a25

a35

a45

0

a14

a150

a12D

a13證明

行列式

D

與其轉置行列式相等D

a13(1)D

00

a12

a13

a14

a15a12

0

a23

a24

a25a23

0

a34

a35a14

a24

a34

0

a45a15

a25

a35

a45

0∴

D25定義：如果行列式中的所有的元素滿足aij則該行列式稱為

a