1.3數學建模示例1.3.1椅子能在不平地面上放穩嗎問題分析模型假設通常~三只腳著地放穩~四只腳著地四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續改變，可視為數學上連續曲面;地面相對平坦，使椅子在任意位置最少三只腳同時著地。模型組成用數學語言把椅子位置和四只腳著地關系表示出來椅子位置利用正方形(椅腳連線)對稱性xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是函數四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉正方形對稱性用數學語言把椅子位置和四只腳著地關系表示出來f(),g()是連續函數對任意,f(),g()最少一個為0數學問題已知：f(),g()是連續函數;對任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證實：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型組成地面為連續曲面椅子在任意位置最少三只腳著地模型求解給出一個簡單、粗糙證實方法將椅子旋轉900，對角線AC和BD交換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g連續性知

h為連續函數,據連續函數基本性質,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評注和思索建模關鍵~假設條件本質與非本質考查四腳呈長方形椅子和f(),g()確定1.3.2商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河任一岸,一旦隨從人數比商人多,就殺人越貨.不過乘船渡河方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步決議過程決議~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上人員要求~在安全前提下(兩岸隨從數不比商人多),經有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)模型組成xk~第k次渡河前此岸商人數yk~第k次渡河前此岸隨從數xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~過程狀態S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態集合uk~第k次渡船上商人數vk~第k次渡船上隨從數dk=(uk,vk)~決議D={(u

,v)u+v=1,2}~允許決議集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態轉移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按轉移律由s1=(3,3)抵達sn+1=(0,0).多步決議問題模型求解xy3322110窮舉法~編程上機圖解法狀態s=(x,y)~16個格點~10個點允許決議~移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11給出安全渡河方案評注和思索規格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從情況d1d11允許狀態S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增加概況中國人口增加概況年1908193319531964198219901995人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口改變規律控制人口過快增加1.3.3怎樣預報人口增加指數增加模型——馬爾薩斯提出(1798)慣用計算公式x(t)~時刻t人口基本假設

:人口(相對)增加率r是常數今年人口x0,年增加率rk年后人口伴隨時間增加，人口按指數規律無限增加指數增加模型應用及不足與19世紀以前歐洲一些地域人口統計數據吻合適合用于19世紀后遷往加拿大歐洲移民后代可用于短期人口增加預測不符合19世紀后多數地域人口增加規律不能預測較長久人口增加過程19世紀后人口數據人口增加率r不是常數(逐步下降)阻滯增加模型(Logistic模型)人口增加到一定數量后，增加率下降原因：資源、環境等原因對人口增加阻滯作用且阻滯作用隨人口數量增加而變大假設r~固有增加率(x很小時)xm~人口容量（資源、環境能容納最大數量）r是x減函數dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增加模型(Logistic模型)參數預計用指數增加模型或阻滯增加模型作人口預報，必須先預計模型參數r或r,xm利用統計數據用最小二乘法作擬合例：美國人口數據（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4教授預計阻滯增加模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.