badU

—定積分.一、問題的提出(1)積分元素dU；定積分的元素法(2)把定積分的元素法推廣到重積分.重積分問題:總量U

可以表示成部分量之和.部分量

f

(

x,

y)d

dU

—稱為總量U

的元素.U

dU

f

(

x,

y)dD

D步驟:(1)計(jì)算總量的元素(2)求重積分.二、曲面的面積—重積分在幾何中的應(yīng)用設(shè)曲面S

的方程為z

f

(x,y)，(x,y)

D，其中D

為曲面在xOy

面上的投影區(qū)域.設(shè)函數(shù)f

(x,y)在D

上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求曲面S

的面積A.(稱曲面z

f

(x,y)為“光滑曲面”)分析：把曲面細(xì)分，在每一小曲面上任取一點(diǎn)M求出曲面在點(diǎn)M

處的切平面，“以平代曲”，再求和取極限.步驟:(1)計(jì)算面積A

的元素(2)求重積分.(1)將區(qū)域D

任意劃分成n

個(gè)小區(qū)域，任取其中

一個(gè)小區(qū)域d

(其面積也記作d

).取d

上一點(diǎn)

(x,y)，它對(duì)應(yīng)曲面S

上一點(diǎn)M

(x,y,f

(x,y))，過點(diǎn)

M

作曲面S

的切平面.以d

的邊界曲線為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面，該柱面在曲面S上截下一小塊曲面A，在切平面上截下一小塊平面dA.與A

在xOy

面上的投影均為d

)A

d

dA

cos，其中n

(

fx

,

f

y

,1)

cos

1

f

2

f

2x

y1dA

1

f

2

f

2

d

—面積元素.x

yxyzd(

x,

y)MnAdAxyddAknd

dA

cosz(2)曲面

z

f

(

x,

y)

的面積x

yD

D1

f

2

f

2

d

1

(

z

)2

(

z

)2

dxdy.x

yA

yzDy

z同理可得，設(shè)曲面

S

的方程為

x

g(y,z)A

1

(

x

)2

(

x

)2

dydz.zxDz

x設(shè)曲面S

的方程為y

h(z,x)A

1

(

y

)2

(

y

)2

dzdx.例1

證明半徑為a

的球面面積A

4

a2

.解以坐標(biāo)原點(diǎn)為球心上半球面方程為

z

f

(

x,

y)

a2

x2

y2a2

x2

zx

zy

a2

x2

則

1

z2

z2

x

ya2

x2

y2.aa2

x2

y2球面面積

A

2

a

dDD：0

2

0

r

a.20

2a

a

0

a2

r

2drdr0

4

a[

a2

r

2

]a

4

a2

.1例2

求由旋轉(zhuǎn)拋物面

S

：2z

x2

y2

及上半球面S

：z

3

x2

y2

所圍成的 的整個(gè)表面積.2解

曲面

2z

x2

y2

及

z

3

x2

y2

所圍成的區(qū)域在xOy

面上的投影為二者交線在xOy

面上的投影曲線所圍成的區(qū)域.

x2

y2

2而二者交線在xOy

面上的投影曲線為

z

0故D：x2

y2

212對(duì)S

：z

1

(x2

y2

)xz

x

zyxy

z2

1

x2

y2則

1

z23

x2

y22對(duì)S

：z

3

x2

zx

3

x2

zy

則

1

z2

z2

x

y3

x2

y231

x2

y2

dxdy1DA

D：0

2，0

r

2.220021

r

rdr

d

322203

2

1[

(1

r

)

]13

2

( 3

)22233

x

yDA

dxdy

2220033

rdrdr0

2

3

[

3

r

2

]

2

2

(3

3

)3A

A1

A2

2

(3

1

3

33)

16

.三、重積分在物理中的應(yīng)用—質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力1.

質(zhì)心由有限個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心坐標(biāo)的求法假設(shè)在xOy

面上有n

個(gè)質(zhì)點(diǎn)，位于Ai

(xi

,yi

)處質(zhì)量為mi

(i

1,2,nynmi

xii

1mii

1MMx

,n)，令(x,y)為質(zhì)心坐標(biāo)，則n.xnmi

yii

1mii

1My

M由元素法x

D

y

D

.設(shè)有一平面薄片，占有xOy

面上的閉區(qū)域D，在點(diǎn)(x,y)處的面密度為(x,y).假設(shè)(x,y)在D

上連續(xù)，求平面薄片的質(zhì)心.

x

(

x,

y)d

y

(

x,

y)d

(

x,

y)d

(

x,

y)dD

D如果平面薄片是均勻的，則質(zhì)心也稱為形心.D

DA

Ax

1

xd

y

1

yd其中A

d

.D類似地，對(duì)于體密度為(x,y,z)，占有空間有界閉區(qū)域

的物體，其質(zhì)心坐標(biāo)為

(

x,

y,

z)dvx

y

x

(

x,

y,

z)dv

y

(

x,

y,

z)dv

(

x,

y,

z)dvz

.

z

(

x,

y,

z)dv

(

x,

y,

z)dv例3

求位于兩圓

r

2sin，r

4sin

之間的均勻薄板的形心.解D

關(guān)于

y

軸對(duì)稱

x

0.Dydy

AA

4

3

D：0

，2sin

r

4sin

.10

4sin2sind

1

3r

sin

rdr13r

34sin2sinsin[

]d

3

0sin4

d1

563

0

33

7

.73所以形心坐標(biāo)為(0,

).2.

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由有限個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求法假設(shè)在

xOy

面上有

n

個(gè)質(zhì)點(diǎn)，位于

Ai

(

xi,

yi

)

處質(zhì)量為mi

(i

1,

2, ,

n)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于x

軸和y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為2ni

1xi

iI

m

y2ni

1yi

im

x

.I

設(shè)有一平面薄片，占有xOy

面上的閉區(qū)域D，在點(diǎn)(x,y)處的面密度為(x,y).假設(shè)(x,y)在D

上連續(xù)，則平面薄片對(duì)于x

軸和y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為平面薄片對(duì)于x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ix

y

(

x,

y)d2D平面薄片對(duì)于y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I

y

x

(

x,

y)d

.2D類似地，對(duì)于體密度為(x,y,z)，占有空間有界閉區(qū)域

的物體，其對(duì)于x

軸、y

軸、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Ix

(

y

z

)(

x,

y,

z)dv2

2I

y

(z

x

)(

x,

y,

z)dv2

2Iz

(

x

y

)(

x,

y,

z)dv.2

2解bo例4

設(shè)有一均勻的直角三角形薄板，兩直角邊長分別為a,b，求該三角形對(duì)兩條直角邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.yx建立直角坐標(biāo)系a1對(duì)x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2xDI

y

dxdyy2dy

00ab(1

x

)a

dx

ab3

12對(duì)y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2yDI

x

dxdy00ba(1

y

)x2dx

bdy

a3b

.1123.

引力設(shè)有一平面薄片，占有xOy

面上的閉區(qū)域D，在點(diǎn)(x,y)處的面密度為(x,y).假設(shè)(x,y)在D

上連續(xù)，求該平面薄片對(duì)位于z軸上點(diǎn)P(0,0,a)處的質(zhì)量為M

的質(zhì)點(diǎn)的引力.元素法(1)將區(qū)域D任意劃分成n

個(gè)直徑很小的小閉區(qū)域任取其中一個(gè)小閉區(qū)域d

(其面積也記作d

).在d

上任取一點(diǎn)(x,y)，則dm

(x,y)d，dm集中在(x,y)上，x2

y2

a2r

2則由質(zhì)點(diǎn)間引力公式可得dF

元素的大小為dF

GM

(x,y)d

，其中r

方向?yàn)?x,y,a)x

y

z3232322

2

2dF

(dF

,dF

,dF

)

(GM x

(

x,

y)d

,(

x2

y2

a2

) (

x2

y2

a2

)(

x

y

a

)GM y

(

x,

y)d

,

GM a

(

x,

y)d

)32(

x2

y2

a2

)

x(

x,

y)

dx